a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1

Transkripsi

1 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1

2 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi Mahasiswa mampu menentukan daerah definisi fungsi Mahasiswa mampu menggambarkan fungsi sederhana

3 Sub Pokok Bahasan : Sistem Bilangan Real Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan Fungsi Text Book : Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9 th edition. Pearson. ISBN : Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry. 9 th edition. Addison-Wesley Publishing Company.

4 Sistem Bilangan Real N :,,,. N : Bilangan Asli Z : Bilangan Bulat Q : Bilangan Rasional R : Bilangan Real Z :.., -2, -,,,,.. a Q : q, a, b Z, b 0 b R : Q Irasional Contoh bilangan irasional : 2, 3, 3 5, p

5 Sistem Bilangan Real Sifat Sifat Bilangan Real 1. Trichotomy. Jika x dan y adalah bilangan, maka berlaku salah satu dari hubungan : x < y, x > y atau x = y 2. Transitivity. Jika x < y dan y < z, maka x < z 3. Addition. Jika x < y, maka x + z < y + z 4. Multiplication. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz. Dan bila z < 0, x < y, maka xz > yz

6 Pertaksamaan Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b) Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup, yang dapat dinotasikan [a,b]

7 Pertaksamaan Menyelesaikan suatu pertaksamaan artinya mencari suatu Himpunan Penyelesaian yang berisi bilangan-bilangan yang memenuhi pertaksamaan tersebut

8 Pertaksamaan Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan 2x 7 < 4x 2 < 2x + 6 < 4 x 2 x < 6 3x 2 x 2 > 0 0 < x 1 x 2 (x+1)(x 1) 2 (x-3) < 0

9 Pertaksamaan Nilai absolut dinotasikan dengan x, didefinisikan sebagai : x = x jika x > 0 x = - x jika x < 0 Sifat sifat nilai absolut : 1. ab = a b 2. a+b < a + b 3. a-b > a - b 4. a/b = a / b 5. x < a -a < x < a 6. x > a x < - a atau x > a

10 Pertaksamaan Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan 1. x - < 2. x - > 1 3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa : x- < e/ x- < e 4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan positif d sehingga : x- <d 6x-18 <e Problem Set 0.2

11 Sistem Koordinat Persegi Panjang Sistem koordinat persegi panjang terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O. Sumbu x dan y membagi bidang menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV) Tiap titik P dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian a home base to excellence

12 Sistem Koordinat Persegi Panjang Jarak antara titik P(x 1,y 1 ) dan titik Q (x 2,y 2 ) dapat dihitung dengan formula jarak : Hitung jarak antara titik P dan Q berikut ini : P(-2,3) dan Q(4,-1) P( 2, 3) dan Q(p,p) 2 x x y 2 d( P, Q) y

13 Sistem Koordinat Persegi Panjang Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran. Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k) dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk : x h y k r Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-5) dan memiliki radius 5 Tunjukkan bahwa persamaan berikut adalah persamaan lingkaran, dan tentukan koordinat pusat dan radiusnya x 2 2x + y 2 + 6y = -6

14 Sistem Koordinat Persegi Panjang Titik tengah antara dua titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) dapat dicari menggunakan formula titik tengah : x 1 2 y1 y2 x 2, 2 Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan (7,11) Garis lurus melalui titik A(x 1,y 1 ) dan B(x 2,y 2 ), memiliki kemiringan/slope, m yang besarnya : m y x 2 2 y x 1 1

15 Sistem Koordinat Persegi Panjang Garis lurus yang melalui (x 1,y 1 ) dan memiliki slope m, dapat dituliskan persamaannya menjadi : y y Bentuk lain persamaan garis : x k y k m Dua buah garis memiliki kemiringan m 1 dan m 2, maka dua buah garis tersebut akan : Sejajar, apabila m 1 = m 2 Tegak lurus bila m 1.m 2 = -1 x 1 x 1 y mx b Ax By C 0

