MATERI KULIAH STATISTIKA I UKURAN. (Nuryanto, ST., MT)

Transkripsi

1 MATERI KULIAH STATISTIKA I UKURAN (Nuryanto, ST., MT)

2 Ukuran Statstk Ukuran Statstk : 1. Ukuran Pemusatan Bagamana, d mana data berpusat? Rata-Rata Htung = Arthmetc Mean Medan Modus Kuartl, Desl, Persentl. Ukuran Penyebaran Bagamana penyebaran data? Ragam, Varans Smpangan Baku

3 Ukuran Pemusatan Ukuran Statstk nantnya akan mencakup data : 1. Ungrouped Data. Grouped Data Ungrouped Data : Data yang belum dkelompokkan Grouped Data :Data yang telah dkelompokkan Tabel Dstrbus Frekuens Ukuran Pemusatan Rata-Rata Htung = Arthmetc Mean Notas : : rata-rata htung populas x : rata-rata htung populas Rata-Rata Htung untuk Ungrouped Data N 1 N x dan n x x 1 n N : ukuran Populas n : ukuran Sampel x : data ke-

4 Contoh 1 Msalkan dketahu d kota A hanya terdapat 6 PTS, masng-masng tercatat mempunya banyak mahasswa sebaga berkut : 850, 1100, 1150, 150, 750, 900 Berapakah rata-rata banyak mahasswa PTS d kota A? Rata-Rata Populas atau Sampel? Jawab: = = 1000

5 Contoh Setap 1 jam sekal bagan QC pabrk mnuman rngan memerksa 6 kaleng contoh untuk dperksa kadar gula sntetsnya (%). Berkut adalah data 6 kaleng mnuman contoh yang dperksa : Jawab : = 75 6 = 1.5 %

6 Ukuran Pemusatan Rata-Rata untuk Grouped Data Nlanya merupakan pendekatan Basanya berhubungan dengan rata-rata htung sampel x n 1 n 1 f x f sehngga x n fx 1 n x n f x : rata-rata htung populas : ukuran Sampel : frekuens d kelas ke- : Ttk Tengah Kelas ke-

7 Ukuran Pemusatan Kelas Ttk Tengah Kelas (x) Frekuen s (f) f x Jumlah () Jawab : x = = Selan dengan rumus tersebut, dapat dcar dengan suatu nla dugaan (M) d : TTK (x) - M x M n 1 f d n

8 Kelas Ttk Tengah Kelas (x) M d Frekuens(f) f d Jumlah () x f d M 1 n n 95 = Catt : Bagamana menentukan M? Tdak ada cara khusus! M dapat dtentukan sembarang! Atau M dapat dtentukan dengan Ttk Tengah Kelas (x) pada Kelas tepat d tengah TDF

9 jka banyak kelas (k) ganjl maka ambl (x) pada kelas ke (kelas yang d tengahtengah) jka banyak kelas (k) genap maka gunakan (x) pada kelas ke dan kelas ke +1 1 selanjutnya kedua nla (x) tersebut dbag dua

10 Modus Nla yang palng serng muncul Nla yang frekuensnya palng tngg a. Modus untuk Ungrouped Data Contoh : Sumbangan PMI warga Depok Modus : Rp Bsa terjad data dengan beberapa modus (mult-modus) Bsa terjad data tanpa modus Contoh Berat 5 orang bay : (Tdak Ada Modus) Umur Mahasswa : Modus : 18 dan 19

11 d d 1 b. dmodus untuk Grouped Data 1 Kelas Modus : Kelas d mana Modus berada Kelas dengan frekuens tertngg Tep Batas Bawah kelas ke- = Tep Batas Atas kelas ke- = Batas Bawah kelas ke + Batas Atas kelas ke ( 1) Batas Atas kelas ke + Batas Bawah kelas ke (+1) Modus = TBB Kelas Modus + d d1 d 1 d mana : TBB : Tep Batas Bawah d 1 d : Beda Frekuens Kelas Modus dengan Frekuens Kelas sebelumnya : Beda Frekuens Kelas Modus dengan Frekuens Kelas sesudahnya : nterval kelas

