PERBANDINGAN MODEL DATA RESPON BERGANDA BERULANG DARI SEBARAN NORMAL BAKU, LOGNORMAL, DAN GAMMA

Transkripsi

1 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakultas Sans dan Matematka, UKSW Salatga, 21 Jun 2014, Vol 5, No.1, ISSN : PERBANDINGAN MODEL DATA RESPON BERGANDA BERULANG DARI SEBARAN NORMAL BAKU, LOGNORMAL, DAN GAMMA Tmbang Srat Departemen Statstka FMIPA-IPB Emal: ABSTRAK Data respon berganda berulang merupakan suatu data dmana terdapat sejumlah c kategor hasl, yang mana masng-masng kategor hasl ddefnskan sebaga tem. Pengumpulan data sepert n membolehkan responden mengs atau mencentang semua plhan jawaban yang dsedakan. Sebaga contoh, pertanyaan tentang metode yang dgunakan dalam mencegah kehamlan. Msalnya terseda lma plhan jawaban, yang mana responden dapat mencentang semua atau sebagan jawaban yang dberkan, sepert: kondom, pl kontraseps, daphragm, jelly, dan perode aman. Berdasarkan plhan jawaban yang dberkan, maka dalam peubah respon berganda berulang n terdapat lma tem. Respon berganda berulang dcrkan oleh tem dan ttk waktu yang dperhatkan sebaga dua level pada model mult level. Peneltan n akan menggunakan model campuran lnear terampat dalam memodelkan data respon berganda berulang, yang mana dalam model tersebut mempertmbangkan adanya pengaruh tetap dan pengaruh acak. Namun, data yang dgunakan merupakan data bangktan pada pengaruh acak yang dbangktkan dar tga sebaran pada satu ttk waktu tertentu. Peneltan n bertujuan untuk membandngkan model data respon berganda berulang dar sebaran Normal Baku, Lognormal, dan Gamma. Hasl peneltan menunjukkan bahwa model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal selalu menghaslkan nla rata-rata AIC yang lebh kecl dbandngkan dar sebaran Gamma dan Normal Baku. Namun, pada sebaran Gamma yang ekornya tdak panjang, memberkan nla AIC yang lebh kecl dbandngkan dengan sebaran Lognormal. Data respon berganda berulang dar sebaran Normal Baku, selalu menghaslkan nla rata-rata AIC yang lebh besar dbandngkan dar sebaran Lognormal dan Gamma bak yang ekornya panjang maupun yang tdak panjang. Kata-kata kunc: AIC, tem, pengaruh tetap, pengaruh acak, respon berganda berulang. PENDAHULUAN Data respon berganda berulang merupakan suatu data dmana terdapat sejumlah c kategor hasl. Pengumpulan data sepert n membolehkan responden mengs atau mencentang semua plhan jawaban yang dsedakan pada daftar kategor hasl. Peubah kategor yang mengumpulkan jens data sepert n dsebut dengan peubah respon berganda berulang (repeated multple response varables) [1]. Sebaga contoh, pertanyaan tentang metode yang dgunakan dalam mencegah kehamlan. Msalnya terseda lma plhan jawaban, yang mana responden dapat mencentang semua atau sebagan jawaban yang dberkan, sepert: kondom, pl kontraseps, daphragm, jelly, dan perode aman. Berdasarkan plhan jawaban yang dberkan, maka dalam peubah respon berganda berulang n terdapat lma kategor hasl. Masng-masng kategor hasl ddefnskan sebaga tem [2]. Respon berganda berulang dcrkan oleh tem dan ttk waktu yang dperhatkan sebaga dua level pada model multlevel [1]. [3] menunjukkan bahwa menentukan model asosas yang bak untuk ttk waktu lebh pentng darpada menjelaskan asosas d seluruh tem. Model campuran lnear terampat (generalzed lnear mxed model) atau yang dsngkat dengan MCLT merupakan perluasan model campuran lnear, yang mana