DIKTAT MATEMATIKA II
|
|
- Sudomo Kartawijaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004
2 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah disebut vektor. y Vektor dari (0,0) ke (1,0) adalah vektor satuan i, P P(a,b) sedang dari (0,0) ke (0,1) adalah vektor satuan j. Jika a skalar, maka ai menyatakan vektor yang I sejajar dengan sumbu x (sb-x), panjangnya a menuju ke kanan jika a>0 dan menuju ke kiri 0 1 a x jika a<0. Demikian juga bj, adalah vektor yang P 1 sejajar dengan sumbu y (sb-y) menuju ke atas Gambar 1 jika b>0, dan menuju ke bawah jika b< PERNYTN VEKTOR Sebuah vektor ditulis = ai + bj, yaitu vektor yang titik asalnya di 0 dan titik ujungnya (terminusnya) di titik (a,b) (lihat gambar 1).Vektor yang titik pangkalnya di 0 dinamai VEKTOR POSISI, yaitu vektor yang mewakili semua vektor yang sama panjangnya, sejajar dan searah dengan dia. Dengan demikian sebuah vektor dapat dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri. Perhatikan vector = 0P.0P 1 = a dan 0P = b disebut komponen-komponen vektor. Sebuah vektor ditulis dengan huruf besar, sedang komponen-komponennya ditulis dengan huruf kecil. Dua buah vektor adalah sama jika dan hanya jika mempunyai arah dan panjang (besar) yang sama. Dua buah vektor yang sama mempunyai komponen-komponen sepadan yang sama. Vektor = ai + bj dan vektor = ci + dj, maka = a = c dan b = d. Jika = ai + bj maka ai bj adalah vektor, yaitu vektor yang sama panjangnya, sejajar tetapi berlawanan arahnya dengan vektor. Sebuah vektor sering pula ditulis dalam bentuk matriks : i = ( a b ) = ai + bj j Sebuah vektor dalam ruang berdimensi tiga (E 3 ) ditulis :
3 i = ( a b c ) j k = ai + bj + ck Jika = a 1 i + a j + a 3 k + dan = b 1 i + b k + b 3 k, maka : = a 1 = b 1, a = b dan a 3 = b 3. Vektor = -a 1 i a j a 3 k. 1.3.OPERSI VEKTOR PENJUMLHN Y +d D Q(c,d) R(a+c,b+d) P(a,b) 0 c a-c a a+c x b-d T(a-c,b-d) Gambar Dua buah vektor = ai + bj dan = ci + dj dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen-komponennya yang sepadan. + = C = (a +c)i + (b + d)j. Jelaslah, bahwa komponen-komponen vektor jumlah itu adalah jumlah komponen-komponen yang sepadan dari vektor-vektor asalnya. Dalam contoh di atas, vektor jumlah merupakan diagonal jajaran genjang 0R, di mana = 0P dan = 0Q sebagai sisi-sisinya (lihat gambar ). + dapat juga diperoleh dengan memindahkan sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vector, sehingga titik pangkal sejajar dengan berimpit dengan terminus maka + adalah vektor yang titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal dan terminusnya berimpit dengan terminus. Demikian juga jumlah beberapa vektor : + + C + D, diperoleh dengan memindahkan sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vektor, sehingga titik pangkal berimpit dengan terminus, kemudian dipindahkan vektor C sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vektor C, sehingga titik pangkal C berimpit dengan terminus, kemudian dipindahkan vektor D sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vektor D, sehingga titik pangkal D berimpit dengan terminus C, jadi vektor jumlah dari keempat vektor itu + + C + D adalah vektor yang titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal dan
