Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO BAB PERHITUNGAN NUMERIK. Kesalahan error Pada Penelesaan Numerk Penelesaan secara numers dar suatu persamaan matemats kadang-kadang hana memberkan nla perkraan ang mendekat nla ang benar eksak darpada penelesaan analts, sehngga dalam penelesaan numerk tersebut terdapat kesalahan terhadap nla eksak, ada tga macam kesalahan atu: Kesalahan bawaan Kesalahan dar nla data, hal n terad karena kesalahan dalam mencatat data, salah membaca skala atau kurang mengert mengena hukum-hukum sk dar data ang dukur. Kesalahan pembulatan Karena tdak dperhtungkanna beberapa angka terakhr dar suatu blangan, hal n terad bla blangan perkraan dgunakan untuk menggantkan blangan eksak, contoh: 7578 dapat dbulatkan menad 75000.,857 dapat dbulatkan menad,. Kesalahan pemotongan Karena tdak dlakukanna htungan sesua dengan prosedur matematk ang benar msalna suatu proses tak terhngga dgant dengan proses berhngga, padahal d matematka, suatu ungs dapat drepresentaskan dalam bentuk deret tak terhngga, msalna: e!!! Nla eksak dar e ddapat bla semua suku dar deret tersebut dperhtungkan.. Kesalahan Absolut dan Relat Hubungan antara nla eksak, nla perkraan dan kesalahan dapat drepresentaskan dalam bentuk berkut: p p * E e dengan: p nla eksak. p * nla perkraan. E e kesalahan terhadap nla eksak. Indeks e adalah kesalahan dbandngkan nla eksak, sehngga dapat dsmpulkan bahwa kesalahan adalah perbedaan antara nla eksak dan nla perkraan, atu: E e p p *. Persamaan n dsebut uga kesalahan absolut, karena tdak menunukkan besarna tngkat kesalahan. Sebaga contoh, kesalahan satu cm pada pengukuran panang pena, Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO akan sangat terasa dbandngkan dengan kesalahan ang sama nlana pada pengukuran panang embatan. Sedang kesalahan relat, atu besarna tngkat kesalahan dengan membandngkan kesalahan ang terad dengan nla eksak. E e ε e. p dengan ε e adalah kesalahan relat terhadap nla eksak. Kesalahan relat serng dberkan dalam bentuk persen sepert berkut n: E ε e e 00 %. p Dalam metode numerk, basana nla eksak tdak dketahu, untuk tu kesalahan dnatakan berdasarkan nla perkraan terbak dar nla eksak, sehngga kesalahan mempuna bentuk berkut: E ε a a 00 %. p dengan: p * nla perkraan terbak. E a kesalahan terhadap nla perkraan terbak. Indeks a menunukkan kesalahan dbandngkan terhadap nla perkraan appromate value. Pada metode numerk, serng dlakukan pendekatan secara terat, pada pendekatan tersebut perkraan sekarang dbuat berdasarkan perkraan sebelumna. Dalam hal n, kesalahan adalah perbedaan antara perkraan sebelumna dengan perkraan sekarang, dan kesalahan relat dberkan dalam bentuk berkut: n n p p ε a 00 %.5 n p dengan: n p nla perkraan pada teras ke n. n Contoh soal: p nla perkraan pada teras ke n. Pengukuran panang embatan dan pensl memberkan hasl 9999 cm dan 9 cm. Apabla panang ang benar eksak berturut-turut adalah 0.000 cm dan 0 cm, htung kesalahan absolut dan relat. Penelesaan: a. Kesalahan absolut: - Jembatan: E e 0.000 9999 cm. - Pensl: E e 0 9 cm. E b. Kesalahan relat: - Jembatan: ε e e 00 % 00 % 0,0 %. p 0. 