PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KOEFISIEN KURTOSIS PADA SAMPLING GANDA

Transkripsi

1 PEAKSIR RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI MEGGUAKA KOEFISIE VARIASI DA KOEFISIE KURTOSIS PADA SAMPLIG GADA Heru Agriato *, Arisma Ada, Firdaus Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawida Pekabaru, 89, Idoesia * heruagriato9@ahoo.co.id ABSTRAT This article discusses three tpe ratio estimators for populatio mea usig coefficiet of variatio ad coefficiet of kurtosis o double samplig which is a review from the article of Sigh et. al [Italia Joural of Pure ad Applied Mathematics-. 8(0): 5-4]. The three estimators are biased estimators, the the mea square error of each estimator is determied. Estimator with the smallest mea square error is the most efficiet estimator. Eample is give at the ed of discussio. Kewords: Ratio estimator, bias, mea square error MSE, double samplig, coefficiet of variatio ad coefficiet of kurtosis. ABSTRAK Peaksir ag dibahas dalam artikel ii merupaka tiga tipe peaksir rasio utuk ratarata populasi megguaka koefisie variasi da koefisie kurtosis pada samplig gada ag merupaka review dari artikel Sigh et. al [Italia Joural of Pure ad Applied Mathematics-. 8(0): 5-4]. Ketiga peaksir merupaka peaksir bias kemudia ditetuka mea square error MSE dari ketiga peaksir tersebut. Selajuta, MSE dari masig-masig peaksir dibadigka. Peaksir dega MSE terkecil merupaka peaksir ag efisie. otoh diberika pada akhir pembahasa. Kata kuci: Peaksir rasio, bias, mea square error MSE, samplig gada, koefisie variasi da koefisie kurtosis.. PEDAHULUA Metode samplig gada adalah suatu metode pegambila sampel secara dua tahap atau dua kali pegambila. Pada pegambila pertama atau tahap pertama diambil sampel berukura dari populasi berukura sebagai sampel tahap pertama. Selajuta pada pegambila kedua atau tahap kedua, sampel diambil berukura dari sampel JOM FMIPA Volume o. Februari 05 5

2 pertama berukura. Pegambila sampel pada samplig gada ii dilakuka secara acak sederhaa tapa pegembalia []. Misalka karakteristik ag dimiliki populasi adalah variabel, X da Z dega adalah variabel ag aka diteliti, serta X da Z adalah variabel tambaha ag telah diteliti sebeluma. Dega memafaatka hubuga variabel dega variabel tambaha X da Z ag berada dalam populasi ag sama maka dapat diguaka metode peaksir rasio. Diketahui bahwa, X da Z salig berkorelasi positif, sehigga pegguaa variabel tambaha dapat diguaka utuk meigkatka ketelitia peaksir. Peaksir rasio ii juga megguaka koefisie variasi da koefisie kurtosis B ( ). Koefisie variasi da koefisie kurtosis diguaka utuk meigkatka ketelitia. Pada samplig gada pegambila sampel dua kali dimaksudka adalah utuk memperkecil sampel ag dibutuhka da utuk lebih meghemat biaa da waktu. Peaksir ag baik dalam samplig gada adalah apabila rata-rata perkiraa sama dega parameter ag sebeara da diamaka peaksir tak bias. Peaksir ag memiliki variasi miimum merupaka peaksir ag baik utuk peaksir tak bias tetapi apabila rata-rata perkiraa tidak sama dega parameter sebeara diamaka peaksir bias, maka peaksir bias ag baik adalah peaksir bias ag memiliki Meas Square Error MSE miimum [].. PEAKSIR UTUK RATA-RATA POPULASI Dalam bagia ii dibahas beberapa peaksir pada samplig acak, atara lai peaksir utuk rata-rata populasi pada samplig acak sederhaa, peaksir utuk rata-rata populasi pada samplig gada da peaksir rasio utuk rata-rata populasi pada samplig gada. Serta memuat beberapa defiisi da teorema ag merupaka teori pedukug ag diguaka dalam meelesaika permbahasa. Misalka suatu populasi berukura dega ilai variabel i utuk masig-masig uit, i,,, maka rata-rata dari populasi defiisika dega i. Aka diambil sampel berukura uit dega ilai variabel i utuk masig-masig uit, i,,, maka rata-rata sampel didefiisika dega i []. (i) Samplig Acak Sederhaa Pearika sampel secara acak sederhaa adalah pegambila uit sampel dari uit populasi, dimaa setiap eleme populasi mempuai kesempata ag sama utuk terpilih mejadi aggota sampel. Pegambila sampel dapat dilakuka dega pegembalia atau tapa pegembalia. Ekspektasi dari aka sama dega, perataa ii dapat ditujukka sebagai berikut dega i E i Pi i P adalah probabilitas terpiliha i mejadi aggota sampel. Apabila probabilitas i terpilih mejadi aggota sampel adalah, maka E i i i i JOM FMIPA Volume o. Februari 05 5

