Ruang Vetor Vetor-vetor Yang Tega Lurus dan Vetor-vetor Yang Paralel - Dua vetor dan saling tega lurus atau (aitu cos θ 0), ia o 0 atau ia : + + 0 - Dua vetor dan saling paralel ia omponen-omponenna sebanding atau ia : Hasil Kali Salar Untu Menghitung Usaha Dalam fisia, usaha gaa ara perpindahan Jia vetor gaa dan vetor ara perpindahan tida seaar, maa : Usaha besarna omponen gaa ang seaar dengan arah perpindahan besarna ara F v v v W F cosθ. d F v Fo d F v θ cosθ d v omponen vetor gaa F ang seaar dengan ara perpindahan d ONTOH : Dietahui : F i + 4 adalah gaa ang beera pada benda ang bergera dari titi (,0,) e titi (,4,) Tentuan besarna usaha ang dilauan oleh gaa F Jawab: W Fo d d ( )i + (4 0) + ( ) i + 4 + W (i + 4 ) o (i + 4 + ) 4 + 8 4 8 satuan usaha
Ruang Vetor a. Hasil Kali Vetor (ross Product / Vector Product ) Ditulis : hasilna berupa vetor dengan sinθ θ θ rah dari ditentuan berdasaran aturan tangan anan atau serup putar anan. Sifat Hasil Kali Vetor :. ( ) anti omutatif. ( ) ( ) () 3. ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( ) + ( ) Dalam R 3 Z i i i i sin 0 0 dengan cara ang sama i i 0 i i sin 90 Y sin 90 i i i sin 90 X sehingga : i ; i ; i i - ; -i ; i - Jia : i + + i + + maa : ( i + + ) ( i + + ) ( ) i ( ) + ( )
Ruang Vetor 3 atau : i dan sinθ ( o )( o ) ( o ) ONTOH : i + i 3 + 4 o + (-) + 6 o + (-3) + 4 6 ; o () + (-)(-3) + (4) 9 i - - 3 4 i ( 4 + 3) (8 ) + ( 6 + ) - i 7 5 + 7 + 5 + 49 + 5 75 ( o )( o ) ( o ) 6(6) 9 75 pliasi dari Hasil Kali Vetor Menghitung Torsi / Momen Dalam meania, momen atau torsi dari gaa F terhadap titi Q didefinisian sebagai : m F d dengan F d ara (dalam arah ) antara titi Q e garis gaa F d Q Q d r F θ θ L
Ruang Vetor 4 Jia: r adalah vetor ang menghubungan titi Q e titi sembarang pada garis gaa F Maa d r sinθ ; θ sudut antara r dengan F dan Jia m F r sinθ F r m M, maa M F r vetor momen dari gaa F terhadap titi Q ONTOH : Tentuan vetor momen dari gaa F terhadap titi O (,) 0 r ' ' ' ' F (4,-) Jawab : F (4 ) i + ( ) + 0 i 3 + 0 r ( 0) i + ( 0) + 0 i + + 0 i M Fr - 3 0 i(0) (0) + ( + 6) 8 0 m M 64 8 c. Hasil Kali Salar Tripel (Triple Scalar Product) Jia : i + + i + + i + + i + o +
Ruang Vetor 5 disebut hasil ali salar tripel, arena hasilna merupaan salar. Dalam hasil ali salar tripel berlau sifat :. ( ) o ( ) o o sehingga: ( ) o o ( ) Nilai hasil ali ini hana bergantung pada urutan silus dari vetorna, leta tanda dan o na tida mempengaruhi hasilna. Jia urutan vetorna dituar maa tandana aan berubah. Sehingga: o o o. Hasil ali salar tripel: o 0 bila dan hana bila, dan sebidang. uti : a. o 0, dan sebidang Jia o 0 maa atau salah satu dari, atau vetor nol erarti: i. pabila salah satu dari, atau vetor nol, maa pasti, dan sebidang ii. pabila maa bisa diletaan sebidang dengan dan sehingga, dan sebidang b. Jia, dan sebidang o 0 Jia, dan sebidang, maa sehingga o 0 rti Geometris Dari o Diberian vetor, dan G F O O E O P θ D θ P O
