Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Transkripsi

1 Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan (b) Polinomial (c) Fungsi pecah (2) Fungsi irasional Fungsi transenden dibedakan menjadi (1) Fungsi eksponensial (2) Fungsi logaritma (3) Fungsi trigonometri (4) Fungsi siklometri B. Polynomial Fungsi P merupakan fungsi Polinomial (polynomial) jika P(x) = a x + a x + + a x + a x + a, dengan n bilangan bulat nonnegatif dan a, i = 0,1,, n konstan, yang disebut koefisien-koefisien dari polinomial tersebut. Domain dari sebarang polinomial adalah D = R = (, ). Jika koefisi-en a 0, maka dikatakan polinomial tersebut mempunyai derajat (degree) n. Sebagai contoh, fungsi f(x) = 2x 4x + 3 Merupakan polinomial dengan derajat 5. Fungsi Linear. Polinomial dengan derajat 1 mempunyai bentuk P(x) = ax + b, yaitu merupakan fungsi linear (linear function). Grafik fungsi linear merupakan garis lurus, dengan a : koefisien garis b : jarak titik potong garis dengan sumbu-y dari titik (0,0). Fungsi Kuadrat. Polinomial derajat 2 yang berbentuk P(x) = ax + bx + c

2 merupakan fungsi kuadrat (quadratic function). Grafik fungsi P adalah suatu parabola, dengan Persamaan sumbu simetri: x = Koordinat titik puncak:,, determinan D = b 4ac. Grafik fungsi kuadrat merupakan parabola yang terbuka ke atas jika a > 0 dan terbuka ke bawah jika a < 0. Perhatikan gambar berikut (a) (b) Gambar 2.25 Grafik (a) f(x) = x + x + 1 dan f(x) = 2x + 3x + 1. Fungsi Kubik. Polinomial dengan derajat 3 mempunyai bentuk P(x) = ax + bx + cx+d dan disebut fungsi kubik (cubic function). Gambar berikut berturutturut merupakan grafik fungsi kubik dan poliomial berderajat 4 dan 5. (a) (b) (c) Gambar 2.26 Grafik polinomial berderajat (a) 3, (b) 4, dan (c) 5. C. Power Function Fungsi f(x) = x, dengan a konstan disebut power function. Berikut diberikan beberapa kasus dengan nilai a berbeda.

3 (1) a = n, dengan n suatu bilangan bulat positif Grafik f(x) = x, dengan n = 1,2,3,4, dan 5 ditunjukkan pada Gambar Pada kasus ini diperoleh polinomial dengan 1 suku. Gambar 2.27 Grafik f(x) = x, dengan n = 1, 2, 3, 4, dan 5 Perhatikan bahwa bentuk grafik f(x) = x bergantung pada nilai n, apakah genap atau ganjil. Jika n genap, maka f(x) = x merupakan fungsi genap, yang mempunyai bentuk mirip dengan parabola y = x. Jika n ganjil, maka f(x) = x merupakan fungsi ganjil, yang mempunyai bentuk mirip dengan grafik f(x) = x. Gambar 2.28 Keluarga power function Catatan. Gambar 2.28 menunjukkan bahwa jika nilai n semakin besar, maka grafik semakin datar di sekitar 0 dan semakin curam untuk x 1.

4 (2) a = 1, dengan n suatu bilangan bulat positif n Fungsi f(x) = x = x merupakan fungsi akar (root function). Untuk n = 2 diperoleh fungsi akar pangkat dua (square root function) f(x) = x, yang mempunyai domain [0, ), range [0, ), dan grafik berupa setengah parabola x = y. Untuk nilai n genap, n > 2, grafik f(x) = x mirip dengan grafik f(x) = x. Untuk n = 3 diperoleh fungsi akar pangkat tiga (cube root function) f(x) = x, yang mempunyai domain R (ingat bahwa semua bilangan real mempunyai cube root). Untuk nilai n ganjil, n > 3, grafik f(x) = x mirip dengan grafik f(x) = x. Gambar 2.29 Grafik fungsi akar (3) a = 1 Fungsi f(x) = x = disebut reciprocal function. Grafik tersebut mempunyai persamaan y =, atau xy = 1, yaitu suatu parabola dengan sumbu-sumbu koordinat sebagai asimtot-asimtotnya. (a) (b) Gambar 2.30 Grafik (a) y = dan (b) V =. Fungsi seperti ini sering muncul di Fisika dan Kimia. Sebagai contoh, Hukum Boyle yang mengatakan bahwa suhu (temperatur) konstan, maka volume suatu gas berbanding terbalik terhadap tekanan, yang dirumuskan dengan: V =, dengan C konstan.

