Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah bilangan pertama dan kedua (a,b) merepresentasikan posisi sebuah 99k, P, dalam bidang datar.

Sistem Koordinat Cartesian (Persegi) Mempunyai 2 garis sumbu saling tegak lurus dengan 99k potong di O (99k asal / origin) Umumnya skala pada kedua sumbu sama Skala pada sumbu horizontal posi9f ke kanan

Jarak pada Bidang Datar

Jarak UNIVERSITAS GADJAH MADA Tunjukkan bahwa segi9ga dengan 99k- 99k sudut A(- 1,- 3), B(6,1) dan C(2,- 5) adalah segi9ga siku- siku. Jawaban: Dengan menerapkan rumus jarak diperoleh Tampak d(a,b) 2 = d(b,c) 2 + d(a,c) 2 yang merupakan ciri segi9ga siku- siku

Titik Tengah M

Grafik Persamaan Garis 3 2 1 y y = 0.5 x + 1 y = a x + b 0 0 1 2 3 x

Grafik Persamaan Gambar grafik

Grafik Pertidaksamaan Gambar grafik

Titik Potong pada Sumbu X dan Y Persamaan y = 2x 1 memotong Sumbu x di 0.5 dan memotong Sumbu y di -1 Perpotongan dengan Sumbu x y = 0 à 0 = 2x 1 à x = 0.5 Perpotongan dengan Sumbu y x = 0 à y = 2 0 1 à y = - 1

Grafik Persamaan Kuadrat Gambar grafik W = { (x,y): y = x 2 }. sumbu simetri Grafik berupa Parabola à simetri terhadap sumbu x vertex

Simetri terhadap sumbu y terhadap sumbu x Terhadap 99k asal

Pemeriksaan Kesimetrian Simetri pada sumbu x: jika (x,y) pada kurva maka (x,- y) juga pada kurva Simetri pada sumbu y: jika (x,y) pada kurva maka (- x,y) juga pada kurva Simetri pada 99k asal: jika (x,y) pada kurva maka (- x,- y) juga pada kurva

Simetri Gambar grafik W = { (x,y): x = y 2 }.

Simetri Gambar grafik W = { (x,y): 4y = x 3 }.

Grafik Persamaan Lingkaran UNIVERSITAS GADJAH MADA

Persamaan Lingkaran Buatlah persamaan lingkaran yang berpusat pada C(- 2,3) dan melalui 99k D(4,5) Penyelesaian: Karena D pada lingkaran, maka r adalah jarak antar 99k C dan D atau r = d(c,d) Persamaan lingkaran:

Persamaan Lingkaran Cari koordinat pusat dan jari- jari lingkaran dengan persamaan sbb: Penyelesaian: kelompokkan suku- suku persamaan menjadi lengkapi suku dalam tanda kurung dengan suku konstanta, dengan cara sbb: [ x 2 + ax + (a/2) 2 ] + [ y 2 + by + (b/2) 2 ] = + (a/2) 2 + (b/2) 2 + c

Persamaan Lingkaran Jadi, pusat lingkaran pada C(2,-3) dan jari- jari lingkaran sebesar 4

Latihan 1. Cari jarak dan 99k tengah dua 99k berikut 2. Tunjukkan bahwa 3 99k berikut membentuk segi- 9ga siku- siku 3. Tunjukkan persamaan garis pembagi dua 99k berikut ini A(- 4,- 3) dan B(6,1)

Latihan 4. Buat grafik W = { (x,y): xy = 0 } 5. Buat grafik W = { (x,y): xy < 0 } 6. Buat grafik W = { (x,y): x > 1, y <= 2 } 7. Buat grafik W = { (x,y): y = x 3-2 } periksa kesimetriannya 8. Buat persamaan lingkaran dengan pusat C(3,- 5) dan menyinggung sumbu y 9. Cari 99k pusat dan jari- jari persamaan lingkaran berikut

Koordinat Polar (Kutub) r 1 P(r 1,θ 1 ) O θ 1 r Ti9k asal, O, sebagai kutub atau pusat Satu sumbu r, pada umumnya digambar dari 99k asal ke kanan (posi9f) Posisi suatu 99k ditunjuk dengan jarak ke pusat, r, dan sudut antara garis OP ke sumbu, θ.

Hal Khusus dalam Koordinat Polar Posisi tetap sama jika sudut ditambah atau dikurangi 360 o atau 2π rad dan kelipatannya Posisi tetap sama juga dapat ditulis dengan jarak nega9f dan sudut ditambah atau dikurangi 180 o atau π rad Untuk mendapatkan representasi tunggal pada se9ap posisi, dapat dibuat pembatasan sbb: r >= 0 dan 0 <= θ < 2π. P(r 1,θ 1-2π) P(- r 1,θ 1 +π) r 1 r 1 θ 1 θ 1 O r O r

Hubungan dengan Koordinat Kartesian Kartesian ß Polar x = r cos(θ) y = r sin(θ) Polar ß Kartesian r = (x 2 +y 2 ) 0.5 θ = atan2(y,x) r cos(θ) r sin(θ)

Kurva Persamaan Bentuk r fungsi θ, r = f(θ) Lingkaran, Pusat di O à r = konstanta Persamaan umum lingkaran dgn jari- jari a dan pusat di (r 0,θ 0 ) à r 2 + 2rr 0 cos(θ- θ 0 ) + r 0 2 = a 2 atau r = r 0 cos(θ- θ 0 ) + [a 2 - r 0 2 sin 2 (θ- θ 0 ) ] 0.5 Jika a = r 0, r = 2a cos(θ- θ 0 )

Garis Kurva Persamaan Radial à θ = konstanta Garis tegak lurus θ = γ, yang memotong di (r 0,γ) r = r 0 sec(θ - γ) Bunga, berpusat di O r = a cos(kθ) γ 0 Spiral r = a + bθ

Soal Latihan Ubah lokasi dalam koordinat Kartesian ke koordinat polar Ubah lokasi dalam koordinat polar (sudut dlm radian) ke koordinat Kartesian

Gambar grafik berikut Soal Latihan

Soal Latihan Ubah persamaan berikut ke dalam koordinat Kartesian