Ruang Vetor 6 luas aaran genang OD o Po P cosθ cosθ tinggi di atas bidang OD Jadi o volume bidang enam (paralel epipedum) OD EFG ang disusun oleh, dan atatan : Luas aaran genang O O θ ) ' O ' O O sinθ O O ONTOH : + o + + utian bahwa ( ) ( ) ( ) 0 uti : Misalan + u + v Maa : u o v u volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u Karena edua sisina merupaan vetor ang sama maa etiga vetor tersebut sebidang sehingga : u o v u 0 d. Hasil Kali Vetor Tripel (Triple Vector Product) Hasil ali vetor tripel adalah : ( ) ; ( ) Tanda urung diperluan di sini arena nilai aan berubah ia leta urungna dituar. Misalan : (i i) 0 0 i (i ) i Sifat Hasil Kali Vetor Triple :. ( ) ( )
Ruang Vetor 7. ( ) ( ) o ( ) ( o ) ( o ) ONTOH :. Jia: i + o ( ) i - + 3i + Hitung : ( ) Jawab : ; ( ) a. i i ( ) ( + ) + ( ) i 3 4 () i 3 3 4 i ( 6 + 4) ( + ) + (+ 9) 0i 0 + 0 tau : ( ) ( ) ( ) o o (6 + + )(i - + ) (3 - -)( i + ) 0 (i - + ) 0i 0 + 0 b. i 3 i ( ) ( 3) + (+ 3) i + 5 + 4 ( ) i 5 4 i ( 8 + 5) (8 + ) + (0 ) 3 i 9 + 8 tau : ( ) ( o ) ( o ) (6 + + )(i - + ) ( )(3i + ) 0 (i - + ) + (3i + ) 3 i 9 + 8. utian : [ ( )] (o )( ) uti : Misalan Maa [ ( )] ( ) ( o ) ( o ) ( o ) ( o )( ) 0 ( ) ( o )( )
Ruang Vetor 8 ( o )( ) ( o )( )
Ruang Vetor 9 PENGGUNN VEKTOR DLM GEOMETRI a. Persamaan Garis Dalam R 3 : ndaian l sebuah garis ang melalui titi P (,, ) dan seaar dengan sebuah vetor v i + +. Maa l merupaan tempat eduduan semua titi P(,,) sedemiian hingga P P seaar dengan v l P(,,) V i + + Jadi titi P(,,) terleta pada garis l bila dan hana bila salar. tau : ( )i + ( ) + ( ) t (i + + ) t i + t + t Ini berarti : P (,, ) P P t v dengan t adalah suatu t t t + t + t + t Persamaan parameter garis ang melalui titi P (,, ) dan paralel dengan vetor v. tau: (, t Persamaan standard garis ang melalui titi, ) dan paralel dengan v i + + Dalam hal ini v i + + disebut vetor arah garis l, dan,, merupaan bilangan arah garis. Jia salah satu dari, dan nol Misalan 0 maa 0 Persamaan standardna ditulis : ; dan ONTOH : Tentuan persamaan garis melalui titi ( 5,4,) dan titi (3,, 6) Vetor arah garis v i 3 + 5
Ruang Vetor 0 Misalan titi sembarang pada garis adalah P(,,) dan titi tertentu ang terleta pada garis diambil titi (5,4,) maa Persamaan standard garis : tau : 5 4 3 5 5 4 3 7 0 Persamaan standard garis : 3 4 3 5 5 3 7 0 3 7 0 5 3 7 0 Persamaan parameter garis : 5 t 4 3t + 5t Dalam R : Jia suatu garis mempunai gradien (bilangan/tangen arah) m maa vetor arah garis l i + m b. Persamaan idang N Vetor N bidang W sehingga N disebut Vetor Normal dari bidang W Jia N i + + Q(,, ) W) P(,, ) PQ ( ) i + ( ) + ( ) PQ terleta pada bidang W Sehingga PQ N N o PQ 0 tau : ( ) + ( ) + ( ) 0 Persamaan bidang melalui titi (,, ) dengan normal bidang N i + + ONTOH :. Tentuan persamaan bidang ang melalui titi-titi P(3,,) ; Q(4,, 5) ; R(, 4, 3).
