GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG

Transkripsi

1 HANDOUT (BAHAN AJAR) GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG Sofyan Mahfudy IAIN Mataram

2 KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta ala yang dengan rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan handout yang sederhana ini. Handout ini masih sangat banyak kekurangannya dikarenakan keterbatasan waktu penulisan. Salah satunya adalah materi yang diambil hanya satu sub materi yaitu lingkaran. Tentunya ke depan handout ini dapat disempurnakan dan dikembangkan lagi sehingga lebih baik. Tujuan pembuatan handout ini adalah sebagai upaya dan ikhtiar penulis untuk membuat referensi mata kuliah bagi mahasiswa sehingga mudah dipahami dan didapatkan oleh mahasiswa. Saran dan masukan yang positif tentunya sangat dibutuhkan oleh penulis bagi sempurnanya handout ini ke depan. Akhirnya, semoga karya sederhana ini dapat memberikan manfaatkan khususnya bagi mahasiswa yang sedang menempuh mata kuliah Geometri Analitik Bidang. Mataram, Juli 2016 Penulis Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang i

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...i DAFTAR ISI... ii LINGKARAN... 1 A. Tentang Lingkaran... 1 B. Definisi Lingkaran... 1 C. Persamaan Umum Lingkaran... 1 D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain... 2 E. Garis singgung Lingkaran... 3 F. Persamaan garis singgung dengan gradien (m) tertentu... 4 G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran... 5 H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran... 6 I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran... 9 J. Garis singgung melalui di luar lingkaran K. SOAL-SOAL LATIHAN REFERENSI Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang ii

4 LINGKARAN A. Tentang Lingkaran Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna. Lingkaran memiliki beberapa sifat yang istimewa diantaranya adalah: Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Pada dimensi 3 padanannya adalah bola. Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya. Perbandingan keliling dan diameter selalu konsisten, selanjutnya perbandingan tersebut disebut dengan π (Archimedes menemukan pendekatan π ini SM). B. Definisi Lingkaran Definisi lingkaran secara persis adalah himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu sama panjangnya. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. C. Persamaan Umum Lingkaran Pada gambar 1.a, misalkan diketahui sebuah titik tertentu adalah (a, b) dan jaraknya adalah sebesar r, maka dengan konsep jarak dua titik diperoleh: (x a) 2 + (y b) 2 = r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah L (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 1

5 Gambar 1 Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai a = 0 dan b = 0, sehingga diperoleh: L (x 0) 2 + (y 0) 2 = r 2 L x 2 + y 2 = r 2 Latihan Soal A Carilah persamaan lingkaran dengan ketentuan sebagai berikut: 1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3 2. Pusat P ( 2,3) dan jari-jari 2 3. Pusat P ( 5, 1) dan melalui ( 2,2) D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain Apabila lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r yang berbentuk: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 diuraikan, maka diperoleh bentuk: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 = r 2 x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0, maka diperoleh: Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 2

6 A = 2a a = 1 2 A ; B = 2b b = 1 2 B ; C = a2 + b 2 r 2 r 2 = a 2 + b 2 C r = a 2 + b 2 C = 1 4 A B2 C Jadi lingkaran L x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 memiliki: Pusat ( 1 2 A, 1 2 B) r = 1 4 A B2 C Latihan Soal B Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dan sketsalah: 1. L 1 : x 2 + y 2 6x + 10y 2 = 0 2. L 2 : x 2 + y x + 36 = 0 3. L 3 : x 2 + y 2 8y 9 = 0 E. Garis singgung Lingkaran Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran tersebut sedemikian sehingga titik persekutuan garis dan lingkaran ada satu dan hanya satu titik. Dari gambar 2 di bawah ini g 1 menyinggung lingkaran di titik D. Gambar 2 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 3

