REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Adalas, Kampus UNAND Limau Mais Padag, Idoesia, eicha.rhahmi@ahoo.com Abstrak. Fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga dapat dikarakterisasi ke dalam suatu formula umum ag disebut sebagai represetasi kaoik fugsi karakteristik sebara terbagi tak higga. Represetasi kaoik tersebut dapat dilakuka dega meetuka ukura Lev dari sebara ag bersesuaia. Sebara Normal da Sebara Ekspoesial merupaka sebara terbagi tak higga sehigga dapat dibetuk represetasi kaoik fugsi karakteristika. Kata Kuci: Represetasi kaoik fugsi karakteristik, sebara terbagi tak higga, sebara ormal, sebara ekspoesial. Pedahulua Keterbagia tak higga suatu sebara dapat ditetuka melalui peubah acaka atau fugsi karakteristika. Keterbagia tak higga berdasarka peubah acak dapat dilihat sebagai keterbagia suatu peubah acak mejadi peubah-peubah acak ag salig bebas dega sebara ag sama. Peubah acak X dikataka terbagi mejadi jika terdapat peubah-peubah acak ag idetik da salig bebas X, X,, X sedemikia sehigga X = X X X. Selajuta, suatu fugsi sebara F dega fugsi karakteristik ϕ adalah terbagi tak higga jika utuk setiap bilaga bulat positif terdapat fugsi karakteristik ϕ sedemikia sehigga ϕt) = [ϕ t)] utuk setiap t R [4]. Fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga dapat dikarakterisasi ke dalam suatu formula umum ag disebut sebagai represetasi kaoik fugsi karakteristik sebara terbagi tak higga. Pegkarakterisasia fugsi karakteristik sebara terbagi tak higga diusulka pertama kali oleh Bruo de Fietti 99), ag kemudia dilajutka oleh Kolmogorov 93) utuk kasus mome kedua terbatas da kemudia dituruka oleh Lev-Khichie 937) sehigga meghasilka suatu formula umum ag disebut Represetasi kaoik fugsi karakteristik sebara terbagi tak higga [3,6]. Paper ii memberika kajia represetasi kaoik fugsi karakteristik utuk sebara terbagi tak higga serta pegguaaa pada keterbagia tak higga Sebara Normal da Sebara Ekspoesial. 7

8 Eka Rahmi Kahar, Dodi Deviato. Sebara Terbagi Tak Higga Berikut ii aka dibahas megeai defiisi da teorema dari fugsi sebara terbagi tak higga. Defiisi.. [7] Suatu fugsi sebara F dikataka terbagi tak higga jika utuk setiap bilaga bulat positif, terdapat suatu fugsi sebara F sedemikia sehigga F adalah kovolusi kali dari F dega diria sediri, aitu F = F F kali). Selai itu keterbagia tak higga dapat dilihat berdasarka fugsi karaktiristika. Berikut diberika defiisi dari fugsi karakteristik kemudia dilajutka dega defiisi sebara terbagi tak higga berdasarka fugsi karakteristik. Defiisi.. [, ] Jika X suatu peubah acak dega fugsi kepekata peluag f) da fugsi sebara kumulatif F ), maka fugsi karakteristik ϕ X t) dari peubah acak X didefiisika sebagai berikut ϕ X t) = E[e itx ] = e it df ), dimaa t R, i = da e itx = cos tx i si tx. Berdasarka defiisi fugsi karakteristika, suatu fugsi sebara F dega fugsi karakteristik ϕ adalah terbagi tak higga jika utuk setiap bilaga bulat positif terdapat fugsi karakteristik ϕ sedemikia sehigga ϕt) = [ϕ t)] utuk setiap t []. 3. Represetasi Kaoik Fugsi Karakteristik Sebara Terbagi Tak Higga Berikut diberika lema da teorema megeai represetasi kaoik dari fugsi karakteristik sebara terbagi tak higga. Lema 3.. [5] Misalka ϕt) adalah suatu fugsi karakteristik terbagi tak higga. Maka terdapat suatu barisa dari fugsi φ t) sedemikia sehigga Bukti. Karea utuk, ) [ ) ] [ϕt)] = ep φt) maka diperoleh lim φ t) = φt) = l ϕt). 3.) ) = φt) ) ) φt)) φt)) 3,! 3! ) φt) = lim [ϕt)]. 3.) Berdasarka asumsi, ϕt) adalah fugsi karakteristik terbagi tak higga, maka [ϕt)] merupaka suatu fugsi karakteristik. Misal diotasika fugsi sebara ag