4 terminusnya terminus vektor D. Jumlah vektor dalam ruang berdimensi tiga (E 3 ) dapat juga dicari dengan cara yang sama PENGURNGN Pengurangan dua vektor : = D. Jika vektor = ai + bj dan = ci + dj, maka = D = 0T = (a c)i + (b c)j yang komponen-komponennya selisih komponenkomponen yang sepadan dari vector asalnya (lihat gambar ) PERKLIN DENGN SKLR Mengalikan sebuah vektor = ai + bj dengan sebuah skalar m, adalah m = m(ai + bj) = (ma)i + (mb)j, yaitu mengalikan komponen-komponennya dengan skalar m. 3 Secara geometri m adalah sebuah vektor yang panjangnya m kali panjang vektor, sejajar dan arahnya sama dengan - arah jika m > 0, dan arahnya berlawanan dengan arah jika m < 0. Jadi 3 adalah sebuah vektor yang sejajar dan searah Gambar 3 dengan dan panjangnya 3 kali panjang : sedang vektor adalah sebuah vektor yang sejajar dengan vektor, arahnya berlawanan dengan vektor, dan panjangnya kali panjang vektor (lihat gambar 3). Panjang vektor dinyatakan dengan dan dibaca panjang (besar) vektor. Jika = ai + bj, dimana = 0P sebagai hipotenusa segi tiga 0P 1 P (lihat gambar 1) dan sisi-sisi siku-sikunya 0P 1 dan P 1 P yang panjangnya berturut-turut a dan b, maka menurut Phytagoras = a + b Jika = ai + bj + ck maka panjang vektor = = a + b + Mencari panjang vektor yang bukan vektor posisi, dapat dilakukan sebagai menghitung panjang sepotong garis dalam koordinat kartesius. Misalkan titik pangkal vektor P 1 (x 1,y 1,z 1 ) dan terminusnya P (x,y,z ) maka panjang vector P 1 P adalah : P ( x x ) + ( y y ) + ( z ) 1P = 1 1 z1 ola adalah tempat kedudukan titik-titik yang sama jaraknya terhadap sebuah titik, maka (*) dapat dipandang sebagai persamaan jarak setiap titik P pada bola dengan radius r terhadap titik pusat P 1 (x 1,y 1,z 1 ). P(x,y,z) terletak pada bola, jika dan hanya jika : (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) = r c
5 S o a l : Diketahui vektor-vektor = i + 3j 6k ; = 7i 4j + 4k ; dan C = i + 4j 9k 1. Tentukanlah : a) 3 + C ; b) + 3C ; c) + 3C ; d) ( + S) 3( C). Hitunglah panjang (besar) vector-vektor : a) ; b) ; c) C ; d) ( ) ; e) ( + C) 3. Hitunglah panjang vector-vektor tersebut pada soal No.1. II. VEKTOR STUN.1. VEKTOR STUN Vektor U yang mempunyai panjang yang sama dengan ukuran satuan panjang yang dipakai pada sumbu-sumbu koordinat, disebut STUN VEKTOR. Jika U satu satuan vektor yang diperoleh dengan memutar vektor satuan i sebesar θ dengan arah positif (berlawanan dengan arah jarum jam), maka U mempunyai komponen horizontal U x = cos θ, dan komponen vertikal U y = sin θ, sehingga U = 0P = i sin θ, sehingga U = 0P = i cos θ + j sin θ. Jika sudut θ bervariasi dari 0 sampai π, maka titik P menempuh lingkaran satuan x + y = 1 Vektor yang bukan NOL, vektor satuannya disebut arah vektor, ditulis.. VEKTOR NOL Sebuah vektor yang panjangnya NOL, disebut VEKTOR NOL. Vektor nol hanya digambarkan oleh sebuah titik saja. rah vektor nol tidak tentu. Vektor V = ai + bj = 0 a = 0, b = SIFT-SIFT Jika, dan C masing-masing vektor dalam bidang, maka vektor-vektor itu memenuhi : a. + = + sifat komutatif b. + ( + C) + ( + ) + C sifat asosiatif c. K( + ) = k +k (k skalar) Sifat distributive S o a l : Diketahui vektor-vektor : = 3i + 4j + 1k ; = 4i 3j 1k dan C = 9i 8j + 1k
6 1. Tentukanlah vektor-vektor : a) + - C ; b) - + C ; c) + C ; d) 3 ; e) + C. Tentukanlah panjang vektor : a) ; b) ; c) C ; d) ; e) C ; f) C ; g) + ; h) + C ; i) + C 3. Tentukanlah vektor satuan dari vektor-vektor tersebut pada. 4. Tulislah vektor-vektor pada No.1 dalam bentuk matriks. 5. Gambarlah vektor-vektor pada No.1 a) dengan prinsip diagonal jajaran genjang b) dengan menyambung pada terminus vektor lain. 3. PRODUK (PERKLIN) DU VEKTOR 3.1. PRODUK SKLR Jika diketahui dua vektor dan, maka produk skalar kedua vektor itu dinyatakan dengan. (baca dot ). Produk ini disebut juga dot product, karena memakai simbol dot (titik). Hasil produk skalar dari vektor, adalah skalar. Produk skalar atau dot product vektor dan didefinisikan :. = cos θ dimana (,) = 0 Produk skalar vektor adalah komutatif :. = ( cos θ). = ( cos θ) 0 Produk skalar. dapat juga dinyatakan Gambar 4 Dalam komponen-komponen vektor-vektor itu sebagai berikut : Diketahui = a 1 i + a j ; = b 1 i + b j Misalkan C = = (b 1 a 1 )i + (b a )j. Menurut rumus cos. Dalam segitiga yang sisi-sisinys, dan C : C = + - a cos θ cos θ = + C
7 a = ( b a ) + ( b ) 1 + a + b1 + b 1 1 a a b + a b 1 1 = = a1b1 + ab C Jadi. = cos θ = a 1 b 1 + a b (skalar) Gambar 5 Produk skalar dua vektor, adalah skalar yang besarnya sama dengan jumlah hasil kali komponen-komponennya yang sepadan (komponen-komponen dinyatakan dengan skalar). Untuk dua vektor dalam E 3 pun, berlaku sifat ini. Jika = a 1 i + a j + a 3 k dan = b 1 i + b j + b 3 k maka. = cos θ = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 Produk skalar vektor adalah distributive :.( +C) =. +.C ( + ).C =.C +.C ( + ).(C + C) =.C +.D +.D Jelaslah bahwa apabila produk skalar vektor = NOL, maka kedua vektor itu saling tegak lurus, karena cos 90 = 0. Vektor NOL tidak mempunyai arah, dan dapat dikatakan, bahwa vektor nol tegak lurus pada tiap vektor yang lain. Jika produk skalar vektor positif, maka cos 0 positif dan sudut antara kedua vektor itu adalah lancip. Jika produk skalar vektor negatif, maka cos θ negatif, dan sudut antara kedua vektor itu adalah tumpul. Jika + c (c skalar), maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah 0, jadi cos 0 = 1, dan. =. Jika =, maka sudut kedua vektor itu adalah 0, dan. =. = Contoh : Nyatakanlah komponen 1 dan dari vektor, di mana 1 sejajar dengan yang diketahui dan tegak lurus pada. Jawab : = 1 + ; 1 = c dan. = 0. Dengan substitusi 1 maka = c + dan skalar c diperoleh dari persamaan. = 0 ( c). = 0.. c. = 0 c = = 1 = c.. c =. Misal : = i + j 3k dan = 3i j c =. 6 1 = =
8 Contoh : Tunjukkanlah bahwa vektor N = ai + bj tegak lurus pada garis lurus g : ax + by + c = 0. Jawab : mbil dua titik P 1 (x 1,y 1 ) dan P (x,y ) pada garis g, maka berlaku ax 1 + by 1 + c = 0 dan ax + by + c = 0. Hilangkan c dari keduanya : a(x 1 x ) + b(y 1 y ) = 0 vektor P 1 P = a(x x 1 )i + (b b 1 )j dan N = ai + bj akan dibuktikan N tegak lurus pada P 1 P. Dengan produk skalar didapat (ai + bj).