II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

Transkripsi

1 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi da r adalah sisa pada pembagia b dibagi dega a. jika r = 0 maka dikataka habis dibagi a da ditulis. utuk b tidak habis dibagi a ditulis. Ada bahasa lai utuk meyataka relasi pembagia, mugki dikataka bahwa membagi, adalah pembagi dari b, bahwa a adalah faktor dari b atau bahwa b adalah multiple dari a. Defiisi Bilaga bulat a membagi habis bilaga bulat 0, ditulis, jika da haya jika ada bilaga bulat sehigga =. Jika a tidak membagi b maka. (Sukirma,1997) Cotoh: , sebab 14 = 2 dega = , sebab tidak ada bilaga bulat sehigga 10 = 3.

2 Teorema Utuk bilaga bulat,, da berlaku sebagai berikut: 1. 0, 1, 2. 1 jika da haya jika = ± 1 3. Jika da, maka 4. Jika da maka ( + ) 5. Jika, maka da 6. Jika maka 7. Jika da, maka 8. maka, utuk sebarag bilaga bulat 9. Jika da, maka ( + ) utuk setiap bilaga bulat da. (Burto,1994) Bukti. (1). Utuk 0, ada suatu bilaga bulat sehigga = 0 karea 0 maka haruslah = 0 sehigga 0. Utuk 1, 1. =, maka haruslah = sehigga 1. Utuk,. =, maka haruslah = 1 sehigga. (2). Misalka 1 atau 1, maka = 1, karea da bilaga bulat, maka haruslah da sama dega 1 atau 1. (3). Jika maka ada suatu bilaga sehigga =, da jika maka ada suatu bilaga bulat sehigga =. Jika da maka berlaku:. = 5

3 . = ( =, utuk setiap bilaga bulat) = dega demikia dapat ditulis (4). Dega megikuti sifat (3), maka dapat ditulis dega = + = + ( + ) = + ( + =, utuk setiap k bilaga bulat) = + dega demikia bear bahwa ( + ) (5). Jika, ada suatu bilaga bulat sehigga dapat ditulis dega. =. = ( =, utuk setiap bilaga bulat) =, dapat ditulis dega a c. = ( =, utuk setiap bilaga bulat). =, dapat ditulis dega (6). Dega megikuti sifat (2) jelas bahwa jika maka. (7). Jika, maka terdapat bilaga bulat sehiga =, da jika maka terdapat bilaga bulat sehigga =. Jika da, maka:. =.. = ( =, utuk setiap k bilaga bulat). = dega demikia, jika da maka (8). Jika, maka terdapat bilaga bulat sehiga =. =. = ( adalah bilaga bulat) 6

4 . = ( =, utuk setiap bilaga bulat) = dega demikia jika maka utuk setiap sebarag bilaga bulat. (9). Jika, maka terdapat bilaga bulat sehiga =. Jika, maka terdapat bilaga bulat sehiga =. maka berlaku: + = + = ( + ) = ( + ) = + dega demikia jika da maka ( + ) 2.2 Bilaga Prima Defiisi Suatu bilaga bulat > 1 yag tidak memiliki faktor positif kecuali 1 da, maka disebut bilaga prima. Bilaga buat lebih dari 1 da buka prima disebut bilaga komposit (tersusu). (Sukirma,1977) Cotoh: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 adalah bilaga prima. 4, 6, 8, 9, 10, 12 adalah cotoh dari bilaga-bilaga komposit. Meurut defiisi tersebut, 1 buka bilaga prima maupu komposit, 1 disebut uit. Jadi himpua bilaga bulat positif (bilaga asli) terbagi dalam 3 himpua yag salig lepas, yaitu himpua semua bilaga prima, himpua semua bilaga komposit da himpua uit. Ambil sebarag bilaga bulat, misalya 84, maka 84 dapat ditulis sebagai hasil kali bilaga prima, 84 = atau 7

5 84 = atau 84 = atau laiya. Teorema Setiap bilaga bulat, > 1 dapat dibagi oleh suatu bilaga prima. (Sukirma, 1997) Bukti: Jika bilaga prima maka, teorema terbukti. Misalya diambil bilaga komposit, maka mempuyai faktor selai 1 da. Misalya, maka sehigga = karea 1 da, maka 1 < <. Jika bilaga prima maka, jika bilaga komposit, misalka, maka ada sehigga = dega 1 < <. Jika 2 bilaga prima maka da, maka. tetapi jika bilaga komposit da misalka, maka ada sehigga = dega 1 < <. Demikia seterusya sehigga terdapat barisa,,,, dega > > > > da setiap > 1 dega = 1, 2, 3,, misalka adalah bilaga prima, maka karea,,,, dega megguaka peryataa di atas dapat disimpulka bahwa setiap bilaga bulat positif lebih besar dari 1 dapat diyataka sebagai hasil kali bilaga-bilaga prima. Teorema Setiap bilaga bulat > 1 dapat diyataka sebagai hasil kali bilaga prima (mugki haya memiliki 1 faktor). (Sukirma, 1997) 8

