BAB III SKEMA NUMERIK

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB III SKEMA NUMERIK"

Yuliani Sugiarto
9 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB III SKEMA NUMERIK Pada bab n, akan dbahas penusunan skema numerk dengan menggunakan metoda beda hngga Forward-Tme dan Centre-Space. Pertama kta elaskan operator beda hngga dan memberkan beberapa sfatna, ang akan dgunakan untuk menkonstruks dan menganalsa skema numerk beda hngga. Pada makalah n, penuls akan membahas penusunan skema numerk FTCS hana pada persamaan fkdv. Sedangkan bentuk persamaan KdV, skema numerk uga dapat dgunakan dengan memberkan nla nol pada F. Penusunan n dlakukan secara bertahap. Tahap pertama, melakukan penskalaan fss pada persamaan fkdv. Kemudan, pada tahap kedua, mencar dan menggantkan sukusuku turunan fkdv dengan hampran deret talor. Hal n dlakukan untuk membentuk sstem persamaan lner ang mempuna matrks koefsen ang bernla domnan pada elemen dagonalna. Sebelum kta mancapa tahap n, kta telah mengetahu bahwa persamaan (.4) adalah persamaan ang bergantung pada dua varabel, atu x dan t. Oleh karena tu, untuk menghtung hampran nla solus persamaan (.4), kta perlu mendskrtkan bdang x t terlebh dahulu, dmana x menatakan doman space dan t menatakan doman tme.

2 ..Skala Persamaan fkdv merupakan model hampran gelombang ang merambat pada permukaan ar dangkal, dengan panang gelombang ang sangat panang dan ampltudo ang kecl dbandngkan kedalamnna. Akbatna, persamaan fkdv ang dberkan dlakukan penskalaan dengan tuuan agar dapat dselesakan secara numerk dengan cara mengalkan suatu besaran tak berdmens pada varabel x,t dan u. Sehngga kta peroleh bentuk skala umum ang akan dgunakan adalah u ξ α x,, τ γ t (.) β dmana α, γ bergantung pada β. Kta substtuskan (.) kedalam persamaan (.), dengan langkah-langkah penurunan sebaga berkut Penurunan penskalaan persamaan fkdv dberkan sebaga berkut. u u τ Suku pertama :.. βγ. t τ t τ atau u t β γ τ u u Suku kedua :.. αβ. atau ux αβ ξ Suku ketga : u u. αβ. atau uu. x αβ. ξ Suku keempat : u u x x x x ξ αβ dengan memsalkan A dan A B,maka ξ

3 u A A ξ A αβ αβ. α β u B B α β α β. α β Bla hasl penskalaan suku keempat datas dsubsttuskan kembal dar A ke B, maka kta dapatkan turunan ketgana adalah Suku kelma : u α β atau uxxx ( ) F( x F ξ ) ξ ( α ) F x. α. α β ξξξ Setelah mendapatkan suku-suku fkdv ang dskalakan, persamaan (.4) dapat dnatakan sebaga ξ ω α. 6 αβ. α +. α F ( ) τ ξ ξ ξξξ ξ γ γ γ βγ α (.) Dengan model ang terskalakan datas, kta dapat mengamat perlaku fss gelombang solter ang terskalakan dengan lebar gelombang ang dsusutkan dan perambatan gelombang dperlambat, agar lebh mudah damat pergerakan fss ang dperoleh nant secara numerk.

