BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

Transkripsi

1 .. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya dinyatakan dengan besarnya saja, tetapi harus juga diberikan penjelasan tentang arahnya. esaran vektor : esaran yang dicirikan oleh besar dan arah Contoh besaran vektor didalam fisika adalah: kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, momentum dan lain-lain. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat. esaran skalar : esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besarnya dinyatakan oleh bilangan dan satuan) Contoh besaran skalar : waktu, suhu, volume, laju, energi, usaha dll. Tidak diperlukan sistem koordinat dalam besaran skalar.. Penggambaran, penulisan (Notasi) vektor Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari pangkal (titik tangkap), ujung dan panjang anak panah. Panjang anak panah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor. Pada gambar (.) digambar vektor dengan titik pangkalnya P, titik ujungnya Q serta sesuai arah panah dan nilai vektornya sebesar panjang. P Q Gambar. : Gambar sebuah vektor PQ Titik P Titik Q Panjang PQ : Titik Pangkal (titik tangkap) : Ujung : Nilai (besarnya) vektor tersebut = PQ FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 3

2 Notasi (simbol) sebuah vektor dapat juga berupa huruf besar atau huruf kecil, biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda panah di atasnya atau huruf miring. Contoh : V ektor (erhuruf tebal) Vektor (Huruf dengan tanda panah di atasnya) Vektor (Huruf miring) Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf biasa atau dengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut. Contoh : Vektor. Nilai vektor ditulis dengan atau da beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor.. Dua buah vektor dikatakan sama jika mempunyai bila besar dan arah sama.. Dua buah vektor dikatakan tidak sama jika : a. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi berlainan arah b. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi arah sama c. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan arah yang berbeda Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini: C D Gambar. : Gambar beberapa buah vektor esar (nilai) vektor,, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor C lebih kecil dari vektor D. Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa: = C artinya: nilai dan arah kedua vektor sama = - artinya: nilainya sama tetapi arahnya berlawanan Vektor tidak sama dengan vektor D (Nilainya sama tetapi arahnya berbeda) Vektor D tidak sama dengan vektor E (Nilai dan arahnya berbeda) E FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 4

3 .3. Penjumlahan dan pengurangan vektor Mencari resultan dari beberapa buah vektor, berarti mencari sebuah vektor baru yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan (dikurangkan) Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode, yaitu:. Metode jajaran genjang. Metode segitiga 3. Metode poligon (segi banyak) 4. Metode uraian.3. Metode Jajaran Genjang Cara menggambarkan vektor resultan dengan metode jajaran genjang adalah sebagai berikut. R=+ Gambar.3 : Resultan vektor +, dengan metode jajaran genjang Langkah-langkah : a. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit b. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisinya c. Resultannya adalah sebuah vektor, yang merupakan diagonal dari jajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan titik pangkal kedua vektor tersebut esarnya vektor : R = R = R = + + cosθ. θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor dan Catatan :. Jika vektor dan searah, berarti α = 0 : R = +. Jika vektor dan berlawanan arah, berarti α = 80 : R = - 3. Jika vektor dan saling tegak lurus, berarti α = 90 : R = 0 Untuk pengurangan (selisih) vektor R =, maka caranya sama saja, hanya vektor digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui. FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 5

4 .3. Metode Segitiga ila ada dua buah vektor dan akan dijumlahkan dengan cara segitiga maka tahap-tahap yang harus dilakukan adalah R=+ Gambar.4 : Resultan vektor +, dengan metode segitiga Langkah-langkah :. Gambarkan vektor. Gambarkan vektor dengan cara meletakkan pangkal vektor pada ujung vektor 3. Tariklah garis dari pangkal vektor ke ujung vektor 4. Vektor resultan merupakan vektor yang mempunyai pangkal di vektor dan mempunyai ujung di vektor Jika ditanyakan R =, maka caranya sama digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui saja, hanya vektor.3.3 Metode poligon Pada metode ini, tahapannya sama dengan metode segitiga, hanya saja metode ini untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor. Contoh : Jumlahkan ketiga buah vektor,, dan C dengan metoda Poligon C Jawab: Resultan ketiga vektor R adalah R = + + C R C Gambar.5. Penjumlahan vektor dengan metode poligon FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 6

5 .3.4 Metode Uraian Setiap vektor yang akan dijumlahkan (dikurangkan diuraikan terhadap komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y ) Y x θ y X Gambar.5. Komponen komponen sebuah vektor Komponen vektor terhadap sumbu X : x = cos θ Komponen vektor terhadap sumbu Y : y = sin θ esar vektor R : Vektor Komponen X Komponen Y C X X C X Y Y C Y R = + + C R X = X + X + C X RY = Y + Y + C Y R = R X + R Y. rah vektor R terhadadap sunbu X positif : R Y tg θ =.3 R X Catatan : Jika vektor dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i dan j maka, secara matematis vektor dapat ditulis dengan = i x + j y Yang merupakan penjumlahan kedua komponen-komponennya tau = x + y Nilai vektor : = X Y +.4 FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 7

6 Contoh :. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : C X D Y E esar dan arah vektor pada gambar diatas : Vektor esar (m) rah( 0 ) C D E Hitung : esar dan arah vektor resultan. Jawab : Vektor esar (m) rah( 0 ) Komponen X(m) Komponen Y (m) C D E R X =8.5 RY =-5. esar vektor R : X R Y R = R + = ( 5.) = = 9.67 m rah vektor R terh adap sumbu x positif : 5. tg θ = = - 0,6 8.5 θ = (terhadap x berlawanan arah jarum jam ) FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 8

7 .4 Perkalian Vektor Untu k operasi perkalian dua buah vektor, ada dua macam operasi yaitu :. Perkalian skalar dengan vektor. Perkalian vektor dengan vektor. a. Perkalian titik (dot product) b. Perkalian silang (cross product).4. Perkalian skalar dengan vektor Sebuah besaran skalar dengan nilai sebesar k, dapat dikalikan dengan sebuah vektor yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya sama dengan nilai k dikali nilai. Jika nilai k positif, maka arah C searah dengan dan jika nilai k bertanda negatif, maka arah C berlawanan dengan arah. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: C = k.5.4. Perkalian vektor dengan vektor da dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor. Pertama disebut perkalian titik (dot product) yang menghsilkan besaran skalar dan kedua disebut perkalian silang (cross product) yang menghasilkan besaran vektor..4.. Perkalian titik (dot Product) Perkalian titik (dot product) antara dua buah vektor dan menghasilkan C, didefinisikan secara matematis sebagai berikut: = C dan vektor C besaran skalar esar C didefinisikan sebagai : θ C =. cos θ.6 = = besar vektor = = besar vektor θ = sudut antara vektor dan FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 9

8 Sifat-sifat perkalian titik :. bersifat komutatif : =. bersifat distributif : (+C) = + C 3. jika dan saling tegak lurus ma ka 4. jika dan searah : = 0 : =. 5. jika dan berlawanan arah maka : = -. Contoh: Usaha (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan benda sejauh s didefinisikan sebagai W = F s. Jika besar gaya F = 5 N, perpindahan s = 40 m dan gaya F membentuk sudut 60, maka hitung besar usaha W. Jawab: W = F s W = Fs cos θ W = N. 40 m cos 60 = 5 N. 40 m. 0,5 W = 00 N m = 00 Joule.4... Perkalian silang (cross product) Perkalian silang (cross product) antara dua menghasilkan C, didefinisikan sebagai berikut: buah vektor dan akan x = C.7 Gambar.6. Perkalian vektor,, dan C vektor Nilai C didefinisikan sebagai C =. sin θ.8 FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 0

9 = = besar vektor = = besar vektor θ = sudut antara vektor dan rah vektor C dapat diperoleh dengan cara membuat putaran dari vektor ke melalui sudut θ dan arah C sama dengan gerak arah sekrup atau aturan tangan kanan.. Sifat-sifat perkalian silang (cross Product).. bersifat anti komutatif : x = - x. jika dan saling tegak lurus maka : x =. 3. jika dan searah atau berlawanan arah : x = 0.5 Vektor Satuan Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu satuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y dan sumbu Z, vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z adalah k. Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan. Z k i j Y X Sifat-sifat perkalian titik vektor satuan i. i = j. j = k. k = i. j = j. k = i. k = 0 Gambar.7 : vektor satuan FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

10 Sifat-sifat perkalian silang vektor satuan i x I = j x j = k x k = 0 i x j = k k x I = j j x k = i j x i = - k i x k = - j k x j = - i Penulisan suatu vektor dalam koordinat katesian bedasarkan komponenkomponennya adalah : = x i + y j + z k.9 Dimana x, y dan z adalah komponen arah sumbu X, Y dan Z Contoh perkalian titik dan perkalian silang dua buah vektor dan.. Pekalian titik.. = ( x i + y j + z k). ( x i + y j + z k ) = xx i.i + xy i.j + xz i.k + yx j.i + yy j.j + yz j.k + zx k.i + zy k.j + zz k.k. = xx + yy + zz.30. Perkalian silang. x = ( x i + y j + z k) x ( x i + y j + z k ) = xx ixi + xy ixj + xz ixk + yx jxi + yy jxj + yzjxk + zx kxi + zy kxj + zz kxk = xy k - xz j - yx k + yz i + zx j - zy I x = (yz zy) i (xz zx )j + (xy yx)k.3 Salah satu cara untuk menyelesaikan perkalian silang adalah dengan metode determinan : i x = x y z.3 x j y k z FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman

11 untuk mencari determinan matriksnya dengan mengunakan metode Sarrus : i j k i j X = x x y y z z x x y y = iyz + j zx + kxy kyx izy j xz = (yz zy) i (xz zx )j + (xy yx)k.33 Cara lain yang mirip dengan metode diatas adalah dengan cara mereduksi determinan matriks 3x3 menjadi determinan matriks x sehingga lebih mudah menghitungnya : x = i x x j y y k z z = i y y z z - j x x z z +k x x y y = (yz zy) i (xz zx )j + (xy yx)k.34 Contoh. Diketahui koordinat titik adalah (,-3,4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya? Jawab : Vektor = i 3j + 4k = = + ( 3) + 4 = 9 satuan. Tiga buah vektor dalam koordinat kartesius : = 3i + j, = - i, C = i + j Tentukan jumlah ketiga vector dan kemana arahnya? Jawab : R = + + C = (3i+j)+(-i)+(i+j) = i + 3j FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 3

12 esar vektornya : rahnya : R = tg θ = = 3 satuan =,5 θ = 56, Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vector berikut ini : = i j + 4k = i 3j + k Jawab : Perkalian titik :. =. +(-)(-3) + 4. = 6 Perkalian silang : x = i j 3 k 4 = {(-). 4.(-3)}i {. 4.}j + {.(-3) (-).}k = (-4+)i (4-4)j + (-6+4)k = 8i 0 j k = 8i k FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 4

13 SOL SOL LTIHN. PILIHN GND :. Yang ketiganya termasuk besaran vektor adalah.... perpindahan, kuat medan listrik, usaha. perpindahan, daya, impuls C. jarak, momentum, percepatan D. gaya, momentum, momen E. gaya, tekanan, impuls. Empat buah vektor,, C, dan D memiliki arah dan besar seperti pada gambar berikut. Pernyataan yang benar adalah :. + + C = D. + + D = C C. + C + D = D. + C + D = D E. + + C + D = 0 C 3. Dua gaya masing-masing 0 N bekerja pada suatu benda. Sudut di antara kedua gaya itu adalah 0. esar resultannya adalah :.. 0 N D. 0 N. 4 N E. 5 N C. 7 N 4. Jika besar vektor,, dan C masing-masing, 5, dan 3 satuan, dan + = C, maka sudut antara dan adalah :. 0 D E. 90 C Perhatikan gambar di bawah. Dua buah vektor masing-masing besarnya 0 N dan F newton menghasilkan vektor resultan dengan besar 0 N dan dalam arah O. Jika θ adalah sudut antara F dengan arah O, maka nilai sin θ adalah : F O θ 0 N FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 5

14 C. 5 5 D. E Dua vektor dan besarnya 40 dan 0 satuan. Jika sudut antara kedua vektor itu adalah 60, maka besar dari adalah :. 0 D E.60 C Jika dua vektor P dan Q sama panjang dan tegak lurus satu sama lain (P Q), maka sudut apit antara P + Q dan P Q adalah :. 30 D E. 0 C Dua buah vektor memiliki besar yang sama. Jika hasil bagi selisih dan resultan antara kedua vektor tersebut, maka cosinus sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah :. D E. C. 9. Manakah dari kumpulan gaya-gaya berikut yang tidak dapat memberikan jumlah vektor sama dengan nol :. 0, 0, dan 0 N D. 0, 0, dan 40 N. 0, 0, dan 0 N E. 0, 0, dan 40 N C. 0, 0, dan 0 N 0. Dua buah vektor masing-masing adalah F = 0 satuan dan F = 6 satuan. Resultan kedua vektor pada sumbu-x dan sumbu-y adalah: FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 6

15 F Y 60 F X. satuan dan 8 satuan. satuan dan 8 3 satuan C. 3 satuan dan 8 satuan D. 8 satuan dan 8 satuan E. 8 satuan dan 8 3 satuan. Komponen-komponen X dan Y dari vektor masing-masing adalah 4 m dan 6 m. Komponen-komponen X dan Y dari vektor ( + ) masingmasing adalah 0 dan 9 m. Panjang vektor adalah :. 4 m D. 9 m. 5 m E. 0 m C. 6 m. Diberikan dua vektor = 6 meter ke utara dan = 8 meter ke timur. esar dari vektor adalah :. 4 m D. 5 m. 4 5 m E. 0 m C. 0 m 3. Perhatikan gambar gaya-gaya berikut ini! Resultan ketiga gaya tersebut adalah :. 0 N Y. N C. 3 N 3 D. 3 N E. 3 3 N 60 X 3 60 FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 7 6