000 - Pensl: ε e 0 00 % 0 %. Nampak bahwa pada kesalahan absolut keduana bernla sama, akan tetap kesalahan relat pada pensl auh lebh besar, sehngga dapat dsmpulkan bahwa Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO pengukuran embatan memberkan hasl ang bak memuaskan, sementara hasl pengukuran pensl tdak memuaskan. Htung kesalahan ang terad dar nla e dengan 0,5. Apabla hana dperhtungkan beberapa suku pertama saa. Nla eksak dar e 0,5,6877. Penelesaan: Untuk menunukkan pengaruhna, ang dperhtungkan hana beberapa suku pertama saa dar deret terhadap besarna kesalahan pemotongan, maka htungan dlakukan untuk beberapa keadaan. Keadaan pertama apabla hana dperhtungkan satu suku pertama, keadaan kedua hana dua suku pertama, dan seterusna sampa memperhtungkan 6 suku pertama. Nla e dapat dhtung berdasarkan deret berkut n. e!!! a Dperhtungkan satu suku pertama: e Kesalahan relat terhadap nla eksak dhtung dengan persamaan sebaga berkut: E ε e e 6877, 00 % 00 % 9,5 %. p, 6877 b Dperhtungkan dua suku pertama: e Untuk 0,5 maka: e 0,5 0,5,5. Kesalahan relat terhadap nla eksak adalah: 6877, 5, ε e 00 % 9,0 %. 6877, Kesalahan berdasarkan perkraan terbak dhtung dengan persamaan.: ε a E a 5, 00 % 00 %, %., 5 p c Dperhtungkan tga suku pertama: e 0, 5 0,5,65.!,6877,65 ε e 00 %, %.,6877 E ε a a,65,5 00 % 00 % 7,69 %., 65 p Htungan dlanutkan dengan memperhtungkan sampa 6 suku pertama, dan haslna dberkan pada Tabel.. Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO Tabel.. Hasl htungan kesalahan Suku Hasl ε e % ε a % 9, -,5 9,0,,65, 7,69,658 0,75,7 5,687500 0,07 0,58 6,6869797 0,00 0,058. Deret Talor Deret Talor merupakan dasar untuk menelesakan masalah dalam metode numerk, terutama penelesaan persamaan derensal. Persamaan deret Talor Bla suatu ungs dketahu d ttk dan semua turunan dar terhadap dketahu pada ttk tersebut, maka dengan deret Talor persamaan.6 dapat dnatakan nla pada ttk ang terletak pada arak dar ttk. n n!! n! R n.6 dengan: ungs d ttk. ungs d ttk.,,, n turunan pertama, kedua,..., ke n dar ungs. langkah ruang, atu arak antara dan. R n kesalahan pemotongan.! operator aktoral, msalkan bentuk! ;!. Gambar.. Perkraan suatu ungs dengan deret Talor Kesalahan pemotongan R n dberkan oleh bentuk berkut: R n n n n! n n Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 5 n.7! Persamaan.6 ang mempuna suku sebanak tak berhngga akan memberkan perkraan nla suatu ungs sesua dengan penelesaan eksakna, dalam praktekna sult memperhtungkan semua suku tersebut dan basana hana dperhtungkan beberapa suku pertama saa.
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO a Memperhtungkan satu suku pertama order nol Bla ang dperhtungkan hana satu suku pertama dar ruas kanan, maka dapat dtuls sebaga berkut:.8 Persamaan n dsebut uga sebaga perkraan order nol, nla pada ttk sama dengan nla pada, perkraan tersebut adalah benar ka ungs ang dperkrakan adalah suatu konstan, ka ungs tdak konstan, maka harus dperhtungkan suku-suku berkutna dar deret Talor. b Memperhtungkan dua suku pertama order Bentuk deret Talor order satu, ang memperhtungkan dua suku pertama, dapat dtuls dalam bentuk:.9! ang merupakan bentuk persamaan lner gars lurus. c Memperhtungkan tga suku pertama order Deret Talor ang memperhtungkan tga suku pertama dar ruas kanan