((x x 1 )i + (b b 1 )j) = 0. jadi : N.P 1 P = 0 atau keduanya saling tegak lurus. Diketahui bahwa g : ax +by + c = 0 adalah garis lurus, jadi a dan b tidak 0 sekaligus, dan dari sini N tidak sama dengan 0. dapat dipilih titik P berlainan dai P 1, jadi P 1 P tidak sama dengan 0. karena itu N tegak lurus P 1 P, berarti N tegak lurus pada garis g. Misal : Jika garis g : x 3y maka vektor N = i 3j tegak lurus pada g, dan N disebut normal ke garis g itu. Y P P(5,6) S 0 R P 1 x Gambar 6 Contoh : Diketahui garis g : 3x + 4y 1 = 0. Carilah jarak titik P(5,6) ke garis itu Jawab : Garis g memotong sb-y di titik S(0,3). Tarik dari S normal ke garis g. jarak P ke garis g adalah d = SP cos θ. Ini didapat dari dot product N.SP = N SP cos θ = N d. N. SP d =. Karena SP = 5i + 3j dan N = 3i + 4j maka N d = = = = 5,4 5 Dapat juga vektor N ditarik dari R, dan perhitungan selanjutnya sama seperti di atas. Produk skalar dipakai juga dalam mekanika. F
9 Menghitung usaha oleh gaya F jika titik itu mengalami perpindahan. Jika arah gaya F cos θ itu tetap, maka usaha diperoleh dengan menghitung : Gambar 7 W = ( F cos θ) = F. Jika dalam pernyataan vektor = b 1 i + b j + b 3 k, b 1 = 1 dan b = b 3 = 0, maka = i. Dan jika = a 1 i + a j + a 3 k, maka. =.i = a 1. Demikian jugalah.j = a dan.k = a 3. diketahui bahwa a 1, a dan a 3 adalah komponen-komponen vector berturut-turut dalam arah i, j dan k. Umumnya jika U suatu vektor satuan, maka komponen dalam arah U adalah produk skalar :.U = U cos θ = komponen dalam arah U. Jika suatu vektor tidak NOL, dapat ditulis U = U = Karena arah dalam U, maka komponen pada arah =.. Proyeksi vektor pada adalah (komponen dalam ). dikalikan dengan (arah ) yaitu :. atau.. S o a l : Diketahui = i + 3j + 6k ; = 3i 6j + k ; C = 3i 6j +6k 1. Tentukanlah a) D = ; b) E = ; c) F = + + C. Tentukanlah : a). ; b).c ; c).c ; d).d ; e).e ; f) C.D 3. esarnya sudut yang dibentuk tiap pasang vektor pada No.. 4. Tentukanlah jarak titik P(7,8) ke garis g : 3x 4y + 4 = 0 5. Diketahui vektor-vektor = 4i 3j + 1k dan = 3i + 5j k a. Nyatakan komponen 1 dan dari vektor di mana 1// dan tegak lurus pada. b. Hitung usaha oleh gaya F jika titik itu mengalami perpindahan 0P (0 titik pangkal dan P terminus ) sedang F = dengan 0 titik pangkalnya. 3.. PERKLIN VEKTOR atau CROSS PRODUCT Perkalian vektor atau cross product atau vector product dari vektor dan vektor ditulis =. hasil perkalian dua buah vektor x
10 adalah sebuah vektor. Dua buah vektor dan yang mempunyai titik pangkal yang berimpit membentuk sudut θ. ( 0<θ<π ). Jika dan tidak berimpit, keduanya membentuk sebuah bidang. ndaikan U satuan vektor yang tegak lurus pada Gambar 8 bidang (,) dengan arah sekerup kanan yang diputar dari ke (lihat gambar 8), maka haasil kali cross product ke didefinisikan : x = U sin θ Jika dan sejajar, θ = 0 atau θ = 180 dan sin θ = 0, maka x = 0. dalam hal ini arah U tidak ditentukan. Dalam hal lain U dapat ditentukan, dan cross product dua vektor adalah sebuah vektor yang sama arahnya dengan U dan besarnya sama dengan bilangan yang menyatakan luas jajaran genjang yang sisinya dan serta membentuk sudut 0. Jadi jelaslah bahwa panjang vektor hasil kali dari cross product dan adalah : x = C = U sin θ. Jika perkalian vektor di atas dari ke, jadi arahnya dari ke, maka arah vektor satuan berlawanan dengan yang di atas, menjadi U, sehingga cross product x = - x. Jika definisi itu dipakai untuk vektor satuan i, j dan k (pada sumbu-sumbu koordinat) maka : i x j = - j x i = k j x k = - k x j = i k x i = - i x k = j i x i = j x j = k x k = 0 Selanjutnya berlaku (r) x (s) = rs( x ) asosiatif. Perhatikan gambar 9. idang H. Vektor dan membentuk sudut θ. H Vektor diproyeksikan pada bidang H, x Yaitu vektor yang panjangnya = sin θ. Vektor diputar Gambar 9 (sumbu putar vektor ) dengan sudut +90 menghasilkan. jika vektor dikalikan dengan panjang vektor (skalar), maka hasil kali = a = b, karena mempunyai arah yang sama dengan arah U (cross product) dan = = sin θ = x Jadi ketiga operasi itu adalah :