7 F. Persamaan garis singgung dengan gradien (m) tertentu Gambar 3 Pada gambar 3 di atas garis g 1 dan g 2 memiliki gradien (m) yang sama dan keduanya merupakan garis singgung dari lingkaran L. Bagaimana mencari persamaan garis g 1 dan g 2 jika gradien dan persamaan lingkaran yang disinggungnya diketahui?? Jika garis g 1 dan g 2 memiliki persamaan y = mx + p dan menyinggung lingkaran L x 2 + y 2 = r 2, maka dengan mensubtitusikan y = mx + p ke x 2 + y 2 = r 2 diperoleh: x 2 + (mx + p) 2 = r 2 x 2 + m 2 x 2 + 2mpx + p 2 = r 2 (m 2 +1)x 2 + 2mpx + (p 2 r 2 ) = 0 Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titik persekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut bernilai nol (D = 0) D = 0 b 2 4ac = 0 (2mc) 2 4(m 2 + 1) (p 2 r 2 ) = 0 4m 2 p 2 4(m 2 p 2 m 2 r 2 + p 2 r 2 ) = 0 4m 2 p 2 4m 2 p 2 + 4m 2 r 2 4p 2 + 4r 2 = 0 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 4

8 m 2 r 2 p 2 + r 2 = 0 p 2 = r 2 (1+m 2 ) p = ± r 1 + m 2 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O (0,0) dengan gradient m adalah: y = mx + p y = mx ± r 1 + m 2 Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran L: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 dengan gradien m adalah: (y b) = m(x a) ± r 1 + m 2 Latihan Soal C 1. Carilah persamaan singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien (m) = Carilah persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 6x + 10y 2 = 0 dengan gradien (m) = 2 G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran Gambar 4 Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan seperti pada gambar 4 di atas. Setiap kemungkinan memiliki ketentuan sebagai berikut: Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 5

9 1. Memotong (D > 0) 2. Tidak memotong dan tidak menyinggung (D < 0) 3. Menyinggung (D = 0) D adalah nilai diskriminan (b 2 4ac) dari persamaan kuadrat yang diperoleh dari substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran Pada gambar 5 terlihat titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L x 2 + y 2 = r 2 dan garis g adalah garis singgung lingkaran L di titik P. Titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L x 2 + y 2 = r 2, sehingga berlaku x y 1 2 = r 2 Dari ilustrasi pada gambar 5 terlihat bahwa OP g Jika OP kita anggap sebagai sebuah garis yang memiliki gradien m OP, maka m OP = y1 x1 Karena OP g maka berlaku Jika persamaan garis g adalah: Gambar 5 m OP. mg = 1 mg = 1 sehingga mg = x1 m OP y1 y y 1 = m(x x 1 ) Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 6

10 y y 1 = x 1 y 1 (x x 1 ) yy 1 y 1 2 = xx 1 + x 1 2 xx 1 + yy 1 = x y 1 2 xx 1 + yy 1 = r 2 Jadi diperoleh persamaan garis singung titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L x 2 + y 2 = r 2 adalah xx 1 + yy 1 = r 2 Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan, jika titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, maka garis singgung lingkaran L melalui P (x 1, y 1 ) adalah (x a)(x 1 a)+ (y b)(y 1 b) = r 2. Pembuktiannya adalah sebagai berikut: Gambar 6 Dari gambar 6 di atas terlihat bahwa titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 dan garis g adalah garis singgung lingkaran L di titik P. Titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, sehingga berlaku (x 1 a) 2 + (y 1 b) 2 = r 2 Karena OP g maka berlaku m OP. mg = 1 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 7

