FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
|
|
|
- Deddy Halim
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
2 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4 Model Matematika (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
3 Pengertian Fungsi Fungsi Contoh Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. 1 Populasi manusia P bergantung pada waktu t. 2 Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w. 3 Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r. Definisi (Fungsi) Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturan yang memadankan setiap elemen x A dengan tepat satu elemen y = f (x) B. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
4 Fungsi Ilustrasi Fungsi Notasi: f : A B (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
5 Fungsi Catatan: 1 Dalam kalkulus biasanya A, B R. 2 Aturan pemadanan fungsi: y = f (x) x variabel bebas y variabel takbebas, bergantung pada x 3 Daerah asal fungsi: D f = A = {x : fungsi f terdefinisi} 4 Daerah hasil fungsi: W f = { y B : y = f (x), x D f } 5 Grafik fungsi: { (x, y) : x Df, y = f (x) } (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
6 Fungsi Ilustrasi Grafik Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
7 Fungsi Contoh Sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. 1 y = 2x y = x 2 1. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
8 Uji Garis Tegak Fungsi Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
9 Fungsi Contoh Diberikan sketsa grafik persamaan y = x + 1 dan x = y 2 2y. Periksa grafik manakah yang merupakan grafik suatu fungsi menggunakan uji garis tegak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
10 Penyajian Fungsi Fungsi Secara verbal: dengan uraian kata-kata Secara numerik: dengan tabel Secara visual: dengan grafik Secara aljabar: dengan aturan/rumusan eksplisit (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
11 Fungsi Contoh (Penyajian fungsi secara verbal) Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B (w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,- untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,- untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. Contoh (Penyajian fungsi secara numerik) Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) Biaya B (w) (rupiah) 0 < w < w < w < w < w (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
12 Fungsi Contoh (Penyajian fungsi secara visual) Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
13 Fungsi Contoh (Penyajian fungsi secara aljabar) Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut , jika 0 < w 1, 1.250, jika 1 < w 2, B (w) = 1.500, jika 2 < w 3, 1.750, jika 3 < w 4, 2.000, jika 4 < w 5. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
14 Fungsi Contoh Salah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan aturan pemberian tingkat diskon (D) dalam persen atas banyaknya belanja iklan (x) dalam juta rupiah sebagai berikut. Belanja iklan kurang dari 500 juta rupiah diberi diskon 5%, belanja iklan dari 500 juta rupiah sampai dengan 1 miliar rupiah diberi diskon 10%, dan belanja iklan lebih dari 1 miliar rupiah diberi diskon 30%. Nyatakan hubungan D dengan x secara numerik, visual (grafik fungsi D), dan aljabar. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
15 Fungsi Polinom Jenis-jenis Fungsi Aturan fungsi: y = f (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a n,..., a 1, a 0 konstanta, (a n = 0), n = derajat polinom Daerah asal: D f = R Daerah hasil bergantung pada bentuknya (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
16 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Polinom Fungsi Konstan (Polinom Berderajat 0) Aturan fungsi: y = f (x) = a a konstanta Daerah asal: D f = R Daerah hasil: W f = {a} Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
17 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Polinom Fungsi Linear (Polinom Berderajat 1) Aturan fungsi: y = f (x) = ax + b a dan b konstanta, (a = 0) a = kemiringan garis (gradien/slope) b = perpotongan garis dengan sumbu-y (intersep) Daerah asal: D f = R Daerah hasil: W f = R Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
18 Jenis-jenis Fungsi Contoh (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
19 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Polinom Fungsi Kuadratik (Fungsi Polinom Berderajat 2) Aturan fungsi: y = f (x) = ax 2 + bx + c a, b, dan c konstanta, (a = 0) Diskriminan: D = b 2 4ac ( b Titik maksimum/minimum: (x, y) = 2a, D ) 4a Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
20 Jenis-jenis Fungsi Contoh Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. 1 y = x 2 + 2x 1. 2 y = 2x 2 + 2x 4. 3 y = x 2 + 4x + 5, 6 x 7. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
21 Fungsi Pangkat Jenis-jenis Fungsi Aturan fungsi: y = f (x) = x n, n N Daerah asal: D f = [0, ) Daerah hasil: Jika n ganjil (misalnya, f (x) = x dan f (x) = x 3 ), W f = R Jika n genap (misalnya, f (x) = x 2 dan f (x) = x 4 ), W f = [0, ) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
22 Jenis-jenis Fungsi Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
23 Fungsi Akar Jenis-jenis Fungsi Aturan fungsi: y = f (x) = n x, n = 2, 3, 4,... Jika n genap (misalnya, f (x) = 2 x = x dan f (x) = 4 x) Daerah asal: D f = [0, ) Daerah hasil: W f = [0, ) Jika n ganjil (misalnya, f (x) = 3 x dan f (x) = 5 x) Daerah asal: D f = R Daerah hasil: W f = R (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
24 Jenis-jenis Fungsi Grafik: Contoh Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut 1 y = x 1. 2 y = x 2 + 3x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
