PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Ordnar Derental Equatons ODE

2 Persamaan Derensal Basa Acuan Chapra, S.C., Canale R.P., 990, Numercal Methods or Engneers, nd Ed., McGraw-Hll Book Co., New York. n Chapter 9 dan 0, hlm

3 3 Persamaan Derensal F U c v Benda bermassa m jatuh bebas dengan kecepatan v F FD FU a Hukum Newton II m m dv dt g c m v c drag coecent (kg/s) g gravtatonal acceleraton (m/s ) F D m g persamaan derensal dv suku derensal laju perubahan (rate o change) dt

4 4 Persamaan Derensal F U c v Sebuah benda jatuh bebas Jka pada saat awal benda dalam keadaan dam: v( t 0 ) 0 sarat awal (ntal condton) dv dt g c m v F D m g v gm c t [ ] ( c m) ( t) e

5 5 Persamaan Derensal dv dt dv dt C t g g c m c m C D v v 0 Persamaan derensal v varabel tak bebas (dependent varable) t varabel bebas (ndependent varable) Persamaan derensal basa (ordnar derental equatons, ODE) hana terdr dar satu varabel bebas Persamaan derensal parsal (partal derental equatons, PDE) terdr dar dua atau lebh varabel bebas

6 6 dv dt Persamaan Derensal g d m dt c m v d c k 0 dt Persamaan derensal tngkat (order) tertngg suku dervat Persamaan derensal tngkat- suku dervat bertngkat- Persamaan derensal tngkat- suku dervat bertngkat-

7 7 Persamaan Derensal Basa Beberapa contoh ODE d bdang engneerng Hukum Newton II ttg gerak dv dt F m Hukum Fourer ttg panas Heat lu dt k d Hukum Fck ttg dus dc Mass lu D d

8 8 Persamaan Derensal Basa dketahu: ungs polnomal tngkat d-derensal-kan d dperoleh: ODE d

9 9 Persamaan Derensal Basa d d Y 3 d d X X

10 0 Persamaan Derensal Basa d dketahu: ODE d d-ntegral-kan ungs asal 3 ( 0 8.5) d 8.5 C C dsebut konstanta ntegras

11 d d Persamaan Derensal Basa d d Y C C X X

12 Persamaan Derensal Basa C Hasl dar ntegras adalah sejumlah tak berhngga polnomal. Penelesaan ang unque (tunggal, satu-satuna) dperoleh dengan menerapkan suatu sarat, atu pada ttk awal 0, à n dsebut dengan stlah sarat awal (ntal condton). Sarat awal tersebut menghaslkan C

13 Persamaan Derensal Basa 3 Sarat awal (ntal condton) mencermnkan keadaan sebenarna, memlk art sk pada persamaan derensal tngkat n, maka dbutuhkan sejumlah n sarat awal Sarat batas (boundar condtons) sarat ang harus dpenuh tdak hana d satu ttk d awal saja, namun juga d ttk-ttk lan atau d beberapa nla varabel bebas ang lan

14 Persamaan Derensal Basa 4 Metode penelesaan ODE Metode Euler Metode Heun Metode Euler Modkas (Metode Polgon) Metode Runge-Kutta

15 5 Penelesaan ODE Metode Euler

16 6 Metode Satu Langkah step sze h slope φ φ h Dkenal pula sebaga metode satu langkah (one-step method) Persamaan: new value old value slope step sze Dalam bahasa matematka: φh jad, slope atau graden φ dpaka untuk meng-ekstrapolas-kan nla lama ke nla baru dalam selang h

17 7 Metode Satu Langkah φh Semua metode satu langkah dapat dnatakan dalam persamaan tsb. slope φ φ h Perbedaan antara satu metode dengan metode ang lan dalam metode satu langkah n adalah perbedaan dalam menetapkan atau memperkrakan slope φ. Salah satu metode satu langkah adalah Metode Euler. step sze h

18 8 Metode Euler Dalam Metode Euler, slope d dperkrakan dengan dervat pertama d ttk (, ). Metode Euler dkenal pula dengan nama Metode Euler-Cauch. Jad nla baru dperkrakan berdasarkan slope, sama dengan dervat pertama d ttk, untuk mengekstrapolaskan nla lama secara lnear dalam selang h ke nla baru. φ ( ) d, d, (, )h