Represetasi Kaoik utuk Fugsi Karakteristik dari Sebara Terbagi Tak Higga 9 bersesuaia adalah F ), maka ) [ϕt)] = it df ) Misalka ditulis, γ = e it it ) df ),. 3.3) φ t) = γ it df ), β ) = e it it df ) ) dβ ) 3.4) maka dari 3.) 3.4) terbukti bahwa terdapat φ t) sedemikia sehigga lim φ t) = φt) = l ϕt). Lema 3.. [7] Jika A, t) didefiisika utuk, ), ) da t, ) dega A, t) = e it it ), maka lim A, t) = t. Bukti. Lema ii dapat dibuktika dega megguaka e it = it it)! it)3 3!. Teorema 3.3. [7] Represetasi Kaoik Lev-Khichie) Suatu fugsi ϕ adalah fugsi karakteristik dari suatu fugsi sebara terbagi tak higga jika da haa jika terdapat suatu bilaga real γ da fugsi takturu terbatas β ag terdefiisi pada, ) sedemikia sehigga ϕt) = ep [ iγt ep [it] it ) ] dβ), 3.5) dimaa itegra terdefiisi pada = dega kotiuitas mejadi t. Represetasi kaoik pasaga γ, β) ii tuggal. Bukti. ) Misalka ϕ adalah fugsi karakteristik dari suatu fugsi sebara terbagi tak higga. Aka ditujukka terdapat suatu bilaga real γ da fugsi takturu terbatas β ag terdefiisi pada, ) sedemikia sehigga ϕt) = ep [ iγt ep [it] it ) ] dβ), dimaa itegra terdefiisi pada = dega kotiuitas mejadi t. Misalka F adalah fugsi sebara ag bersesuaia dega fugsi karakteristik ϕ, dimaa [ϕ t)] = ϕt) utuk setiap bilaga bulat positif da misalka ditulis β t) = t df ) da I t) = e it ) dβ ). 3.6)

3 Eka Rahmi Kahar, Dodi Deviato Maka dega megguaka Lema 3. diperoleh lim I t) = l ϕ t). Kemudia, jika bagia rill diotasika dega Re, maka lim Re I t) = lim cos t) ) dβ ) = l ϕ t). 3.7) Karea β ) = da dega megguaka persamaa 3.7), diperoleh bahwa β terbatas da T dβ ) < ε. Sehigga terdapat subbarisa dari {β } ag koverge legkap. Misal subbarisa tersebut adalah {β k } da misalka terdapat c suatu fugsi tak turu terbatas β sedemikia sehigga β k β. Utuk t tertetu, A, t) seperti ag didefiisika pada Lema 3. adalah fugsi kotiu terbatas pada. Sehigga A, t)dβ k ) A, t)dβ ), k. Misalka ditulis maka diperoleh γ k = I k t) = dβ k ) = k df k ), 3.8) A, t)dβ k ) itγ k. Sehigga terdapat bilaga riil γ sedemikia sehigga γ k γ utuk k. Karea I k t) l ϕ t) utuk k, maka ϕ t) = ep [ iγt A, t)dβ ) ] ag membuktika bahwa ϕ t) dapat direpresetasika mejadi persamaa 3.5). ) Misalka terdapat suatu bilaga riil γ da fugsi takturu terbatas β ag terdefiisi pada, ) sedemikia sehigga berlaku persamaa 3.5), dimaa itegra terdefiisi pada = dega kotiuitas mejadi t. Aka ditujukka bahwa ϕ fugsi karakteristik dari suatu fugsi sebara terbagi tak higga. Perhatika dua kasus berikut: Kasus. Misalka < λ = dβ ) <, I =, ), ), H ) = λ I,) dβ ), da σ = β ) β ). Maka H adalah fugsi sebara, da jika h t) adalah fugsi karakteristik dari fugsi sebara H, maka ϕ t) = ep [iγ t σ t ] λ h t) ), dimaa γ = γ ) I dβ ). Hal ii meujukka bahwa ϕ t) adalah suatu fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga. Pada kasus λ =, σ >, maka ϕ t) adalah fugsi karakteristik dari sebara N γ, σ ) ag meujukka bahwa ϕ t) adalah suatu fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga. Kasus. Misalka ) I dβ ) =, da misalka { } adalah suatu barisa bilaga positif sedemikia sehigga > utuk semua da utuk. Misalka ditulis A =, ] [, ) da A =, ] [, ), utuk =, 3, da sehigga dapat didefiisika λ = A dβ ) >, utuk setiap.