sebaran peluang bersyaratnya tdak dharuskan mengkut sebaran normal, akan tetap sebaran peluang tersebut termasuk dalam keluarga eksponensal, sepert Bnomal, Posson loglnear dan sebaganya [4]. MCLT dapat dterapkan pada peubah respon berganda berulang yang benla bner [3]. Dua elemen yang bsa dgunakan untuk mendefnskan MCLT yatu, (1) kebebasan bersyarat (dengan syarat pengaruh acak) dan (2) sebaran dar pengaruh acak [4]. Sebaran dar pengaruh acak dalam pemodelan MCLT basanya dasumskan menyebar Normal. Namun, dalam peneltan n, akan dlakukan perbandngan menggunakan sebaran lan, msalnya sebaran Gamma dan Lognormal. Peneltan n bertujuan untuk membandngkan model data respon berganda berulang dar sebaran Normal Baku, Lognormal, dan Gamma. Sebaga langkah awal, matrks rancangan dan pengaruh tetap nlanya dtentukan terlebh dahulu. Namun, karena banyaknya data pada matrks rancangan, maka matrks rancangan dbangktkan sekal saja 710

2 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakultas Sans dan Matematka, UKSW Salatga, 21 Jun 2014, Vol 5, No.1, ISSN : menggunakan sebaran Normal Baku. Sedangkan pada pengaruh acak, datanya dbangktkan dar sebaran Normal baku, Lognormal, dan Gamma. Ada satu pengaruh tetap dan dua pengaruh acak yang dgunakan dalam pemodelan n. Dplhnya sebaran Lognormal karena ngn dbangktkan data yang sebarannya memlk ekor yang panjang ke kr, sedangkan sebaran Gamma memlk ekor yang panjang ke kanan. Kemudan sebaran Normal Baku untuk sebaran yang smetrs. Selanjutnya data respon dbangktkan dar sebaran Bnomal, dengan jumlah percobaan satu dan peluang p dengan p dperoleh melalu fungs hubung yang natural agar dperoleh nla dantara 0 dan 1. Alat ukur yang dgunakan untuk membandngkan ketga model tersebut adalah Akake s nformaton crteron (AIC). Model dengan nla AIC terkecl, merupakan model yang terbak [4]. BAHAN DAN METODE Bahan Bahan dalam melakukan pembentukan model dlakukan dengan 5 langkah berkut: (1). Mengambl nla parameter 0 0,5 dan 1 1,5. Selanjutnya, membangktkan x (yang mana X ( 1 x )) dan Z ( z1 z 2) dar sebaran Normal Baku (dlakukan sekal saja) dengan n 100 dan n (2). Membangktkan 1 2 T α dar sebaran Normal Baku, Lognormal, dan Gamma. (3). Mendapatkan nla harapan Y dengan syarat EY α, selanjutnya membangktkan α atau data y menggunakan sebaran Bnomal dengan jumlah percobaan satu dan peluang sukses p dengan p exp E Y α 1 E Y α dan T T EY α x β z α (4) Berdasarkan data bangktan n dbuat pemodelan menggunakan MCLT, sepert pada persamaan (2). (5) Ketga model dbandngkan besaran nla AIC-nya. Model Campuran Lnear Terampat (MCLT) Ada tga komponen utama dalam MCLT [4]: 1. Komponen acak 2. Komponen sstematk 3. Fungs hubung Peubah respon berganda berulang y1, y2,, y n dengan syarat α merupakan komponen acak 711 yang salng bebas (bersyarat) sedemkan sehngga sebaran y dengan syarat α termasuk dalam keluarga eksponensal. Komponen T T sstematknya adalah x β z α, dan fungs hubungnya adalah EY g dengan serta fungs g memlk nvers (nvertble). Dengan demkan, maka dapat dtulskan persamaannya menjad T T g x β z α, 1,2,, n atau g μ Xβ Zα (1) Namun, tdak sepert pada model lnear terampat (MLT), peubah respon pada MCLT (secara marjnal) berkorelas, sehngga berdasarkan alasan n, maka MCLT serng dgunakan untuk memodelkan respon kategor atau dskrt yang salng berkorelas [4]. Jka data peubah respon berganda berulang