JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 1, 23-32, April 2001, ISSN :

Transkripsi

1 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol 4 No 1, 3-3, Aprl 1, ISSN : KAJIAN DISKRETISASI DENGAN METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP EFISIENSI SOLSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SK KONVEKSI Suhartono dan Solkhn Zak Jurusan Matematka FMIPA NDIP Abstrak Peneltan n bertuuan menyeldk efek dskretsas dengan metode Galerkn Sem Dskret terhadap efsens solus model rambatan panas tanpa suku konveks Indkator efsens yang dukur dalam peneltan n adalah lama waktu proses komputas dan lama waktu proses komputas perlangkah Sebaga pembandng dgunakan metode Beda Hngga Permasalahan yang dtelt adalah bagamana mentranformaskan model rambatan panas tanpa suku konveks kebentuk sstem persamaan dferensal ordner dengan melakukan dskretsas pada peubah ruang dengan menggunakan metode Galerkn Sem Dskret Selanutnya sstem persamaan dferensal basa yang dperoleh dar dskretsas tersebut dntegraskan dengan menggunakan metode Runge Kutta Implst Dagonal (RKID) Hasl pengukuran menunukkan bahwa solus model rambatan panas tanpa suku konveks yang dperoleh berdasarkan dskretsas perubah ruang menggunakan metode Galerkn Sem Dskret kurang efsen ka dbandngkan dengan solus model rambatan panas tanpa suku konveks yang dperoleh dengan dskretsas perubah ruang menggunakan metode Beda Hngga Hal tersebut dapat dtunukkan berdasarkan lama waktu proses komputas dan lama waktu proses komputas perlangkah Kata Kunc : Dskretsas, Metode Galerkn Sem Dskret, model rambatan panas 1 PENDAHLAN Model rambatan panas secara matemats dapat dnyatakan dalam bentuk persamaan dferensal parsal Model tersebut serng dgunakan dalam berbaga dspln lmu, msalnya : fska, kma, bolog dan lan sebaganya Penyelesaan model rambatan panas dapat dlakukan bak secara analtk maupun secara numerk dengan bantuan komputer Penyelesaan secara analtk 3

2 Kaan Dskretsas dengan (Suhartono dan Solkhn Zak) serng lebh sult dar pada penyelesaan secara numerk Oleh karena tu, penyelesaan model rambatan panas n dlakukan secara numerk Secara numerk, salah satu metode untuk menyelesaan model rambatan panas tanpa suku konveks yang ngn dgunakan dalam kaan n adalah dengan dskretsas peubah ruang, yang dlanutkan dengan ntegras terhadap waktu Salah satu metode dskretsas perubah ruang yang dgunakan dalam kaan n adalah metode Galerkn Sem dskret (Mtchell AR,195), sedangkan untuk ntegras hasl dskretsas dgunakan metode Runge Kutta Implst Dagonal (dsngkat dengan RKID), dengan perubahan ukuran langkah ( step-sze) kuran langkah adalah panang langkah yang dgunakan oleh suatu program untuk melakukan suatu komputas Permasalahan yang akan dtelt d sn adalah bagamana mentranformaskan model rambatan panas dalam bentuk persamaan parabolk ke bentuk sstem persamaan dferensal ordner dengan melakukan dskretsas peubah ruang dengan metode Galerkn Sem Dskret Selanutnya dlakukan pengukuran terhadap ndkator efsens dengan melakukan ntegras sstem persamaan dferensal ordner yang dperoleh dar dskretsas model rambatan panas tanpa suku konveks menggunakan metode RKID dengan perubahan ukuran langkah Tuuan peneltan adalah menyeldk efek dar dskretsas dengan metode Galerkn Sem Dskret terhadap efsens solus model rambatan panas tanpa suku konveks Indkator efsens yang du dalam peneltan n adalah waktu proses (waktu yang dgunakan oleh komputer untuk menalankan suatu program) dan waktu proses perlangkah LANDASAN TEORI METODE GALERKIN SEMI DISKRET Metode Galerkn Sem Dskret adalah suatu metode dskretsas peubah ruang dar suatu persamaan dferensal parsal, yang dalam kaan n berupa persamaan parabolk Dengan metode Galerkn Sem Dskret maka persamaan parabolk dapat dtransformaskan ke sstem persamaan dferensal basa Dalam 4