Represetasi Kaoik utuk Fugsi Karakteristik dari Sebara Terbagi Tak Higga 3 Perhatika bahwa, ), ) = I = = A. Misalka F ) = λ A,] dβ ), maka jelas bahwa F suatu fugsi sebara. Misalka {Z, X,j, Y, =,,, j =,, } adalah peubah acak salig bebas sedemikia sehigga Z adalah peubah acak dari sebara N, σ ), fugsi sebara dari peubah acak X,j adalah F, da Y adalah peubah acak Poisso dega E [Y ] = λ. Misalka ) ) X = γ Z) X m, X m,m ) dβ), m= maka dega memisalka ϕ X,j adalah fugsi karakteristik dari peubah acak X,j, diperoleh fugsi karakteristik dari peubah {X } sebagai berikut ϕ t) = ep [iγt σ t ] A, t) dβ ), dega A, u) seperti ag didefiisika pada Lema 3.. Sehigga jelas bahwa ϕ t) merupaka fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga da ϕ t) ϕ t) utuk pada semua t. Oleh karea itu, diperoleh bahwa ϕ t) adalah c fugsi karakteristik dari sebara F da F F, sehigga fugsi sebara F terbagi tak higga ag membuktika bahwa ϕ t) adalah fugsi karakteristik dari suatu fugsi sebara terbagi tak higga. Selajuta aka ditujukka represetasi kaoik pasaga γ, β) diatas tuggal, aitu cukup dega meujukka ketuggala dari β. Misalka ditulis φ t) = t t m= l ϕ τ) dτ l ϕ t) Maka jelas bahwa ϕ secara tuggal meetuka φ da diperoleh φ t) = ep it) si ) dβ ). Karea ) si > utuk setiap, maka jika didefiisika Φ ) = si ) dβ ), diperoleh φ u) = ep it) dφ ). Catata : Φ adalah fugsi takturu karea Φ merupaka itegral dari fugsi tak egatif). Karea itegral ag mefiisika Φ adalah positif, maka Φ secara tuggal meetuka β. Sehigga ϕ secara tuggal meetuka β da γ. A m

3 Eka Rahmi Kahar, Dodi Deviato Teorema 3.4. [7] Represetasi Kaoik Lev) Suatu fugsi f adalah fugsi karakteristik dari suatu fugsi sebara terbagi tak higga jika da haa jika terdapat kostata γ da fugsi M ag terdefiisi pada, ), ) ag tak turu pada, ) da, ) da memeuhi M) = M ) = da sedemikia sehigga ϕt) = ep[iγt σ t dm) <, ep[it] Represetasi kaoik tripel γ, σ, M) ii tuggal. it )dm)]. 3.9) Teorema Represetasi Lev jelas ekuivale dega Teorema Represetasi Lev- Khichie dega megguaka hubuga { dβ), utuk > M) = dβ), utuk < Formula 3.9) di atas disebut sebagai Represetasi Kaoik Lev dari ϕt), dimaa M) disebut sebagai ukura Lev. 4. Represetasi Kaoik Fugsi Karakteristik Sebara Normal da Sebara Ekspoesial 4.. Sebara Normal Misalka X Nµ, σ ) dega fugsi kepekata peluag f) = µ) ep[ πσ σ ], utuk < <, dimaa µ da σ adalah kostata, ) < µ <, σ >. Maka fugsi karakteristika adalah ϕt) = ep iµt σ t. Karea utuk sebarag bilaga bulat, [ ] terdapat ϕ t) = ep iµt σ t aitu fugsi karakteristik dari sebara N µ, σ ) sedemikia sehigga berlaku ϕt) = [ϕ t)], maka Sebara Normal merupaka sebara terbagi tak higga. Perhatika bahwa fugsi karakteristik Sebara Normal di atas dapat ditulis sebagai berikut ϕt) = ep iµt σ t ep[it] it ) ) d[]. Sehigga fugsi karakteristik Sebara Normal dapat dibetuk ke dalam Represetasi Kaoik Lev dega γ = µ, σ = σ, da M) =. 4.. Sebara Ekspoesial Misalka X epθ) dega fugsi kepekata peluag f) = θ e /θ, >.