6 Bukti: Dari teorema diketahui bahwa ada sehigga = dega 1 <. jika = 1 maka =, berarti bilaga prima. Sehigga = dega 1 <. Jika = 1 maka = sehigga =, berarti dapat diyataka sebagai hasil kali faktor-faktor bilaga prima. Tetapi jika > 1 proses seperti di atas dilajutka sehigga diperoleh = 1. Peguraia atas faktor-faktor prima itu pasti berakhir, karea > > > da setiap 1. Misalka utuk suatu, = 1, maka = adalah hasil kali faktor-faktor prima yag sama dega jadi setiap bilaga bulat positif yag lebih besar dari 1 dapat diyataka sebagai hasil kali bilaga-bilaga prima. 2.3 Kekogruea Defiisi Misal ditetapka sebagai bilaga bulat positif, bilaga bulat a da b dikataka sebagai kogrue modulo dituliska dega: (mod ) jika adalah pembagi selisih, berarti bahwa =, utuk setiap bilaga bulat. Utuk membearka gagasa tersebut misal = 7. Da sebagai cotoh sebagai berikut: 3 24 ( mod 7) (mod 7) (mod 7) Karea 3 24 = ( 3) 7, = ( 6) 7, da 15 ( 64) = (7) 7. Pada sisi lai, jika ( ), kemudia dikataka bahwa a adalah buka kogrue utuk b modulo da ditulis (mod ). Sebagai cotoh, 9

7 25 12 (mod 7), karea 7 tidak bisa utuk membagi = 13. (Burto, 1999) Teorema Setiap bilaga bulat kogrue modulo tepat satu diatara 0, 1, 2,, 1. (Sukirma, 1997) Defiisi Pada (mod ) dega 0 <, maka disebut residu terkecil moduloi. Utuk kogrue ii disebut himpua residu terkecil modulo. (Sukirma, 1997) Cotoh: 1. Residu terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1 2. Residu terkecil dari 71 modulo 3 adalah 2 3. Walaupu 34 9 (mod 5) tetapi 9 buka residu terkecil dari 34 9 (mod 5) karea 9 > Himpua residu terkecil modulo 5 adalah { 0,1,2,3,4}. Teorema (mod ) jika da haya jika da memiliki sisa-sisa yag sama jika dibagi. (Sukirma,1997) Bukti: Pertama dibuktika jika a b (mod ) maka ada a da b yag memiliki sisa yag sama jika dibagi m. a b (mod ) maka (mod ) da (mod ) dega r adalah residu terkecil modulo atau 0 <. 10

8 (mod ) berarti = + utuk suatu bilaga bulat (mod ) berarti = + utuk suatu bilaga bulat ii berarti da memiliki sisa yag sama yaitu jika dibagi. Kedua, dibuktika jika da memiliki sisa yag sama jika dibagi maka (mod ).Misalka memiliki sisa jika dibagi, berarti = + da memiliki sisa jika dibagi, berarti = + dari kedua persamaa itu diperoleh bahwa: = ( ) berarti ( ) atau (mod ) Cotoh: (mod 5) 47 = (6) = (1) Dega sisa yag sama yaitu 5. Teorema Misal > 0 da,,, sebarag bilaga bulat. Maka megikuti sifat-sifat sebagai berikut: 1. (mod ) 2. (mod ), maka (mod ) 3. Jika (mod ) da (mod ), maka (mod ) 4. Jika (mod ) da (mod ) maka + + (mod ) da (mod ) 5. Jika (mod ) maka + + (mod ) da (mod ) 11

9 6. Jika (mod ) maka (mod ) utuk setiap bilaga bulat k (Burto, 1999) Bukti: 1. Utuk setiap bilaga bulat a diketahui bahwa = 0., sedemikia sehigga (mod ). 2. Jika (mod ) maka, =, utuk setiap bilaga bulat k, karea itu = = ( ), da adalah bilaga bulat. 3. Adaika bahwa (mod ) da juga (mod ) da ada bilaga bulat h da memeuhi = h da =. Hal itu Meujukka bahwa = ( ) + ( ) = h + = (h + ), ii berakibat dimaa (mod ). 4. Jika (mod ) da (mod ), maka diketahui bahwa = da = utuk piliha yag sama dari da Pejumlaha persamaa tersebut, diperoleh ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) = + = ( + ) Atau seperti suatu peryataa kogrue, + + (mod ) = ( + )( + ) = + ( + + ) karea + + adalah suatu bilaga bulat, ii bisa dikataka bahwa dapat dibagi dega, dimaa (mod ). 5. Bukti dari sifat 5 mecakup 4 da keyataa bahwa (mod ). 6. Utuk = 1 diasumsika bahwa hal ii bear utuk semua, dari sifat 4 ditahui bahwa (mod ) da (mod ),secara tidak 12