11 1. Proyeksikan ke H. Putar (sumbu putar ) dengan sudut Kalikan dengan skalar C Jika operasi itu diterapkan pada sebuah segitiga, diperoleh sebuah segitiga lain. Perhatikanlah gambar 10, segitiga dengan C sisi-sisi, C, dan (+C). (+C) Jika diterpkan ketiga langkah itu akan diperoleh : Gambar Segitiga yang sisi-sisinya, C dan ( + C) Memenuhi persamaan vektor + C = ( +C). Segitiga yang sisi-sisinya, C dan ( + C ) Memenuhi persamaan vektor + C = ( + C) 3. segitiga yang mempunyai sisi-sisi, C dan (+ C) memenuhi persamaan vektor + C = ( + C) pabila dipakai persamaan-persamaan : = x C = x C (+C) = x ( X C) yang didapat dari kesimpulan di atas, maka diperoleh : x b + x C = x ( + C) Yaitu sifat distributive perkalian vektor (cross product) Kawan dari sifat ini adalah (D + C) x = x + C x Dengan menggunakan cross product dan rumus-rumus aljabar, dapat ditentukan vektor hasil dari x. Jika = a 1 i + a j + a 3 k dan = b 1 i + b j + b 3 k, maka x = (a 1 i + a j + a 3 k) x (b 1 i + b j + b 3 k) = (a 1 b 1 )i x I + (a 1 b )I x j + (a 1 b 3 )I x k + (a b 1 )j x I + (a b )j x j + (a b 3 )j x k + (a 3 b 1 )k x I + (a 3 b )k xk x j + (a 3 b 3 )k x k = (a 3 b 3 a 3 b )I (a 3 b )I (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b a b 1 )k Keenam suku ruas kanan sama dengan keenam suku penyeleseian determinan ordo 3 x 3, sehingga hasilkali cross product vektor. i j k Dan di atas adalah : x = a 1 a a 3
12 b 1 b b 3 Contoh : Hitunglah luas segitiga C, jika (1,-1,0), (,1,-1) dan C(-1,1,). Jawab : Dua sisi segitiga itu dinyatakan dengan vektor-vektor : = (-1)i + (1+1)j + (-1-0)k = i + j k C = (-1 1)I + (1 + 1)j + (+ 0)k = - i + j +k i j k Vector V = x C = 1-1 = 6i + 6k - besarnya V = V = = 7 = 6, yang sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya dan C, dimana luas ini kali luas segitiga C. Jadi luas segitiga C = ½ x C = 3 Contoh : Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada vektor = i + j k dan = i j + k Jawab : Vektor N = x tegak lurus pada kedua vektor dan sedang U = c(a x ) adalah juga vektor N yang dikalikan dengan skalar c = 0, dan c dapat dipilih sehingga U menjadi vektor satuan. i j k Jadi : N = x = 1-1 = i 5j 3k i 5 j 3k U.U = c N.N = c 1 + ( 5) + ( 3 ) = 35c c = ± jadiu = Soal : Diketahui dalam E 3 titik-titik (1,-1,1), (,3,-1), C(-1,,) dan D(3,1,9) 1. Tentukanlah vektor-vektor : a) 0 ; b) 0 ; c) 0c ; c) ; e) C dan f) C. Jika P, Q dan R berturut-turut pertengahan, sisi-sisi, C dan C tentukanlah koordinat P, Q dan R. 3. Tentukanlah E sehingga CE jajaran genjang. 4. Tentukanlah koordinat titik berat segitiga C 5. Tentukanlah besarnya sudut-sudut segitiga C. 6. Tentukanlah normal pada ketiga sisi segitiga itu 7. Tentukanlah : a) 0 x 0 ; b) 0 x 0C ; c) 0 x 0C ; d) x C ; e) C x 8. Hitunglah luas segitiga C 9. Hitunglah : a) jarak C dari ; b) jarak dari C. 10. Hitunglah jarak D dari bidang C.
