MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
|
|
- Budi Yandi Darmadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
2 Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran
3 Dengan mempelajari fungsi non linear ini, secara umum diharapkan dapat memahami berbagai macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya dan dapat menggambarkan grafiknya. Di samping itu, Anda diharapkan mampu untuk menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk membuat gambar grafiknya,membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips, parabola dan hiperbola, menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya Fungsi Non Linear
4 Grafik Kurva Non-Linear Polinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kx r y s, di mana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva aljabar. Suatu contoh kurva aljabar adalah garis lurus. Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu dengan memperhatikan kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan jumlahnya tidak terlalu banyak Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan kegunaannya adalah sebagai berikut:
5 Titik Potong Titik potong suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik potong dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai x nya. Titik potong dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi, titik-titik potong ini harus dicari.
6 Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama. Contoh Simetris Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,y) terhadap sumbu y. Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di tengah-tengah garis yang menghubungkan ke dua titik tersebut.
7 Contoh: Simetris Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin. Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik origin. Kurva simetris terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga terletak pada kurva.
8 Simetris Contoh: Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva simetris dengan titik (- x,y) yang juga terletak pada kurva.
9 Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 c.titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0 Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentu simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya, kurva yang simetris terhadap origin belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y. Contoh : Simetris Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 y + y + x 3 = 0 merupakan fungsi dengan kurva yang simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap salah satu sumbu.
10 Simetris f(x,-y) = -x 2 y - y + x 3 f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x. f(-x,y) = x 2 y + y - x 3 f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y. f(-x,-y) = -x 2 y - y - x 3 = 0 f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 simetris terhadap origin.
11 Batas Nilai Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilanganriil. Jadi untuk titik (x,y) di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan riil tetapi x bilangan imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya melibatkan akar dan bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil. Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian rupa sehingga semua titik mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu persamaan, sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas. Contoh Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 + y 2 = 25 mempunyai batas? x 2 = 25 - y 2 x = ± 25 y 2 Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y 2 akan bertanda negatif bila: 25 - y 2 < 0 - y 2 < - 25 atau y > ±5 dan batas untuk y adalah -5 < y < 5
12 Batas Nilai Batas untuk x: y 2 = 25 - x 2 y = ± 25 x 2 Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila: 25 - x2 < 0 - x2 < 25 atau x > ±5 dan batas untuk x adalah -5 < x < 5
13 Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin atau dapat pula dikatakan bahwa garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) - mx + b jika x dan y -. Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis asimtot yang sejajar sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar dengan sumbu x disebut asimtot horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut asimtot vertikal dan didefinisikan: Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y k untuk x. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x h untuk y. Untuk kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah gerakan suatu kurva apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa batas (x + ; y + ) atau x dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x - ; y - ). Di samping itu harus diperhatikan juga nilai variabel yang tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya. Hal ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari kiri atau dari kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari bawah (untuk asimtot horisontal). Asismtot Kurva
14 Asismtot Kurva Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0 mempunyai asimtot horisontal atau vertikal? Langkah pertama adalah mengeluarkan x: x=
15 Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y +, maka x 4 dan x > 4. Jika y -, maka x 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan. Langkah kedua adalah mengeluarkan y: Asismtot Kurva y= Jika x +, maka y 3 dan y > 3, tetapi bila x - maka y 3 dan y < 3. Jadi y = 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari atas dan bawah.
16 Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara dua faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y). h(x,y) = 0. Dengan demikian maka grafik f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) = 0 terletak pada f(x,y) = 0. Contoh: Buatlah grafik persamaan 2x 2 + 3xy - 2y 2 = 0 2x 2 - xy + 4xy - 2y 2 = 0 (Faktorisasi) x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0 (2x - y) (x + 2y) = 0 Jadi grafik persamaan 2x 2 + 3xy - 2y 2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu: 2x - y = 0 dan x + 2y = 0. Faktorisasi
17 Tentukan Titik Potong, Kesimetrisan, Batas Nilai, dan Asimtot Grafik dari persamaan persamaan berikut : 1) y = (x + 2)(x - 3) 2 2) y 3 + xy 2 - xy - x 2 = 0 3) y 2-4xy - 1 = 0 4) xy - y - x - 2 = 0 5) x 2 y - x 2-4y = 0 Soal Latihan
18 Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola atau bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan kuadratik: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A,B dan C tidak bernilai sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris dua buah kerucut dengan suatu bidang datar. Dari persamaan kuadratik Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 dengan mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran. Jika B2-4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips. Fungsi Kuadratik Jika B2-4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola. Jika B2-4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.
