III HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ = θ dengan fungsi periodizer kutub p. Kurva fungsi periodizer kutub f dengan beberapa nilai N dan 0 ditampilkan sebagai berikut:.5.0, Gambar 9 Kurva fungsi periodizer kutub p θ, 5, 0, 0 θ π. Ilustrasi dengan contoh: Grafik fungsi f θ = θ, 0 /, ditampilkan.5 (a) Gambar 0 Kurva f θ = θ, 0 /. (b) Gambar Kurva fungsi periodizer kutub f (a) N = 4 dan θ 0 = 0 rad, (b) N = 5 dan θ 0 = π 4 rad. Fungsi periodizer untuk f dituliskan sebagai berikut: III HASIL DAN PEMBAHASAN Karya ilmiah ini menyajikan persamaan tunggal untuk menampilkan kurva komposit (dapat terbuka atau tertutup) dan persamaan tunggal untuk kurva periodik. Perangkat matematika yang digunakan adalah fungsi tangga satuan Heaviside (untuk kurva komposit umum) dan fungsi periodizer (untuk kurva periodik). Persamaan tunggal yang dibentuk selanjutnya diterapkan pada kurva komposit sederhana dan bangun geometri poligon. 3. Fungsi Tangga Satuan Heaviside Penggunaan fungsi tangga satuan Heaviside dalam mendefinisikan fungsi bilangan real pada selang tertentu dapat diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan

2 6 sebuah fungsi bilangan real f, dalam variabel x, kontinu di seluruh bilangan real. Jika a, b adalah bilangan real, maka ruas kurva terbatas dari x = a ke x = b (dengan a < b), dapat dituliskan: g x = f x H x, a H x, b () dengan H(x, a) & H(x, b) adalah fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk: Fungsi tangga satuan Heaviside (3) dan (4) dapat pula dituliskan dalam koordinat kutub, yaitu: H θ, α = H θ, α =, θ > α 0, θ α, θ α 0, θ < α (5) (6) H x, a = 0, x < a, x > a H x, b = 0, x < b, x > b Persamaan (3) pada Bab II mendefinisikan suatu fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk H x, a, bernilai 0 ketika x < a dan bernilai ketika x > a. Persamaan (3) ini tidak mendefinisikan nilai fungsi H ketika x = a. Jika dikaitkan dengan ilustrasi fungsi tangga satuan Heaviside sebagai tombol switch on pada suatu alat elektronik, maka kondisi ketika tombol switch on ditekan dapat diinterpretasikan bahwa alat sudah menyala (bernilai ) atau alat masih belum menyala (bernilai 0). Maka dari itu, fungsi tangga satuan Heaviside pada pembentukan fungsi tunggal didefinisikan menjadi dua bentuk, yaitu: H x, a = 0, x a, x > a H x, a = 0, x < a, x a a a H (x,a) Gambar Fungsi tangga satuan Heaviside H dan H dalam koordinat Cartesius. x H (x,a) x (3) (4) Gambar 3 Fungsi tangga satuan Heaviside H dan H dalam koordinat kutub. Perbedaan pada pendefinisian fungsi tangga satuan Heaviside ini akan berpengaruh pada pendefinisian fungsi bernilai real dengan pertaksamaan daerah asal yang beragam. 3. Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Suatu Selang Fungsi 3.. Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a, a n ) Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [a, a n ) dapat disajikan g x = f x H x, a H x, a n, a x < a n (7) Persamaan (7) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (4)):

3 7 H x, a =, x a 0, x < a H x, a n =, x a n 0, x < a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x < a = 0, x a dan x < a n, x a n = 0, x < a atau x a n, a x < a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x < a atau x a n f x, a x < a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a x < a n, dan fungsi g bernilai nol pada x < a atau x a n. 3.. Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (a, a n ] Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal (a, a n ] dapat disajikan g x = f x H x, a H x, a n, a < x a n. (8) Persamaan (8) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (3)): H x, a =, x > a 0, x a H x, a n =, x > a n 0, x a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x a = 0, x > a dan x a n, x > a n = 0, x a atau x > a n, a < x a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x a atau x > a n f x, a < x a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a < x a n, dan fungsi g bernilai nol pada x a atau x > a n Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [a, a n ] Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [a, a n ] dapat disajikan g x = f x H x, a H x, a n, a x a n. (9) Persamaan (9) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (3) dan (4)): H x, a =, x a 0, x < a H x, a n =, x > a n 0, x a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x < a = 0, x a dan x a n, x > a n = 0, x < a atau x > a n, a x a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x < a atau x > a n f x, a x a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a x a n, dan fungsi g bernilai nol pada x < a atau x > a n Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada a, a n Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal a, a n dapat disajikan