Ruang Vetor PQ i + 4 PR i + + vetor PQ dan PR terleta pada bidang i N PQ PR - 4 0i - 6 + - Persamaan bidang: ( ) + ( ) + ( ) 0 0 ( 3) 6 ( ) + ( ) 0 0 6 + + 4 0 Persamaan bidang dapat uga ditulis sebagai : + + + D 0 dengan N i + +. Tentuan persamaan bidang ang melalui titi T (4,,-) ; tega lurus pada bidang U + 3 + 8 dan tega lurus pada bidang V + 3 0 U : + 3 + 8 N U i + 3 + V : + 3 0 N V i + 3 Dicari bidang W ang bidang U dan V, berarti tau N w N u dan N V Nw Nu Nv i 3-3 0i 5-5 Persamaan bidang W : 0( 4) 5( ) 5( + ) 0 0 5 5 45 0 9 c. Menentuan ara titi terhadap suatu bidang Diberian sebuah titi P(r,s,t) ang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang V : + + + D 0 Normal bidang N v i + +
Ruang Vetor Jia 0 Titi D Q ; 0 ; 0 terleta pada bidang tersebut. D QP r + i + s + t P(r,s,t) N θ d Q(-D/,0,0) θ sudut antara N dan sehingga d cosθ No No N cosθ N d d N sehingga : d D r + + s + t + + atau d r + s + t + D Jara titi P(r,s,t) e bidang : + + + D 0 + + ONTOH : Tentuan ara P(5,5,4) e bidang ia (,4,) ; (6,4,3) ; (0,5,) -i + + 4i + Normal bidang N i i + + 4 4 0 Persamaan bidang : ( 0) + ( 5) + 4 ( ) 0 + + 4 4 0 Jara titi P(5, 5, 4) e bidang : + + 4 4 0 adalah :
Ruang Vetor 3 (5) + (5) + 4(4) 4 5 + 0+!6 4 d d + 4 + 6 d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua idang 7 Diberian bidang v dengan normal Diberian bidang w dengan normal N v N w (W V) N v l N w Jia bidang V dan W berpotongan pada satu garis maa vetor arah garis tersebut aan dengan N v maupun N w Sehingga ia vetor arah garis tersebut l, maa l N N v w ONTOH : Tentuan persamaan garis ang merupaan perpotongan bidang + 5 dan 3 6 7 V + 5 N v i + W 3 + 6 5 N w 3i + 6 Vetor arah garis: L N N v w i 4i 5 3 6 Ditentuan salah satu titi ang terleta pada perpotongan bidang : (i) + + 5 (ii) 3 6 7 + 7 Misalan diambil : 0 (i). () + 0 5 5 4 ½
Ruang Vetor 4 Jadi titi (, 0, -½ ) terleta pada garis potong bidang. Sehingga persamaan garis perpotongan edua bidang : e. Sudut ntara Garis dan idang Jia : 0 + 4 5 l ai + b + c vetor arah garisl N i + + normal bidang V + + + D 0 l N v) θ φ cos θ Nol N l ( + a + b + c + )(a + b + c ) sin φ sin (90 θ) cos θ ( + a + b + c + )(a + b + c ) Sehingga sudut antara garis dengan vetor arah l a i + b + c dengan bidang V dengan normal bidang i + adalah Nv + φ arcsin ( + a + b + c + )(a + b + c )