BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

Transkripsi

1 BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16

2 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan baku sebuah bola Jika,, pada bola dengan radius berpusat pada,,, maka : atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan : Solusi : Pusat bola,, ; radius GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Contoh : Gambarkanlah grafik dari Solusi : Perpotongan dengan sumbu ambil & 0,, Perpotongan dengan sumbu ambil & 0 17

3 ,, Perpotongan dengan sumbu,,,, Bidang,,,, 2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA,,,, adalah vektor satuan baku disebut vektor basis. Panjang, diberikan sbb: Bila,, dan,, ; maka. dan. 18

4 Contoh : Cari sudut ABC jika,,,,, dan,,,, Vektor,,,, Vektor,,,,,,,,.,, SUDUT DAN KOSINUS ARAH Sudut antara vektor yang tak nol dengan vektor satuan,, disebut sudutsudut arah vektor Jika, maka :. ; ; 19

5 Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor Solusi : ; ;,, Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai, Solusi :,, Vektor yang memenuhi persyaratan :,,,,,,,,,,,, dan,,,,, BIDANG Bila,, adalah sebuah vektor tak nol tetap dan,, adalah titik tetap. Himpunan semua titik,, yang memenuhi. adalah BIDANG yang melalui dan tegak lurus.,, Maka,. setara terhadap Persamaan ini (paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol) disebut bentuk baku persamaan bidang. 20

6 Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :, Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui,, tegak lurus terhadap,,. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya Solusi : Vektor terhadap bidang kedua adalah,,. Sudut antara dua bidang tersebut adalah :.,, 3. HASIL KALI SILANG Hasil kali silang (hasil kali vektor atau cross product), untuk,, dan,, didefinisikan sebagai,, Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan 21

7 Dengan determinan, hukum anti komutatif Contoh : Andaikan,, dan,, Hitunglah dan menggunakan definisi determinan Solusi : Teorema : Andaikan dan vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan sudut antara mereka, Maka : 1... terhadap, Dua vektor dan dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika 22

8 Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik,,,,,,,, Solusi : Maka,,, dan,, Bidang yang melalui,, dengan normal mempunyai persamaan : atau SIFAT-SIFAT ALJABAR TEOREMA : Jika, dan adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan skalar, maka : ( 6. 23

9 4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga Suatu kurva ruang ditentukan oleh suatu tiga persamaan parameter,,,,,, kontinue pada selang I Suatu kurva dinyatakan dengan cara memberikan vektor posisi dari suatu titik.,, GARIS garis ditentukan oleh suatu titik tetap dan suatu vector. Garis adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga adalah sejajar terhadap, ; bilangan riil dan Bila,, dan,,,, Merupakan persamaan parameter dari garis melalui,, dan sejajar,, ;,, bilangan-bilangan arah 24

10 Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui,, dan,, Solusi :,,,, Pilih,, sebagai,,, maka persamaan parameter :,,,,,, Persamaan simetris garis yang melalui,, dengan bilangan arah a,b,c yakni : Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan dan Contoh : Cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor,, dan melalui,, Solusi : Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang dan Solusi : pilih garis menembus bidang dan dan Menghasilkan titik (0,4,2) titik,, 25

11 ,,,, vektornya adalah :,,,, Dengan menggunakan (3,0,4) untuk,, diperoleh : Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui (1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis Solusi : Sumbu x dan garis yang diberikan arah,, dan,, Suatu vektor yang tegak lurus terhadap dan v : Garis yang disyaratkan adalah sejajar terhadap,, Persamaan parameter :,, GARIS SINGGUNG PADA KURVA vektor posisi,, dan adalah bilangan-bilangan singgung pada 26

12 Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada di,, Solusi : Garis singgung mempunyai arah,,. Persamaan simetriknya adalah : KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN Bila. adalah vektor posisi untuk titik yang menjelajahi kurva selama bertambah besar. Misalkan ada dan kontinu dan kurva mulus. Panjang busur dari ke diberikan oleh Jika waktu Kecepatan Percepatan Laju Contoh : Suatu titik bergerak sedemikian hingga vector posisinya pada saat adalah 27

13 heliks melingkar Cari panjang busur untuk Hitung percepatan pada Solusi : Panjang busur KELENGKUNGAN Vektor singgung satuan pada adalah laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva Kelengkungan dari suatu kurva ruang Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar Solusi : 28

14 KOMPONEN PERCEPATAN Vektor normal satuan utama N di P : adalah normal () terhadap kurva diperoleh dari diferensial. ; sehingga. tegak lurus pada T.... Jika hasil kali silang. Sehingga atau Karena ; maka : Contoh : pada titik,,, cari,,,, dan Untuk gerak : Solusi : Pada 29

15 30