16 Sistem Koordinat Persegi Panjang Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1) Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar dengan garis 3x 5y = 11 Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara 3x+4y = 8 dan 6x 10y = 7, dan tegak lurus garis yang pertama Problem Set 0.3

17 Grafik Persamaan Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan tersebut Langkah dalam mebuat grafik persamaan : Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan suatu kurva mulus Gambarkan grafik dari y = x 2 3 Gambarkan grafik dari y = x 3

18 Grafik Persamaan Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting Sebagai contoh, persamaan y = x 3-2x 2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3) Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x. Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y. Tentukan semua titik potong grafik y 2 x + y 6 = 0 Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola y=2x 2-4x-2, gambarkan sketsa grafiknya.

19 Grafik Persamaan Problem Set 0.4

20 Fungsi dan Grafiknya Sebuah fungsi f adalah sebuah aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dari suatu himpunan (yang disebut domain) dengan suatu nilai f(x) dari himpunan lain (yang disebut dengan range)

21 Fungsi dan Grafiknya Huruf tunggal seperti f (atau g atau F) digunakan untuk menamai suatu fungsi. Dan biasa dinotasikan menjadi f(x) atau g(x) atau F(x) Contoh : jika f(x) = x 2 2x, maka tentukan : f(4) f(4+h) f(4+h) f(4) [f(4+h) f(4)]/h

22 Fungsi dan Grafiknya Untuk menentukan suatu fungsi secara lengkap, maka harus ditentukan domain dari fungsi tersebut. Sebagai contoh jika F adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(x) = x 2 + 4, dengan domain {-1,0,1,2,3}, maka range fungsinya {1,2,5,10}. Jika domain tidak disertakan, maka dianggap bahwa domain fungsi merupakan himpunan terbesar dari bilangan real yang membuat fungsi tersebut menjadi benar. Domain demikian dinamakan domain asli (natural domain) Bilangan yang mengakibatkan fungsi memiliki penyebut = 0 atau akar negatif, harus dikeluarkan dari domain.

23 Fungsi dan Grafiknya Tentukan domain asli dari fungsi berikut : f(x) = 1/(x-3) g(t) = (9 t 2 ) 1/2 h(w) = (9 w 2 ) ½ Misalkan V(x,d) menunjukkan volume batang silinder dengan panjang x dan diameter d, tentukan : Formula untuk V(x,d) Domain dan range dari V V(4, 0.1)

24 Fungsi dan Grafiknya Bila domain dan range suatu fungsi merupakan himpunan bilangan real, maka fungsi dapat digambarkan grafiknya pada sistem koordinat. Grafik fungsi f, secara sederhana merupakan grafik dari persamaan y = f(x) Buat sket grafik fungsi berikut : f(x) = x 2 2 g(x) = 2/(x 1)

25 Fungsi dan Grafiknya Apabila f(-x) = f(x), fungsi tersebut dinamakan fungsi genap Jika f(-x) = - f(x), fungsi tersebut dinamakan fungsi ganjil Periksa apakah fungsi berikut merupakan fungsi ganjil atau genap : f x x 4 3 x 3x 2 3x 4

26 Fungsi dan Grafiknya Fungsi nilai absolut x, jika, x 0 x x, jika, x 0 Fungsi bilangan bulat terbesar (fungsi tangga) x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Contoh : -3,1 =3,1-3,1 = - 4 3,1 = 3 Problem Set 0.5

27 Operasi Fungsi Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut : f(x) = (x-3)/2 g(x) = x Maka :

28 Operasi Fungsi Komposisi fungsi : (g f)(x) = g(f(x)) Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut : Maka : f(x) = (x-3)/2 g f ( x) g f x f gx f gx Problem Set 0.6 g f x g(x) = x x 3 2 x 3 2 x 3 2

29 Fungsi Trigonometri Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga : f(x + p) = f(x) Untuk semua bilangan real x dalam domain f. Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi. Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p. 180 o = p radians,97 radians

30 Fungsi Trigonometri a home base to excellence

31 Fungsi Trigonometri a home base to excellence