4 8 g x = f x H x, a H x, a n, a < x < a n. (0) Persamaan (0) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu x = a dan x = a n, (mengacu pada persamaan (3) dan (4)): H x, a =, x > a 0, x a H x, a n =, x a n 0, x < a n kemudian ditentukan nilai dari: H x, a H x, a n 0 0, x a = 0, x > a dan x < a n, x a n = 0, x a atau x a n, a < x < a n g x = f x H x, a H x, a n = 0, x a atau x a n f x, a < x < a n Fungsi g mendefinisikan bahwa g x = f x ketika a < x < a n, dan fungsi g bernilai nol pada x a atau x a n. Secara umum, pola persamaan (7) sampai (0) dapat dituliskan seperti pada Tabel. Tabel Tabel pengali fungsi f pada selang tertentu Tipe Domain f Pengali (Heaviside) [a,b) H (a) H (b) (a,b] H (a) H (b) 3 [a,b] H (a) H (b) 4 (a,b) H (a) H (b) a < b; a, b konstanta R dengan nilai H j (a) sama dengan H j x, a dalam persamaan Cartesius dan H j θ, a dalam persamaan kutub; j =,. 3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit Kurva komposit merupakan gabungan dari beberapa kurva, dapat berupa gabungan dari garis lurus, parabola, hiperbola dan kurva lainnya dalam sistem koordinat Cartesius atau gabungan dari fungsi trigonometri, lingkaran dan kurva lainnya dalam sistem koordinat kutub. Kurva komposit lazimnya disajikan dalam bentuk fungsi sesepenggal. Pada karya ilmiah ini diperkenalkan metode lain untuk menyajikan kurva komposit dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside. Misalkan f adalah fungsi sesepenggal bernilai real dengan variabel bebas x yang didefinisikan f x = atau f x, a x < a f x, a x a 3 f n x, a n x < a n a, a,, a n R f x = f x, a x < a ; f x = f x, a x a 3 ; () f x = f n x, a n x < a n. Persamaan () dapat didefinisikan pula sebagai berikut (mengacu pada Tabel ): f x = f x H x, a H x, a, f x = f x H x, a H x, a 3, f x = f n x H x, a n H x, a n. () Selanjutnya, rangkaian persamaan () digabungkan dengan operasi penjumlahan sehingga diperoleh sebuah persamaan tunggal f x = f x H x, a H x, a +f x H x, a H x, a f n x H x, a n H x, a n atau dapat diekspresikan: f x = n i= j =, ; k =, ; f i x H j x, a i H k x, a i+ j = jika x = a i D fi, j = jika x = a i D fi, k = jika x = a i+ D fi,, (3)