10 lagsug dapat diyataka (mod ), atau equivalet dega ( ) hal ii meyataka bahwa + 1 merupaka akhir dari pembuktia. Dega demikia terbukti bahwa jika (mod ) maka (mod ), utuk sebarag bilaga positif. 2.4 Barisa Sebuah barisa dapat di bayagka sebagai suatu daftar bilaga yag dituliska dalam suatu daftar uruta tertetu:,,,,, Bilaga disebut suku pertama,, suku kedua da secara umum suku ke, aka dibahas barisa tak higga saja da kareaya setiap suku berikutya. Perhatika bahwa utuk setiap bilaga bulat positif terdapat satu bilaga yag terkait da kareaya sebuah barisa dapat didefiisika sebagai sebuah fugsi yag daerah asalya adalah himpua bilaga bulat positif. Tetapi biasaya ditulis da buka otasi fugsiya ( ) utuk meyataka otasi fugsi tersebut ada di bilaga. Notasi barisa {a 1, a 2, a 3, } juga diyataka sebagai { } atau { }. Cotoh: Sejumlah barisa dapat didefiisika dega memberika rumus utuk suku ke - ya. Pada cotoh berikut diberika tiga peyajia barisa: pertama dega megguaka otasi di atas, kedua dega megguaka rumus suku ke- ketiga dega meuliska suku-suku barisa tersebut. Perhatika bahwa da tidak harus dimulai dari satu. 13

11 a. b. c ,,,,...,, ,,,,..., a 3, 3 0,1, 2, 3, 3,... 3 a a 3,... (James Stewart, 2003) 2.5 Norma Euler (Euler s Criterio) Corollary Misal adalah bilaga prima da misal gcd (, ) = 1 maka adalah jika ( )/ 1 (mod ) Da adalah jika ( )/ 1 (mod ) 2.6 Simbol Jacobi (Bach ad Eric, 1996) Defiisi Utuk setiap bilaga bulat da utuk setiap bilaga bulat positif, simbol Jacobi didefiisika sebagai hasil dari simbol Legedre bersamaa dega faktorfaktor prima dari : =... dimaa =... merupaka simbol Legedre, yag didefiisika utuk semua bilaga bulat da semua bilaga prima dega 14

12 = 0 jika 0(mod ) 1 jika 0(mod )da utuk bilaga bulat, (mod ) 1 jika tidak ada Megikuti ketetua umum utuk hasil kosog, = 1. (Wikipedia,2011) Theorema jika adalah bilaga prima, maka simbol Jacobi juga merupaka simbol Legedre. 2. Jika (mod ) maka =. 3. = 0 jika gcd(, ) 1 ±1 jika gcd (, ) = 1 4. = jadi = 1 (atau 0) 5. = jadi = 1 (atau 0) Hukum dari quadratic reciprocity: jika da adalah bilaga bulat prima positif, maka 6. = ( 1) = jika 1(mod 4)atau 1(mod 4) jika 3(mod 4) Da berikut ii sebagai tambaha. 15

13 7. = ( 1) = 1 jika 1 (mod 4) 1 jika 3 (mod 4) 8. = ( 1) = 1 jika 1,7 (mod 8) 1 jika 3,5 (mod 8) 2.7 Lapaga berhigga (Fiite Field) (Wikipedia,2011) Jika suatu lapaga (field) memuat eleme yag bayakya berhigga, maka lapaga ii disebut dega lapaga berhigga (fiite field). Teorema Himpua Z merupaka lapaga berhigga jika da haya jika adalah bilaga prima. (Fraleigh, 2000) Teorema Misal p adalah bilaga prima da misal adalah bilaga bulat positif, maka terdapat suatu lapaga berhigga dega aggota. 2.8 Frobeius Automorphism (Erich Bach da Jeffrey Shallit, 1997 Misal adalah suatu lapaga dari karekteristik lapaga. Maka Frobeius automorphism pada adalah pemetaa yag memetaka dari ke utuk setiap aggota dari (Wikipedia, 2011) 16

14 2.9 Teorema Lucas-Lehmer test Teorema Misal p sebuah bilaga prima > 2, da = 2 1. juga didefiisika = 4 da = 2 utuk 1, maka adalah prima jika 0(mod ). (Eric Bach da Jeffrey Shallit,1997 Cotoh: Diberika suatu test yag praktis utuk keprimaa dari bilaga prima Mersee. Sebagai cotoh, misal sebagai test M 7 =127. meghitug modulo 127, ditemuka S 1 4, S 2 14, S 3 67, S 4 42, S 5 111, S 6 0, kareaya 127 adalah prima Test kemugkia prima Melham utuk N p Teorema Misal p adalah suatu bilaga prima. Didefiisika suatu barisa {S} 0 dega S 0 = 6, S k+1 = S 2 k 2, k 0. Jika N p adalah prima, maka S p 1 34 (mod N p ). (Pedro Berrizbeitia, Floria Luca ad Ray Melham, 2010) 17