JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak egatif dikataka stokastik gada, jika jumlah etri-etri pada tiap baris da tiap kolomya sama dega. Karakterisasi yag tampak dari matriks jeis ii adalah mempuyai etri pada diagoal yag posif da diatara sifat petig dari matriks ii adalah perkalia atara matriks stokastik gada meghasilka matriks stokastik gada lagi. Pada tulisa ii aka dibahas matriks stokastik gada di atas beserta sifat-sifat petigya. Juga dipelajari hubuga matriks jeis ii dega matriks orthostokastik da matriks uer-stokastik.. PENDAHULUAN Teori matriks tak egatif megalami perkembaga yag cukup berarti setelah pada tahu 9 Frobeius berhasil memperumum kosep matriks dega etri posif dari Perro da megembagkaya ke dalam matriks dega etri yag tak egatif serta mempelajari sifat-sifat petig dari matriks tersebut. Salah satu jeis matriks tak egatif yag cukup petig adalah matriks stokastik gada, karea bayak pegguaa matriks ii di bidag Matematika da Fisika diataraya : Aljabar Liier, Teori Ketidaksamaa, Teori Matriks Kombiatorial, Kombiatorik, Kimia Fisika da lai sebagaiya. Matriks stokastik gada merupaka betuk khusus dari matriks kuasi stokastik gada, yau suatu matriks tak egatif di maa jumlah etri-etri pada tiap baris da tiap kolomya sama dega. Istilah matriks stokastik gada pertama kali diperkealka oleh Koig pada tahu 96 da kemudia dipopulerka oleh Marcus da Mic.Kedua orag iilah yag megkaji lebih medalam megeai karakteristik matriks stokastik gada ii beserta sifat-sifat petigya. 4

2 Matriks Stokastik Gada (Suryoto). MATRIKS KUASI STOKASTIK GANDA Sebelum membahas lebih jauh megeai matriks stokastik gada ii aka diperkealka terlebih dahulu kosep permae dari suatu matriks seperti diberika oleh defiisi berikut : Defiisi : Misalka A ( a ij ) suatu matriks berukura m x, dega m. Permae dari A, duliska dega Per (A) didefiisika sebagai Per (A) m a i σ ( i), σ i dimaa σ adalah fugsi satu-satu dari {,,, m } ke {,,, }. Catata : Bayakya fugsi satu-satu σ : {,,, m } {,,, } dapat detuka dega rumus m! c m. Dalam hal m, duliska per (A) utuk meggatika Per (A). Dega demikia jika A ( a ij ) suatu matriks bujur sagkar ordo, maka per (A) σ i S a i σ ( i). Selajutya pegertia dari matriks stokastik gada diberika oleh defiisi berikut ii : Defiisi : Suatu matriks riil diamaka kuasi-stokastik gada jika jumlah etri-etri pada tiap baris da pada tiap kolomya sama dega. Suatu matriks kuasistokastik gada tak egatif diamaka stokastik gada. Jadi matriks kuasi-stokastik gada adalah suatu matriks bujur sagkar da dari defiisi di atas tampak bahwa suatu matriks A berukura x adalah kuasistokastik gada jika da haya jika adalah ilai karakteristik dari A da (,,, ) adalah vektor karakteristik yag berpadaa dega ilai karakteristik. Dega demikia suatu matriks tak egatif A berukura x adalah stokastik 4

