BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS

Transkripsi

1 BRISN PNGKT TERURUT MTRIKS PD LJBR MX PLUS Nurwa Jurusa Matematika FMIP Uiversitas Negeri Gorotalo bstrak Diberika matriks R yag memeuhi = λ. Matriks adalah k + c c k taktereduksi jika grap dari matriks adalah strogly coected. λ adalah ilai eige dari matriks da c adalah kesiklika dari matriks. Dalam tulisa ii dibahas kecederuga akhir da kesiklika dari barisa pagkat terurut matriks pada aljabar plus. Dari barisa pagkat terurut matriks kemudia dihitug ilai eige da kesiklika. Hasil pembahasa diperoleh ilai eige berkaita dega barisa pagkat terurut matriks pada aljabar plus da kecederuga akhir dari barisa pagkat terurut matriks adalah siklik. Kata kuci : ljabar Max Plus, Matriks Taktereduksi, Barisa Matriks, Nilai Eige. Pedahulua ljabar plus merupaka salah satu klas dalam sistem evet diskrit yag memiliki bayak aplikasi. ljabar plus medeskribsika suatu sistem secara liear. Pedekata aljabar plus dapat megaalisis suatu sistem dega waktu ivaria -liear. Pembahasa lebih medalam tetag aljabar plus da aplikasiya dapat dilihat pada []. Bayak hal yag dapat dikaji dalam aljabar plus, terutama yag berkaita dega model matematika dari suatu sistem evet diskrit. Beberapa masalah sistem evet diskrit yag telah dilakuka kajia megguaka aljabar plus diataraya sistem maufaktur, jariga telekomoikasi, sistem trasportasi, sistem logistik da lai sebagaiya. Dalam tulisa ii dikaji tetag perilaku pagkat terurut matriks dalam aljabar plus. Sistematika dari tulisa ii adalah diawali dega kajia tetag peerapa aljabar plus. Pada bagia kedua dari tulisa ii membahas tetag otasi da defiisi yag berkaita dega aljabar plus serta pegemabaga aljabar plus dalam betuk matriks da grap. Kemudia pada bagia ketiga dibahas lebih medalam tetag koeksi matriks taktereduksi dega grap. Pada bagia keempat dibahas barisa dalam aljabar plus disertai dega beberapa cotoh utuk lebih

2 memahamiya. Pada bagia akhir dibahas perilaku pegkat terurut matriks dalam aljabar plus disertai dega kesimpula.. ljabar Max Plus Pada bagia ii dibahas defiisi da operasi dasar aljabar plus yag aka diguaka dalam pembahasa pada tulisa ii. Operasi dasar aljabar plus adalah maksimum yag direpresetasika oleh da pejumlaha yag direpresetasika oleh. Didefiisika ε = da e= 0 da otasi R adalah himpua R { ε} real. Dua operasi tersebut didefiisika sebagai berikut: x y = ( x, y) x y = x + y dega x, y R { }, ε = da R R { ε} dega R adalah himpua bilaga =. ( x, ) = (, x ) = x da x + ( ) = ( ) + x =, utuk setiap x R diperoleh x ε = ε x = x da x ε = ε x = ε () Simbol da dalam aljabar plus memiliki kesamaa dega operasi dalam aljabar biasa. Utuk N da x R maka didefiisika pagkat dalam aljabar plus sebagai berikut: x = x x... x (3) Meyelesaika Persamaa (3) sama halya dega aljabar biasa, Diberika matriks x = x + x x = x R, maka pagkat matriks dalam aljabar plus didefiisika sebagai berikut: 0 = E k k =, k =,,3... Pembahasa medalam tetag pagkat matriks dalam aljabar plus dapat dilihat pada [,, 5 ]. Cotoh 3 5 = 3 5 = 5 8 = 8 = 4 () (4)