3 dega demikia diperoleh E i E E i i E () Berdasarka persamaa () diataka bahwa adalah peaksir tak bias dari. Teorema [, h: 7] Apabila sampel berukura diambil dari populasi berukura ag berkarakter, dega samplig acak sederhaa tapa pegembalia maka variasi rata-rata sampel diotasika dega V aitu V S f S dega f adalah fraksi pearika sampel da S i adalah variasi i pada populasi berkarakter. Bukti: Bukti dari teorema ii dapat dilihat pada [, h: 7]. (ii) Samplig Gada Misalka terdapat suatu populasi berukura, diambil sampel berukura utuk diteliti, pegambila sampel berukura tersebut dilakuka dega samplig acak sederhaa tapa pegembalia. Ii merupaka pearika sampel tahap pertama ag disebut sebagai sampel pertama pada samplig gada. Selajuta diambil sampel ag aka diteliti berukura aitu sampel tahap kedua dari sampel berukura. Pegambila sampel tahap kedua juga megguaka samplig acak sederhaa tapa pegembalia. Teorema [, h: 87] Rata-rata sampel per uit sampel tahap kedua pada samplig gada adalah da rata-rata sampel per uit sampel tahap pertama adalah sas i sg j merupaka peaksir tak bias utuk rata-rata populasi, maka peaksir tak bias utuk rata-rata populasi. Bukti: Misalka rata-rata sampel per uit pada tahap kedua adalah diotasika j, dega kedua maka diperoleh, i sg j merupaka ij da merupaka peluag terambila sampel pada tahap P j E. j j i j i P ij j P ij E i i ij JOM FMIPA Volume o. Februari 05 54

4 E i P i i i i j. Teorema [, h: 87] Jika sampel pertama adalah acak da berukura, sampel kedua adalah sampel acak dari sampel pertama berukura. maka variasi pada samplig gada adalah V. ( j ) S i i dega S. Bukti: Bukti dari teorema ii dapat dilihat pada [, h: 87]. Peraksir Rasio utuk Rata-Rata Populasi pada Samplig Gada j Metode taksira utuk meaksir parameter populasi ag serig diguaka adalah metode rasio dega megguaka iformasi ag sudah ada ag merupaka variabel tambaha berkarakter X aitu dega memafaatka hubuga dega variable tambaha X ag berada dalam populasi ag sama. Pegguaa iformasi tambaha bertujua utuk meigkatka ketelitia peaksir. Sebeluma telah dibahas peaksir rasio da dual rasio utuk rata-rata populasi pada samplig gada masig-masig ag diajuka oleh Sukhatme [], aitu dega j j i i, j j,., Peaksir rasio adalah peaksir bias, kemudia ditetuka MSE. Bias da MSE peaksir rasio ag diajuka oleh Sukhatme [] utuk rata-rata populasi pada samplig gada sebagai berikut: Bias da MSE Peaksir Rasio aitu B f f f f MSE JOM FMIPA Volume o. Februari 05 55

5 . PEAKSIR RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLIG GADA Dalam artikel ii dibahas tiga peaksir utuk rata-rata populasi pada samplig gada dega megguaka variabel tambaha X da Z dega megguaka koefisie variasi da koefisie kurtosis ag merupaka review dari artikel Sigh et. al [4], aitu dega da berkarakteristik X da Z, sg sg Z. () Z Z. (). (4) adalah rata-rata sampel tahap pertama dari populasi da populasi berkarakteristik da X, X adalah rata-rata populasi X. adalah rata-rata sampel tahap kedua dari Ketiga peaksir utuk rata-rata populasi tersebut merupaka peaksir bias, kemudia ditetuka MSE. Selajuta badigka MSE dari masig-masig peaksir utuk memperoleh peaksir ag efisie. Peaksir ag memiliki ilai MSE terkecil merupaka peaksir ag efisie. 4. BIAS DA MSE PEAKSIR RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI Bias da MSE dari peaksir rasio pada persamaa (), (), da () utuk rata-rata populasi pada samplig gada dari masig-masig peaksir sebagai berikut Bias da MSE dari peaksir adalah B f f ( ) f f. f f f MSE. Bias da MSE dari peaksir adalah B f f ( f f. ) f f f MSE. Bias da MSE dari peaksir adalah B f f ( f f. ) f f f MSE, JOM FMIPA Volume o. Februari 05 56