12 d d1 d 1 Kelas Modus = 4-31 TBB Kelas Modus = 3.5 = 8 frek. kelas Modus = 17 frek, kelas sebelum kelas Modus = 10 frek. kelas sesudah kelas Modus = 7 d 1 = = 7 Kelas Frekuens (f) Jumlah () 50 d = 17-7 = 10 Modus = = = ( ) = =

13 Medan, Kuartl, Desl dan Persentl Medan Nla yang membag gugus data yang telah tersortr (ascendng) menjad bagan yang sama besar Kuartl Nla yang membag gugus data yang telah tersortr (ascendng) menjad 4 bagan yang sama besar Desl Nla yang membag gugus data yang telah tersortr (ascendng) menjad 10 bagan yang sama besar Persentl Nla yang membag gugus data yang telah tersortr (ascendng) menjad 100 bagan yang sama besar

14 Medan, Kuartl, Desl dan Persentl untuk Ungrouped Data 1. Medan untuk Ungrouped Data Letak Medan telah tersortr Letak Medan = Letak Medan dalam gugus data yang, n = banyak data Contoh 1: Tngg Badan 5 mahasswa: Sorted : n = 5 Letak Medan = = = 3 Medan = Data ke-3 = 1.75

15 Contoh Tngg 6 mahasswa : (Sorted) n = 6 Letak Medan = = 3,5 Medan = 1 (Data ke 3 + Data ke 4) = 1 ( ) = = Data ke (Data ke-4 Data ke-3) = ( ) = ( ) = = 1.765

16 . Kuartl untuk Ungrouped Data Letak Kuartl ke-q Letak Kuartl ke-q dalam gugus data yang telah tersortr, q =1,,3 Letak Kuartl ke-q = (), n = banyaknya data 3. Desl untuk Ungrouped Data Letak Desl ke-d Letak Desl ke-d dalam gugus data yang telah tersortr, d =1,,3,... 9 Letak Desl ke-d = (), n = banyaknya data 4. Persentl untuk Ungrouped Data Letak Persentl ke-p Letak Persentl ke- dalam gugus data yang telah tersortr, p =1,,3,... 99

17 Letak Persentl ke-p (), n = banyaknya data Teknk Penghtungan Nla Kuartl ke-k, Desl ke-d, Persentl ke-p Msalkan ddapat letak Kuartl ke-q/desl ke-d/persentl ke-p = Data ke-.j (berupa blangan pecahan) Maka Nla Kuartl ke-q/desl ke-d/persentl ke-p = Nla data ke- + [0.j (Nla Data ke-+1 Nla Data ke-)] Contoh : Terdapat sebanyak 53 data yang sudah tersortr ascendng Data ke-190 bernla 175 dan Data ke-191 bernla 180 Data ke-50 bernla 45 dan Data ke-51 bernla 48 Data ke-165 bernla 100 dan Data ke-166 bernla 10

18 3( n 1) 3( 53 1) Letak Kuartl ke-3 = Nla Kuartl ke-3 = Data ke (Data ke-191 Data ke-190) = ( ) = (0.5 5) = = ( n 1) ( 53 1) Letak Desl ke- = Nla Desl ke- = Data ke (Data ke-51 Data ke-50) = (48-45) = 45 + (0.8 3) = = ( n 1) 65( 53 1) Letak Persentl ke-65 = Nla Persentl ke-65 = Data ke (Data ke-166 data ke-165) = (0.1 ) = = 100.

19 Medan, Kuartl, Desl dan Persentl untuk Grouped Data Nlanya merupakan pendekatan 1. Medan untuk Grouped Data Letak Medan =, n: banyak data Kelas Medan : Kelas d mana Medan berada Kelas Medan ddapatkan dengan membandngkan Letak Medan dengan Frekuens Kumulatf Medan = TBB Kelas Medan + s f M atau Medan = TBA Kelas Medan - s' f M

20 d mana : TBB : Tep Batas Bawah s : selsh antara Letak Medan dengan Frekuens Kumulatf sebelum kelas Medan TBA : Tep Batas Atas s : selsh antara Frekuens Kumulatf sampa kelas Medan dengan Letak Medan : nterval kelas f M : Frekuens kelas Medan

