MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS"

Glenna Kusuma
6 tahun lalu
Tontonan:

1 MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

2 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0

3 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x + 5 = 0 SOLUSI x 1, x 2 = b ± b2 4ac 2a x 1, x 2 = 4 ± 2 4 x 1, x 2 = 4 ± x 1 = x 2 = 2 1 Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana 1 = i.

4 4 NOTASI o Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk z = x + iy atau z = x + yi dengan x, y adalah bilangan real dan i 2 = 1 o Re(z) = x dan Im(z) = y o Himpunan bilangan kompleks dinyatakan dengan C. CONTOH z = 4 + 6i

5 5 BIDANG KOMPLEKS o Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang kompleks. o o Sumbu x: sumbu real Sumbu y: sumbu imajiner z = x + yi

6 6 OPERASI PADA BILANGAN KOMPLEKS Jika z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2 maka 1. Penjumlahan z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i y 1 + y 2 2. Perkalian z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + i x 1 y 2 x 2 y 1 3. Pembagian z 1 = x 1x 2 + y 1 y 2 z 2 x y 2 2 i x 1 y 2 x 2 y 1 x y 2 2

7 7 KONJUGAT DAN MODULUS o Konjugat dari bilangan kompleks z = x + iy adalah z = x iy z z = x + yi o Modulus dari bilangan kompleks z = x + iy adalah z = x + yi = x 2 + y 2 z = x iy

8 8 HUKUM-HUKUM PADA OPERASI KONJUGAT z = z z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 zz = Re z 2 + Im z 2 Re z Im z = = z + z 2 z z 2i

9 9 HUKUM-HUKUM PADA MODULUS Teorema (sifat sifat modulus pada bilangan kompleks) z 0, z z = 0 z = z, z = z Re z Re z z Im z Im z z zz = z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2

10 10 SOAL LATIHAN 1. Tentukan Re(z), Im(z), z, dan konjugat dari z untuk a. z = 2 5i 3 + 4i i 25i b. z = 12 5i 1 + i 1 + 2i 1 + 3i 2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara kedua bilangan tersebut adalah nol.

11 11 BENTUK POLAR o Bilangan kompleks z = x + iy bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter r dan θ dengan hubungan sebagai berikut x = r cos θ y = r sin θ sehingga z = r cos θ + i r sin θ r : modulus z ( z ) θ : argumen z (arg z)

12 12 BENTUK POLAR Gambar r θ

13 13 BENTUK POLAR o Nilai r dan θ dapat dinyatakan dalam bentuk r = x 2 + y 2 θ = arctan y x o Sudut θ disebut dengan argumen dari z dan dinotasikan arg (z) o Argumen dari bilangan z tidak tunggal karena cos θ dan sinθ adalah fungsi periodik o Jadi arg (z) = θ + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, )

14 14 CONTOH Nyatakan z = 3 i dalam bentuk polar Solusi r = 2 dan y x = 1/ 3 sehingga tan 1 (1/ 3) = π/6 Karena titik ( 3, 1) terletak pada kuadran 3, maka z = 2 cos 7π 6 + i sin 7π 6

15 15 ARG (Z) Nilai utama argumen dari suatu bilangan kompleks adalah nilai yang lebih besar dari π tetapi tidak melebihi π. Nilai utama argumen bilangan z ditulis Arg(z). Jadi π < Arg(z) π Contoh Carilah nilai utama argumen dari z = i Solusi: Arg(z) = π/2 Secara umum hubungan antara arg (z) dengan Arg(z) adalah arg (z) = Arg(z) + 2kπ ; k = 0, ±1, ±2,

16 16 SIFAT SIFAT ARGUMEN 1. arg (z ) = arg (z) 2. arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg (z 2 ) 3. arg z 1 /z 2 = arg z 1 arg (z 2 )

17 17 RUMUS DE MOIVRE Misal z j = r j (cos θ + i sin θ), j = 1, 2,, n z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n (cos (θ θ n ) + i sin (θ θ n )) Jika z 1 = z 2 = = z n = cos θ + i sin θ maka diperoleh (cos θ + i sin θ) n = cos (nθ) + i sin (nθ) yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif n.

18 18 LATIHAN 1. Hitunglah (1 i) 8 2. Jika z = 1 + I 1 + 3i 1 + I Tentukan: a. Bentuk kutub dari z b. arg(z) dan arg(z ) c. Arg(z) dan Arg(z )

19 BENTUK 19 EKSPONENSIAL Formula Euler e iθ = exp (iθ) = cos θ + i sin θ dimana θ dalam radian Dengan menggunakan formula Euler bentuk z = r (cos θ + i sin θ) dapat ditulis dalam bentuk z = r e iθ Contoh Tuliskan z = 1 i dalam bentuk eksponensial.

20 AKAR BILANGAN 20 KOMPLEKS Jika diberikan bilangan kompleks w = ρ cis φ yang tak nol dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah nilai untuk w 1 n, yaitu w 1 n = z k = n ρ φ + 2kπ cos n φ + 2kπ + i sin n dengan k = 0, 1,, (n 1) atau n bilangan bulat yang berurutan.

21 21 CONTOH Tentukan semua nilai untuk akar pangkat 6 dari 1. Solusi: = z k = 1 cos 0 + 2kπ 6 + i sin k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

22 22 HIMPUNAN TITIK PADA BIDANG KOMPLEKS Lingkaran Misalkan z 0 = x 0 + iy 0. Karena 2 z z x x y y adalah jarak antara titik z dengan z 0, titik z = x + iy memenuhi persamaan z z 0, 0 terletak pada lingkaran berdiameter dan berpusat di z 0. z 0

23 CAKRAM DAN 23 KITARAN Himpunan titik yang didefinisikan oleh z z 0 adalah cakram radius dan berpusat di z 0. Tetapi titik z yang memenuhi pertidaksamaan z z 0 terletak di dalam, bukan pada, sebuah lingkaran berdiameter dan berpusat di z 0. Himpunan ini disebut kitaran dari z 0.

24 24 HIMPUNAN BUKA Titik z 0 disebut titik dalam (interior point) dari himpunan S jika terdapat sekitar (neighborhood) z 0 yang keseluruhannya terletak di dalam S. Jika setiap titik z dalam S adalah titik dalam, maka S disebut himpunan buka.

25 25 CONTOH Tentukan daerah pada bidang z yang direpresentasikan oleh fungsi berikut a. z < 1 b. 1 < z + 2i 2 c. π/3 arg (z) π/2 latihan

26 26 SOLUSI (A) Interior lingkaran berjari jari 1 y 1 x

27 27 SOLUSI (B) z + 2i adalah jarak dari z ke 2i z + 2i = 1 lingkaran berjari jari 1, berpusat di 2i z + 2i = 2 lingkaran berjari jari 2, berpusat di 2i 2i 1 2

dokumen-dokumen yang mirip

BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad

BILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad 4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian