DIKTAT MATEMATIKA II

Transkripsi

1 DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004

2 PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR 4.. PERSAMAA BIDAG DATAR Untuk menentukan persamaan bidang melalui satu titik P ( x, y z ),, dapat dengan mudah dilakukan, jika diberikan persyaratan bahwa bidang itu tegak lurus pada suatu vektor yang diketahui. Vektor yang diketahui itu merupakan normal pada bidang yang dicari itu. Diminta menentukan bidang melalui ( x, y z ) P tegak lurus pada vektor, v ai + bj + ck, vektor V dipandang sebagai vektor normal pada bidang yang diminta. Jika P ( x, y, z) karena tiap \ sembarang titik pada bidang itu, maka vektor : ( x x ) i + ( y y ) j + ( z z )k p p p p v, maka selalu v. p p 0. oleh karena itu persamaan bidang yang diminta adalah : a ( x x ) + b( y y ) + c( z z ) + by + cz ( ax + by + cz ) ax ax + by + cz p dim ana 0 0 atau atau p ax + by + cz Contoh : Hitung jarak titik P (, -3, 4 ) ke bidang : H x + y + z 3 Ada dua cara menyelesaikan soal ini : ) Vektor i + j + k normal pada bidang itu, jadi garis g x y + 3 z 4 melalui P (, -3, 4 ) sejajar dengan normal ( ). Dari sini ( g ) dipandang sebagai x y + 3 z 4 normal pada bidang itu, sehingga ( g ) dapat ditulis : t jadi x t + ; y t 3 dan z t + 4 merupakan persamaan parameter garis itu dalam t. Subtitusikan dalam persamaan bidang di dapat : ( t + ) + ( t 3 ) + ( t + 4 ) 3 t

3 P(,-3,4) R ( 3, 0, 0 ) Q ( 3, -,6 ) menyatakan titik tembus garis pada bidang itu, yaitu titik Q ( 3, -, 6 ). Jadi jarak titik P (, -3, 4 ) dari bidang H itu adalah panjang garis PQ yaitu : PQ d ( 3 ) + ( + 3) + ( 6 4) 3 ) Misalnya R suatu titik di bidang H. Proyeksikan PR ke garis normal i + j + k. R dapat dipilih, misalnya titik potong bidang H dengan sumbu X, yaitu titik R ( 3, 0 o, 0 ). Ambil sejajar melalui R. membentu sudut θ 90 dengan BP. Jika RP ( 3 )i 3j + 4k, maka dapat diperoleh jarak P dari H yaitu : RP cosθ d RP cosθ. RP Ambil : ± ( tanda yang dipakai ditentukan kemudian ). RP ± ( ) ± ( - 9 ) jadi ; + ( 9) d. Untuk itu ambil -, maka d 3 3 Contoh : Hitung sudut antara bidang x + y z 5 dengan bidang 3x 6y z 7 Jelas bahwa sudut antara dua bidang sama dengan sudut yang dibentuk normalnormal kedua bidang itu, yaitu 0 atau 80 º - 0. dari persamaan bidang-bidang itu didapat normal-normalnya, yaitu :

4 maka : jadi : cos θ. i + j + k dan 3i 6j k θ arc. cos Contoh 3 : Carilah vektor yang sejajar dengan perpotongan bidang x + y z 5 dan bidang 3x 6x z 7. Perpotongan kedua bidang itu tegak lurus pada normal normalnya : i + j + k dan 3i 6j 5k jadi vektor yang diminta adalah hasil kali cross product kedua normal itu, yaitu : i j k v i j -5k Jadi vektor yang sejajar dengan garis potong kedua bidang itu adalah V - 4i j -5k Contoh 4 : Carilah persamaan bidang melalui P (, 0, - ) dan P ( -,, ) dan sejajar dengan perpotongan bidang-bidang 3x + y z 0 dan 4x y + 3z 0. Problem utama adalah mencari sebuah vektor PP x V, normal pada bidang yang diminta. Perpotongan bidang yang diberikan sejajar dengan vektor : i j k v x 3 - i 7j -7k 4-3

5 dimana dan normal-normal kedua bidang yang diketahui. Vektor P P - i + j + k terletak pada bidang yang dicari. Vektor V dapat di geser sejajar dengan dirinya ( translasi ) sehingga terletak pada bidang yang diminta. Oleh karena itu ambilah P P x V, yaitu : i j k P P x V - 0i j - 3k -7 7 sebagai vektor normal pada bidang itu 0i j + 3k atau dikecilkan 5 i 3 j + 8k, sehingga bilangan arah bidang itu ( 5, - 3, 8 ). Jadi bidang yang diminta melalui titik (, 0, - ) adalah 5(x ) 3(y 0)+ 8(z + ) 0 atau 5x 3y + 8z Soal Soal Latihan :. Jarak P ( x, y, z ) ke titik pangkal 0 adalah d, dan jarak P ke titik A ( 0, 0, 3 ) adalah d, tentukanlah tempat kedudukan P, jika ; a) d d dan b) d d. Carilah vektor proyeksi dari B i + 3j + 4k pada vektor A 0i + j k. 3. Carilah titik A ( a, a, 0 ) pada garis y x dibidang XOY, sehingga vektor AB tegak lurus pada garis OA, dimana O titik pangkal dan B (, 4, -3 ). x y + z 4. Diketahui garis g carilah titik tembus garis g dengan bidang 3 3x + y z Carilah persamaan parameter dan persamaan garis yang menghubungkan A (,, - ) dan B ( -, 0, ). 6. Tunjukanlah memakai vektor, bahwa jarak titik ( x, y z ) cz + d 0 adalah : P pada bidang ax + by +, ax + by + cz + d j a + b + c 7. Tentukanlah bidang melalui P (, -, 3 ) sejajar dengan bidang 3x + y + z 7.

6 8. Tentukanlah bidang melalui P (,, - ), Q (, 0, ) dan R ( 0, -, ). 9. Tentukanlah luas SegiTiga PQR tersebut pada soal o Tentukan jarak titik S ( 3,, 3 ) terhadap bidang tersebut pada soal o.8 diatas.