21 Contoh Kelas Medan Kelas Frekuens Frek. Kumulatf nterval = = 8 Letak Medan = n = 50 = 5 Medan = Data ke-5 terletak d kelas 4-31 Kelas Medan = 4-31 TBB Kelas Medan = 3.5 dan TBA Kelas Medan = 31.5 f M = 17 Frek. Kumulatf sebelum Kelas Medan = 10 s = 5-10 = 15 Frek. Kumulatf sampa Kelas Medan = 7 s = 7-5 =

22 Medan = TBB Kelas Medan + = = ( ) 17 = = s f M Medan = TBA Kelas Medan - s' f M = = ( ) = =

23 . Kuartl untuk Grouped Data Letak Kuartl ke-q = qxn 4, q = 1,,3...dan n = banyaknya data Kelas Kuartl ke-q : Kelas d mana Kuartl ke-q berada Kelas Kuartl ke-q ddapatkan dengan membandngkan Letak Kuartl ke-q dengan Frekuens Kumulatf Kuartl ke-q = TBB Kelas Kuartl ke-q + atau s f Q Kuartl ke-q = TBA Kelas Kuartl ke-q - s' f Q d mana :TBB : Tep Batas Bawah s : selsh antara Letak Kuartl ke-q dengan Frekuens Kumulatf sebelum kelas Kuartl ke-q TBA : Tep Batas Atas s : selsh antara Frekuens Kumulatf sampa kelas Kuartl ke-q dengan Letak Kuartl ke-q : nterval kelas f Q : Frekuens kelas Kuartl ke-q

24 Contoh Tentukan kuartl ke -3 Kelas Kuartl ke -3 Kelas Frekuens Frek. Kumulatf nterval = = 8 Letak Kuartl ke-3 = 3 n 3 50 = 4 4 = 37.5 Kuartl ke-3 = Data ke-37.5 terletak d kelas Kelas Kuartl ke-3 = TBB Kelas Kuartl ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartl ke-3 = 47.5 f Q3 = 10 Frek. Kumulatf sebelum Kelas Kuartl ke-3 = 34 s = = 3.5 Frek. Kumulatf sampa Kelas Kuartl ke-3 = 44 s = = 6.5

25 Kuartl ke-3 = TBB Kelas Kuartl ke-3 + = = (0.35) 10 = = 4.3 Kuartl ke-3 = TBA Kelas Kuartl ke-3 - = = ( 0.65) 10 = = 4.3 s f Q s' f Q

26 3. Desl untuk Grouped Data Letak Desl ke-d = dxn 10, d = 1,, dan n = banyaknya data Kelas Desll ke-d : Kelas d mana Desl ke-d berada Kelas Desl ke-d ddapatkan dengan membandngkan Letak Desl ke-d dengan Frekuens Kumulatf s Desl ke-d = TBB Kelas Desl ke-d + f D atau Desl ke-d = TBA Kelas Desl ke-d - s' f D d mana :TBB : Tep Batas Bawah s : selsh antara Letak Desl ke-q dengan Frekuens Kumulatf sebelum kelas Kuartl ke-d TBA : Tep Batas Atas s : selsh antara Frekuens Kumulatf sampa kelas Desl ke-d dengan Letak Desl ke-d : nterval kelas f Q : Frekuens kelas Desl ke-d

27 Contoh Tentukan desl ke -9 Kelas Desl ke -9 Kelas Frekuens Frek. Kumulatf Desl ke-9 = Data ke-45 terletak d kelas Kelas Desl ke-9 = nterval = = 8 Letak Desl ke-9 = 9 n 9 50 = = 45 TBB Kelas Desl ke-9 = 47.5 dan TBA Kelas Desl ke-9 = 55.5 f D9 = 3 Frek. Kumulatf sebelum Kelas Desl ke-9 = 44 s = = 1 Frek. Kumulatf sampa Kelas Desl ke-9 = 47 s = =

