Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)

Transkripsi

1 Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA (Pertemuan Minggu II)

2 Outline 1 Penyajian Secara Geometris Modulus Sekawan/Konjugat 2

3 Penyajian Secara Geometris Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan dengan tepat satu bilangan kompleks. Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat disajikan dengan titik (2, 3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang bilangan kompleks z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y) atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x, y).

4 Penyajian Secara Geometris Karena sebarang bilangan kompleks z = x + iy secara geometris dapat dinyatakan sebagai titik (x, y), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kompleks atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y masing-masing disebut sebagai sumbu real dan sumbu imajiner. Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2. Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, maka z 1 + z 2 dapat disajikan dengan titik (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) atau dapat pula disajikan dengan vektor posisi OA, dengan A(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Dengan demikian z 1 + z 2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z 1 dan vektor z 2. Demikian pula, vektor z 1 z 2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z 1 dengan vektor z 2.

5 Modulus Modulus Modulus atau nilai mutlak bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi z, didefinisikan sebagai z = x 2 + y 2 (1) Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z C, dan z 0 z = 0 z = 0 Secara geometris, z dapat diartikan sebagai jarak titik asal ke titik (x, y), atau panjang vektor posisi z. Apabila y = 0, maka z = x, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan real R.

6 Modulus Modulus Untuk dua bilangan kompleks sebarang z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2, berlaku: z 1 z 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Oleh karena itu, secara geometris z 1 z 2 berarti jarak antara titik z 1 dan titik z 2. Hubungan antara z, Re(z), dan Im(z): Akibatnya, z 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 Re(z) Re(z) z, Im(z) Im(z) z (2)

7 Sekawan/Konjugat Sekawan Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi z, didefinisikan sebagai bilangan kompleks x iy. Jadi z = x iy (3) Dari (16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x, y), yang tidak lain adalah pencerminan titik (x, y) terhadap sumbu real.

8 Sekawan/Konjugat Sekawan Theorem Untuk sebarang z, z 1, z 2 C berlaku: i. (z) = z dan z = z, ii. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, iii. z 1 z 2 = z 1 z 2, ( z 1 z 2 ) = z 1 z, z 2 2 0, iv. z + z = 2Re(z), z z = 2iIm(z)

9 Sekawan/Konjugat Sekawan Untuk sebarang z = x + iy C, zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2 (4) Berdasarkan persamaan (17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan z 1 z 2, yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan z 2. Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini. Example 2 + i 2 3i = 2 + i 2 + 3i 2 3i 2 + 3i = 1 + 8i 13 = i

10 Sekawan/Konjugat Modulus Berdasarkan (17), mudah diperlihatkan sifat berikut ini. Theorem Untuk sebarang z 1, z 2 C berlaku: i. z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 2 0, ii. Ketaksamaan segitiga: z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 + z 2.

11 Seperti telah dijelaskan pada pertemuan minggu lalu, bilangan kompleks z = x + iy dapat disajikan dengan titik (x, y) di dalam bidang-xy. Sebarang titik tak nol (x, y), di dalam sistem koordinat kutub, dapat disajikan sebagai (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik asal dan θ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam.

12 Karena x = r cos θ dan y = r sin θ maka z dapat pula dinyatakan sebagai z = r(cos θ + i sin θ) (5) atau biasa pula ditulis z = rcisθ. Perhatikan bahwa r = x 2 + y 2 = z Jadi, bilangan r merupakan modulus (panjang) bilangan kompleks z. Sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis arg z. Ruas kanan persamaan (1) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z.

13 Telah diterangkan bahwa setiap bilangan kompleks z 0 dapat disajikan dalam bentuk kutub sebagai z = r(cos θ + sin θ). Karena r = z, maka r tidak diperkenankan bernilai negatif. Hal ini berbeda dengan penyajian suatu titik dalam sistem koordinat kutub sebagaimana di dalam kalkulus, yang memperbolehkan r negatif. Sedangkan nilai untuk θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) nilainya, termasuk negatif. Perlu diperhatikan bahwa apabila bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimaksudkan z 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit.