n bner, maka sebaran peubah respon berganda berulang bner dengan syarat α adalah Bernoull p P y 1 α, dan bebas bersyarat, dengan fungs hubungnya p T T logt p log x β z α (2) 1 p dmana x dan z adalah vektor yang dketahu, β adalah vektor parameter yang tdak dketahu (pengaruh tetap), α adalah vektor pengaruh acak, X dan Z adalah matrks kovarat yang dketahu (matrks rancangan). Pendugaan Parameter Pendugaan parameter pada persamaan (2) dapat dperoleh menggunakan fungs kemungknan. Tdak sepert pada model campuran lnear, fungs kemungknan pada MCLT khususnya tdak memlk penyelesaan bentuk tertutup (closed-form), kecual pada kasus Normal. Pada kenyataannya, fungs kemungknan tersebut bsa melbatkan ntegral berdmens tngg yang tdak dapat dselesakan secara analtk. Namun, ketka fungs kemungknan eksak sult dperoleh, persoalan n dapat dselesakan menggunakan pendekatan Laplace (Laplace approxmaton) [4]. MCLT Pada Pendekatan Multlevel Subyek, Item, dan Waktu Msalkan y menyatakan respon berganda jt berulang pada subyek ke-, tem ke- j, dan ttk waktu ke- t. Selanjutnya, x jt menyatakan vektor dar matrks rancangan X pada subyek ke-,

3 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakultas Sans dan Matematka, UKSW Salatga, 21 Jun 2014, Vol 5, No.1, ISSN : tem ke- j, dan ttk waktu ke- t, dan z jt menyatakan vektor dar matrks rancangan Z pada subyek ke-, tem ke- j, dan ttk waktu ke- t. MCLT pada pendekatan multlevel menambahkan pengaruh acak, yatu memuat tambahan pengaruh efek spesfk subyek. Model n dsebut sebaga model spesfk subyek karena parameter ddefnskan pada level subyek. Msalkan α adalah vektor pengaruh acak pada subyek ke-, Z dan X adalah matrks rancangan dan β adalah vektor pengaruh tetap. Sebaran y jt dengan syarat α dasumskan dar keluarga eksponensal dengan fungs kepekatan f y α, β dan nla tengah bersyarat jt jt EYjt α. Respon dengan syarat α dasumskan bebas dalam subyek, yang dkenal dengan asums kebebasan lokal [1]. Juga dasumskan respon bebas pada subyek yang berbeda. Berdasarkan asums kebebasan lokal, fungs kepekatan peluang y dengan syarat α adalah sebaga berkut dengan f n, f, y α β y α β (3) 1 c T, jt, f y α β f y α β (4) j1 t1 Selanjutnya, dapat juga dtuls dmana f n ; f ; α Σ α Σ (5) 1 y y y dan α α α 1 n 1 n. Selanjutnya memaksmumkan fungs l β, Σ; y [3], dperoleh kemungknan lβ, Σ; y f y; β, Σ ; ; f y α β f α Σ dα (6) Fungs kemungknan n serng dsebut dengan kemungknan margnal (margnal lkelhood) setelah pengntegralan mengeluarkan pengaruh acak [6]. HASIL DAN DISKUSI Data bangktan dperoleh menggunakan software R vers Pada smulas pertama dlakukan pembangktan data pengaruh acak dar sebaran Normal Baku, Lognormal dengan parameter log 2 dan log 0,01, dan Gamma dengan parameter r 2 dan 5, sepert pada gambar 1, gambar 2, dan gambar 3. Gambar 1. Grafk Sebaran N(0,1) Gambar 2. Grafk Sebaran LOGN(2, 0,01) Gambar 3. Grafk Sebaran Gamma(2,5) Tabel 1. Nla AIC dar Smulas Pertama 1 274,8 61,9 256, ,3 24,1 272, ,2 20,9 247, ,5 20,9 270, ,1 17,7 236, ,6 17,7 263, ,8 17,7 242, ,4 33,5 272, ,2 20,9 232, ,1 24,1 271,0 Rata-rata 273,4 25,9 256,5 Hasl smulas untuk n 100 dengan 10 kal perulangan, pada tabel 1, menunjukkan bahwa model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl dengan nla rata-rata 25,9. Pada konds sebaran sepert n model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal merupakan model yang terbak. Selanjutnya, pada smulas kedua dlakukan pembangktan data pengaruh acak dar sebaran Lognormal dengan parameter log 2 dan log 0,05 dan Gamma dengan parameter 712