6 dega f f f,,. 5. PEAKSIR RASIO AG EFISIE Utuk meetuka peaksir ag efisie dari peaksir ag bias, dapat ditetuka dega cara mecari selisih MSE dari ketiga peaksir.. Perbadiga atara peaksir rasio dega peaksir rasio MSE MSE jika. diperoleh. Perbadiga atara peaksir rasio dega peaksir rasio MSE MSE jika. diperoleh. Perbadiga atara peaksir rasio dega peaksir rasio diperoleh MSE MSE jika. 6. OTOH, produksi sawit X da luas Z pada masarakat perkebua kelapa sawit dikabupate kampar dalam Berikut merupaka data tetag pedapata bersih laha sawit bula []. JOM FMIPA Volume o. Februari 05 57

7 Tabel. Pedapata Bersih (Juta Rupiah), Produksi Sawit (To), da Luas Laha Sawit (Ha) pada Masarakat Perkebua Kelapa Sawit di Kabupate Kampar dalam Bula. o Pedapata Bersih (Juta Rupiah X Produksi Sawit (To) Z Luas Laha (Ha) JOM FMIPA Volume o. Februari 05 58

8 Sumber: [] Dega megguaka data pada Tabel aka ditetuka peaksir ag efisie utuk meaksir rata-rata Peghasila bersih (Juta Rupiah) dega megguaka sarat peaksir lebih efisie ag diperoleh sebeluma. Hal ii secara umum dapat ditujukka dega meghitug MSE dari masig-masig peaksir. Sebagai iformasi tambaha utuk meaksir rata-rata Peghasila bersih (Juta Rupiah), diguaka luas laha sawit (Ha) da produksi sawit (To) ag telah diteliti sebeluma. Iformasi ag diperoleh sebeluma diguaka utuk meetuka pedapata bersih dega megguaka Microsoft Ecel, aitu,45 0,067 0, , 9 X 5,798 0, 0,748 5 Z 5,866 0,0 0,976 0 Selajuta hitug MSE, diperoleh bahwa (i) MSE MSE (ii) MSE MSE (iii) MSE jika, 5. jika 0, 8 MSE jika 0, 848,90 JOM FMIPA Volume o. Februari 05 59

9 Selajuta ilai MSE dari masig-masig peaksir diberika pada Tabel. Tabel. ilai MSE ketiga peaksir o Peaksir MSE Rata-rata 0,04,49 0,07,496 0,00,46 Dari Tabel, dapat dilihat bahwa MSE MSE MSE Dega demikia adalah peaksir ag palig efisie. 7. KESIMPULA Dari pembahasa di atas, jika sarat efisiesi terpeuhi maka dapat disimpulka peaksir rasio merupaka peaksir ag relative efisie dibadig peaksir da peaksir. DAFTAR PUSTAKA [] ochra, W.G. 99. Tekik Pearika Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Samplig Techiques, oleh Rudiasah & E.R Osma. UI Press, Jakarta. [] Salomo Hubuga Luas Laha Sawit (Ha), Produksi Sawit (To) da pedapata dari Produksi Sawit (Juta Rupiah). Skripsi Fakultas Ekoomi Uiversitas Riau, Pekabaru. [] Sukhatme, P. V Samplig Theor of Surves with Applicatios. The Idia oucil of Agricultural Research, ew Delhi. [4] Sigh, R., P. hauha,. Sawa ad F. Smaradache. 0. Improvemet i Estimatig Populatio Mea Usig Two Auiliar Variables i Two-Phase Samplig. Italia Joural of Pure ad Applied Mathematics-. 8: 5-4. JOM FMIPA Volume o. Februari 05 60