14 Secara geometris arg z menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif dan diukur dalam radian. Apabila θ merupakan arg z, maka θ + 2kπ, k Z, juga merupakan arg z. Jadi, arg z bernilai tidak tunggal. Untuk z = 0, arg z tidak didefinisikan. Sedangkan untuk z 0, nilai arg z dapat ditentukan dengan rumus atau θ = arctan( y x ), x 0 (6) θ = arcsin( y r ) = arccos(x r ) (7) Apabila menggunakan rumus (2), maka kuadran yang memuat z harus diperhatikan.

15 Telah diterangkan di depan bahwa nilai arg z tidak tunggak. Suatu nilai arg z yang memenuhi π < arg z π disebut nilai utama (principal value) arg z, ditulis dengan notasi Arg z. Dalam hal ini, nilai Argz tunggal. Perhatikan contoh berikut. Example Untuk bilangan kompleks z = 1 i 3, arg z = 4π 3 + 2kπ, k Z tetapi Arg z = 2π 3

16 Diberikan dua bilangan kompleks sebarang: z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) dan z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) maka diperoleh z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 {(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 )} = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ))

17 Jadi, z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) (8) Dengan demikian diperoleh suatu persamaan arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg z 2 (9)

18 Perhatikan bahwa persamaan (5) harus dipahami demikian: Apabila θ 1 dan θ 2 masing-masing adalah nilai arg z 1 dan arg z 2, maka berdasarkan persamaan (5), θ 1 + θ 2 merupakan suatu nilai arg z 1 z 2. Sebaliknya, jika diberikan sebarang nilai arg z 1 dan nilai arg z 1 z 2, misalkan masing-masing adalah arg z 1 = θ 1 + 2kπ, n Z, dan arg z 1 z 2 = (θ 1 + θ 2 ) + 2nπ, n Z, karena (θ 1 + θ 2 ) + 2nπ = (θ 1 + 2kπ) + (θ 2 + 2(n k)π), maka persamaan (5) akan dipenuhi apabila nilai arg z 2 = θ 2 + 2(n k)π. Jadi, sebarang arg z 1 z 2 sama dengan suatu arg z 1 ditambah suatu arg z 2.

19 Perlu diperhatikan bahwa sebarang arg z 1 z 2 tidak sama dengan sebarang arg z 1 ditambah sebarang arg z 2. Demikian pula, Arg z 1 z 2 belum tentu sama dengan Arg z 1 ditambah Arg z 2. Perhatikan contoh berikut ini. Example Diberikan z 1 = 1 dan z 2 = 1 + i 3, maka z 1 z 2 = 1 i 3. Berturut-turut diperoleh: arg z 1 = π + 2kπ, k Z, Arg z 1 = π arg z 2 = 2π 3 + 2kπ, k Z, Arg z 2 = 2π 3, arg z 1 z 2 = π 3 + 2kπ, k Z, Arg z 1z 2 = π 3.

20 Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ), maka mudah ditunjukkan bahwa 1 z = 1 (cos( θ) + i sin( θ)) (10) r Demikian pula z = r(cos( θ) + i sin( θ)) (11) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (4) dan (6), maka untuk dua bilangan kompleks sebarang: z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) dan z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) berlaku z 1 z 2 = ( r 1 r 2 )(cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )) (12) Jadi, seperti halnya pada persamaan (5) dapat dikatakan bahwa sebarang arg( z 1 z 2 ) sama dengan suatu arg z 1 dikurangi suatu arg z 2.

21 Apabila diberikan z k = r k (cos θ k + i sin θ k ), k = 1, 2,..., n, maka secara induktif dapat ditunjukkan z 1 z 2... z n = r 1 r 2... r n (cos(θ 1 + θ θ n ) + i sin(θ 1 + θ θ n )) (8a) Apabila pada persamaan di atas, z k = z = (cos θ + i sin θ), k = 1, 2,..., n, maka diperoleh z n = (cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (13) Selanjutnya, berdasarkan (6) dan (8a), maka untuk n N diperoleh z n = 1 z n = 1 = cos( n)θ + i sin( n)θ (cos nθ + i sin nθ)

22 Dari persamaan (9), kita mempunyai (cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (14) untuk setiap n Z. Persamaan (10) di atas dikenal dengan nama rumus De Moivre. Dengan rumus De Moivre, kita dapat menyelesaikan beberapa persoalan di dalam sistem kompleks dengan sederhana. Example Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z = (1 i 3) 2 (1+i 3) 6 (1+i) 6.