3 Operasi da dapat diperluas dalam betuk matriks. Jika C R maka didapat p ( B) = a b ij ij ij ( C) = a c p ij ik kj k=, B R da utuk semua i,j. Matriks ol dega ukura m dalam aljabar plus didefiisika oleh ( ξm ) ij= ε, utuk semua i,j. Matriks E adalah matriks idetitas dega ukura dalam aljabar plus yag didefiisika oleh ( E ) = 0 utuk semua i,j da ( E ) ij= ε utuk semua i,j da i j. Perkalia dua matriks dalam aljabar plus memiliki persamaa dega perkalia dua matriks dalam aljabar biasa yaitu, perkalia dua matriks dalam aljabar biasa megguaka operasi x da + sedagka perkalia dua matriks dalam aljabar plus megguaka operasi da. Pembahasa lebih medalam dapat dilihat pada [,3] Cotoh Diberika matriks 3 = e 4 da B 3 5 = 4, maka B = B = = e 4 4 e 4 (( + 3),(3 )) (( + 5),(3 + 4)) 5 7 B = =, (( e + 3),(4 )) (( e + 5),(4 + 4)) 3 8 dega cara 5 9 yag sama diperoleh B =. Seperti halya dalam aljabar biasa, perkalia 4 8 matriks dalam aljabar plus juga tidak komutatif, sehigga B = B. Eleme-eleme dari diotasika dega xj. Vektor di R disebut vektor. Eleme ke-j dari sebuah vektor ij m x R (5) R dega semua elemeya sama dega ε disebut vektor uit da diotasika dega u. Utuk sebarag a u meghasilka vektor dega semua elemeya sama dega a. 3. Grap dalam ljabar Max Plus Pada bagia ii dibahas suatu grap berarah dari suatu matriks a R, perkalia R. Suatu grap berarah dari matriks diotasika oleh G ( ) = ( E, V). Grap G () mempuyai

4 titik, himpua semua titik dari G() diyataka oleh V. Himpua semua garis dari suatu grap diotasika oleh dega E. Bobot dari garis ( j, i) adalah ilai dari a,. Bila a, = ε, maka garis ( j, i), tidak ada. Himpua barisa garis i j i j ( i i ), ( i, i ),, (, ), 3 i l i l dari suatu grap diamaka suatu path. Suatu path dikataka elemeter bila tidak ada titik terjadi dua kali dalam path tersebut. Bobot rata-rataya adalah bobot dari p dibagi oleh bayakya garis dalam p, yaitu ( a + a + + a ) l, i i3, i i l, i l i. Sirkuit mea adalah bobot rata-rata dari suatu sirkuit. Sebarag sirkuit dega sirkuit mea maksimum diamaka sirkuit kritis. Suatu grap dikataka strogly coected bila suatu path ada utuk setiap titik i ke setiap titik j. Dalam hal yag demikia matriks yag terkait dega grap G () ii diamaka matriks taktereduksi. [5,7] Cotoh 3 Diberika matriks ε 5 ε = ε ε 4 0 ε Grap dari matriks pada Cotoh 3 dapat dilihat pada Gambar Gambar. Grap G() [] Grap yag ada pada Gambar terdiri dari tiga titik yaitu N( = ) {,,3 }, himpua art adalah {(,3),(3,),(,),(3,3) } da mempuyai dua sirkuit yaitu ρ= ((,3),(3,),(,) ) da θ= (3,3).

5 4. Barisa ljabar Max Plus Pada bagia ii dibahas kosep barisa dalam aljabar plus yaitu barisa ultimately geometric da ultimately periodic. Defiisi [4] Suatu barisa { gk } k = 0 adalah ultimately geometric jika K N, c N, λ R sedemikia sehigga k K maka berlaku c 0 gk c λ + = gk Jika g adalah barisa ultimately geometric maka bilaga terkecil c pada Defiisi () adalah periode dari g. Bilaga terkecil λ adalah rata-rata dari g. Defiisi [4] Suatu barisa { gk } k = 0 adalah ultimately periodic jika K N, c N 0, λ0,..., λ c R sedemikia sehigga g utuk semua k K da utuk s = 0,,..., c. kc c s λ + + = s gkc + s Jika barisa g adalah barisa ultimately periodic maka bilaga terkecil c pada defiisi disebut periode, da bilaga terkecil λ adalah rata-rata dari g. Secara umum pejumlaha barisa ultimately geometric dalam aljabar plus adalah ultimately periodic. Utuk memahami defiisi tersebut maka diberika cotoh. Cotoh 4 Barisa g= { g } 0 = 0,0,0,, ε,0,8, ε,6,4, ε,,0, ε,8,... k k = Perhatika barisa tersebut, pada suku ke-6, ke-9, ke-, ke-5 mempuyai rasio yag sama yaitu 6, da suku ke-7, ke-0, ke-3 juga mempuyai suku yag sama yaitu 6. g = 6 g = 6 + g = = g = 6 g = 6 + g = 6 + = g = 6 g = 6 + g = 6 + ε = ε g = 6 g = 6 + g = = gk + 3 = gk = 6 gk = 6 + gk utuk semua k 3 { } 0 0,0,0,,,0,8,,6,4,,,0,,8,... g = g = ε ε ε ε pada Cotoh 4 disebut k k = barisa ultimately geometric, dega periode 3 da laju adalah utuk k 3. s c

