TE Teknik Numerik Sistem Linear

Transkripsi

1 TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Operator Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

2 O U T L I N E. Objektif. Teori 3. Contoh 4. Simpulan 5. Latihan

3 Objektif Teori Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: ) menggunakan transformasi linear menggunakan operator linear untuk suatu vektor ) menggambarkan operator linear untuk vektor dalam representasi geometri dalam R dan R 3

4 Objektif Teori Pendahuluan Operator linear digunakan untuk memetakan vektor atau titik ke dalam vektor atau titik ang lain. Beberapa operator linear ang dibahas dalam objek pembelajaran ini adalah refleksi, proeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, dan rotasi.

5 Objektif Teori Operator Refleksi Misal operator T: R R memetakan vektor ke image simetris pada sumbu- Hubungan antara komponen dan w w + w + w w Matriks standar T: [T ]

6 Objektif Teori Refleksi pada sumbu Operator refleksi: memetakan vektor ke dalam image simetrisna pada garis atau bidang (-, ) (, ) wt()

7 Objektif Teori Refleksi pada sumbu/garis Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar Refleksi pada sumbu- (-, ) wt() (, ) w w Refleksi pada sumbu- wt() (, ) (, -) w w Refleksi pada garis wt() (, ) (, ) w w

8 Objektif Teori Refleksi pada bidang Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar Refleksi pada bidang- z w (,, z) (,, -z) w w w 3 z Refleksi pada bidang-z (, -, z) w z (,, z) w w w 3 z Refleksi pada bidang-z z w (-,, z) (,, z) w w w 3 z

9 Objektif Teori Operator Proeksi Operator T: R R memetakan vektor ke dalam proeksi ortogonalna pada sumbu- Hubungan antara komponen dan w w + w + w w Matriks standar T: [T ]

10 Objektif Teori Proeksi Ortogonal pada sumbu Operator proeksi: memetakan vektor ke dalam proeksi ortogonalna pada garis atau bidang melalui origin (, ) w (, )

11 Objektif Teori Proeksi Ortogonal pada sumbu Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar Proeksi ortogonal pada sumbu- (, ) w (, ) w w Proeksi ortogonal pada sumbu- (, ) w (, ) w w

12 Objektif Teori Proeksi Ortogonal pada bidang Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar Proeksi ortogonal pada bidang- z w (,, z) (,, ) w w w 3 Proeksi ortogonal pada bidang-z Proeksi ortogonal pada bidang-z (,, z) w z (,, z) z (,, z) w (,, z) w w w 3 z w w w 3 z

13 Objektif Teori Operator Rotasi Rotasi vektor pada R sebesar sudut θ Sudut rotasi positif: berlawanan dengan jarum jam w(w, w ) r (, ) r θ φ Hubungan antara dan w: r cosφ r sinφ w r cos( θ + φ) w r sin( θ + φ)

14 Objektif Teori Operator Rotasi Identitas trigonometri: w r cosθ cosφ r sinθ sinφ w r sinθ cosφ + r cosθ sinφ Komponen vektor w w cosθ sinθ w sinθ + cosθ Operator rotasi: [T ] cosθ sinθ sinθ cosθ

15 Objektif Teori Operator Kontraksi dan Dilasi Operator T() k dengan k tidak negatif Kontraksi ( k < ) Dilasi (k > ) T()k T()k

16 Objektif Teori Operator Kontraksi dan Dilasi Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar Kontraksi sebesar k pada R ( k < ) Dilasi sebesar faktor k pada R (k > ) w (, ) (k, k) w (k, k) (, ) w k w k w k w k k k Contoh

17 Objektif Teori Komposisi Transformasi Linear Transformasi linear dari T A : R n R k dan T B : R k R m Komposisi dari T B dengan T A T A diikuti T B : transformasi dari R n ke R m Notasi T B T A R n R k R m T A T B T B T A T B (T A ())(T B T A )()

18 Objektif Teori Representasi Komposisi Komposisi dari rotasi sebesar θ dan θ berlawanan jarum jam (T T )() T (T ()) T (T ()) θ +θ θ θ T () Komposisi dari refleksi pada garis diikuti proeksi ortogonal pada sumbu- T (T ()) T ()

19 Objektif Teori Komposisi: tidak komutatif Komposisi dari refleksi pada garis (T ()) dan proeksi ortogonal (T ()) T (T ()) T () T () T (T ())