25 Fungsi Rasional Jenis-jenis Fungsi Contoh Aturan fungsi: y = f (x) = P (x) Q (x) P dan Q adalah fungsi polinom Daerah asal: D f = R {x : Q (x) = 0} Daerah hasil bergantung pada bentuknya 1 Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi rasional berikut. y = x + 1 x 1 2 Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut. y = x 2 x 2 1 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
26 Fungsi Rasional Fungsi Kebalikan Jenis-jenis Fungsi Aturan fungsi: y = f (x) = 1 x, x = 0 Daerah asal: D f = R {0} Daerah hasil: W f = R {0} Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
27 Fungsi Aljabar Jenis-jenis Fungsi Definisi (Fungsi aljabar) Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh Berikut merupakan fungsi-fungsi aljabar. x f (x) = x 1 x 2 2 f (x) = x (x 2) 3 x + 1 Catatan: Fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, dan fungsi rasional merupakan fungsi aljabar. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
28 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Trigonometri Fungsi Sinus Aturan fungsi: y = f (x) = sin x, x dalam radian Daerah asal: D f = R Daerah hasil: W f = [ 1, 1] Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
29 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Trigonometri Fungsi Kosinus Aturan fungsi: y = f (x) = cos x, x dalam radian Daerah asal: D f = R Daerah hasil: W f = [ 1, 1] Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
30 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Trigonometri Fungsi Tangen Aturan fungsi: y = f (x) = tan x = sin x cos x, x dalam radian Daerah asal: D f = R { π 2 + nπ : n Z} Daerah hasil: W f = R Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
31 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Trigonometri Fungsi Sekan, Kosekan, dan Kotangen Fungsi sekan Aturan fungsi: Fungsi kosekan Aturan fungsi: Fungsi kotangen Aturan fungsi: y = f (x) = sec x = 1 cos x, y = f (x) = csc x = 1 sin x, y = f (x) = cot x = 1 tan x, x dalam radian x dalam radian x dalam radian (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
32 Jenis-jenis Fungsi Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri 1 1 sin x cos x 1 3 sin x = sin (x + 2π) 4 cos x = cos (x + 2π) 5 tan x = tan (x + π) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
33 Fungsi Eksponen Jenis-jenis Fungsi Bentuk: y = f (x) = a x, a > 0 Daerah asal: D f = R Daerah hasil: W f = (0, ) Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
34 Fungsi Logaritma Jenis-jenis Fungsi Bentuk: y = f (x) = log a x, a > 0 Daerah asal: D f = (0, ) Daerah hasil: W f = R Grafik: (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
35 Fungsi Transenden Jenis-jenis Fungsi Definisi (Fungsi transenden) Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponen, dan logaritma. Contoh Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 1 f (x) = 4 x f (x) = x 6 x f (x) = log 10 x 4 f (x) = 10 x 5 f (x) = x 10 + log 10 x 2x x 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
36 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function) Definisi (Fungsi sesepenggal) Fungsi sesepenggal adalah fungsi dengan banyak aturan dengan setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dan g berikut, kemudian buatlah sketsa grafiknya. f (x) = x = { x, x 0 x, x < 0 Catatan: f disebut fungsi nilai mutlak. x + 4, 5 x < 3 g (x) = 1, 3 x < 1 x 2, 1 x < 3 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
37 Jenis-jenis Fungsi Contoh Didefinisikan untuk setiap bilangan real x: [[x]] = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dengan f (x) = [[x]], kemudian buatlah sketsa grafiknya. Catatan: f disebut fungsi bilangan bulat terbesar. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
38 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Definisi (Fungsi genap) Jika fungsi f memenuhi f ( x) = f (x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka fungsi f disebut fungsi genap. Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
39 Jenis-jenis Fungsi Definisi (Fungsi ganjil) Jika fungsi f memenuhi f ( x) = f (x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka fungsi f disebut fungsi ganjil. Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
40 Jenis-jenis Fungsi Contoh Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi genap, fungsi ganjil, atau bukan keduanya. 1 f (x) = 1 x 4. 2 f (x) = x 2 + cos x. 3 f (x) = x + sin x. 4 f (x) = 2x x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
41 Jenis-jenis Fungsi Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi (Fungsi naik dan fungsi turun) 1 Fungsi f disebut naik pada interval I jika f (x 1 ) < f (x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I. 2 Fungsi f disebut turun pada interval I jika f (x 1 ) > f (x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
42 Jenis-jenis Fungsi Contoh Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada interval I. 1 f (x) = x 2, I = [0, ). 2 f (x) = sin x, I = [π, 2π]. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
43 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1 Transformasi fungsi Pergeseran, peregangan, dan pencerminan 2 Operasi aljabar fungsi Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian 3 Komposisi fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
44 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Transformasi Fungsi Pergeseran (Translasi) Misalkan c > 0. Untuk memperoleh grafik: 1 y = f (x) + c, geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke atas 2 y = f (x) c, geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke bawah 3 y = f (x c), geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kanan 4 y = f (x + c), geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kiri (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