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : gada jika da haya jika AJ J A J, dimaa J adalah matriks berukura x dega setiap etriya. Beberapa hasil yag petig berkaa dega matriks stokastik gada ii diberika oleh teorema-teorema berikut ii : Teorema ( Koig, 96 ) Setiap matriks stokastik gada mempuyai diagoal posif. Misalka A suatu matriks stokastik gada berukura x da adaika A tidak mempuyai diagoal yag posif, maka per (A) 0 da meurut teorema Frobeius-Koig, terdapat matriks permutasi P da Q sedemikiaa higga berlaku PAQ B 0 dimaa blok ol pada sudut kiri bawah berukura p x q, dega p + q +. C D Misalka σ (X) meyataka jumlaha etri-etri pada matriks X, maka σ (PAQ) σ (B) + σ (D) q + p +. Ii mustahil, jadi haruslah A mempuyai diagoal posif. Dari teorema di atas diperoleh hasil berikut : Akibat : Permae dari matriks stokastik gada adalah posip. Teorema ( Schur, 9 ) Misalka H ( h ij ) suatu matriks herm berukura x dega ilai-ilai karakteristik λ λ,..., λ,. Misalka juga h T [ h, h,..., h ] da λ [,,..., ] T λ λ λ, maka terdapat matriks stokastik gada S sedemikia higga h Sλ. Misalka U ( u ij ) matriks uer sedemikia higga berlaku H U diag ( λ, λ,..., λ ) U*. 4

4 Matriks Stokastik Gada (Suryoto) Maka h t u λ u t t u λ t t s λ t, i,,,, dimaa u s, i, t,,,. Jelas bahwa matriks A s ) yag berukura ( ij x adalah stokastik gada.. MATRIKS ORTHOSTOKASTIK DAN SCHUR-STOKASTIK Selajutya aka diberika defiisi matriks orthostokastik da matriks Schur-stokastik da hubugaya dega matriks stokastik gada ii. Defiisi a) Suatu matriks A ( a ij ) berukura x disebut orthostokastik jika terdapat matriks orthogoal ( riil ) T ( t ij ) sedemikia higga a ij t ij, i, j,,,. b) Suatu matriks A ( a ij ) berukura x disebut Schur-stokastik ( uerstokastik ) jika terdapat matriks uer U ( u ij ) sedemikia higga a, i, j. ij u ij Berdasarka pada defiisi di atas, matriks S pada Teorema adalah Schurstokastik da tampak bahwa setiap matriks orthostokastik adalah Schur-stokastik da setiap matriks Schur-stokastik adalah stokastik gada. Pada umumya tidak semua matriks stokastik gada adalah Schur-stokastik da tidak semua matriks Schur - stokastik adalah orthostokastik. Hal ii dapat dilihat pada cotoh berikut ii : Cotoh : Matriks stokastik gada A ( a ij )

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : tidak Schur-stokastik. Sebab, misalka U ( u ij ) adalah sebarag matriks berukura x sedemikia higga ij u ij a, i, j,, maka u u u 0 tetapi u u + u u + u u u u 0 karea modulus dari u da u adalah da akibatya A tidak Schur-stokastik.. Dega demikia U tidak uer Matriks stokastik gada J adalah Schur-stokastik. Sebab, misalka U ( u ij ) adalah matriks uer : θ θ θ θ θ θ dega θ adalah akar primif pagkat dari, maka u ij utuk setiap i da j. Aka tetapi, J tidak orthostokastik. Sebab, misalka T ( t ij ) adalah matriks berukura x sedemikia higga t tt tt t ij utuk setiap i da j, maka t + + tidak memeuhi ( karea jumlaha di atas dapat berilai, -, atau ), dega demikia T tidak orthogoal. 4. SIFAT-SIFAT PENTING MATRIKS STOKASTIK GANDA Beberapa sifat petig yag berlaku pada matriks stokastik gada diberika oleh teorema-teorema berikut ii : Teorema ( Marcus & Mic, 96 ) Hasil kali matriks stokastik gada adalah stokastik gada. Misalka A da B adalah matriks stokastik gada berukura x. Maka AJ J A BJ J B J. 45

