Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Transkripsi

1 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili vector-vektor. Dengan demikian vector-vektor dinamakan sebagai vector posisi titik A, B, C dan D. Vektor posisi titik A ( x, y) dalam bentuk vector kolom sebagai ( ) Dengan demikian Vektor posisi titik A dalam koordinat (x, y, z) dapat ditulis dalam bentuk vector kolom sebagai ( ) ABC adalah bangun geometri segitiga. Vektor - vektor posisi dari titik-titik sudut A, B dan C pada segitiga ABC itu berturut-turut adalah Tunjukan bahwa: Jawab: Dengan menggunakan aturan penjumlahan vector pada segitiga OAB maka di peroleh hubungan: Jadi terbukti bahwa B. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Perbandingan Bagian AC : CB m : n atau AC ; AB m : (m + n) Tanda-tanda dari m dan n ditentukan dengan aturan sebagai berikut 1. Jika titik c terletak diantara ruas garis AB, maka searah, dalam hal demikian m dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negative) 2. Jika titik c terletak pada perpanjangan ruas garis AB, maka berlawanan arah, Dalam hal demikian m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negative atau m negative dan n positif ) Rumus Perbandingan Vector Misalkan vector-vektor posisi titik A dan titik B berturut- turut adalah ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB m : n maka vector posisi C adalah. Titik C terletak pada ditentukan dengan rumus: Tentukan Titik D pada ruas garis AB sehingga AD : DB 3 : -1 atau m 3 dan n -1, vector posisi titik D adalah vector :

2 Jadi vector posisi D adalah Rumus Perbandingan Koordinat A. Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik Di Bidang Misalkan titik A (x 1, y 1 ) dan titik B (x 2, y 2 ). Titik C (x, y) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n maka koordinat titik C (x. y) di tentukan dengan rumus : Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik A (3, -1) dan B (6, 5), tentukan koordinat titik C, jika AC : CB 2 : 1 Titik c (x, y) dengan perbandingan AC : CB 2 : 1, ini berarti m 2 dan n 1 Jadi, koordinat titik C adalah (5, 3) B. Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik Diruang Misalkan titik A(x 1, y 1, z 1 ) dan titik B(x 2, y 2, z 2 ). Titik C(x, y, z) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka koordinat titik C(x, y, z) ditentukan dengan rumus : Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan titik Q(7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukan koordinat titik R Misalkan koordinat titik R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik-titik di ruang dengan m 1 dan n 4, maka di peroleh :

3 Jadi, koordinat titik R adalah (3, 2, 1) 4.6. Hasil Kali Scalar Dua Vector Defenisi Hasil Kali Scalar Dua Vektor Misalkan diketahui vector dan vector, Hasil kali vector dengan vector ditentukan oleh hasil kali panjang vector, panjang vector dan kosinus sudut terkecil antara vector dengan vector. ditulis : Panjang vector dan panjang vector masing-masing adalah 4 satuan dan 5 satuan, besar sudut antara vector dan vector sama dengan 60 o. hitunglah hasil kali scalar vector dan vector., sebab sudut vektornya 60 o Jadi, hasil kali scalar vector adalah Hasil Kali Scalar Dua Vector Dalam Bentuk Vector Kolom A. Hasil Kali Scalar Dua Vector Di Bidang Misalkan diketahui vector dan vector ( ), Hasil kali scalar vector dengan vector ditentukan dengan rumus ; Diketahui vector ( ) dan vector ( ), 1. Hitunglah dan 2. periksalah apakah jawab : Berdasarkan hasil tersebut, mrnunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di bidang bersifat komutatif B. Hasil Kali Scalar Dua Vector Di Ruang Misalkan diketahui vector ( ) dan vector ( ), Hasil kali scalar vector dengan vector ditentukan dengan rumus ; +

4 Diketahui vector ( ) dan vector ( ) 1. Hitunglah dan 2. Periksalah, apakah Berdasarkan hasil tersebut menunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di ruang juga bersifat komutatif Tanda Hasil Kali Scalar Dua Vektor Tanda-tanda hasil kali scalar berikut ini: 1. Jika, maka atau. Dalam hal demikian, dikatakan vector dan vector membentuk Sudut Lancip. 2. Jika 0, maka 0 atau. Dalam hal demikian, dikatakan vector egak lurus terhadap vector tau vector Orthogonal terhadap vector 3. Jika, maka cos 0 atau. Dalam hal demikian dikatakan vector dan vector membentuk Sudut Tumpul. 4. jika,maka cos 1 atau 0. dalam hal demikian, dikatakan vector Berimpit dengan vector atau vector Searah dengan vector 5. jika,maka cos -1 atau 180 o. Dalam hal demikian vector Berlawanan arah dengan vector. Contoh: Tentukan tanda (positif, nol atau negative) hasil kali scalar bagi pasangan vector, kemudian periksalah kedudukan pasangan vector nya. Jawab:, jadi. Karena, maka vector membentuk sudut lancip atau. TEOREMA ORTOGONALITAS Misalkan vector keduanyan bukan vector nol. Vector tegak lurus atau orthogonal terhadap vector jika dan hanya jika 0 Diketahui vector ( ) dan vector ( ) serta vector orthogonal terhadap vector. hitunglah nilai m Yang mungkin