45 Fungsi Baru dari Fungsi Lama (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
46 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Transformasi Fungsi Peregangan (Dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1 y = cf (x), regangkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c 2 y = 1 f (x), mampatkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c c 3 y = f (cx), mampatkan grafik y = f (x) secara mendatar dengan faktor ( c ) 1 4 y = f c x, regangkan grafik y = f (x) secara mendatar dengan faktor c (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
47 Fungsi Baru dari Fungsi Lama (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
48 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Transformasi Fungsi Pencerminan (Refleksi) Untuk memperoleh grafik 1 y = f (x), cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-x 2 y = f ( x), cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-y (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
49 Fungsi Baru dari Fungsi Lama (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
50 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Contoh Gambarkan grafik fungsi f berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1 f (x) = x 1. 2 f (x) = sin 2x. 3 f (x) = x 2 + 2x f (x) = 1 cos x. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
51 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Operasi Aljabar Fungsi Definisi (Aljabar fungsi) Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan D g. Fungsi f + g, f g, fg, dan f /g didefinisikan sebagai berikut 1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; D f +g = D f D g 2 (f g) (x) = f (x) g (x) ; D f g = D f D g 3 (fg) (x) = f (x) g (x) ; D fg = D f D g 4 (f /g) (x) = f (x) /g (x) ; D f /g = D f D g {x : g (x) = 0} (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
52 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Contoh Tentukan f + g, f g, fg, dan f /g beserta daerah asal dan daerah hasilnya, jika f (x) = x 2 ; g (x) = 2x Contoh Tentukan f + g, f g, fg, dan f /g beserta daerah asalnya, jika f (x) = 1 + x; g (x) = x 1 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
53 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Komposisi Fungsi Definisi (Komposisi fungsi) Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan D g. Fungsi komposit f g didefinisikan sebagai berikut: (f g) (x) = f (g (x)) dengan D f g = { x : x D g dan g (x) D f }. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
54 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Ilustrasi Komposisi Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
55 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Ilustrasi Komposisi Fungsi (2) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
56 Fungsi Baru dari Fungsi Lama Contoh Tentukan f g, g f, dan f f beserta daerah asalnya, jika 1 f (x) = x 2 ; g (x) = x 2 f (x) = 1 x ; g (x) = x + 1 Contoh Tentukan f g dan g f beserta daerah asalnya, jika f (x) = x ; x < 0 g (x) = 2 x ; 0 < x 5 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
57 Model Matematika Model Matematika Definisi (Model matematika) Model matematika adalah representasi dari fenomena dunia nyata yang melibatkan konsep atau formulasi matematik (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan). Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat perkiraan tentang perilakunya di masa depan. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
58 Model Matematika Proses Pemodelan (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
59 Model Matematika Contoh Tempat penampungan air berbentuk silinder tanpa tutup. Jika tinggi silinder 2 kali garis tengah alas silinder, maka tentukan luas permukaan tempat penampungan air sebagai fungsi dari jari-jari alas. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
60 Model Matematika Contoh Kapal tanker yang bermuatan minyak mentah menabrak karang, sehingga kapal bocor. Tumpahan miyak membentuk lingkaran. Jari-jari tumpahan minyak berkembang dengan laju tetap 2 km/jam. 1 Rumuskan jari-jari r sebagai fungsi dari waktu t. 2 Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari jari-jari r. 3 Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari waktu t. (Tentukan fungsi komposisi (L r) (t)). 4 Tentukan luas tumpahan minyak pada hari ke-10 setelah kapal bocor. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
61 Model Matematika Contoh Pada suatu medium, banyaknya bakteri mula-mula adalah 500 satuan. Perkembangan bakteri tersebut dipengaruhi oleh suhu t (dalam C) sebagai berikut. Pada 0 < t 10, setiap penambahan 1 C, bakteri bertambah sebanyak 50 satuan. Tetapi pada 10 < t 30 bakteri hanya bertambah 10 satuan setiap penambahan 1 C, bahkan pada t > 30 bakteri mati dengan laju konstan 5 satuan per 1 C. Rumuskan banyaknya bakteri P sebagai fungsi dari suhu t dan gambarkan grafiknya. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
62 Model Matematika Contoh Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30 + v/2) $/mil jika dikemudikan dengan kecepatan konstan v mil/jam. Pengemudi truk mendapatkan upah 1400 $/jam. Rumuskan total biaya pengiriman barang dengan menggunakan truk tersebut ke kota A yang berjarak k mil, sebagai fungsi dari kecepatan v. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