19 Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik pada lingkaran ke pusat dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 Lingkaran Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:
20 Lingkaran Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan: x 2-4x + y 2 = 0 Bentuk umum lingkaran: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 x 2 4x + y 2 = 0 ruas kiri dan kanan ditambah 4 x 2-4x y 2 = 4 (x - 2) 2 + (y - 0) 2 = 2 2 Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.
21 Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi secara simetris oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu panjang dan yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut pusat elips. Elips Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A, C, A dan C berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam bentuk standar: Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x. Akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendeknya 2b. Sumbu panjang disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari pendek.
22 Contoh : Elips Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan: Pusat elips (-2,1) Jari-jari panjang = 9 = 3 Jari-jari pendek = 4 = 2
23 Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus dan garisnya disebut "directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut sumbu. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex parabola. Persamaan umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar sumbu y adalah: Ax 2 + Dx + Ey + F = 0, Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, Bentuk persamaan standar dari parabola adalah: (x - h) 2 = 4p (y - k) di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y; atau (y - k) 2 = 4p (x - h) Parabola di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu, sedang p adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.
24 Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y: Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah. Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas. Parabola Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x: Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri. Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan. Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p semakin besar, maka parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian parabola dapat Anda perhatikan pada gambar berikut.
25 Parabola Contoh Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2-4x + 4y + 16 = 0 dan tentukan vertexnya. Bentuk standar parabola: (x - h) 2 = 4p(y - k) x 2-4x + 4y + 16 = 0 x 2-4x + 4 = -4y (x - 2) 2 = -4 (y + 3) Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.
26 Hiperbola Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu "transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang saling berpotongan. Titik potongnya disebut pusat hiperbola. Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A dan C berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk standar untuk hiperbola. di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan: Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.
27 Contoh Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah 9x 2-4y 2-18x - 16y - 43 = 0. Bentuk umum persamaan hiperbola: Hiperbola 9x 2-4y 2-18x - 16y - 43 = 0 9(x 2-2x + 1) - 4(y 2 + 4y + 4) = (x - 1) 2-4(y + 2) 2 = 36 Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3. Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.
28 Hiperbola Persamaan asimtot: Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau 3x - 2y - 7 = 0 Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau 3x + 2y + 1 = 0 Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi: (x - h) (y - k) = c
29 Tentukan bentuk dari persamaan kuadratik berikut, dan gambarkan grafiknya: 1) x 2 +y 2-6x -2y -6 = 0 2) xy -4y = 4 3) x 2 +9y 2-8x +7 = 0 4) y 2-4x 2-4y +4 = 0 5) y 2-2y -8x +25 = 0 Soal Latihan
30 Penggunaan Fungsi Non-Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi nonlinier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam materi ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran Setelah mendapatkan mata kuliah ini mahasiswa diharapkan mampu: a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi non-linier; b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier; c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik; d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan; e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep kurva indifference; f. menghitung kombinasi jumlah barang yang diminta dengan menggunakan konsep garis anggaran.
31 Fungsi Permintaan & Penawaran Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear seperti berikut: Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung
32 Bentuk Kurva Parabola Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut (Q - h) 2 = 4p (P - k)
33 Bentuk Kurva Parabola Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex (h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h 0 dan k > 0. Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola macam ini mempunyai p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0 dan k 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku mempunyai batas yaitu 0 < Q < Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva yang menurun. Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan bentuk umumnya adalah (P - k) 2 = 4p(Q - h) Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0. Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P > 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h 0 dan k > 0.
34 Contoh Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:p = 11-Q- Q2 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut 4P = 44-4Q - Q atau Q 2 + 4Q + 4 = 4P + 48 (Q + 2) 2 = -4(P - 12) maka: P = -1, h = -2, k = 12 Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11. Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan Q 1 = Q 2 =
35 Tentukan harga keseimbangan dan grafik fungsi penawaran dan permintaan dari persamaan persamaan berikut : 1) Permintaan: 2Q + P = 10 Penawaran: P2 4Q = 4 2) Permintaan: 2Q2 + P = 9 Penawaran: Q2 + 5Q P = -1 3) Permintaan: Q = 64 8P 2P2 Penawaran: Q = 10P + 5P2 4) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97 Penawaran: P Q = 6 Soal Latihan
36 Thank You...
Fungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciPenggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi
Modul 6 Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec F PENDAHULUAN ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
NAMA: KELAS: PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar. RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Macam-macam Irisan Kerucut: 1. Parabola 2.