28 Desl ke-9 = TBB Kelas Desl ke-9 + = = ( ) 3 = = s f D Desl ke-9 = TBA Kelas Desl ke-9 - s' f D = = ( ) 3 = =

29 4. Presentl untuk Grouped Data Letak Presentl ke-p pxn 100, p = 1,, dan n = banyaknya data Kelas Presentl ke-p : Kelas d mana Presentl ke-p berada Kelas Presentl ke-p ddapatkan dengan membandngkan Letak Presentl ke-p dengan Frekuens Kumulatf Persentl ke-p = TBB Kelas Persentl ke-p + Persentl ke-p = atau TBA Kelas Persentl ke-p - p : 1,, d mana :TBB : Tep Batas Bawah s : selsh antara Letak Persentl ke-p dengan Frekuens Kumulatf sebelum kelas Persentl ke-p TBA : Tep Batas Atas s : selsh antara Frekuens Kumulatf sampa kelas Persentl ke-p dengan Letak Persentl ke-p : nterval kelas f P : Frekuens kelas Persentl ke-p s f P s' f P

30 Contoh Tentukan Presentl ke -56 Kelas Pressentl ke -56 Kelas Frekuens Frek. Kumulatf nterval = = 8 Letak Persentl ke-56 = 56 n = = 8 Persentl ke-56 = Data ke-8 terletak d kelas 3-39 Kelas Persentl ke-56 = 3-39 TBB Kelas Persentl ke-56 = 31.5 dan TBA Kelas Persentl ke-56 = 39.5 f P56 = 7 Frek. Kumulatf sebelum Kelas Persentl ke-56 = 7 s = 8-7 = 1 Frek. Kumulatf sampa Kelas Persentl ke-56 = 34 s = 34-8 = 6

31 Persentl ke-56 = TBB Kelas Persentl ke-56 + = = ( ) 7 = = Persentl ke-56 = TBA Kelas Persentl ke-56 - s f P s' f P = = ( ) 7 = =

32 5. Rata-Rata Tertmbang (Weghted Mean) Dalam beberapa kasus setap nla dber beban, msalnya : pada kasus perhtungan Indeks Prestas, Potongan Harga Barang, dll Contoh D mana x B : rata-rata tertmbang B : beban ke- x : data ke- n : banyak data Berkut adalah Transkrp Akademk seorang mahasswa Mata Kulah Nla Mutu Angka Mutu (X) SKS (B) Nla Skala (Skorng) (B X) Pancasla B 3 6 Teor Ekonom A Bahasa Inggrs C 3 6 Pengantar Manajemen A Indeks Prestas = x B n 1 n 1 B x B = 40 1 = 3.33

33 6. Rata-Rata Geometrk (Geometrc Mean) Rata-rata geometrk dgunakan untuk menghtung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate), msalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tngkat bunga dll. ngat G = antlog (log G) D mana G : rata-rata geometrk Contoh x 1 : data ke- n : banyak data Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 har kerja : % G n x1 x x3 x n = log G = G n x1 x x3 x n log x log x log x log x log x = log 1.5 log.3 log 3.4 log 1. log = = = G = antlog =.03837

34 Bandngkan dengan rata-rata htung x n x 1 n = 5 = =.18

35 Ukuran Penyebaran Ragam = Varans (Varance) dan Smpangan Baku = Standar evas (Standard Devaton) 1. Ragam dan Smpangan Baku untuk Ungrouped Data POPULASI : N ( x ) 1 atau N N N x x 1 1 N ( ) dan SAMPEL : s s n ( x x ) n 1 ( nx 1x ) 1 n 1 atau dan X : data ke- : smpangan baku populas : rata-rata populas N : ukuran populas x : rata-rata sampel s : smpangan baku ²: ragam populas n : ukuran sampel s n n x ( x ) 1 1 n( n 1) n

36 x Contoh : Data Usa 5 mahasswa : tahun Htunglah, ² dan (anggap data sebaga data populas) Htunglah x, s dan s ( data adalah data sample) Jawab: x atau x ( x -) atau ( x - x ) ( x -)² atau ( x - x )² x POPULASI : N = n ( x ) 1 = 10 5 = N N N x x 1 1 N ( ) = ( ) = 5 = =