3 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol 4 No 1, 3-3, Aprl 1, ISSN : peneltan n dka salah satu model rambatan panas tanpa suku konveks yang dsakan dalam bentuk persamaan parabolk Berkut akan dbahas mengena dskretsas model rambatan panas tanpa suku konveks dengan menggunakan metode Galerkn Sem Dskret: Pandang model rambatan panas tanpa suku konveks dalam bentuk: u u = t x (1) dengan syarat batas, Drchlet (Farlow,19) Persamaan (1) terdefns pada nterval [,1] Jka h adalah ukuran langkah ruang yang membag nterval [,1] menad (n+1)/ sub-nterval bagan yang sama dengan h = / (n+1) dan ka setap sub-nterval dbag dan ttk n dber ndeks tengahan maka dalam nterval [,1] terdapat n ttk nteror ½ 1 3/ n/ < ndeks Gambar 1: n ttk nteror dalam nterval [,1] dengan ndeks tengahan dan ndeks blangan bulat Jka (x,t) adalah pendekatan Galerkn untuk u(x,t), u(x,t) adalah solus sebenarnya dar model rambatan panas maka (x,t) dapat dtuls sebaga : n 1 (x,t) = + = ( t) Q ( x) () Dengan Q (x) merupakan fungs bass dalam bentuk kuadratk (Mtchell AR,195) Dar persamaan (1) dan () dperoleh: dengan n+ 1 = n+ 1 ( Q, Q ) = (Q Q ) (3) = 5

4 Kaan Dskretsas dengan (Suhartono dan Solkhn Zak) Q, Q ) adalah nner product dar Q dan ( ' Q adalah turunan Q terhadap perubah x Q adalah turunan dar terhadap peubah t Jka M dan S adalah matrks yang elemen ke nya masng- masng adalah ' ' Q, Q ) dan ( Q, Q ) maka persamaan (3) dapat dnyatakan sebaga ( M = S + b dengan (4) = [, 1,, 3, n = [,,,, ] T 1 3 n b adalah vektor yang memuat syarat batas ] T Jka dberkan 3 fungs bass kuadratk yatu Q 1 = X(X-1)/, Q =-X + 1, Q 3 = X(X+1)/ Maka dperoleh: 16 M = h /

5 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol 4 No 1, 3-3, Aprl 1, ISSN : S 6 = 1/ 3h METODE RNGE KTTA IMPLISIT DIAGONAL Persamaan (4) yang merupakan sstem persamaan dferensal ordner dapat dselesakan dengan RKID yang memlk notas Butcher berkut: ½ ½ 1 1 ½ 3/ -3/ ½ -3 1/6 1/3 1/6 1/3 Dengan perhtungan : k = f ( t + ch u + h a k ), ntuk mencar solus m+ 1 = m + h 4 = 1 = 1 b k m+1 adalah solus pada t ke m+1 (Conte SD,19) ntuk menyelesakan persamaan (4) dapat dgunakan algortma berkut: 1 Insalsas Panggl RKID 4 tahap untuk mendapatkan solus dengan langkah h, namakan 1 7

6 Kaan Dskretsas dengan (Suhartono dan Solkhn Zak) 3 Panggl RKID 4 tahap untuk mendapatkan solus dengan langkah h/, namakan 4 Jka 1 > tol Jka h > * h mn maka h baru = h lama / Kembal ke langkah dengan h baru Jka h < * h mn maka program dhentkan 5 Jka 1 > tolmn Jka * h< h mn maka h baru = h lama * Kembal ke langkah dengan h baru sampa t tertentu tercapa sampa t tertentu tercapa 6 Jka tolmn < 1 < tol, maka kembal ke langkah dengan h baru = h lama sampa t tertentu tercapa 7 Stop ka t akhr tercapa Algortma tersebut datas dmplementaskan menggunakan perangkat lunak Matlab dan perangkat keras pentum 166 mmx 3 HASIL PENGKRAN DAN PEMBAHASAN Dalam peneltan n dka efsens solus model rambatan panas tanpa suku konveks, yang dperoleh dengan melakukan ntegras sstem persamaan dferenssl ordner yang dperoleh dar dskretsas perubah ruang metode Galerkn Sem Dskret terhadap model rambatan panas tanpa suku konveks, dengan syarat awal (x,) = exp(x/ u(, t) = exp( t / 6) u(1, t) = exp( t / 6 + 1/ 6 ) dan syarat batas Drchlet, yatu: 6) Efsens solus model rambatan panas yang dperoleh berdasarkan dskretsas perubah ruang dengan Metode Galerkn Sem Dskret dapat dtunukkan dengan memperbandngkan antara hasl pengukuran yang dperoleh berdasarkan dskretsas dengan metode Galerkn Sem Dskret terhadap hasl yang dperoleh berdasarkan dskretsas dengan metode Beda Hngga