4 ..Skema Numerk fkdv Kta tnau selang terbatas [ ab, ] sebaga doman space bag gelombang permukaan. Perhatkan pada gambar., selang pada doman ruang ( ξ ) kta parts sama panang dengan lebar selang parts sebesar Δ ξ, dengan ttk-ttk ξ a ξ, 0,..., n + Δ. Sedangkan varabel kedua, atu doman waktu ( ) menatakan waktu perambatan gelombang. Varabel n bernla τ 0, sama halna dengan selang pada sumbu-ξ, selang pada sumbu-τ n uga dparts dengan lebar selang Δ τ dengan ttk-ttk parts τ Δ τ, 0,..., max. τ, τ Δ τ Δ τ Δ ξ Δ ξ Gambar. pendskrtan doman ξ τ ξ Setelah mendskrtkan bdang ξ τ, kta dapat menuls ( ξ, τ ) untuk menatakan nla d ttk ξ pada waktu teras ke-. Saat τ 0 dberkan sarat awal berupa suatu fungs ang hana bergantung pada fungs x. D uung kr ξ a

5 dan d uung kanan ξ b dtetapkan 0 dan 0 untuk setap N+ N+ teras waktu. Selanutna persamaan (.) ddskrtkan menggunakan metode beda hngga. Pada bagan n durakan prosedur untuk menelesakan persamaan (.) menggunakan metoda beda hngga Forward-Tme dan Central-Space. Akan tetap, pemlhan dskrtsas n belum cukup menelesakan persamaan (.). Kestablan merupakan salah satu masalah ang harus dhadap. Masalah n dapat dselesakan dengan membentuk persamaan beda mplst. Untuk mendapatkanna, nla turunan terhadap ξ dhampr menggunakan rata-rata dua tngkat. Adana turunan ketga pada persamaan (.) uga merupakan kesultan ang harus datas. Hasl perhtungan teramat bahwa matrks ang terbentuk dar persamaan mplst mempuna elemen dagonal ang sangat kecl dbandngkan elemen ang lanna, sehngga kekonvergenan teras tdak tercapa. Untuk mengatasna, fkdv dturunkan terhadap ξ, menad ω α 6. αβ.( ). α f ξ τξ + ξξ ξξ ξξξξ ξξ γ γ γ βγ α (.) Sampa dsn pendskrtan persamaan dapat dlakukan dengan menggunakan hampran ang dturunkan dengan menggunakan deret talor. Dalam proses pendskrtan n, kta hampr suku τξ dengan metode beda pusat untuk space dan mau untuk tme, atu

6 ξ Δ ξ + (.4) dan τ Δ τ + (.5) Bla pada persamaan datas dsubsttuskan dar (.4) ke (.5) dengan (.5), maka kta dapatkan ξ pada ( ξ) τ + ( ξ) ( ξ) (.6) Sedangkan untuk suku, secara mplst ξξ ξξξξ dhampr dengan metode beda pusat untuk space + + ξξ + Δ ξ Δ ξ (.7) ξξξξ + Δ ξ Δ ξ (.8) Dmana Δ ξ dan Δ τ merupakan lebar selang dskrtsas ruang dan waktu. Sedangkan varabel ang ada pada persamaan KdV dnatakan sebaga ξ Δ ξ, τ Δ τ dan ( ξ, τ ) untuk, berupa blangan bulat. Sedangkan untuk mengatas suku tak lnear pada persamaan (.) n, pendskrtan dlakukan dengan menulskan f ( ) menggunakan dan turunanna dhampr

7 f f + f f f + f f ξξ + Δ ξ Δ ξ (.9) dengan menggunakan uraan deret talor sebaga berkut + f f f f + Δ τ + Δ τ + L (.0) τ τ Turunan f terhadap τ dengan aturan ranta adalah f. τ τ (.) Dengan aturan ranta datas, persaman deret talor dapat dtuls + +. Δ τ + Δ τ f f O ( τ ) (.) ngat bahwa τ Δ τ +. Dengan demkan, ka kta mensubsttuskan persamaan n dengan persamaan (.), maka hubungan nla rata-rata f dua tngkat dengan dperoleh dalam bentuk Atau ( ) + + f f + f + + f, (.) + oleh karena tu, akbat (.), persamaan (.9) menad f ξξ + Δ ξ (.4)