dapat dtuls menad:.0!! persamaan n dsebut uga perkraan order dua. Kesalahan pemotongan truncaton error Adana kesalahan karena tdak dperhtungkanna suku-suku terakhr dar deret Talor. Pada deret Talor akan memberkan perkraan suatu ungs dengan benar ka semua suku dar deret tersebut dperhtungkan, dalam praktekna hana beberapa suku pertama saa ang dperhtungkan sehngga hasl perkraan tdak tepat sepert pada penelesaan analtk. Bentuk kesalahan pemotongan truncaton error,r n sebaga berkut: R n O n Indeks n menunukkan bahwa deret ang dperhtungkan adalah sampa pada suku ke n, sedang n menunukkan bahwa kesalahan pemotongan mempuna order n. Notas O n berart bahwa kesalahan pemotongan mempuna order n, atau kesalahan sebandng dengan langkah ruang pangkat n, sehngga kesalahan pemotongan tersebut adalah kecl apabla: a Interval adalah kecl. b Memperhtungkan lebh banak suku dar deret Talor. Pada perkraan order satu, besarna kesalahan pemotongan adalah: O.!! Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 6
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO. Derensal Numerk Dgunakan untuk memperkrakan bentuk derensal kontnu menad bentuk dskrt dan banak dgunakan untuk menelesakan persamaan derensal, bentuk tersebut dapat dturunkan berdasar deret Talor. Derensal turunan pertama Deret Talor pada persamaan.6 dapat dtuls dalam bentuk: atau O. ' O. Sepert nampak pada Gambar. dan persamaan., turunan pertama dar terhadap d ttk ddekat oleh kemrngan gars ang melalu ttk B, dan d ttk C,. Gambar.. Perkraan gars snggung suatu ungs Bentuk derensal dar persamaan. dsebut derensal mau order satu, karena menggunakan data pada ttk dan untuk memperhtungkan derensal, ka data ang dgunakan adalah d ttk dan, maka dsebut derensal mundur, dan deret Talor menad:.!!! atau O.5 ' O.6 Bla data ang dgunakan untuk memperkrakan derensal dar ungs adalah pada ttk dan, maka perkraanna dsebut derensal terpusat. Bla persamaan.6 dkurang dengan persamaan. ddapat: atau ' ' '''!! ''' 6 Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 7
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 8 atau O '.7 Dar persamaan.7 terlhat bahwa kesalahan pemotongan berorder, sedang pada derensal mau dan mundur berorder, untuk nterval kecl, nla kesalahan pemotongan ang berorder dua lebh kecl dar order satu, hal n menunukkan bahwa perkraan derensal terpusat lebh telt dbandngkan derensal mau atau mundur. Keadaan n uga dapat dlhat pada Gambar.. Kemrngan gars ang melalu ttk A dan C derensal terpusat hampr sama dengan kemrngan gars snggung dar ungs d ttk, dbandng dengan kemrngan gars snggung ang melalu ttk A dan B derensal mundur atau ttk B dan C derensal mau. Turunan kedua dar suatu ungs dapat dperoleh dengan menambahkan persamaan.6 dengan persamaan.: Derensal turunan kedua! ''''! '' atau '''' '' atau ' ' O.8 Bentuk derensal basa ataupun parsl dapat dubah dalam bentuk derensal numerk beda hngga. Dengan cara serupa maka dapat dturunkan derensal turunan ang lebh tngg sepert berkut n. Derensal turunan lebh tngg a Derensal turunan ketga '''.9 b Derensal turunan keempat 6 ''''.0 Bla ungs mengandung lebh dar satu varabel bebas sepert,, maka bentuk deret Talor menad: Turunan terhadap varabel lan!!!!,,.