6 5. Barisa Matriks ljabar Max Plus Pada bagia ii dibahas barisa matriks dalam aljabar plus, kemudia melihat perilaku atau kecederuga akhir dari barisa tersebut. Matriks yag aka dibahas pada bagia ii adalah matriks taktereduksi. Defiisi 3 c k Sebuah matriks disebut siklik jika ada c da k sedemikia sehigga = utuk setiap k K. Bilaga terkecil c disebut kesiklika dari matriks da disebut c-siklik. Teorema Jika R adalah matriks taktereduksi, maka terdapat λ R, k0 N, c N 0 sedemikia sehigga c c k = λ λ adalah ilai eige dari matriks da bersesuai dega rata-rata maksimum dari semua sirkuit dari grap ( G()), c adalah kesiklika dari matriks. Cotoh 5 Diberika matriks ε = ε 3 ε ε (,4, ε ) (,3, ε ) ( ε,4, ε ) = = (,3, ε ) (4,,3) ( ε,3,5) ε 3 ε 3 ( ε,3, ε ) ( ε,4,4) ( ε,3,6) = ε = = = ε ε = = = 8 5 ε Dega cara yag sama diperoleh

7 = = = = = = = = Dari perhituga barisa pagkat matriks aljabar plus ,,,,,,,... diperoleh betuk k = 3 utuk k= 5,6,7,... Dega demikia diperoleh λ= 3 da c=. Cotoh 6 Diberika matriks 3 ε B = 3 4 ε 3 ε 3 ε B = B B = 3 3 = ε 4 ε ε B = B B = = ε ε B = B B = = 4 ε

8 3 ε B = B B = 3 = ε ε B = B B = = ε ε B = B B = = 0 4 ε ε B = B B = 3 0 = ε Dari perhituga barisa pagkat matriks aljabar plus B, B, B, B, B, B, B,... diperoleh betuk B k = 3 B utuk k= 4,5,6,... Dega demikia diperoleh λ= 3 da c=. 6. Peutup Dari hasil pembahasa diperoleh kesimpula bahwa perilaku atau kecederuga akhir dari barisa pagkat terurut matrik aljabar plus memeuhi c c k = λ dega R. Kecederuga akhir dari matriks pagkat terurut pada aljabar plus adalah siklik. Nilai eige berkaita dega barisa pagkat terurut matriks pada aljabar plus. Utuk selajutya dapat dikaji perilaku akhir pagkat terurut matriks aljabar plus utuk matriks tereduksi 7. Daftar Pustaka [] B. Heidergott, G.J. olsder, ad J. va der Woude, (006). Max Plus at Work, Modell ig ad alysis of Sychroized Systems: Course o Max-Plus lgebra ad Its pplicatios, Priceto Uiversity Press. [] Butkovic, P., R.. Cuighame-Gree (007), O Matrix Powers i Max- lgebra, Liear lgebra ad Its pplicatio, 4(007) [3] F. Baccelli, G. Cohe, G.J. olsder, ad J.-P. Quadrat, (99). Sychroizatio ad liearity: a algebra for discrete evet systems, Wiley. [4] Schutter D. B. (000), O the Ultimate Behavior of the Sequece of Cosecutive powers of a Matrix i the Max Plus lgebra, Liear lgebra ad Its pplicatio 307(000)03-7

9 [5] Subioo (000) O Classes of Mi-Max-Plus System ad Their pplicatio, Trail Thesis, Delft Uiversity Press [6] Subioo (000) Power lgorithms for (,+)-ad bipartite (mi,,+)- systems, Discrete Evet Dyamic Systems: Theory ad pplicatios, 0(4): [7] Subioo (00), The existece of eigevalues for reducible matrices i Max- Plus lgebra, Semiar Nasioal Matematika UMM Malag