Bola dan bidang Rata

Transkripsi

1 1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini? Bola di sepak pada suatu daerah/bidang datar yaitu lapangan bola yang berumput. Gambar Bola dan bidang Rata Pada kegiatan belajar 9 ini kita akan membahas kedudukan suatu bola pada bidang rata. Untuk lebih memahami kedudukan bola dan bidang rata, selesaikanlah masalah di bawah ini.

2 2 A. Kedudukan Bola dan Bidang Rata Masalah Jika Bola 0 berjari-jari, pusat,,. Bidang rata 0, dengan adalah jarak antara pusat bola,, ke bidang rata 0, maka ada 3 kemungkinan kedudukan antara bola 0 dengan bidang 0. Bagaimana hubungan bola dengan bidang rata? Untuk menentukan hubungan antara bola dan bidang rata lakukan kegiatan 9.1 di bawah ini. Kegiatan Hubungan antara bola dan bidang rata Langkah-langkahnya: 1. Lukislah suatu lingkaran dengan, berarti bola 0 berpotongan dengan bidang rata 0, seperti yang terlihat pada Gambar 3.1 di bawah ini. Gambar Bola berpotongan dengan Bidang Rata Perpotongan Bola 0 dengan bidang rata 0 akan membentuk sebuah lingkaran dengan persamaan lingkaran adalah: 0 0 Bagaimanakah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut? Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini. a. Perhatikan siku-siku di. adalah titik pusat lingkaran. b. Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat menggunakan dalil phytagoras yaitu sehingga diperoleh:

3 3 Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah: (25) c. Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang, kita dapat mengambil sebuah bola 0 dan sebuah bidang rata 0 yang saling berpotongan menurut lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran dinyatakan dengan dua persamaan yaitu: (26) d. Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran dapat pula dinyatakan sebagai berikut: (1) Perpotongan antara bola 0 dengan bola 0 (2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar 9.2 (a) dan (b) di bawah ini. Gambar (a) Bidang Rata dan Tabung Gambar (b) Bidang Rata dan Kerucut

4 4 e. Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara: (1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis dengan bidang rata 0. Garis tegak lurus dengan bidang rata 0, berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata atau dapat di tulis menjadi,,,,. Persamaan garis (1) (2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola sehingga diperoleh nilai. (3) Setelah nilai di dapatkan maka subsitukan nilai tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik pusat lingkaran. 2. berarti bola 0 menyinggung bidang rata 0, seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini. Gambar Bola menyinggung bidang rata Jika bidang rata 0 menyinggung bola 0 maka bidang rata 0 disebut juga dengan bidang singgungnya. Bagaimana menentukan bidang singgung tersebut? Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman Anda. a. Misalkan 0 dengan pusat bola,, dan,, adalah titik singgung bola 0 dan bidang rata 0.

5 5 b. Vektor tegak lurus terhadap bidang rata 0, berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata yaitu:,,,, sehingga diperoleh:,,..(1) Bidang rata melalui titik,, maka persamaan bidang rata adalah: 0..(2) c. Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan bidang singgung bola 0 di titik,, adalah: (27) Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa: 1) Jika 0, maka persamaan bidang singgung di titik,, adalah: 2) Jika, maka persamaan bidang singgung di titik,, adalah: 3) Jika, maka persamaan bidang singgung di titik,, adalah: Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah Membagi Adil yaitu pergantian: menjadi, menjadi, menjadi menjadi, menjadi, menjadi menjadi. 3. < berarti bola 0 tidak memotong dan tidak menyinggung bidang rata 0 seperti yang terlihat pada Gambar 9.4 di bawah ini.

6 6 Gambar bola tidak memotong maupun menyinggung bidang rata Kuasa Titik Misalkan bola,, 0 dan misalkan titik,,. Definisi 1: Kuasa titik,,, terhadap bola,, di defenisikan sebagai:,, 0 ada 3 kemungkinan nilai yaitu: Titik di luar bola jika dan hanya jika 0 Titik pada bola jika dan hanya jika 0 Titik di dalam bola jika dan hanya jika <0 Anti Geometri dari Kuasa Titik Masalah Misalkan bola,, 0 dan titik,, adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Perhatikan Gambar 9.5 di bawah ini.

7 7 Gambar Titik di Luar Bola 2. Tarik garis melalui,,. Misalkan cosinus arah garis adalah: cos,cos,cos sehingga persamaan parameter garis adalah: cos cos (1) cos Garis ada yang menembus bola, ada yang menyinggung bola, dan ada yang tidak menyinggung atau tidak menembus bola. 3. Andaikan garis tersebut menembus bola pada titik dan untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan bola 0 sehingga di peroleh:.(2) Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam, ada beberapa ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu: (1) Jika 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang berbeda. (2) Jika 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang konstan (sama). (3) Jika <0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang imaginer. 4. Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang berbeda yaitu dan. Berarti garis menembus bola pada dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan: cos, cos, cos dan

8 8 cos, cos, cos cos cos cos.1. Akar dari persamaan kuadrat (1) cos cos cos.1. Akar dari persamaan kuadrat (1). Jadi,.,, harga mutlak kuasa titik,, terhadap Bola (28) Atau : Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola di dan maka harga. adalah konstan. Kalau di luar bola maka harganya = kuasa, dan kalau di dalam bola maka harga negatifnya = kuasa. Bidang Kutub Masalah Misalkan persamaan Bola,, 0 dan sebarang titik,,. Bagaimanakah persamaan bidang kutubnya? Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 9.4. Persamaan Bidang Kutub

9 9 Langkah-langkahnya adalah: 1. Perhatikan Gambar 9.5 (a) di bawah ini. Gambar (a) Bola dan garis 2. Tarik garis melalui titik,, ) sehingga menembus bola di dan. 3. Misalkan titik,, pada garis sehingga titik dan sekawan haromonis dengan titik dan. Artinya jika 1 maka 1. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.5(b) di bawah ini. Gambar 9.5(b) 9 Bola dan garis 4. Jika garis digunakan, maka tempat kedudukan titik merupakan suatu bidang rata, yang disebut dengan bidang kutub (bidang polar) bola 0, dengan titik kutubnya adalah titik. 5. Misalkan persamaan Bola 0, dengan titik kutubnya,, maka koordinat titik adalah 1, 1, 1. 1

10 10 Agar maka 0..(2) 6. Subsitusikan persamaan (1) ke (2) sehingga diperoleh persamaan bidang kutub adalah Rangkuman 1. Persamaan bidang singgung bola yang melalui titik,, adalah 2. Persamaan bidang singgung bola 0 yang melalui titik,, adalah Kuasa suatu titik,, terhadap persamaan bola 0 adalah 0 4. Jika titik,, terletak pada, di dalam atau di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif atau positif.