37 SAMPEL n = 5 x = s n ( x x) 1 n 1 = 10 4 =.5 s n n x ( x ) 1 n 1 n( n 1) = ( 5 010) =.5 0 s s =. 5 =

38 . Ragam dan Smpangan Baku untuk Grouped Data POPULASI : dan SAMPEL : dan X : data ke- : smpangan baku populas : rata-rata populas N : ukuran populas x : rata-rata sampel s : smpangan baku ²: ragam populas n : ukuran sampel k : banyak kelas f : frekuens kelas ke-

39 xf x Contoh Rata -Rata ( atau x ) = = (dar catatan terdahulu) Kelas TTK x Frek. f f x atau x ( x -) atau ( x - x ) ( x -)² atau ( x - x )² f ( x -)² atau f ( x - x )² POPULASI : N = 50 k f 1 ( x ) = = = = SAMPEL : s s k f ( x x) 1 n 1 = s = = =

40 xf x 3. Koefsen Ragam Koefsen Ragam = Koefsen Varans Semakn besar nla Koefsen Ragam maka data semakn bervaras, keragaman data makn tngg. Untuk Populas Koefsen Ragam = 100% Untuk Sampel Koefsen Ragam = s x 100% Contoh : x = 33,58 s = Koefsen Ragam = x 100% =.. x 100% = %

41 xf x 4. Angka Baku Angka baku adalah ukuran penympangan data dar rata-rata populas z dapat bernla nol (0), postf (+) atau negatf (-) z nol data bernla sama dengan rata-rata populas z postf data bernla d atas rata-rata populas z negatf data bernla d bawah rata-rata populas z = Angka Baku = Rata rata populas x = nla data = smpangan baku

42 xf x Contoh : Rata rata kecepatan lar atlet nasonal = 0 km/jam dengan smpangan baku =.5 km Htung angka baku kecepatan lar a. Al = 5 km/jam b. Dd = 18 km/jam Jawab : a. z x = = b. z x 18 0 = = -0.8

43 Penyajan Grafk Dstrbus frekuens dapat juga dsajkan dalam bentuk grafk. Sajan grafk yang sangat luas dgunakan bag data numerk adalah dagram balok 16 Selang Kelas Batas Kelas Ttk Tengah Frekuens 1,5-1,9 1,45-1,95 1,7,0-,4 1,95-,45, 1,5-,9,45-,95,7 4 3,0-3,4,95-3,45 3, 15 3,5-3,9 3,45-3,95 3,7 10 4,0-4,4 3,95-4,45 4, 5 4,5-4,9 4,45-4,95 4, ,5 1,9,0,4,5,9 3,0 3,4 3,5 3,9 4,0 4,4 4,5 4,9

44 Penyajan data lannya adalah bentuk hstogram. Hstogram berbeda dar dagram balok dalam hal sebaga lebar baloknya dgunakan batas kelas bukan lmt kelas. Untuk beberapa masalah tertentu akan lebh bak bla sumbu tegaknya menyatakan frekuens relatf atau presentase. Grafknya dsebut hstogram frekuens relatf atau hstogram presentase, bentuknya perss dengan hstogram frekuens, hanya skala tegaknya berbeda. 1,5 1,9,0,4,5,9 3,0 3,4 3,5 3,9 4,0 4,4 4,5 4,9

45 Cara lannya lag adalah dalam bentuk polgon frekuens. Polgon frekuens dbentuk dengan memplotkan frekuens kelas terhadap ttk tengah kelas dan kemudan menghubungkan ttk ttk yang berurutan dengan gars lurus. Dengan kata lan polgon merupakan bangun berss banyak yang tertutup. Jka frekuens yang ada dalam bentuk frekuens relatf, maka dsebut polgon frekuens relatf atau polgon presentase. 1,5 1,9,0,4,5,9 3,0 3,4 3,5 3,9 4,0 4,4 4,5 4,9 POLIGON FREKUENSI

46 Grafk gars lannya, dsebut polgon frekuens komulatf atau ogf, ddapat dengan memplotkan frekuens komulatf yang lebh kecl darpada batas atas kelas terhadap batas atas kelasnya. 1,5 1,9,0,4,5,9 3,0 3,4 3,5 3,9 4,0 4,4 4,5 4,9 OGIF atau POLIGON FREKUENSI KOMULATIF

47 SELAMAT BELAJAR!