16 4. esaran yang diperoleh dari perkalian titik antara dua buah vektor adalah:. usaha. fluks listrik 3. fluks magnetik 4. fluks jajar genjang Pernyataan yang benar adalah :.,, 3 D. hanya 4., 3 E.,, 3, 4 C., 4 5. esaran yang diperoleh dari perkalian silang antara dua vektor adalah :. gaya dan momentum sudut. kopel dan gaya C. momen dan momentum sudut D. momen dan usaha E. usaha dan kopel FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 8

17 . ESSY :. esar-besaran di bawah ini, mana yang merupakan besaran skalar dan mana yang merupakan besaran vektor? a. Waktu (detik) b. Perpindahan (m) c. Kecepatan (m/s) d. Laju (m/s) e. Percepatan (m/s ) f. Usaha (Joule atau Kg m /s ) g. Temperatur ( C) h. Momentum (p) (Kg m/s). esaran-besaran pada soal no, tentukan besaran mana yang merupakan besaran pokok dan besaran mana yang merupakan besaran turunan? 3. Kita definisikan bahwa untuk vektor satuan gaya digambarkan 0,5 cm, artinya tiap satu newton, digambarkan dengan suatu vektor yang panjangnya 0,5 cm. ila ada suatu vektor gaya besarnya 60 newton, maka berapakah panjang vektor yang harus digambarkan untuk menunjukkan gaya tersebut? 4. Tentukan besar (nilai) dan gambarkan pada sistem koordinat kartesian untuk dua dimensi, dari vektor-vektor di bawah ini: a. = 7 i b. D = 3 i + 4 j c. C = 5 j 5. Tentukan besar dan arah dari vektor-vektor di bawah ini, jika komponen masing-masing di dalam koordinat Kartesian telah diketahui a. x = 6 cm, y = 8 cm b. F x =3N, F y =4N 6. Sebuah perahu bergerak dari suatu tepi sungai, tegak lurus aliran sungai dengan kecepatan m/detik dan kecepatan aliran sungai adalah 5 m/detik. Jika lebar sungai 0 m, berapa jauhkah dan dimana perahu tersebut berada pada tepi lain dari sungai tersebut 7. Dua buah vektor terletak pada bidang xy. esar kedua vektor masingmasing 3 clan 4 satuan: Kedua vektor masing-masing membentuk sudut 55 0 dan 80 0 terhadap sumbu x. Hitunglah besar dari perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor ini! FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 9

18 8. Dua buah vektor saling tegak lurus. Resultannya 0 satuan, sedangkan salah satu vektor membuat sudut 30 0 dengan resultan. erapa besar dar vektor-vektor ini! 9. da 3 buah vektor a, b, dan c yang sebidang. esar vektor itu berturutturut 0, 5 dan 0 satuan. Jika resultan dari dua vektor yang mana saja adalah sama besar dan berlawanan arah dengan vektor yang lain, tentukan sudut antara vektor a dan c! 0. Dua buah vektor a dan b masing-masing sebesar 0 dan 5 satuan mengapit sudut Hitung besar selisih kedua vektor itu!. Dua buah vektor sebidang saling mengapit sudut θ. Jika besar jumlah dari kedua vektor itu sama dengan 4 kali besar selisih kedua vektor, hitung θ (besar kedua vektor sama)!. Diketahui jumlah vektor empat kali besar vektor yang lebih kecii dan sudut yang dibentuk oleh vektor resultan itu dan dengan vektor yang lebih kecil adalah 30 0 bagaimanakah perbandingan kedua vektor ini? Hitung juga sudut apitnya! 3. Dua vektor yang besarnya sama membentuk sudut θ. Resultan dari kedua vektor itu adalah 3 dari besar masing-masing vektor. Hitung θ! 4. Sebuah vektor besarnya 6 satuan hendak diurai menjadi buah vektor yang saling menyiku. Salah satu komponen vektor itu membuat sudut 60 0 dengan vektor tersebut. Hitung besar dari komponen-komponen vektor ini! 5. Jumlah dua buah vektor besarnya dua kali besar vektor yang lebih kecii. Jika kedua vektor membentuk sudut α (tanα = 4/3), berapakah perbandingan kedua vektor itu? 6. Dua buah vektor yang besarnya 6 dan 5 satuan mengapit sudut Hitung sudut antara resultan vektor dengan vektor yang pertama! 7. esar dari resultan vektor a dan b sama dengan besar selisih dari kedua vektor itu. uktikan bahwa kedua vektor itu saling tegak lurus. (petunjuk : gunakan (a + b). (a + b) = (a - b). (a - b), untuk membuktikan bahwa : a. b = 0.)! 8. Jika : a + b = c dan a + b = c, buktikan bahwa a dan b saling tegak lurus! FISIK MEKNIK, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 30