5 D. Rational Function Fungsi rasional (rational fungtion) merupakan rasio antara dua polinomial, yang dirumuskan sebagai berikut. f(x) = () (), Dengan P dan Q merupakan polinomial. Domain dari f adalah semua nilai x sedemikian sehingga Q(x) 0. Contoh fungsi rasional sederhana adalah f(x) =, dengan domain {x x 0}. Berikut diberikan grafik fungsi rasional f(x) = yang memiliki domain {x x ±2}. Gambar 2.31 Grafik f(x) = E. Algebraic Function Fungsi f disebut fungsi aljabar (algebraic function) jika fungsi tersebut dapat dikonstruksi menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar). Sebarang fungsi rasional merupakan fungsi aljabar. Contoh. (1) f(x) = x + 1 (2) f(x) = + (x 2) x + 1 Gambar 2.32 Grafik fungsi aljabar

6 Contoh fungsi aljabar muncul pada teori relativitas, yaitu massa dari suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan v adalah m = f(v) = / dengan m adalah massa diam partikel dan c = 3 10 km/dtk adalah kecepatan cahaya di ruang hampa. F. Trigonometric Function Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari satu di bawah. Posisi titik P = (x, y). Sudut t-positif dihitung berdasarkan arah yang berlawanan jarum jam dengan satuan radian. 1 = π rad. Gambar 2.33 Lingkaran Berikut adalah contoh fungsi trigonometri (1) f(x) = sin x dan f(x) = cos x Gambar 2.34 Grafik fungsi sinus dan cosinus Perhatikan bahwa baik fungsi sinus dan cosinus mempunyai domain (, ) dan range [ 1,1], yaitu 1 sin x 1 dan 1 cos x 1 atau dalam bentuk nilai mutlak sin x 1 dan cos x 1. Fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan periode 2π. Artinya, untuk setiap nilai x sin(x + 2π) = sin x dan cos(x + 2π) = cos x

7 (2) f(x) = tan x Fungsi tangen dihubungkan dengan fungsi sinus dan cosinus melalui persamaan berikut: tan x =. Sehingga, fungsi f(x) = tan x tidak terdefinisi untuk jika cos x = 0, yaitu untuk x = ±, ±,. Range fungsi tangen adalah (, ). Fungsi f(x) = tan x merupakan fungsi periodik dengan periode π, yaitu untuk setiap x, berlaku tan(x + π) = tan x Gambar 2.35 Grafik fungsi tangen G. Exponential Function Fungsi eksponensial (exponential function) mempunyai bentuk f(x) = a, dengan a konstan dan positif. Berikut diberikan contoh grafik fungsi eksponensial, yaitu f(x) = 2 dan f(x) = (0.5). Domain kedua fungsi tersebut adalah (, ), sedangkan rangenya adalah (0, ). Gambar 2.36 Grafik fungsi eksponensial

8 Gambar 2.37 Grafik fungsi eksponensial dengan variase nilai a Fungsi eksponensial banyak digunakan untuk memodelkan fenomena alam, seperti pertumbuhan populasi (a > 1) dan penurunan radioaktif (0 < a < 1). H. Logarithmic Function Fungsi logaritma (logarithmic function) mempunyai bentuk f(x) = log x, dengan a konstan dan positif. Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial. Domain fungsi logaritma adalah (0, ), sedangkan rangenya adalah (, ). Gambar 2.38 Grafik fungsi logaritma dengan variase nilai a