4 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakultas Sans dan Matematka, UKSW Salatga, 21 Jun 2014, Vol 5, No.1, ISSN : r 2 dan 2, sepert pada gambar 4 dan gambar 5. Gambar 7. Grafk Sebaran Gamma(2,1) Gambar 4. Grafk Sebaran LOGN(2, 0,05) Gambar 5. Grafk Sebaran Gamma (2,2) Tabel 2. Nla AIC dar Smulas Kedua 1 253,9 61,6 130, ,4 20,9 242, ,8 30,4 247, ,8 53,7 230, ,9 11,3 212, ,0 14,5 236, ,2 27,2 255, ,0 24,1 210, ,6 20,9 248, ,2 42,8 261,7 Rata-rata 257,0 30,7 227,7 Pada smulas kedua n dperoleh bahwa model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal mash memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl dan menjad pembentuk model terbak dengan nla sebesar 30,7 sepert dsajkan pada tabel 2 d atas. Pada smulas ketga dlakukan pembangktan data pengaruh acak dar sebaran Lognormal dengan parameter log 2 dan log 0,1 dan Gamma dengan parameter r 2 dan 1, sepert pada gambar 6 dan gambar 7. Tabel 3. Nla AIC dar Smulas Ketga 1 257,1 36,6 244, ,2 30,3 79, ,3 17,7 106, ,7 24,0 228, ,5 20,9 235, ,7 20,9 94, ,7 20,9 124, ,4 20,9 165, ,6 20,9 199, ,3 20,9 97,7 Rata-rata 272,6 23,4 157,7 Smulas ketga menghaslkan model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl dan menjad pembentuk model terbak dengan nla 23,4 sepert dsajkan pada tabel 3. Pada smulas keempat dlakukan pembangktan data pengaruh acak dar sebaran Lognormal dengan parameter log 2 dan log 0,2 dan Gamma dengan parameter r 2 dan 0,5, sepert pada gambar 8 dan gambar 9. Gambar 8. Grafk Sebaran LOGN(2, 0,2) Gambar 9. Grafk Sebaran Gamma(2, 0,5) Gambar 6. Grafk Sebaran LOGN(2, 0,1) Hasl smulas keempat, tabel 4, menunjukkan model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal mash tetap memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl 713

5 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakultas Sans dan Matematka, UKSW Salatga, 21 Jun 2014, Vol 5, No.1, ISSN : dan menjad pembentuk model terbak dengan nla 33,6. Tabel 4. Nla AIC dar Smulas Keempat 1 261,8 39,7 100, ,0 14,5 20, ,1 92,9 68, ,6 20,9 36, ,5 20,9 216, ,5 33,5 45, ,8 33,4 17, ,5 11,3 240, ,3 39,1 67, ,0 30,3 27,2 Rata-rata 267,6 33,6 84,2 Pada smulas kelma dlakukan pembangktan data pengaruh acak dar sebaran Lognormal dengan parameter log 2 dan log 0,5 dan Gamma dengan parameter r 2 dan 0,25, sepert pada gambar 10 dan gambar 11. Gambar 10. Grafk Sebaran LOGN(2, 0,5) 6 230,6 24,1 11, ,1 80,3 17, ,9 80,3 20, ,6 14,5 17, ,0 36,6 17,7 Rata-rata 263,1 40,5 24,0 Pada proses pembangktan data selanjutnya dlakukan penambahan sampel menjad n Pada smulas n parameter yang dgunakan besarannya sama sepert pada proses pembangktan data untuk n 100 untuk setap smulas. Pada smulas pertama untuk n 1000 dengan 10 kal perulangan, tabel 6, menunjukkan bahwa model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl dengan nla rata-rata 56,2. Sehngga model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal merupakan model yang terbak. Tabel 6. Nla AIC dar Smulas Pertama ,6 63, , ,8 63, , ,4 57, , ,6 45, , ,2 44, , ,9 57, , ,4 66, , ,9 50, , ,5 60, , ,9 53, ,9 Rata-rata 2.687,3 56, ,9 Gambar 11. Grafk Sebaran Gamma(2, 0,25) Namun, pada smulas kelma, model data respon