8 Sedangkan untuk beda hngga pada gaa luar adalah F ξξ F F + F Δ ξ + (.5) Sebaga lnearsas dar suku ketga pada persamaan (.) dan nla hampran (.6), (.7), (.8), (.4) dan (.5) dgunakan untuk menggantkan suku-suku persamaan (.), untuk memperoleh persamaan beda ang bersfat alabar. Sebelum mendapatkan persamaan beda, pertama kta msalkan koefsen suku kedua, ketga dan keempat ang dberkan pada (.6) dan (.7), masng-masng dengan θ, θ dan θ agar tdak merumtkan. Sehngga kta dapatkan persamaan lner berupa a + a + a + a + a b (.5) dmana, 6 θ ωα, θ αβ, θ α γ γ γ Dan a a θ 0 4 a + ( θ + θ) 4θ a ( θ + θ) 6θ a + ( θ + + θ) 4θ

9 b F + θ ( ) θ ( ) F+ F + F Dmana F Nla pada tngkat + dhtung secara bersama untuk 0,,,..., N dengan menggunakan nla pada tngkat sebelumna, sepert ang dperlhatkan pada gambar berkut n, +, + +, +,, +, Gambar. Stensl Skema Numerk Setap dar (.9) menghaslkan satu persamaan lnear dengan 5 unknown, sehngga keseluruhanna terdapat N+ persamaan dengan N+5 unknowns. Untuk mendapat bentuk tertutup dperlukan 4 persamaan tambahan. Hal n datas dengan memberkan nla 0 dan 0, sepert ang delaskan N+ N+ sebelumna. Selan menatakan batas kanan dengan batas kanan drchlet, kta bsa menggunakan ekstrapolas pada N + dan N + dengan menggunakan dua nla sebelah krna, dberkan algortma untuk memperoleh ttk ekstrapolas sebaga berkut

10 Untuk k.., N p ξ ξ + + N+- + N+ N+ q pξ + N + N+ pξ + q + N+ N+ Apabla persamaan lnear datas kta perluas terhadap ndeks dar 0 hngga N, kta peroleh bentuk perkalan matrks sebaga berkut, + a,0 a,0 a4,0 0 b 0 + a, a, a, a4, b a0, a, a, a, a + 4, b + a0, a, a, a, a4,. b O O O O O M M + a0, N a, N a, N a, N a4, N N bn + a0, N a, N a, N a, N N b N a0, N a, N a +, N N b N atau bla kta rngkas dalam bentuk notas pada matrks perkalan datas menad A. b + (.6) Sedangkan langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan lner KdV dar (.) dengan mengambl F bernla nol pada vektor ruas kanan (b). Sebaga keterangan untuk setap elemen ang memlk ndeks ( a k, ) pada matrks koefsen, menatakan bahwa ndeks k untuk urutan koefsen pada persamaan (.5), sedangkan ndeks untuk tersas terhadap space dar 0 hngga N. Sstem persamaan lnear ang kta ubah dalam bentuk perkalan matrks datas, harus

11 menghtung koefsen matrks dan menelesakan sstem persamaan penta-dagonal (.6) pada setap waktu. Secara numerk sstem persamaan tersebut dapat dselesakan dengan metode elmnsa Gauss untuk matrks penta-dagonal. Hasl perhtungan n selanutna dgunakan untuk menghtung nla pada tngkat waktu berkutna, dan begtu seterusna. Pada saat menghtung pada tngkat, persamaan (.5) memerlukan nla { 0,,,0,,,..., N, N +, N + }. Hal n dapat datas dengan memberkan gelombang awal pada daerah pengamatan. Setelah mendapatkan persamaan numerk pada persamaan (.), pada bab selanutna akan dsmulaskan penelesaan numerk ang dperoleh.

dokumen-dokumen yang mirip

BAB 4 PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 4 PERHITUNGAN NUMERIK Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO BAB PERHITUNGAN NUMERIK. Kesalahan error Pada Penelesaan Numerk Penelesaan secara numers dar suatu persamaan matemats kadang-kadang hana memberkan nla perkraan ang mendekat