63 Model Matematika Contoh Aturan pembayaran biaya berlangganan air PDAM sebagai berikut. Dikenai biaya Rp 7.000,- untuk pemakaian 10 m 3 pertama. Tambahan biaya Rp 1.000,- per m 3 untuk pemakaian di atas 10 m 3 sampai 20 m 3 dan tambahan biaya Rp 2.600,- per m 3 untuk pemakaian di atas 20 m 3. 1 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 16 m 3, maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar? 2 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 57 m 3, maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar? 3 Rumuskan biaya berlangganan air B sebagai fungsi dari banyaknya pemakaian air x, kemudian gambarkan grafik fungsinya. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
. Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
FUNGSI. Sesi XI 12/4/2015
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI FUNGSI dan GRAFIK e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 FUNGSI Secara intuitif,
A B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
Hendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam
TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22
TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika
1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan
Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas
Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi
Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I
F U N G S I A R U M H A N D I N I P R I M A N D A R I DEFINISI Fungsi adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota himpunan A pada tepat satu anggota himpunan B. Dimana: Himpunan A disebut domain
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I
![[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I](/thumbs/79/79568406.jpg "[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I")
FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Himpunan anak yang beranggotakan
TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan
SRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai
5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
FUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
MAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
FUNGSI DAN GRAFIK KED. Fungsi Bukan Fungsi Definisi
FUNGSI DAN GRAFIK Deinisi Funsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan nilai ya diperoleh
Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.
Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK
INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3
PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1
PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)
KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan
ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI. f(x) f(a)
BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Sebagai contoh, harga barang tergantung pada banyaknya
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 3. Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 3 Fungsi & Model ALZ DANNY WOWOR 1. Fungsi Sebelum membahas fungsi, akan ditunjukkan pengertian dari relasi yang
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Tinjauan Mata Kuliah
i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah
BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
FUNGSI DAN GRAFIK KED
FUNGSI DAN GRAFIK 1.1 Pendahuluan Deinisi unsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMA/MA... Kelas : X Semester : I (SATU) KKM
Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah : MAT 101 Bobot SKS : 3 (2-2) : Landasan Matematika GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN Deskripsi : Mata kuliah ini membahas konsep-konsep dasar matematika yang meliputi
Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I
7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi
Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t
Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Bab1. Sistem Bilangan
Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
GAMBARAN UMUM SMA/MA. Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS 1
GAMBARAN UMUM Pada ujian nasional tahun pelajaran 006/007, bentuk tes Matematika tingkat berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda, sebanyak 0 soal dengan alokasi waktu 0 menit. Acuan yang digunakan
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
( )( ) ISTIYANTO.COM. Pembahasan: Nomor 2 Bentuk sederhana dari A. B. C. D. E. 5 a b. Pembahasan: Nomor 3. Bentuk sederhana dari
ISTIYANTO.COM Pembahasan: Nomor (a b Bentuk sederhana dari (a b A. a b a b a b ab 9 a b 8 adalah Pembahasan: Soal UN Matematika IPA Dapatkan Buku Bank Soal Matematika SMA karangan Istiyanto untuk memudahkan
DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA
3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,
FUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
SKL 1 Soal logika matematika dalam pemecahan masalah Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk
SKL Soal 0-0 No. KOMPETENSI INDIKATOR 0. M e n g g u n a k a n Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis logika matematika dalam pemecahan masalah Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan
BAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi
sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan
KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG
Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Matematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum Institut Teknologi Bandung
MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum 2013-2018 Institut Teknologi Bandung Buku Teks : CALCULUS, Varberg, Purcell, Rigdon, 9 th ed. Copyright 2013 - WD - Prodi Matematika FMIPA ITB - Slide 0-1 Untuk dipakai di
matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
fungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Rencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu