ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

Transkripsi

1 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90 Meit ISIAN SINGKAT! 1. Diberika hasil kali digit digit dari harus sama dega Karea hasil kali digit digit dari harus merupaka bilaga bulat maka 8 sehigga misalka = 8k utuk k Z. Dega begitu, hasil kali digit digitya adalah 5k 11. Perhatika bahwa karea 8 maka digit palig kaa dari represetasi desimalya geap sehigga 5k 11 juga geap. Akibatya, 5k gajil da k harus gajil. Jelas bahwa hasil kali dari digit digit palig bayak sehigga: 5k 11 8k 17k 11 k 1 Namu, kita tahu bahwa k bilaga bulat o egatif maka: 5k 11 0,5k 11 k 9 Oleh karea itu, kita dapatka k = 9, 10, 11, 1 karea k gajil maka ilai k yag memeuhi k = 9 = 7 da k = 11 = 88. Bilaga terbesar yag memeuhi adalah 88.. Perhatika bahwa FPB(a, b) = FPB(b, c) = FPB(c, a) = 1 sehigga: Misalka k = a+b+c abc a b + c b a + c c a + b abc a + b + c Program Latiha da Tes Jarak Jauh Z +. WLOG a b c maka a + b + c c k c abc ab k ab. Dega begitu, solusi yag mugki adalah: Utuk (a, b) = (1,1) maka k = +c c Utuk (a, b) = (1,) maka k = +c c Utuk (a, b) = (1,) maka k = 4+c c sehigga (a, b, c, d) = (1,1,1,8); (1,1,,9) sehigga (a, b, c, d) = (1,,,10) sehigga (a, b, c, d) = (1,,4,0) tetapi k Z + (Kotradiksi) Oleh karea itu, bayakya pasaga bilaga bulat (a, b, c, d) adalah pasag.

2 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / Perhatika bahwa apabila x + y + z = 0 maka: Misalka + k Misalka 4 k x + y + z xyz = (x + y + z)(x + y + z + xy + yz + xz) = 0 + k x + y + z = xyz = b b + ( + k ) + ( k) = 0 maka: b ( + k) ( k) = b ( + k)( k) b 4 = b 4 k = x maka didapatka persamaa b xb 4 = 0. Dega begitu, kita aka meetuka ilai k sedemikia rupa sehigga 4 k maka dari persamaa kita dapatka b 4. da b harus bilaga bulat. Apabila b bulat Cek semua ilai b = 4,, 1, 1,, 4 maka ilai b yag memeuhi adalah b = 1 x = 1. Oleh karea itu, ilai k yag memeuhi adalah k = Misalka 15m + 16 = x da 16m 15 = y dimaa x, y bilaga bulat maka: ( )m = 15x + 16y Perhatika bahwa = 481 = 1 7 sehigga 15x + 16y 0 (mod p) utuk = 1, 7. Dega megguaka Brahmagupta Fiboacci Idetity, maka: ( )(m + ) = (15m + 16) + (16m 15) = x 4 + y 4 Dari sii, jelas bahwa x 4 + y 4 harus habis dibagi oleh 1 atau 7 sehigga utuk p = 1, 7 maka x y 0 (mod p). Misal x = 481k da y = 481l utuk k, l bilaga bulat, maka aka selalu terdapat solusi bulat m = 481(15k + 16l ) da = 481(16k 15l ). Utuk k = l = 1 maka m = da = 481. Cek ke dalam persamaa: = 161 = = 161 = 481 Oleh karea itu, ilai miimum dari bilaga kuadrat yag dimaksud adalah Kostruksika a = x 1, b = y 1, c = z 1 sehigga: abc (ab + bc + ca + a + b + c) Perhatika bahwa utuk a b 4, c 5 maka: (Kotradiksi) 1 a + 1 b + 1 c + 1 ab + 1 bc + 1 ca = < 1 abc > ab + bc + ca + a + b + c Program Latiha da Tes Jarak Jauh

3 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / Dega begitu, kita dapatka a sehigga pasaga (a, b, c) yag memeuhi adalah (a, b, c) = (1,,7); (,4,14). Oleh karea itu, bamyakaya triplet pasaga (x, y, z) yag memeuhi adalah pasaga, yaitu (x, y, z) = (,4,8); (,5,15). 6. Lemma: Apabila k habis membagi k + 1 maka k = utuk bilaga bulat positif. Proof: Karea k +1 k merupaka suatu bilaga bulat maka k harus gajil. Misalka p merupaka faktor prima terkecil dari k maka: k 1 (mod p), p 1 1 (mod p) FPB(k,p 1) 1 (mod p) Karea p merupaka faktor prima terkecil, maka tidak ada faktor prima p 1 yag bersamaa dega k sehigga FPB(k, p 1) =. Dega begitu, 1 (mod p) p =. Misalka k = l dimaa l buka kelipata dari tetapi jika l > 1 maka faktor prima terkecil dari l adalah (Kotradiksi). Jelas bahwa k = utuk bilaga bulat positif. Dega megguaka Liftig The Expoet (LTE) Lemma, maka v (k ) = k da v ( k + 1) = v ( + 1) = v ( + 1) + v ( k ) = 1 + k. Apabila k > 1 maka 1 sehigga = 1. Jadi, solusi dari k lebih besar dari 1 yag memeuhi adalah k =. 7. Jelas bahwa memeuhi merupaka bilaga kuadrat sempura sehigga utuk = 1 memeuhi. Misalka = (p 1 e 1 p e p k e k ) maka: = p 1 e 1 p e p k e k = d() = (e 1 + 1)(e + 1) (e k + 1) Karea x > x + 1 utuk x > 1 maka jika k 1 > 1 kita tidak aka medapatka p 1 tetapi jika k 1 = 1 maka kita aka dapatka p 1 = = 9. Apabila k 1 > 1 maka p 1 = sehigga d() geap (Kotradiksi). Jadi, jumlah seluruh ilai yag memeuhi adalah = = Perhatika bahwa = 0 utuk k 6 sehigga: k! = 1001 Dega begitu, < < Program Latiha da Tes Jarak Jauh

4 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / Maka, = 4, 10 < = 4, 4 < = 97, 6 < Kita dapatka = 4, = 4, 10 4 = = = 876. Dega cara yag sama, kita tahu bahwa: + < + + Maka, + < < 878 = 9, < 878 Kita dapatka = 9. Jadi bilaga bulat positif terkecil adalah = = Kita tahu bahwa m(m p 1 1) = p da karea m da m p 1 1 salig relatif prima maka: Kasus 1: m = px da m p 1 1 = y utuk beberapa bilaga bulat positif x, y. Dega megguaka Mihailescu s Theorem, maka kita aka dapatka p = sehigga m = x da m 1 = y. Dega begitu, kita medapatka persamaa Pell x y = 1. Utuk ilai terkecil dari x maka persamaa tersebut memiliki solusi (x, y) = (1,1) tetapi utuk m = da = = 1 maka = 1 < (Kotradiksi). Oleh karea itu, solusi persamaa utuk ilai terkecil dari x adalah (x, y) = (5,7). Jadi, kita dapatka m = 50 da = = 5 sehigga ilai terkecil dari m pada kasus ii adalah 50. Kasus : m = x da m p 1 1 = py utuk beberapa bilaga bulat positif x > 1 da y. Perhatika bahwa utuk (x, y, p) = (,,) maka kita dapatka m = 9 da = 6. Dega begitu, kita haya perlu meijau kasus uutk x =. Utuk x =, maka m = 4 da 4 p 1 1 = ( p 1 1)( p 1 + 1) = py. Dega megguaka FLT, kita tahu bahwa p p 1 1 sehigga p 1 1 = pr da p = s utuk beberapa bilaga bulat positif r, s. Dega megguaka Mihailescu s Theorem, kita dapatka p =, 4 Program Latiha da Tes Jarak Jauh

5 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / karea p merupaka bilaga prima maka p =. Dega begitu, py = y = = (Kotradiksi). Oleh karea itu, ilai terkecil dari m pada kasus ii adalah 9. Jadi, bilaga bulat positif terkecil dari m yag memeuhi adalah WLOG 1 = x 1 x x maka 1 = x 1 x x. Misalka tidak terdapat triplet pajag sisi suatu segitiga lacip maka berlaku: Utuk k = 1,,,. x k + x k+1 x k+ Klaim x k F k dimaa F k merupaka bilaga Fiboacci ke k yag didefiisika sebagai F 1 = F = 1 da F + = F +1 + F. Dega megguaka iduksi, jika x k F k da x k 1 F k 1 maka: x k+1 x k + x k 1 F k + F k 1 = F k+1 Dega begitu, kita dapatka x F tetapi kita tahu bahwa x sehigga agar tidak terdapat triplet pajag sisi dari suatu segitiga lacip harus dipeuhi F. Jelas bahwa barisa Fiboacci merupaka barisa yag meigkat secara ekspoesial akibatya suatu saat ati aka terpeuhi kodisi RHS LHS. Utuk = 1 maka 1 = F 1 sehigga utuk > 1 maka < F. Dari sii kita tahu bahwa tidak aka ada pajag sisi suatu segitiga lacip yag dapat dibetuk utuk 1. Jadi, bilaga bulat positif terkecil sehigga dapat terbetuk segitiga lacip adalah = 1. Program Latiha da Tes Jarak Jauh

6 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / URAIAN! 1. Misalka p +q pq+1 = k N sehigga p + q = kpq + k. WLOG p q maka berlaku: kp a < q kp Kita aka membuktika LHS terlebih dahulu. Misalka q > kp maka q = kp + c utuk c bilaga bulat positif. Dega begitu, (Kotradiksi) p + q = kpq + k p + (kp + c) = kp(kp + c) + k p + k p + kpc + c = k p + kpc + k p + kpc + c = k k kpc < k + kpc + c = k k < k Maka, haruslah q kp. Dari betuk kp p < q kp, kita dapatka q = kp r utuk 0 r < p da r N 0. Kemudia, karea p + q = kpq + k maka: p + (kp r) = kp(kp r) + k p + k p kpr + r = k p kpr + k p + r = kpr + k p + r = k(pr + 1) k = p + q pr + 1 Oleh karea itu, apabila pasaga (p, q) memeuhi p +q = k maka pasaga (r, p) juga memeuhi r +p rp+1 pq+1 = k. Namu, kita tahu bahwa 0 r < p q sehigga setiap pasaga (r, p) selalu lebih kecil dari pasaga (p, q). Karea tidak ada barisa bilaga bulat positif tak higga yag mooto turu maka kita aka selalu dapatka pasaga yag lebih kecil sampai r = 0. Jadi, karea p +r = k da r = 0 kita aka dapatka k = p utuk p N (Terbukti).. Jelas bahwa dari fugsi f() kita tahu bahwa bayakya bilaga bulat yag dihasilka pada iterval [0,), [,6), [6,9),, [01, 016) seluruhya sama sehigga kita haya perlu mecari bayakya bilaga bulat yag dihasilka pada iterval [0,). Perhatika bahwa ilai dari f() aka berubah apabila palig sedikit salah satu diatara, 5,,, 4 juga berubah ilaiya. Maka, f() aka berubah utuk: = 0, 1 4, 1, 1, 5,, 4, 1, 6 5, 5 4, 4,, 5, 7 4, 9 5,, 9 4, 7, 1 5, 5, 8, 11 4 pr+1 Program Latiha da Tes Jarak Jauh

7 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / Dega begitu, kita dapatka bilaga bulat berbeda yag dihasilka pada iterval [0,). Oleh karea itu, bayakya bilaga bulat berbeda pada iterval [0, 016) adalah 67 = Dari sii, kita haya perlu mecari bayak bilaga bulat berbeda pada iterval [016,017] yag ekivale dega bayak bilaga bulat berbeda pada iterval [0,1]. Jadi, bayakya bilaga bulat berbeda yag dapat dibetuk f() adalah = e. Misalka a = p i e i i maka φ(a) = p i i 1 i (p i 1). Dega begitu, apabila a da φ(a) salig relatif prima maka e i = 1 da p j p i 1. Utuk semua bilaga prima p, berlaku p da φ(p) salig relatif prima. Jika a da φ(a) salig relatif prima da terdapat suatu prima p < mi(p i a) maka b = ap merupaka solusi FPB(b, φ(b)) = 1 da semua solusi dapat dicari dega cara ii. Jika φ(a) a maka a = k p l 1. Apabila a tidak memiliki faktor prima selai maka a = m, sedagka apabila a memiliki faktor prima selai maka berdasarka LTE, v (φ(a)) > v (a) sehigga didapatka a = k l. Jelas bahwa a b a 1 = 1 jika a b da 0 sehigga: b ( a b a 1 b ) = τ(a) = 018 = 1009 b=1 Kasus 1: Utuk a = m maka τ(a) = 018 = m + 1 m = 017 a = 017. Kasus : Utuk a = k l, kita dapatka (k + 1)(l + 1) = 018 = 1009 da karea φ(a) a maka ilai maksimum dari a pada kasus ii adalah a = Perhatika bahwa 017 > > > 1008 sehigga ilai maksimum dari a adalah a = 017. Jadi, bayak bilaga bulat positif a sehigga φ(a) a adalah τ(018) + 1 =. 4. Misalka utuk k 4 merupaka sebuah bilaga bulat sehigga seluruh suku suku dari barisa y merupaka kuadrat sempura. Perhatika bahwa y = k maka k = t + 1 utuk beberapa t. Dari betuk rekursif ii didapatka y 5 = 56t 6 96t 4 + 8t + 1. Namu, perhatika bahwa utuk t berlaku: (16t t 1) < y 5 = 56t 6 96t 4 + 8t + 1 < (16t t) Dega begitu, y 5 tidak dapat membetuk kuadrat sempura (Kotradiksi). Dari sii, haruslah k. Utuk k = 1, maka barisa haya aka meghasilka 0 da 1. Program Latiha da Tes Jarak Jauh

8 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / Utuk k =, maka y = k tidak dapat membetuk kuadrat sempura (Kotradiksi). Utuk k =, maka y + = 7y +1 y. Kita aka buktika utuk semua 1 maka y merupaka bilaga kuadrat sempura. Misalka a = y 5 maka a + = 7a +1 a da a 1 = a =. Dega meyelesaika 5 persamaa α 7α + 1 = 0 kita dapatka: α 1 = 7 + 5, α = 7 5 Akibatya, a = c 1 α 1 + c α dimaa c 1 da c kostata. Karea a 1 = a = maka kita dapatka 5 c 1 = = ( 5 ) da c 5 = = ( 5+ ) sehigga: a = (( ) ( + 5 ) ) 5 5 y = (( ) ( + 5 ) (( ) ( ( ) ( 5 5 ) ) ) ) = x Dari sii, dapat ditujukka bahwa x + = x +1 x utuk semua 1 da x 1 = x = 1. Oleh karea itu, x N utuk semua 1 da y = x. Jadi ilai k yag memeuhi adalah k = 1,. 5. Kasus 1: Apabila x da y keduaya habis dibagi oleh d. Misalka x = dx 1 da y = dy 1 dimaa x 1 da y 1 tidak haus salig relatif prima dega d maka didapatka d (x 1 + y 1 ) 1 (mod d) sehigga d 1 d = 1, 1 (Kotradiksi) karea d.. Kasus : Apabila salah satu dari x atau y salig relatif prima dega d. WLOG FPB(y, d) = 1 da x = dx 1 dimaa x 1 tidak harus salig relatif prima dega d, maka didapatka d x 1 y + 1 (mod d) y 1 (mod d) N. Dega begitu, kita dapatka y 1 (mod d), y 1 (mod d) sehigga: y(y 1) 0 (mod d) (y 1) 0 (mod d) y 1 (mod d) Karea y 1 (mod d) da y 1 (mod d) maka d d =. Kasus : Apabila x da y keduaya salig relatif prima dega d. Jelas bahwa: Program Latiha da Tes Jarak Jauh

9 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok Telp cotact perso : / x + y 1 (mod d) (x + y )(x x y + y ) 1 (mod d) ( 1 x y ) 1 (mod d) x y (mod d) N Dega begitu, kita dapatka xy (mod d) da x y (mod d) maka: xy(xy 1) 0 (mod d) xy 1 (mod d) Karea xy (mod d) da xy 1(mod d) maka d d =. Tijau utuk d = da d = : Utuk d =, misalka x 0 (mod ) da dari kasus kita tahu bahwa y 1 (mod ) maka x + y + 1 utuk semua bilaga bulat positif (Memeuhi). Utuk d =, kita dapat bagi ke dalam kasus berdasarka kodisi pada kasus : (x, y) ( 1, 1) (mod ) Kotradiksi utuk = 1 (x, y) (1, 1) (mod ) Kotradiksi utuk = 1 (x, y) ( 1, 1) (mod ) Memeuhi Karea x 1 (mod ) maka x 1 (mod ) da y 1 (mod ) maka y 1 (mod ) sehigga kita dapatka x + y + 1 utuk semua bilaga bulat positif (Memeuhi). Jadi, pasaga (x, y) yag memeuhi adalah seluruh pasaga bilaga bulat (x, y) dimaa salah satu dari x atau y gajil atau x y 1 (mod ) x, y Z. Program Latiha da Tes Jarak Jauh