5 Karena vector tegak lurus terhadap vector, maka berdasarkan teorema ortogonalitas, maka Haruslah m 0 6m -12 m -2 Jadi vector tegak lurus terhadap vector untuk nilai m Sifat-Sifat Hasil Kali Scalar Dua Vector A. Sifat Komutatif misalkan diketahui vector ( ) dan ( ). Berdasarkan rumus hasil kali scalar dua vector di bidang, maka dipeoleh hubungan : ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan perhitungan diatas, jelas bahwa. hubungan ini menunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di bidang bersifat komutatif B. Sifat distributive Misalkan bahwa ( ), ( ), dan ( ) adalah vector-vektor di bidang akan diperlihatkan berlakunya sifat distributive berikut ini : Bukti : 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan perhitungan diatas, ( ) menunjukan hasil kali scalar dua vector di bidang Bersifat Distributive Kiri 2. ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan perhitungan diatas, menunjukan bahwa hasil kali scalar dua di bidang Bersifat Distributive Kanan

6 Diketahui vector dan vector membentuk sudut 60 o. panjang vector adalah satuan dan panjang vector adalah satuan, tentukan nilai dari. ( ) Jadi nilai ( ) 4.7. Sudut Antara Dua Vektor Sudut Antara Dua Vector Di Bidang Misalkan diketahui vector ( ), dan vector ( ). Jika θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector, maka cosinus sudut θ ditentukan dengan rumus : Sudut Antara Dua Vector Di Ruang Misalkan diketahui vector ( ) dan vector ( ), Jika θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector, maka cosinus sudut θ ditentukan dengan rumus : diketahui vector ( ) dan vector ( ) a. Hitunglah b. Tentukan besar sudut vector dan vector a. ( ). ( ) 2 x (-1) x 1 x 3 x (-3) x (-2) 7 b. Dengan menggunakan rumus kosinus sudut antara dua vector, diperoleh : Cos θ Jadi, besar sudut antara vector θ 60 o dan vector sama dengan 60 o

7 4.8. Vector Proyeksi Dan Panjang Proyeksinya Misalkan ruas garis berarah dan ruas garis berarah masing-masing mewakili vector dan vector, sudut θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector. sudut θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector. Proyeksi titik ujung ruas garis berarah (yaitu titik A) pada ruas garis berarah adalah titik C. dengan panjang OC ditentukan oleh: OC Cos θ Cos θ Besar OC Cos θ dinamakan sebagai Proyeksi Scalar Orthogonal dari vector pada vector. proyeksi scalar orthogonal (biasa disingkat dengan proyeksi scalar saja) dari vector pada vector juga menyatakan Panjang Proyeksi dari vector pada vector. Proyeksi scalar orthogonal OC Cos θ dapat bernilai positif, nol, atau negative. Hal ini ditentukan oleh besarnya sudut θ. 1. Jika θ sudut lancip ( ), maka OC Cos bernilai positif. 2. Jika, maka OC Cos θ bernilai nol. 3. Jika sudut tumpul ( ), maka OC Cos θ bernilai negative Proyeksi vector pada vector. Ruas garis berarah mewakili vector, sehingga vector merupakan proyeksi vector vector, vector dinamakan sebagai Proyeksi Vector Orthogonal atau Proyeksi Vector dari vector vector, 1. proyeksi scalar orthogonal dari vector vector, di tentukan oleh: Cos θ Cos θ diperoleh: 2. proyeksi vector orthogonal dari vector vector, ditentukan oleh:, dengan ê adalah vector satuan dari vector. Oleh karena vector searah dengan vector, maka vector satuan dari vector sama dengan vector satuan dari vector. Vector satuan dari vector ditentukan oleh. Substitusikan dan kepersamaan diperoleh x ( ) Proyeksi vector vector Misalkan vector vector adalah vector-vektor sebarang (di bidang atau di ruang), dan vector adalah vector vector. 1. proyeksi scalar ortogonal dari vector vector, ditentukan oleh: 2. proyeksi vector orthogonal vector vector, ditentukan oleh: ( )

8 Soal latihan 1. diketahui vector ( ) dan vector ( ) adalah vector-vektor di bidang yang dalam bentuk vector kolom. Tentukan proyeksi scalar orthogonal dari vector pada arah vector dan proyeksi scalar orthogonal dari vector pada arah vector 2. Diketahui vector ( ) dan vector ( ) a. Hitunglah,,dan b. Tentukan besar sudut antara vector dengan vector 3. Diketahui vector dan vector membentuk sudut 60. panjang vector adalah 4 satuan dan panjang vector adalah 5 satuan. a. Tentukan nilai dari ( ) b. Tentukan nilai dari ( ) Kunci Jawaban 1. Poyeksi scalar orthogonal vector pada vector,ditentukan oleh: Jadi, proyeksi scalar orthogonal vector pada vector adalah 2