13 4. PERSMN GRIS DN PERSMN IDNG DTR PERSMN GRIS ndaikan g sebuah garis melalui P 1 (x 1,y 1, z 1 ) sejajar dengan sebuah vektor bukan nol V = ai + bj + ck. Garis g adalah tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian, sehingga vektor P 1 P sejajar dengan vektor V yang diketahui. P pada garis g jika dan hanya V jika ada suatu skalar t, sehingga P 1 P = tv, atau P(x,y,z) (x x 1 )i + (y y 1 ) + (z z 1 )k = t(ai + bj + ck) ( lihat gambar 11) P 1 (x 1,y 1,z 1 ) P 1 P = tv, maka x x 1 = ta ; y y 1 = tb dan Gambar 11 z z 1 = tc. (*). Jika t variable dari - +, maka titik P(x,y,z) bergerak melintasi garis g yang melalui P 1 itu. Ketiga persamaan (*) secara simultan adalah persamaan parameter garis g dalam E 3. Jika t dieliminir dari ketiga persamaan parameter itu, diperoleh persamaan garis lurus g : x a y y = b x z z = c Yaitu persamaan garis yang sejajar dengan vector V = ai + bj + ck S o a l : Diketahui segiempat CD di mana (4,1), (8,4), C (7,10) dan D(5,9). Titik-titik P, Q, R dan S adalah titik-titik tengah, C, CD dan D. 1. uktikanlah bahwa PQRS adalah sebuah jajaran genjang.. Hitunglah jarak C ke, demikian juga jarak D ke garis. 3. Tentukanlah vektor, C, CD dan D. Hitunglah juga panjang (besar) vektorvektor itu. 4. Hitunglah besar sudut-sudut segiempat itu. 5. Hitunglah jarak titik C ke garis, demikian juga jarak titik D ke garis. 6. uatlah persamaan garis melalui P(1,,-3) sejajar dengan vektor V = i 3j + 5k.
VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinci2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R
. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Msayyanah, S.ST, MT . ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang ckp dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satan). Contoh
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciBAB 2 ANALISIS VEKTOR
BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 4 Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004 PERSAMAA GARIS DA
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciKONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA
Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto
Lebih terperinciPAKET 4. Paket : 4. No Soal Jawaban 1 Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini adalah. A. 120 cm 2 B. 216 cm 2 C. 324 cm 2 D. 336 cm 2 E.
PAKET 4 Jumlah Soal : 0 soal Kompetensi :. Bangun Datar. Trigonometri. Bangun Ruang 4. Barisan dan Deret Compile By : Syaiful Hamzah Nasution No Soal Jawaban Luas Segiempat PQRS pada gambar di bawah ini
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciVEKTOR Matematika Industri I
VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang vektor. Vektor adalah notasi
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinci50 LAMPIRAN NILAI SISWA SOAL INSTRUMEN Nama : Kelas : No : BERILAH TANDA SILANG (X) PADA JAWABAN YANG DIANGGAP BENAR! 1. Persegi adalah.... a. Bangun segiempat yang mempunyai empat sisi dan panjang
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciC. 9 orang B. 7 orang
1. Dari 42 siswa kelas IA, 24 siswa mengikuti ekstra kurikuler pramuka, 17 siswa mengikuti ekstrakurikuler PMR, dan 8 siswa tidak mengikuti kedua ekstrakurikuler tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua
Lebih terperinciRINGKASAN MATERI SUDUT DAN PENGUKURAN SUDUT
RINGKASAN MATERI SUDUT DAN PENGUKURAN SUDUT Besar sudut dapat ditentukan atau diukur dengan berbagai cara, di antaranya dengan menggunakan sudut satuan dan yang paling tepat menggunakan sebuah alat yang
Lebih terperinciPENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm
PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciMAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperinciBAB XIV V E K T O R Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri sebuah vektor dilukiskan sebagai panah.
XIV V E K T O R 4. engertian adalah esaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri seuah vektor dilukiskan seagai panah. dengan titik pangkal (a x, a y, a z ) dan titik ujung ( x, y, z ) dinotasikan dengan.
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciKEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK
1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.
Lebih terperinciPendahuluan. 1.1 Latar Belakang
Pendahuluan 1.1 Latar elakang Geometri datar, merupakan studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah bidang datar. erbagai mekanisme peralatan dalam kehidupan
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperincif(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}
1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciB.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis
BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI. 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR
STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks
Lebih terperinci