5 9 k = jika x = a i+ D fi, i =,,, n ; Persamaan (3) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub, yaitu dengan mengubah variabel bebas x dengan variabel. = 5 x 5, 4 x ; 3 x + 3, < x < 0; x + 3, 0 x < ; 3 5 x 5, x < 4; (5) f θ = n i = j =, ; k =, ; f i θ H j θ, a i H k θ, a i+ j = jika θ = a i D fi, j = jika θ = a i D fi, k = jika θ = a i+ D fi, k = jika θ = a i+ D fi, i =,,, n ; Langkah Penyelesaian Kasus, (4) Persamaan (3) dan (4) berlaku untuk mengubah fungsi sesepenggal menjadi fungsi tunggal yang dapat menampilkan kurva komposit. Langkah penyelesaian kasus representasi fungsi tunggal untuk kurva komposit adalah:. didefinisikan fungsi sesepenggal dan pertaksamaan daerah asalnya (nilai x untuk koordinat Cartesius dan untuk koordinat kutub),. ditentukan nilai n yaitu banyaknya batas fungsi (x = a i, i =,,, n), 3. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside untuk setiap fungsi, 4. ditentukan persamaan tunggal kurva komposit dengan menyubstitusikan hasil poin () dan (3) pada persamaan (3) untuk persamaan Cartesius dan persamaan (4) untuk persamaan kutub. Contoh Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Cartesius. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan f x = f x, 4 x ; f x, < x < 0; f 3 x, 0 x < ; f 4 x, x < 4;. n = 5, a = 4, a =, a 3 = 0, a 4 =, a 5 = 4; 3. Fungsi f, f, f 3, dan f 4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel ). Tabel Tabel pengali fungsi f i pada (5) Fungsi Domain Pengali f (x) [ 4, ] H x, 4 H (x, ) f (x) (,0) H x, H (x, 0) f 3 (x) [0,) H x, 0 H x, f 4 (x) [,4) H x, H x, 4 4. Persamaan tunggal kurva komposit f(x): f x = 4 f i x H j x, a i H k x, a i+ i= = f x H x, 4 H x, +f x H x, H x, 0 +f 3 x H x, 0 H x, +f 4 (x) H x, H x, 4 (6) 5. Kurva f pada (6) dibangkitkan dengan perintah Plot pada software Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran ). y Gambar 4 Kurva fungsi sesepenggal f. x

6 0 Contoh Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Kutub. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan = g θ H θ, 0 H θ, π +g θ H θ, π H θ, π +g 3 θ H θ, π H θ, 3π g x = g θ, 0 θ < π ; g θ ; π θ π; g 3 θ ; π < θ < 3π ; g 4 θ ; 3π θ < π; g θ = 4 cos θ cos θ ; g θ = 4 cos θ cos θ ; (7) +g 4 θ H θ, 3π H θ, π (8) 5. Kurva g pada (8) dibangkitkan dengan perintah PolarPlot pada software Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran ). g 3 θ = cos(θ) + cos(θ) + 4 sin(θ) sin(θ) ; g 4 θ = cos(θ) + cos(θ) + 4 sin(θ) sin(θ) ;. n = 5, a = 0, a = π, a 3 = π, a 4 = 3π, a 5 = π; 3. Fungsi g, g, g 3, dan g 4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel ), Tabel 3 Tabel pengali fungsi g i pada (7) Fungsi Domain Pengali g θ g θ g 3 θ g 4 θ [0, π ) H θ, 0 H θ, π π, π H θ, π H θ, π π, 3π H θ, π H θ, 3π [ 3π, π) H θ, 3π H 4. Persamaan tunggal kurva komposit: g θ = 4 i= θ, π g i θ H j θ, a i H k θ, a i+ Gambar 5 Kurva fungsi sesepenggal g. 3.4 Kurva Poligon Tak Teratur Persamaan parametrik poligon tak teratur diperoleh dengan menyubstitusi fungsi f i pada persamaan tunggal untuk kurva komposit (3) dengan persamaan parametrik poligon, x i,i+ dan y i,i+ (persamaan (5) dan (6)), sehingga diperoleh persamaan parametrik baru untuk poligon tak teratur, x dan y dengan variabel bebas s, x s = y s = 4 4 n i=0 n 3 4 x i,i+ s H j s, s i H k s, s i+ y i,i+ s H j s, s i H k s, s i+ i=0 i = 0,,,...,n. (9) x(s) = persamaan parametrik untuk sumbu x dengan parameter s, y(s) = persamaan parametrik untuk sumbu y dengan parameter s, s = variabel bebas menyatakan jarak, s i = fungsi panjang sisi poligon dari verteks awal (P 0 ) ke verteks ke-i (P i ), n = jumlah verteks poligon,