11 Jika persamaan garis g adalah: mg = 1 m OP Karena m OP = y 1 b sehingga x 1 a mg = x 1 a y 1 b y y 1 = m(x x 1 ) y y 1 = x 1 a y 1 b (x x 1) (y y 1 )(y 1 b) = (x 1 a)(x x 1 ) yy 1 by y by 1 = xx 1 + x ax ax 1 xx 1 ax + yy 1 by = x 1 2 ax 1 + y 1 2 by 1 xx 1 ax + yy 1 by + ( ax 1 by 1 + a 2 + b 2 ) = x 1 2 ax 1 + y 1 2 by 1 + ( ax 1 by 1 + a 2 + b 2 ) (xx 1 ax ax 1 + a 2 ) + (yy 1 by by 1 + b 2 ) = (x 1 2 2ax 1 + a 2 ) + (y 1 2 2by 1 + b 2 ) (xx 1 ax ax 1 + a 2 ) + (yy 1 by by 1 + b 2 ) = (x 1 a) 2 + (y 1 b) 2 (x a)(x 1 a)+ (y b)(y 1 b) = r 2 Jadi diperoleh persamaan garis singung titik P (x 1, y 1 ) pada lingkaran L (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 adalah (x a)(x 1 a)+ (y b)(y 1 b) = r 2 Jika lingkaran dinyatakan dalam persamaan L: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis yang melalui titik P (x 1, y 1 ) pada L adalah: xx 1 + yy A(x + x 2 1) + 1 B(y + y 2 1) + C = 0 (*) Latihan Soal D Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagai berikut: 1. Titik A (2, 5) pada lingkaran x 2 + y 2 = 9 2. Titik P ( 3,7) pada lingkaran (x + 2) 2 + (y 3) 2 = Titik Q (5, 6) pada lingkaran x 2 + y 2 6x + 4y 7 = 0 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 8

12 I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran Jika titik P (x 0, y 0 ) terletak di luar lingkaran L x 2 + y 2 = r 2, maka dari titik P dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran L seperti ditunjukkan pada gambar 7. Garis singgung tersebut menyinggung lingkaran L di titik A (x 1, y 1 ) dan B (x 2, y 2 ). Karena titik A dan B pada L, maka persamaan garis singgung yang melalui A dan B berturut-turut adalah g1: xx 1 + yy 1 = r 2 dan g2: xx 2 + yy 2 = r 2. P (x 0,y 0 ) A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) Gambar 7 Karena g1 dan g2 melalui titik P (x 0, y 0 ), maka berlaku: x 0 x 1 + y 0 y 1 = r 2 dan x 0 x 2 + y 0 y 2 = r 2 Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik A (x 1, y 1 ) dan B (x 2, y 2 ) memenuhi persamaan: x 0 x + y 0 y = r 2 (*). Selanjutnya, persamaan garis (*) disebut persamaan garis kutub (polar) lingkaran L. Garis polar tersebut melalui titik A dan B seperti terlihat pada gambar 8 di bawah ini. Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 9

13 Gambar 8 Selanjutnya dengan cara yang sama (buktikan sendiri) persamaan garis kutub (polar) titik P (x 0, y 0 ) terhadap lingkaran L : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 adalah (x 0 a)(x a) + (y 0 b)(y b) = r 2 Sedangkan persamaan garis kutub (polar) titik P (x 0, y 0 ) terhadap lingkaran L : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah: xx 0 + yy A(x + x 0) B(y + y 0) + C = 0 Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Jika titik P di luar lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa tali busur (memotong lingkaran di dua titik berbeda) 2. Jika titik P pada lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa garis singgung lingkaran di titik tersebut 3. Jika titik P di dalam lingkaran, maka garis kutub (polar) nya tidak memotong lingkaran Latihan Soal E Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 10

14 1. Titik A (5, 4) terhadap lingkaran x 2 + y 2 = Titik P (1, 2) terhadap lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = Titik P ( 1,4) terhadap lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x 2 + y 2 6x + 4y 3 = 0 5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = 16 J. Garis singgung melalui di luar lingkaran Misalkan titik P (x 0, y 0 ) adalah titik di luar lingkaran L dengan pusat (a, b) seperti sketsa pada gambar 9. Gambar 9 Akan ditentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x 0, y 0 ) dan menyinggung lingkaran L. Cara menentukan persamaan garisnya adalah dengan memanfaatkan persamaan garis polar suatu lingkaran. Langkahlangkahnya adalah seperti berikut ini: 1. Tentukan persamaan garis polar P (x 0, y 0 ) tersebut terhadap lingkaran 2. Potongkan garis polar (yang diperoleh dari langkah 1) terhadap lingkaran, sehingga diperoleh dua titik potong Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 11