Represetasi Kaoik utuk Fugsi Karakteristik dari Sebara Terbagi Tak Higga 33 Maka fugsi krakteristika adalah ϕt) = E[e itx ] = e it θ e θ d = itθ. Karea utuk sebarag bilaga bulat, terdapat ϕ t) = itθ) ) aitu fugsi karakteristik dari sebara GAMθ, ) sedemikia sehigga berlaku ϕt) = [ϕ t)], maka sebara Ekspoesial merupaka sebara terbagi tak higga. Perhatika bahwa ϕ t) merupaka fugsi karakteristik dari GAMθ, ), maka fugsi sebara ag bersesuaia utuk fugsi karakteristik tersebut adalah F ) = θ / Γ/) e /θ d Selajuta, dega megguaka β da γ ag telah diperoleh pada pembuktia Lema 3. da Teorema 3.3, maka fugsi karakteristik sebara Ekspoesial dapat dibetuk ke dalam Represetasi Kaoik Lev-Khichie dega da γ = lim γ = lim df ) = β) = lim β ) = lim df ) = e /θ d e /θ d, >. Kemudia, dega megguaka hubuga Represetasi Kaoik Lev da Represetasi Kaoik Lev-Khichie, perhatika bahwa ) M) = dβ) = d e /θ d = e /θ d, >. Sehigga fugsi karakteristik dari sebara Ekspoesial dapat dibetuk ke dalam Represetasi Kaoik Lev dega γ = e /θ d, σ =, da M) = e /θ d, >. 5. Kesimpula Fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga dapat dikarakterisasi ke dalam suatu formula umum ag disebut sebagai represetasi kaoik fugsi karakteristik sebara terbagi tak higga. Jika suatu peubah acak X merupaka suatu sebara terbagi tak higga, betuk represetasi kaoik utuk fugsi karakteristik dari sebara X adalah ϕt) = ep [ iγt ep [it] it ) ] dβ), dimaa represetasi kaoik pasaga γ, β) tersebut tuggal. Represetasi kaoik diatas diamaka Represetasi Kaoik Lev-Khichie. Selai Represetasi

34 Eka Rahmi Kahar, Dodi Deviato Kaoik Lev-Khichie terdapat betuk represetasi kaoik ag lai dari sebara tebagi tak higga, aitu disebut dega Represetasi Kaoik Lev. Betuk Represetasi Kaoik Lev utuk fugsi karakteristik dari sebara terbagi tak higga adalah sebagai berikut ϕt) = ep [iγt σ t ep[it] it ) ] dm). dimaa Represetasi Kaoik Lev ii ekivale dega Represetasi Kaoik Lev- Khichie, aitu dega megguaka hubuga { dβ), utuk > M) = dβ), utuk > Represetasi kaoik tripel γ, σ, M) di atas juga tuggal. Sebara ormal da sebara ekspoesial adalah sebara terbagi tak higga dimaa fugsi karakteristika dapat dibetuk kedalam Represetasi Kaoik Lev. Sebara ormal mempuai represetasi Kaoik Lev dega γ = µ, σ = σ, da M) =. Semetara itu, sebara ekspoesial mempuai represetasi Kaoik Lev dega γ = Daftar Pustaka e /θ d, σ =, da M) = e /θ d, >. [] Bartle, R.G. da Doald R.S. 97. Itroductio to Real Aalsis, Secod Editio. Joh Wile ad Sos. Sigapore: Ic [] Chug, K. L.. A Course I Probabilit Theor, Third Editio. Sa Diego: Academ Press [3] Gedeko, B. V. da A. N. Kolmogorov. 968. Limit Distributios for Sms of Idepedet Radom Variables. Lodo: Addiso-Wile [4] Laha, R. G. Da V. K. Rohagi. 979. Probabilit Theor. New York: Joh Wile Sos [5] Lukacs, E. 97. Characteristic Fuctio, Secod Editio. Lodo: Grifi [6] Rao, M. M. da R.J. Swift. 6. Probabilit Theor with Aplicatios, Secod Editio. Uited States: Spriger [7] Tucker, H. G. 967. Probabilit ad Mathematical Statistics. Lodo: Akademic Press