7 H j s, s i dan H k s, s i+ ialah fungsi tangga satuan Heaviside. Langkah Penyelesaian Kasus Persamaan (9) berlaku untuk menyelesaikan kasus fungsi poligon teratur. Kasus yang dimaksud adalah pembangkitan sebuah lintasan/kurva garis linear melingkar yang melewati verteks-verteks poligon yang diketahui. Langkah penyelesaian kasus:. n pasangan verteks-verteks (x, y) koordinat Cartesius yang akan diplotkan menjadi verteks poligon (n >) dituliskan dan diberi label P i, i = 0,,,, n berurutan berlawanan arah jarum jam dimulai dari P i. Verteks P 0 = P n karena poligon adalah kurva tertutup.. nilai-nilai poin () disubstitusi pada persamaan (4) untuk mendapatkan nilai panjang sisi poligon, 3. nilai pada poin () dan () disubstitusi pada persamaan (5) dan (6) untuk mendapatkan persamaan parametrik sesepenggal segmen garis P i P i+, i = 0,,,, n ; 4. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside, 5. hasil poin (3) dan (4) disubstitusi pada persamaan (9) untuk mendapatkan persamaan parametrik tunggal poligon tak teratur. Contoh 3 Akan ditentukan persamaan parametrik tunggal untuk merepresentasikan sebuah pentagon (poligon dengan lima sisi) tak teratur dengan koordinat verteks-verteks poligon ialah (4,3), (8,), (9,7), (7,9), dan (3,6).. Verteks-verteks pentagon dilabeli: P 0 (4,3), P (8,), P (9,7), P 3 (7,9), P 4 (3,6), P 5 (4,3). Panjang sisi poligon yang terukur dari verteks P 0 ialah: s 0 = 0, s = 4.3, s = 9., s 3 =.0506, (30) s 4 = , s 5 = 0.8 (rincian perhitungan dapat dilihat di Lampiran 3). 3. Persamaan parametrik sesepenggal dari setiap segmen garis pentagon P i P i+, i = 0,,,, n ; dengan variabel bebas u: x 0 u = u + 4, x u = 0.96 u + 7.9, x 3 u = 0.707u + 5.5, x 34 u = 0.8 u , x 45 u = 0.36 u.39, y 0 u = 0.43 u + 3, y u = 0.98 u.043, y 3 u = u , y 34 u = 0.6 u , y 45 u = u x u x 0 u, 0 < u 4.3 x u, 4.3 < u 9. = x 3 u, 9. < u.0506 x 34 u,.0506 < u x 45 u, < u 0.8 y u y 0 u, 0 < u 4.3 y u, 4.3 < u 9. = y 3 u, 9. < u.0506 y 34 u,.0506 < u y 45 u, < u 0.8 (3) (rincian perhitungan dapat dilihat di Lampiran 3). 4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan adalah H, H u, s i = 0, u s i (3), u > s i i = 0,,,3,4 u = variabel bebas menyatakan jarak yang terdefinisi pada s 0, s 5 ; 5. Persamaan parametrik poligon tak teratur: x u = 4 i=0 x i,i+ u H u, s i H u, s i+

8 y u = 4 i=0 y i,i+ u H u, s i H u, s i+ (33) 6. Kurva poligon tak teratur (33) dibangkitkan dengan perintah ParametricPlot pada software Mathematica 8.0 sehingga diperoleh Gambar 6 berikut. y = R p x tan β (36) R p = jari-jari poligon, (x,y) = koordinat verteks pertama. (x,y) Sisi pertama Gambar 8 Sisi poligon pada kuadran I. Persamaan (36) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub r(θ) = R p tan β sin θ+tan β cos θ (37) Gambar 6 Kurva pentagon tak teratur. 3.5 Kurva Poligon Teratur Prosedur Pembentukan Persamaan Tunggal Gambar 7 Kurva poligon teratur. Misalkan diberikan sebuah poligon teratur dengan N sisi berpusat di titik pusat koordinat dan salah satu verteks berada di sumbu-x. Misalkan pula, segitiga sama kaki dengan sisisisi sumbu-x, salah satu sisi poligon dan jarijari poligon yang diambil dengan menarik garis dari pusat poligon ke salah satu verteks (ilustrasi pada Gambar 7). Pada segitiga tersebut berlaku: α = π N β = π α = π N N (34) (35) Persamaan linear sisi pertama poligon atau sisi pertama yang berbatasan dengan sumbu-x pada kuadran I (ilustrasi Gambar 8) ialah: Selanjutnya, variabel bebas pada (37) diganti dengan fungsi periodizer kutub p (persamaan ()) sehingga diperoleh: r p θ, N, θ 0 = R p tan β sin p θ, N, θ 0 + tan β cos p θ, N, θ 0 (38) Persamaan (38) disebut sebagai persamaan poligon teratur (N-gon) dalam koordinat kutub dengan jari jari lintasan R p yang berpusat di titik asal dan berotasi 0 rad. Setelah diperoleh persamaan (38), persamaan parametrik poligon teratur dapat dituliskan sebagai: x θ, R p, N, θ 0 = x 0 + r θ, N, θ 0 cos θ R p tan β cos θ = x 0 + sin p θ, N, θ 0 + tan β cos p θ, N, θ 0 (39) y θ, R p, N, θ 0 = y 0 + r θ, R p, N, θ 0 sin θ R p tan β sin θ = y 0 + sin p θ, N, θ 0 + tan β cos p θ, N, θ 0 (40) dengan : N = banyaknya sisi poligon, R p = jari-jari poligon, θ 0 = sudut rotasi verteks P 0 (berlawanan arah jarum jam), θ = variabel bebas menyatakan radian,