20 Objektif Teori Komposisi: komutatif Komposisi dari refleksi pada sumbu- dan sumbu- (,) T (T ()) (-,- ) T () (,-) (-,) T () (,) (-,- ) T (T ()) Contoh

21 Objektif Teori Interpretasi geometris dari eigenvektor T: operator linear; A: matriks standar; : vektor T() λ A λ Eigenvektor untuk eigenvalue terkait Eigenvalue Perkalian dengan A memetakan ke dalam perkalian skalar terhadap dirina

22 Objektif Teori Interpretasi geometris dari eigenvektor Perkalian dengan A di R dan R 3 memetakan eigenvektor ke dalam vektor ang segaris dengan λ λ λ λ λ λ - λ λ - Contoh 3

23 Objektif Teori Contoh Dapatkan image dari a) vektor (-, ) bila dilakukan refleksi terhadap garis b) vektor (,3,3) bila direfleksikan pada bidang z c) vektor (3, -4) bila di rotasi sebesar 9 d) vektor (,-,3) bila dilakukan proeksi ortogonal pada bidang z

24 Objektif Teori Contoh a) Vektor image dari vektor (-, ) bila dilakukan refleksi terhadap garis w T () (-, ) wt() (, -)

25 Objektif Teori Contoh b) Vektor image dari vektor (,3,3) bila direfleksikan pada bidang z w T () (, 3, 3) w z (, -3, 3)

26 Objektif Teori Contoh c) Vektor image dari vektor (3,-4) bila di rotasi sebesar cos9 sin 9 sin 9 cos9 w T () (4, 3) (3, -4) w

27 Objektif Teori Contoh d) Vektor image dari vektor (, -,3) bila dilakukan proeksi ortogonal pada bidang z 3 3 w T () (, -, 3) w z (, -, 3)

28 Objektif Teori Contoh a) Dapatkan matriks standar pada R untuk komposisi proeksi ortogonal pada sumbu- diikuti kontraksi dengan faktor k½ Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri b) Dapatkan matriks standar untuk komposisi dari operator linear pada R 3 : refleksi pada bidang, diikuti proeksi ortogonal pada bidang z Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri

29 Objektif Teori Contoh a) T : proeksi ortogonal pada sumbu- T : kontraksi dengan faktor k½ T T T T T T (, ) T () T (T ()) ) ( T T (, ) T () T (T ())

30 Objektif Teori Contoh b) T : refleksi pada bidang, T : proeksi ortogonal pada bidang z T T (, 4, 3) z (, 4, -3) (,, -3) T (T ()) T T )) ( ( T T

31 Objektif Teori Contoh (, 4, 3) z (,, 3) T () (,, -3) T (T ()) b) T : refleksi pada bidang, T : proeksi ortogonal pada bidang z T T T T )) ( ( T T

32 Objektif Teori Contoh 3 T: R 3 R 3 adalah operator proeksi ortogonal pada bidang Buktikan bahwa: Vektor pada bidang dipetakan ke dalam dirina oleh T Vektor pada aksis- z dipetakan ke dalam oleh T vektor tak-nol dalam bidang : vektor eigen ang berkaitan dengan eigenvalue λ vektor tak-nol pada aksis-z: vektor eigen ang berkaitan dengan eigenvalue λ

33 Objektif Teori Contoh 3 Matriks standar untuk T A ) ( ) det( λ λ λ λ λ λ A I Persamaan karakteristik A Eigenvalue: λ dan λ

34 Objektif Teori Contoh 3 Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ 3 λ λ λ 3 t 3 Vektor terletak pada aksis-z Solusi: ; ; 3 t

35 Objektif Teori Contoh 3 Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ 3 3 t s 3 λ λ λ Solusi: s; t; 3 Vektor terletak pada bidang-

36 Objektif Teori Operator Linear ) Refleksi, proeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, rotasi merupakan operator linear ) Bergantung pada operator ang digunakan, komposisi dapat bersifat komutatif atau tidak komutatif 3) Komposisi dari transformasi linear dari T A : R n R k diikuti dengan T B : R k R m dinotasikan T B T A

37 Objektif Teori,. Soal Latihan ) Dapatkan matriks standar pada R untuk komposisi: rotasi sebesar 9 diikuti refleksi pada garis ) Buktikan bahwa

38 Objektif Teori