15 3. Selanjutnya dengan titik-titik potong yang diperoleh pada langkah 2 dapat ditentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung pada lingkaran. Akan diperoleh dua garis singgung yang berbeda sebagaimana pada gambar 9. Contoh Soal Diketahui lingkaran L: x 2 + y 2 = 16 dan titik P( 3,4). Tentukanlah persamaanpersamaan garis singgung lingkaran L yang melalui titik P. Solusi Mudah ditunjukkan bahwa titik P berkedudukan di luar lingkaran L. Sehingga langkah pertama adalah menentukan persamaan garis polar lingkaran L di titik P. Persamaan polarnya adalah g: 3x + 4y = 16. Selanjutnya potongkan garis polar g dengan lingkaran L. Dengan mengubah 3x + 4y = 16 y = 16+3x 4 subtitusikan ke lingkaran L. Diperoleh sebagai berikut: x 2 + y 2 = 16 x 2 + ( x)2 = 16 x x x2 = 16 x x2 + 6x = 0 16x 2 + 9x x = 0 25x x = 0 x(25x + 96) = 0 x = 0 atau x = Untuk x = 0 y = (0) = 4. Jadi titik potong (0,4) 4 Untuk x = 96 y = ( ) = Titik (0,4) dan ( 96, = y = x, kemudian 4. Jadi titik potong ( 96, 28 ) ) merupakan titik singgung bagi garis singgung yang akan ditentukan ehingga cara menentukan persamaan garis singgungnya adalah sama dengan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran. Sehingga persamaan-persamaan garis singgungnya adalah: g 1 : x(0) + y(4) = 16 g 1 : 4y 16 = 0 g 1 : y 4 = 0 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 12

16 g 2 : x ( 96 ) + y ( ) = 16 g 1: 96x + 28y = 400 g 1 : 24x 7y = 0 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L: x 2 + y 2 = 16 dan melalui titik P( 3,4) adalah y 4 = 0 dan 24x 7y = 0 Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 13

17 K. SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A (3, 1) dan B ( 1, 3) serta titik pusatnya terletak pada garis g: 3x y 2 = 0 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A (3,0), B (0,2), dan C (2,1) 3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat C (1, 1) dan menyinggung garis g: 5x 12y + 9 = 0 4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L: (x + 2) 2 + (y 4) 2 = 9 di titik yang berabsis 1 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan L: (x 3) 2 + (y 2) 2 = 9 yang sejajar garis g: 3x + 2y + 4 = 0 6. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran L: x 2 + y x 6y 2 = 0 yang tegak lurus dengan garis h: 2x + y 5 = 0 7. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran L: x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik ( 3, 5) 8. Tentukan persamaan lingkaran dalam segitiga yang titik-titik sudutnya mempunyai koordinat: a. (10, 9), ( 4, 11), ( 6, 3) b. (1, 7), ( 2, 8), (18, 12) 9. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x, mempunyai pusat pada garis x + y = 7, dan melalui titik (5, 4) 10. Tentukan persamaan lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang sisisisinya diberikan oleh persamaan x + 7y 30 = 0; 7x y 10 = 0; dan 4x + 3y + 5 = Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3x 4y + 5 = 0 dan 4x + 3y 10 = 0 dan melalui titik (2, 4) Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 14

18 REFERENSI Suryadi H.S. Teori dan Soal: Ilmu Ukur Analitik Ruang. Fakultas MIPA Universitas Indoensia Tim FMIPA Universitas Pendidikan Indonesia. Ilmu Ukur Analitik I dan II (Geometri Analitik Bidang) Maxime Bocher. Plane Analytic Geometry. Havard University Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 15