7 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol 4 No 1, 3-3, Aprl 1, ISSN : Pengukuran dlakukan dengan mengambl banyak dskretsas yatu n= 39 dengan tolerans 1-6 Pengamatan dlakukan pada t = 1,,3,,7 Hasl pengukuran dapat dtunukkan pada tabel 1 dan tabel berkut: Tabel 1: Hasl pengukuran untuk n=39 dan tol 1-6 pada t =1,, 3,, 7 Dengan J adalah banyak langkah yang dterma oleh program, t = panang langkah yang harus dlakukan oleh program t satuan h maksmum H mnmum h maksmum / J (dalam %) h mnmum/j (dalam %) Galerkn Beda Hngga Galerkn Beda Hngga 1,69,69,135,1,135,1,69,69,135 15,56,135 15,56 3,69,69,135 3,91,135 3,91 4,69,69,135 46,7,135 46,7 5,69,69,135 61,6,135 61,6 6,69,69,135 76,97,135 76,97 7,69,69,135,135 9,3 9,3 Hasl pengukuran data pada tabel 1 menunukkann bahwa : kuran langkah maksmum dan rato h maksmum terhadap banyak langkah yang dterma oleh program untuk menyelesakan model rambatan panas tanpa suku konveks menunukkan tdak ada beda nyata ( atau mempunya langkah yang sama) dalam setap langkahnya dar t = 1,,3,4,,7 bak dlakukan dengan menggunakan metode Beda Hngga maupun menggunakan metode 9

8 Kaan Dskretsas dengan (Suhartono dan Solkhn Zak) Galerkn Sem Dskret Dar tabel terlhat bahwa h maksmum yang dgunakan selalu tetap ntuk h mnmum yang dpergunakan untuk menyelesakan model rambatan panas tanpa suku konveks menunukkan tdak ada beda nyata ( atau mempunya langkah yang sama) dalam setap langkahnya dar t = 1,,3,4,,7 bak dlakukan dengan menggunakan metode Beda Hngga maupun menggunakan metode Galerkn Sem Dskret Rato h mnmum terhadap umlah langkah yang dterma menunukkan makn bertambah untuk setap pertambahan t, bak menggunakan metode Galerkn Sem Dskret maupun metode Beda Hngga Pada tabel dapat dtunukkan mengena hasl pengukuran yang dlakukan terhadap banyak langkah yang dterma, banyak langkah yang dtolak serta waktu proses (runnng tme) Tabel : hasl pengukuran banyak langkah yang dterma, banyak langkah yang dtolak serta waktu proses Banyak Metode yang Banyak langkah Banyak langkah Waktu proses dskretsas dgunakan yang dterma yang dtolak (dalam detk) 39 Galerkn Sem Dskret Beda Hngga Waktu proses yang dgunakan untuk menyelesakan model rambatan panas tanpa suku konveks dlakukan dengan metode Galerkn Sem Dskret dan metode Beda Hngga menunukkan beda yang cukup nyata Dar tabel terlhat bahwa solus rambatan panas tanpa suku konveks yang dperoleh akbat dskretsas dengan menggunakan metode Galerkn Sem Dskret kurang efsen ka dbandngkan dengan menggunakan metode Beda Hngga 3

9 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol 4 No 1, 3-3, Aprl 1, ISSN : Selanutnya untuk mengu Efek efsens dar solus model rambatan panas tanpa suku konveks uga dapat dka menggunakan waktu proses perlangkah yang dsakan pada gambar 1 berkut : Dagram Batang untuk menunukkan lama waktu proses perlangkah ---> lama waktu proses perlangkah Galerkn S Dskret Beda Hngga >metode yang dgunakan Gambar 1: Dagram batang untuk lama waktu proses perlangkah Dar gambar dapat dtunukkan bahwa lama waktu proses perlangkah menggunakan dskretsas metode Galerkn Sem Dskret lebh besar (dengan perbandngan 9,16 :,9) dar pada waktu proses perlangkah menggunakan dskretsas metode beda hngga Lama waktu proses perlangkah dperoleh dar lama waktu proses dbag dengan banyaknya langkah yang dgunakan untuk menyelesakan program Dengan demkan dapat dkatakan bahwa solus rambatan panas tanpa suku konveks dengan dskretsas peubah ruang menggunakan metode Galerkn Sem Dskret kurang efsen, ka dbandngkan dengan menggunakan dskretsas peubah ruang metode Beda Hngga 4 KESIMPLAN Dar hasl pengukuran dan pembahasan dapat dsmpulkan bahwa solus model rambatan panas tanpa suku konveks yang dperoleh berdasarkan dskretsas perubah ruang menggunakan metode Galerkn Sem Dskret kurang efsen ka dbandngkan dengan solus model rambatan panas tanpa suku 31

10 Kaan Dskretsas dengan (Suhartono dan Solkhn Zak) konveks yang dperoleh dengan dskretsas perubah ruang menggunakan metode Beda Hngga Hal tersebut dapat dtunukkan berdasarkan waktu proses dan waktu proses perlangkah DAFTAR PSTAKA 1 Conte S D, Carl D B, Elementary Numercal Analyss, Thrd edton, Mc Graw Hll, 19 Farlow S J, Partal Dfferental Equatons, John Wley & Sons, New York,19 3 Mtchell AR, Grffths DF, The Fnte Dfference Methods n Partal Dfferental Equaton, John Wley and Sons, New York, 195 3