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciMODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS
MODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS 8.1. LINGKARAN A. PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT PADA TITIK ASAL DAN JARI-JARI R Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari jari R adalah : x 2 + y 2 = R 2 B. PERSAMAAN
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K1 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan - Persiapan PTS Semester Genap Halaman 1 01. Grafik berikut ini yang menunjukkan grafik dari parabola x 2 = -12y adalah... (Catatan: Setiap kotak pada
Lebih terperinciKelas XI MIA Peminatan
Kelas Disusun : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 017 018 Peta Konsep Glosarium Istilah Keterangan Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI FUNGSI DAN
MATEMATIKA EKONOMI BAB IV FUNGSI DAN KURVA NONLINIER By Bambang Suprayitno 1 FUNGSI NONLINIER DENGAN SATU VARIABEL INDEPENDENT Fungsi nonlinier adalah fungsi yang dibentuk dari persamaan yang membentuk
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciDosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Website : HUBUNGAN NONLINEAR
Dosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Email : asyahza@yahoo.co.id Website : http://almasdi.unri,ac,id HUBUNGAN NONLINEAR a. Fungsi Kuadrat b. Fungsi Kubik c. Penerapan Ekonomi Permintaan,
Lebih terperinciModul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat. Lingkaran. Elips
IR Lingkaran Elips 1 Smk n 1 stabat IRISAN KERUCUT Disusun Oleh : Dian Septiana 07144110049 Dalam PPL-T Unimed SMK N 1 Stabat SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT LANGKAT 010 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciK13 Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan
K13 Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan Persiapan UAS 1 Doc. Name: K13AR11MATPMT01UAS Version : 015-11 halaman 1 01. Sukubanyak f() = 3 + + 3- dapat ditulis sebagai. f() = [( + ) - 3] + f() = [( -
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciKURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB
KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Kurva-kurva standar Asimtot Penggambaran kurva secara sistematis, jika persamaan kurvanya diketahui Pencocokan kurva Metode kuadrat terkecil
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciFUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA NAMA: KELAS: 1 P a g e FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA I. FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstan) adalah fungsi yang didefinsikan
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciLOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciTelkom University Alamanda
Telkom University Alamanda 2 Tujuan Mahasiswa diharapkan mampu: Memahami fungsi non-linear Menerapkan fungsi non-linear dalam ilmu ekonomi 3 Hubungan Non-Linear Ada 4 macam bentuk fungsi non-linear yang
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciBab 1. Irisan Kerucut
Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciMETODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN KUARDRATIK IRISAN KERUCUT. Nurul Saila1
ISSN 2354-6948 METODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN KUARDRATIK IRISAN KERUCUT Nurul Saila1 1 Staf Pengajar, Universitas Panca Marga, Probolinggo nurul.saila@upm.ac.id1 (diterima:
Lebih terperinciF U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI
F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciMATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c
1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu
Lebih terperinciPERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH
PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si. Oleh: TMT 5E Kelompok
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciKETIDAKSAMAAN. A. Pengertian
A. Pengertian KETIDAKSAMAAN Ketidaksamaan dinotasikan dengan 1. < (lebih Kecil 2. ( lebih kecil atau sama dengan)) 3. > ( lebih besar) 4. ( lebih besar atau sama dengan) Tanda di atas digunakan untuk membuat
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperincihttp://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Kebahagiaan tertinggi dalam kehidupan adalah kepastian bahwa Anda dicintai apa adanya, atau lebih tepatnya dicintai walaupun Anda seperti
Lebih terperinciy
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinci6/28/2016 al muiz
6/28/2016 al muiz 2013 1 Unsur-unsur dalam model matematis Varia bel Kons tanta Para meter Unsur model matematis 6/28/2016 al muiz 2013 2 Variabel adalah sesuatu yang besarnya dapat berubah, misalnya sesuatu
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciHendra Gunawan. 9 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 9 Oktober 013 Sasaran Kuliah Hari Ini 34Masalah 3.4 Maksimum dan Minimum Lanjutan Memecahkan masalah maksimumdan minimum. 3.5 Menggambar Grafik Fungsi
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciB. 30 X + 10 Y 300; 20 X + 20 Y 400; X 0, Y 0 C. 10 X + 30 Y 300; 20 X + 20 Y 400, X 0, Y 0 D. 10 X + 30 Y 300, 20 X + 20 Y 400, X 0, Y 0
BIDANG STUDI : MATEMATIKA 1. Harga 3 kg pepaya dan 5 kg jeruk adalah Rp 13.000, sedangkan harga 4 kg papaya dan 3 kg jeruk adalah Rp 10.000, maka harga 2 kg papaya dan 4 kg jeruk adalah. A. Rp 10.000 B.