19 9 Metode Euler Pakalah Metode Euler untuk mengntegralkan ODE d bawah n, dar 0 s.d. 4 dengan selang langkah h 0.5: d 3 (, ) d Sarat awal ang dterapkan pada ODE tsb adalah bahwa d ttk 0, Ingat, penelesaan eksak ODE d atas adalah:

20 0 Metode Euler Selang ke-, dar 0 0 s.d. 0 h 0.5: 3, ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 5 0 ( 0, 0 ) h 8.5( 0.5) 5. 5 Nla sesungguhna dar penelesaan eksak: ( 0.5) 4( 0.5) 0( 0.5) 8.5( 0.5) Error, atu selsh antara nla sesungguhna dan estmas: E atau % t ε t

21 Metode Euler (eksak) (Euler) ε t % % % % % % % % Y Euler Eksak X 0 3 4

22 Metode Euler Error atau kesalahan terdr dar dua aspek Truncaton or dscretzaton errors (kesalahan pemotongan) ang dsebabkan oleh teknk penelesaan dalam mengestmaskan nla. n local truncaton error, atu kesalahan pada satu langkah n propagated truncaton error, atu kesalahan-kesalahan pada langkahlangkah terdahulu Round-o errors ang dsebabkan oleh keterbatasan jumlah dgt dalam htungan atau jumlah dgt dalam alat htung (kalkulator, komputer).

23 Metode Euler 3 Deret Talor ( ) d d, ʹ ( ) n n n R h n h h ʹ ʹ ʹ!... ( ) ( ) ( )!, ξ n n n h n R h ξ adalah sembarang ttk d antara dan. Deret Talor dapat pula dtulskan dalam bentuk lan sbb. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!,...,, ʹ n n n h O h n h h O(h n ) menatakan bahwa local truncaton error adalah proporsonal terhadap selang jarak dpangkatkan (n).

24 4 Metode Euler (, ) ʹ ( n ( ) ), (, ) n n h... h O( h ) h n! Euler Error, E t true local truncaton error o the Euler Method (E t ) untuk selang h kecl, error mengecl serng dengan penngkatan tngkat error E t dapat ddekat dengan E a E t (, ) ʹ Ea h atau E a O( h )

25 5 Metode Euler 3 (, ) Htunglah error ang terjad (E t ) pada penelesaan ODE tersebut; htunglah komponen error setap suku pada persamaan E t. Selesakan ODE tersebut dengan memaka h 0.5; bandngkan dengan penelesaan sebelumna; bandngkan juga error ang terjad. Baca buku acuan pada hlm untuk membantu Sdr dalam membuat dskus hasl htungan Sdr.

26 6 Metode Euler Error pada Metode Euler dapat dhtung dengan memanaatkan Deret Talor Keterbatasan Deret Talor hana memberkan perkraan/estmas local truncaton error, atu error ang tmbul pada satu langkah htungan Metode Euler, bukan propagated truncaton error. Hana mudah dpaka apabla ODE berupa ungs polnomal sederhana ang mudah untuk d-derensal-kan, (,) mudah dcar. Perbakan Metode Euler, memperkecl error Pakalah selang h kecl. Metode Euler tdak memlk error apabla ODE berupa ungs lnear.

27 7 Penelesaan ODE Metode Heun

28 8 Metode Heun slope φ 0 φ slope φ slope φ 0 step sze h Slope d selang antara dan d dtetapkan sebaga nla rata-rata slope d awal dan d akhr selang, atu d dan d : ( ) ʹ, 0 (, )h Euler à sebaga predktor ʹ 0 ( ) 0 ʹ (, ) (, ), ʹ ʹ 0 (, ) (, ) h à sebaga korektor

29 9 Metode Heun Pakalah Metode Heun untuk mengntegralkan ODE d bawah n, dar 0 s.d. 4 dengan selang langkah h d 0. ʹ 4e d Sarat awal ang dterapkan pada ODE tsb adalah bahwa pada 0, Penelesaan eksak ODE tsb ang dperoleh dar kalkulus adalah: ( e e ) e 4

30 30 Metode Heun Selang ke-, dar 0 0 s.d. 0 h : 0.8( 0) (, ) ( 0,) 4 e [ ] 0.5( ) ( ) 3( ) 5 0, h slope d ttk ujung awal, ( 0, 0 ) predktor 0 0.8( ) (, ) (,5) 4[ e ] 0.5( 5) ʹ ( ) ʹ h korektor slope d ttk ujung akhr, (, ) slope rata-rata selang ke-

31 3 Metode Heun (eksak) (, ) awal (predktor) (, ) akhr (, ) rerata (korektor) ε t % % % %

32 3 Metode Heun 90 Y Heun Eksak X

33 Metode Heun 33 Metode Heun dapat dterapkan secara terat pada saat menghtung slope d ujung akhr selang dan nla korektor nla korektor pertama dhtung berdasarkan nla predktor 0 (, ) (, ) h nla korektor tersebut dpaka sebaga nla predktor htung kembal nla korektor ang baru ulang kedua langkah terakhr tersebut beberapa kal 0 (, ) (, ) h Perlu dcatat bahwa error belum tentu selalu berkurang pada setap langkah teras teras tdak selalu konvergen

34 34 Metode Heun Iteras kedua pada selang ke-, dar 0 0 s.d. 0 h : 0 ( ) old predktor korektor (lama) 0 (, ) (, ) slope d ttk ujung akhr, (, ) 0.8( ) 4[ e ] 0.5( ) ʹ slope rata-rata selang ke- ʹ h korektor 0 ( ) 7584 Iteras d atas dapat dlakukan beberapa kal

35 35 Penelesaan ODE Metode Polgon (Moded Euler Method)

36 36 Metode Polgon slope φ ½ slope φ slope φ ½ ½ step sze h Slope d selang antara dan d dtetapkan sebaga nla slope d ttk tengah selang, atu d ½ : ( ) ʹ, ʹ h (, ) ( ), (, )h slope d ttk awal ekstrapolas ke ttk tengah slope d ttk tengah ekstrapolas ke ttk akhr

37 37 Metode Polgon Pakalah Metode Polgon untuk mengntegralkan ODE d bawah n, dar 0 s.d. 4 dengan selang langkah h d 0. ʹ 4e d Sarat awal ang dterapkan pada ODE tsb adalah bahwa pada 0, Ingat penelesaan eksak ODE tsb ang dperoleh dar kalkulus adalah: ( e e ) e 4

38 38 Metode Polgon Selang ke-, dar 0 0 sd 0 h : 0.8( 0) (, ) ( 0,) 4 e [ ] 0.5( ) h ( ) 3( ) , 0 [ ] ( ) ( ) 0.8( 0.5), ( 0.5,3.5 ) 4 e ( ), h 4.73( ) slope d ttk ujung awal, ( 0, 0 ) ttk tengah ½ slope d ttk tengah, ( ½, ½ ) ekstrapolaskan 0 ke

39 39 Metode Polgon (eksak) (, ) ½ ½ ( ½, ½ ) ε t % % % %

40 40 Metode Polgon 90 Y Polgon Eksak X

41 4 Penelesaan ODE Metode Runge-Kutta

42 Metode Runge-Kutta 4 Metode Euler kurang telt keteltan lebh bak dperoleh dengan cara memaka pas kecl atau memaka suku-suku dervat berorde lebh tngg pada Deret Talor Metode Runge-Kutta lebh telt darpada Metode Euler tanpa memerlukan suku dervat

43 43 Metode Runge-Kutta Bentuk umum penelesaan ODE dengan Metode Runge-Kutta adalah: φ(,, h)h (, h), Fungs φ dapat dtulskan dalam bentuk umum sbb: φ adalah ncrement uncton ang dapat dnterpretaskan sebaga slope atau graden ungs pada selang antara s.d. φ a k a k... a k n n a adalah konstanta dan k adalah: k (, ) k ( ph, qkh) k ( p h, q k h q k h) setap k salng terhubung dengan k ang lan à k muncul pada pers k dan k muncul pada pers k 3 dst. k 3 n ( p h, q k h q k h... q k h) n n, n, n, n n

44 44 Metode Runge-Kutta Terdapat beberapa jens Metode Runge-Kutta ang dbedakan dar jumlah suku pada persamaan untuk menghtung k: RK tngkat- (rst-order RK): n RK tngkat- (second-order RK): n RK tngkat-3 (thrd-order RK): n 3 RK tngkat-4 (ourth-order RK): n 4 Order o magntude kesalahan penelesaan Metode RK tngkat n: local truncaton error O(h n ) global truncaton error O(h n ) φ φ(,, h) h (,, h) ak ak... ankn

45 Second-order Runge-Kutta Method 45 ( )h a k a k ( ) ( ) h k q p h k k,, a, a, p, q unknowns à perlu 4 persamaan Deret Talor ( ) ( ),, h h ʹ ( ) d d, ʹ ( ) d d, h h Bentuk umum persamaan penelesaan ODE dengan nd-order RK