berganda berulang dar sebaran Gamma memberkan nla rata-rata AIC terkecl dan menjad pembentuk model terbak dengan nla rata-rata AIC sebesar 24,0 sepert dsajkan pada tabel 5. Tabel 5. Nla AIC dar Smulas Kelma 1 276,4 14,5 30, ,5 27,2 17, ,0 45,9 81, ,3 54,0 14, ,6 27,2 11,2 714 Tabel 7. Nla AIC dar Smulas Kedua ,1 53, , ,3 44, , ,8 208, , ,0 208, , ,2 60, , ,9 138, , ,8 222, , ,3 76, , ,8 50, , ,4 50, ,9 Rata-rata 2.655,7 111, ,6 Kemudan pada smulas kedua dperoleh bahwa model data respon berganda berulang

6 Prosdng Semnar Nasonal Sans dan Penddkan Sans IX, Fakultas Sans dan Matematka, UKSW Salatga, 21 Jun 2014, Vol 5, No.1, ISSN : dar sebaran Lognormal mash memberkan nla AIC yang terkecl nla rata-rata AIC sebesar 111,4 sepert dsajkan pada tabel 7 d atas. Akbatnya, sebaran Lognormal menjad pembentuk model terbak. Pada smulas ketga, sepert pada tabel 8, menunjukkan bahwa model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl dengan nla sebesar 51,0. Tabel 8. Nla AIC dar Smulas Ketga ,6 66, , ,1 47, , ,8 47, , ,0 53,9 602, ,9 31, , ,2 40, , ,3 57, , ,6 63, , ,9 60, , ,7 41, ,0 Rata-rata 2.595,4 51, ,6 Berkutnya, smulas keempat menunjukkan bahwa model data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal memberkan nla AIC yang terkecl dan menjad pembentuk model terbak dengan nla rata-rata AIC sebesar 59,6. Tabel 9. Nla AIC dar Smulas Keempat ,3 73,3 41, ,2 133,8 639, ,0 63,6 748, ,4 66,8 237, ,4 18,1 666, ,5 24,7 315, ,7 122,4 318, ,8 47, , ,1 27, , ,7 18, ,9 Rata-rata 2.565,2 59, ,5 Akan tetap, pada smulas kelma, model data respon berganda berulang dar sebaran Gamma memberkan nla rata-rata AIC yang terkecl. Dengan demkan, sebaran Gamma menjad pembentuk model terbak dengan nla rata-rata AIC sebesar 44,0 sepert dsajkan pada tabel 10. Tabel 10. Nla AIC dar Smulas Kelma ,5 11,4 21, ,7 11,4 11, ,5 14,7 86, ,7 57,1 98, ,8 57,1 133, ,3 37,7 11, ,3 89,2 11, ,2 127,5 11, ,2 206,4 11, ,9 18,1 408,9 Rata-rata 2.699,4 68,1 44,0 KESIMPULAN Data respon berganda berulang dar sebaran Lognormal selalu menghaslkan AIC yang lebh kecl dbandngkan dar sebaran Normal Baku dan Gamma. Namun, pada sebaran Gamma yang ekornya tdak panjang, memberkan nla AIC yang lebh kecl dbandngkan dengan sebaran Lognormal. Data respon berganda berulang dar sebaran Normal, selalu menghaslkan nla rata-rata AIC yang lebh besar dbandngkan dar sebaran Lognormal dan Gamma bak yang ekornya panjang maupun yang tdak panjang. Haslnya juga sama ketka sampelnya dtngkatkan dar 100 menjad Peneltan n mash dbatas pada satu ttk waktu saja. Oleh karena tu, peneltan berkutnya dsarankan pada lebh dar satu ttk waktu. DAFTAR PUSTAKA [1] T. Suesse and I. Lu, Modellng Strateges for Repeated Multple Response Data, Centre for Statstcal & Survey Methodolog, Workng Paper Seres Researh Onlne, Unversty of Wollonggong, [2] A. Agrest and I. M. Lu, Modelng a categorcal varable allowng arbtrarly many category choces, Bometrcs, 55(3), pp , [3] T. Suesse and I. Lu, Modellng Strateges for Repeated Multple Response Data, Internatonal Statstcal Revew, John Wley & Son, USA, [4] Jang, J.,Lnear and Generalzed Lnear Mxed Models and Ther Applcatons. Sprnger Seres n Statstcs, New York, [5] Searle S.R., Casella G., and McCulloch C.E.,Varance Component. New York, John Wley and Sons [6] Agrest, A.,Categorcal Data Analyss, 2nd Ed. Wley Interscence, New York, 2002.