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO Dengan cara ang sama dar persamaan ang lanna, turunan pertama terhadap varabel dan berturut-turut dapat dtuls dalam bentuk derensal mau:,,.,,. Untuk menederhanakan penulsan, selanutna bentuk, dapat dtuls menad, dengan dan menunukkan komponen dalam arah sumbu- dan sumbu-, bla ungs berada dalam sstem tga dmens sstem koordnat,, z, maka,, z k dtuls menad,, k. Maka persamaan. dan. dapat dtuls menad:,,.,,.5 Untuk derensal terpusat, bentukna menad:,,,,.6.7 Dengan cara ang sama, turunan kedua terhadap dan dapat dtuls menad:,,,.8,,,.9 Gambar., menunukkan arngan ttk htungan untuk ungs ang berada dalam sstem koordnat dan dua dmens. Gambar.. Jarngan ttk htungan dalam sstem dua dmens - Permasalahan suatu ungs selan tergantung pada ruang uga tergantung pada waktu, msalna pada alran tdak permanen sepert banr atau pasang surut dan Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 9
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO perambatan panas, dalam hal n turunan ungs,t terhadap waktu t dapat dtuls dalam bentuk: t n t n.0 Indeks n menunukkan bahwa varabel merupakan ungs waktu, pada Gambar., arngan ttk htungan ang dgunakan untuk memperkrakan derensal parsl ungs terhadap dan t. Contoh soal: Gambar.. Jarngan ttk htungan sstem ruang-waktu -t Dketahu suatu ungs 0,5 0,5 0,5 0,5. Dengan menggunakan deret Talor order nol, satu, dua, dan tga. Perkrakan ungs tersebut pada ttk, berdasar nla ungs pada ttk 0. Ttk berada pada arak dar ttk 0. Penelesaan: Karena bentuk ungs sudah dketahu, maka dapat dhtung nla antara 0 dan. Gambar.5, menunukkan ungs tersebut. Gambar.5. Perkraan ungs dengan deret Talor Untuk 0 maka 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0,5. Untuk maka 0,5 0,5 0,5 0,5,5. Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 50
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO Jad nla eksak untuk adalah,5. Apabla dgunakan deret Talor order nol, maka berdasar persamaan.8 ddapat: 0 0,5. Nampak pada Gambar.5, perkraan order nol adalah konstan, dan kesalahan pemotonganna adalah: E e p p *,5 0,5,0. Apabla dgunakan deret Talor order satu, nla dapat dhtung dengan menggunakan persamaan.9. Pertama kal dhtung turunan ungs d ttk 0. 0 0,75 0,5 0,75 0 0 0,5 0,5. Sehngga dperoleh: 0,5 0,5 0,75.! Dalam Gambar., perkraan order satu adalah gars lurus, dan kesalahan pemotonganna adalah: E e p p *,5 0,75 0,75. Bla dgunakan deret Talor order dua, nla dapat dhtung dengan menggunakan persamaan.. Dhtung turunan kedua dar ungs d ttk 0: 0,5,5 0,0. Sehngga dperoleh: Δ Δ!! 0,5 0,5,5. Dalam Gambar.5, perkraan order dua adalah gars lengkung, dan kesalahan pemotonganna adalah: E e p p *,5,5 0,5. Apabla dgunakan deret Talor order tga, persamaan.6 menad:!! Turunan ketga dar ungs adalah: 0,5.! sehngga dperoleh: 0,5 0,5,5 Kesalahan pemotonganna adalah: E e p p *,5,5 0,0.,5 Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 5
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO Terlhat bahwa dengan menggunakan deret Talor order tga, hasl penelesaan numerk sama dengan penelesaan eksak. Dketahu suatu ungs 0,5 0,5 0,5 0,5. Perkrakan turunan pertama kemrngan kurve dan turunan kedua dar persamaan tersebut d ttk 0,5 dengan menggunakan langkah ruang 0,5. Penelesaan: Secara analts turunan pertama dan kedua dar ungs adalah: 0,5 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,975. 0,5,5,5 0,5,75. Dengan 0,5 dapat dhtung nla ungs pada ttk,, dan : 0 0,5. 0,5 0,785.,0,5. Perkraan turunan pertama dengan derensal mundur: 0,5 Kesalahan terhadap nla eksak: 0,785 0,5 0,565 0,5 E ε e e 0, 975 0, 565 00 % 00 % 0 %. p 0, 975 Perkraan turunan pertama dengan derensal mau: 0, 5 Kesalahan terhadap nla eksak: 5, 0, 785, 75 0, 5 0,975,75 ε e 00 % 5, %. 0,975 Perkraan turunan pertama dengan derensal terpusat: 0, 5 Kesalahan terhadap nla eksak: 0,975,0 ε e 00 % 6,7 %. 0,975 Perkraan turunan kedua: '' 5, 0, 5 0, 0, 5 5, 0, 785 0, 5 0, 5 75, 0, 5 Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 5
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO Kesalahan terhadap nla eksak: ε e,75,75,75 00 % 0,0 %. Gambar.6, menunukkan kemrngan analts d ttk 0,5 dan perkraan turunan ungs d ttk tersebut. Gambar.6. Perkraan kemrngan ungs Jurusan Teknk Elektro ISTA Yogakarta 5