46 46 Second-order Runge-Kutta Method Ingat, Deret Talor untuk ungs ang memlk varabel g g g( r, s) g(, ) r s... Bentuk d atas dterapkan pada persamaan k k! ( p h, q k h) ( ) p h q k h O( h ), Bentuk umum penelesaan ODE metode nd-order RK menjad: a h (, ) a h (, ) a p h a q h (, ) a (, ) a (, ) ( ) h a p a q, ( ) O h3 ( ) h O h 3

47 Second-order Runge-Kutta Method 47 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3,,, h O h q a p a h a a Bandngkan persamaan d atas dengan persamaan semula Agar kedua persamaan d atas ekuvalen, maka: ( ) d d, h h q a p a a a Karena hana ada 3 persamaan untuk 4 unknowns, maka nla salah satu varabel harus dtetapkan. Msalkan nla a dtetapkan, maka a, p, dan q dapat dhtung.

48 48 Second-order Runge-Kutta Method Jka a dtetapkan, maka: a a a a q p a p a Karena ada sejumlah tak berhngga nla a, maka terdapat pula sejumlah tak berhngga q nd-order RK methods. a Setap vers nd-order RK akan memberkan hasl ang perss sama jka ungs penelesaan ODE ang dcar adalah ungs kuadrat, lnear, atau konstanta.

49 Second-order Runge-Kutta Method 49 Metode Heun dengan korektor tunggal Metode polgon ang dperbak (mproved polgon method) Metode Ralston, q p a a ( )h k k, 0 q p a a ( ) ( ),, hk h k k ( )h k k 3 3 h k ( ) ( ),, hk h k k , q p a a ( ) ( ) ,, hk h k k

50 50 Second-order Runge-Kutta Method Pakalah berbaga nd-order RK methods untuk mengntegralkan ODE d bawah n, dar 0 s.d. 4 dengan selang langkah h 0.5: d d 3 (, ) Sarat awal ang dterapkan pada ODE tsb adalah bahwa d ttk 0, Bandngkan hasl-hasl penelesaan dengan berbaga metode RK tsb.

51 Second-order Runge-Kutta Method 5 Sngle-corrector Heun (eksak) k k φ ε t % % % % % % % % %

52 Second-order Runge-Kutta Method 5 Improved Polgon (eksak) k k φ ε t % % % % % % % % %

53 Second-order Runge-Kutta Method 53 Second-order Ralston Runge-Kutta (eksak) k k φ ε t % % % % % % % % %

54 54 Second-order Runge-Kutta Method 6 Y X Eact Heun Improved Polgon Ralston

55 55 Thrd-order Runge-Kutta Method Persamaan penelesaan ODE 3rd-order RK methods: [ 6 ( k 4 k k3 )]h k (, ) k h, hk Catatan: k 3 ( ) ( h, hk hk ) Jka dervat berupa ungs saja, maka 3rd-order RK sama dengan persamaan Metode Smpson ⅓

56 Thrd-order Runge-Kutta Method 56 Thrd-order Runge-Kutta (eksak) k k k 3 φ ε t % % % % % % % % %

57 57 Fourth-order Runge-Kutta Method Persamaan penelesaan ODE 4th-order RK methods: [ 6 ( k k k3 k4 )]h k (, ) k h, k k 3 4 ( hk ) ( h, hk ) ( h, hk ) 3 Catatan: Jka dervat berupa ungs saja, maka 4th-order RK sama dengan persamaan Metode Smpson ⅓

58 Fourth-order Runge-Kutta Method 58 Fourth-order Runge-Kutta (eksak) k k k 3 k 4 φ ε t % % % % % % % % %

59 59 3rd- and 4th-order Runge-Kutta Methods Pakalah 3rd-order dan 4th-order RK methods untuk mengntegralkan ODE d bawah n, dar 0 s.d. 4 dengan selang langkah h 0.5: d d 3 (, ) Sarat awal ang dterapkan pada ODE tsb adalah bahwa d ttk 0,

60 3rd- and 4th-order Runge-Kutta Methods 60 Node Eact Soluton Thrd-order RK Fourth-order RK ε t ε t % 0.0% % % % 3 0.0% % % 4 0.0% 0.0% % % % 4 0.0% % % % 3 0.0%

61 6