6 Matriks Stokastik Gada (Suryoto) Jelas bahwa AB tak egatif da berlaku ( AB ) J A( BJ ) AJ J da J ( AB) ( J A) B J B J. Jadi AB adalah stokastik gada. Teorema 4 ( Marcus & Mic, 96 ) Ivers dari matriks stokastik gada tak sigular adalah matriks kuasi-stokastik gada. Misalka A matriks stokastik gada tak sigular berukura x. Maka karea A stokastik gada, da Dega demikia J J J I J AA J A, I J A AJ A J. A kuasi-stokastik gada. Dari Teorema da Teorema 4 di atas diperoleh hasil sebagai berikut : Akibat : Jika A da X adalah matriks stokastik gada da X tak sigular maka adalah matriks kuasi-stokastik gada. Berikut ii diberika pegertia matriks stokastik gada elemeter. XAX Defiisi Suatu matriks stokastik gada ordo dega etri pada diagoal utamaya sama dega disebut matriks stokastik gada elemeter. Dega perkataa lai, suatu matriks stokastik gada A ( a ij ) dikataka elemeter jika a a θ, a a θ, utuk suatu bilaga bulat s, t dega s < t ss tt st ts da bilaga riil θ, dega 0 θ da aij δ, utuk yag laiya. ij Dari Teorema tampak bahwa hasil kali atara matriks stokastik gada elemeter adalah matriks stokastik gada. Aka tetapi sebalikya tidak berlaku, yau tidak semua matriks stokastik gada dapat diyataka sebagai hasil kali matriks stokastik gada elemeter. Utuk cotohya, padag matriks A pada 46

7 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : cotoh di atas. Matriks A di atas merupaka matriks stokastik gada yag tidak dapat diyataka sebagai hasil kali matriks stokastik gada elemeter. Utuk cotoh laiya dapat dilihat pada ( Mic, 988 ). Selajutya aka diperlihatka bahwa jika matriks stokastik gadaya bersifat tak tereduksi, maka matriks stokastik gada tersebut kogredie ke jumlah lagsug matriks-matriks stokastik gada yag tereduksi. Teorema 5 ( Mic, 988 ) Matriks stokastik gada tereduksi kogredie ke jumlah lagsug matriks stokastik gada. Misalka A matriks stokastik gada tereduksi berukura x. Maka A kogredie ke suatu matriks yag berbetuk X B 0 Y Z, dimaa X matriks bujur sagkar ordo k da Z matriks bujur sagkar ordo k. Jelas bahwa B stokastik gada. Perhatika bahwa jumlah etri-etri pada k kolom pertama dari B adalah k da semua etri yag tak ol pada kolom-kolom di atas termuat di dalam X, dega demikia σ (X) k. Dega cara serupa, dega memadag k baris terakhir dari B diperoleh σ (Z) k. Di sisi lai σ (B) σ (X) + σ (Y) + σ (Z) k + σ (Y) + k + σ (Y) atau σ (Y) 0. Dega demikia Y 0 da diperoleh A kogredie ke Z adalah matriks stokastik gada. B X + Z, dimaa X da Jika di dalam bukti dari Teorema 5 di atas X atau Y tereduksi maka matriks tersebut kogredie ke jumlah lagsug dari matriks stokastik gada da diperoleh hasil berikut ii : Akibat : Suatu matriks stokastik gada tereduksi kogredie ke jumlah lagsug matriks stokastik gada tak tereduksi. 47

8 Matriks Stokastik Gada (Suryoto) 5. KESIMPULAN Karakteristik yag tampak dari matriks stokastik gada adalah matriks tersebut merupaka matriks bujur sagkar da mempuyai etri yag tak ol pada diagoalya. Di sampig u perkalia atara matriks stokastik gada meghasilka matriks stokastik gada lagi da pada umumya matriks stokastik gada tidak dapat diyataka sebagai hasil kali matriks stokastik gada elemeter. Dalam hal matriks stokastik gadaya bersifat tereduksi, matriks ii kogredie ke jumlah lagsug dari matriks-matriks stokastik gada yag tak tereduksi. DAFTAR PUSTAKA. D. Koig, Uber Graphe ud ihre Awedug auf Determiatetheorie ud Megelehre, Math. A. 77, 96, I. Schur, Uber eie Klasse vo Mteibilduge m Awedug auf die Determiatetheorie, Sber. Berlier Math. Ges.,, 9 0, 9.. H. Mic, No Negative Matrices, Joh Wiley & Sos, New York, M. Marcus ad H. Mic, Some results o Doubly Stochastic Matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 76, ,