9 x 0, y 0 = titik pusat kurva poligon, p = fungsi periodizer dalam koordinat kutub, = N N π rad. Persamaan (39) dan (40) dapat merepresentasikan persamaan lintasan gerak melingkar beraturan yang berawal di koordinat R p, θ 0, jika dibiarkan menjalani akan dibuat suatu lintasan rotasi tertutup dengan pusat x 0, y 0 dalam ruang x-y berupa kurva garis linear (3) yang berulang terputusputus sebanyak N kali. Contoh 4, 5, dan 6 berikut ini memberikan ilustrasi persamaan parametrik kurva poligon teratur setelah nilai-nilai parameternya diketahui. Ilustrasi gambar kurva poligon teratur disajikan pula, sebagai contoh dari aplikasi persamaan parametrik. Lampiran 4 menyajikan persamaan parametrik dari setiap gambar kurva secara lebih rinci. Algoritme program dapat dilihat di Lampiran. Contoh 4 Poligon teratur dengan N sisi, pusat (0,0), jarijari (R p ) satuan, dan sudut putaran (θ 0 ) 0 rad dapat dituliskan dalam persamaan parametrik tan β cos θ x θ = sin p θ, N, 0 + tan β cos p θ, N, 0 tan β sin θ y θ = sin p θ, N, 0 + tan β cos p θ, N, 0 β = N N π, p θ, N, 0 = π N N n= sin Nn θ n.0. (b) 3 (c) Gambar 9 Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N): (a) N = 4 (tetragon), (b) N = 5 (pentagon), (c) N = 9 (nonagon/enneagon). Contoh 5 Poligon teratur enam sisi atau heksagon (N = 6) dengan pusat poligon x 0, y 0, jari-jari (R p ) satuan, sudut putaran (θ 0 ) 0 rad, dan verteks awal P 0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik tan β cos θ x θ = x 0 + sin p θ, 6, 0 + tan β cos p θ, 6,0 tan β sin θ y θ = y 0 + sin p θ, 6,0 + tan β cos p θ, 6,0 β = N N π = 3 π, p θ, 6,0 = π 6 sin 6n θ 6 n n = (a) (a)

10 4 p θ, 5, θ 0 = π 5 5 n= n sin 5n θ θ 0. (, ) (b) (a) (c) Gambar 0 Heksagon pada Contoh 5 dengan pusat: a) (,), b) (,), c) (0,7). Contoh 6 (b) Poligon teratur lima sisi atau pentagon (N = 5) dengan sudut putaran θ 0, pusat (6,5), jarijari (R p ) 4 satuan, dan verteks awal P 0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik x θ 4 tan β cos θ = 6 + sin p θ, 4, θ 0 + tan β cos p θ, 4, θ 0 y θ 4 tan β sin θ = 5 + sin p θ, 4, θ 0 + tan β cos p θ, 4, θ 0 (c) Gambar Pentagon pada Contoh 6 dengan sudut putaran:a) 0, b) /4, c) /. β = N N π = 3 0 π,