Lebih terperinciA. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram
GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG PERKENALAN Nama : Sofyan Mahfudy Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985 Status : Menikah Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciatau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
Lebih terperinciBAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0. a < 0 0 x 0 x
BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax 2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi dituliskan sebagai f(x) = ax 2 + bx + c. Sifat matematis dari persamaan kuadrat
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS. Dua garis sejajar mempunyai gradien sama, sehingga persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah
PERSAMAAN GARIS. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 9 Diketahui adalah garis l yang dinyatakan oleh det( A) dimana A x y, persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (,4) adalah... A. x y 7 C. x y E. x
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinciIdentikasi Jenis Konik dan Kuadrik Berdasarkan Bentuk Matriks A dan Elemen Matriks K pada Persamaan Kuadratik x 0 Ax + Kx + j = 0
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 3(A) 1431 Identikasi Jenis Konik dan Kuadrik Berdasarkan Bentuk Matriks A dan Elemen Matriks K pada Persamaan Kuadratik x Ax + Kx + j = Putra B. J. Bangun, Irmeilyana,
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
Lebih terperinciLBM Bina Mahunika Tahun 2013 MATEMATIKA EKONOMI ESPA4122
MATEMATIKA EKONOMI ESPA4122 PILIHLAH SALAH SATU JAWABAN YANG PALING TEPAT! 1. Seandainya himpunan Semesta S = {a,b,c,d,e}, A = {a,b,e}, B = {a,c,d} dan C = {b,e} maka... 2. Pada soal diatas maka adalah...
Lebih terperinciMenyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan
I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Persamaan dan Pertidaksamaan GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciIII. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciPERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14
1 KEGIATAN BELAJAR 14 PERSAMAAN HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 14 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan Persamaan Hiperbola 2. Melukis Persamaan Hiperbola Sebelumnya anda telah
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciPENDAHULUAN. Gambar potongan kerucut berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola
1 PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini kita akan mempelajari lengkungan yang dihasilkan dari potongan kerucut dengan bidang datar. Jika suatu kerucut dipotong oleh sebuah bidang, maka garis potong
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciPTE 4109, Agribisnis UB
MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB 1 Materi ang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear -Penggal -Simetri - Perpanjangan
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik
Lebih terperinci(2) Titik potong kurva dengan sumbu y, bila x = 0, diperoleh x = 0 y = mx + n y = m(0) + n y = n Jadi, titik potongnya dengan sumbu y, adalah (0, n) y
BAB 3 FUNGSI LINIER DAN PERSAMAAN GARIS LURUS 3.1 Pengantar Fungsi linier adalah bentuk fungsi yang paling sederhana. Banyak hubungan antara variable ekonomi, dalam jangka pendek dianggap linier. Pengetahuan
Lebih terperinciPengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah
1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 3x + 1 0 adalah A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
Lebih terperinciKISI-KISI UJIAN SEKOLAH
KISI-KISI UJIAN SEKOLAH Matematika SEKOLAH MENENGAH PERTAMA DAERAH KHUSUS IBUKOTA (DKI) JAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012-2013 KISI KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2012-2013 Jenjang : SMP
Lebih terperincimatematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran
KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..
Lebih terperinci1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E
1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... A. 3-3 + 21-7 21-21 + 7 2. Persamaan (2m - 4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah... A. -3-3 6 Kunci
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinci