TUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.

Transkripsi

1 TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa kedua ruas sama jika da haya jika a = b. (c) Misalka utuk setiap ɛ > 0 berlaku a ɛ < b < a + ɛ. Buktika a = b. (d) Jika a, b R, da utuk setiap ε > 0 berlaku: a < b + ε, tujukka bahwa a b. (e) Jika a < x < b da a < y < b, buktika x y < b a. Berika iterpretasi geometrisya. (f) Jika a, b R, buktika bahwa: a 2 + b 2 = 0 jika da haya jika a = 0 = b. (g) Jika 0 a < b, tujukka bahwa: a 2 ab < b 2 (h) Jika 0 < a < b, tujukka bahwa: a < ab < b da 0 < <. b a (2) Misalka S R. Buktika S terbatas jika da haya jika terdapat K R sehigga x K utuk setiap x S. (3) Misalka S R terbatas di bawah. Buktika if S = H jika da haya jika utuk setiap ɛ > 0 terdapat x S sehigga x < H + ɛ. (4) Misalka S R himpua tak kosog yag terbatas di bawah. Buktika if S = sup{ x : x S}. (5) Misalka S R memuat suatu batas atasya, tujukka bahwa batas atas ii adalah suprimum dari S. (6) Misalka S R himpua terbatas da S 0 S himpua tak kosog. Buktika (7) Jika if S if S 0 sup S 0 sup S. S = { m } m, N, hitug sup(s) da if(s), jelaska jawaba ada. (8) Misalka A da B subhimpua tak kosog dari R yag terbatas di atas, da A + B = {a + b : a A, b B}. Buktika A + B terbatas di atas da sup(a + B) = sup A + sup B.

2 2 NOVEMBER 207 (9) Misalka H subhimpua bilaga real positif yag tak kosog da G = {/x : x H}. Jika H terbatas di atas, buktika bahwa G terbatas di bawah da if G = sup H. (0) Buktika if{ : N} = 0. 2 () Misalka x, y R da x < y. Buktika terdapat bilaga rasioal r sehigga x < r < y. (2) Buktika bahwa 5 2 dapat dibagi oleh 8 utuk semua N. (3) Dega megguaka iduksi matematika, buktika Ketaksamaa Beroulli berikut: ( + x) + x, da x >. Jika c k > 0, k =, 2,...,. Buktika: 2 (c + c c ) ( ). c c 2 c (4) Diketahui A da B dua subset bilaga real yag memeuhi, x A da y B berlaku: x < y. Tujukka bahwa: sup(a) if(b). Berika cotoh peyagkal utuk sup(a) < if(b). (5) Diketahui A da terbatas. sup(a) = α A. Tujukka bahwa jika β < α maka terdapat tak berhigga bayakya x A yag memeuhi: β < x < α. Apakah hal ii tetap bear jika sup(a) A? (6) Misalka a da b adalah bilaga-bilaga real dega a > 0. Jika S da terbatas diatas, tujukka bahwa: sup(ax + b) = a sup(s) + b. x S (7) Diketahui x > 0 bilaga real. Buktika terdapat secara tuggal N sehigga: x <. (8) Misalka x L,. Jika L < K tujukka bahwa ada N sehigga: jika > N maka x < K. (9) Buktika bahwa: (a) (b) (c) x 2 x =. x 2 x + x x + x + = 2. x x =.

3 (d) TUGAS ANALISIS REAL LANJUT 3 x 5 =. x x + 3 (20) Misalka f : R R da c R. Tujukka: f(x) = L f(x + c) = L. x c x 0 (2) Misalka c adalah titik akumulasi dari A R da f : R R sedemikia sehigga: x c f(x)2 = L. Tujukka: bahwa jika L = 0 maka = L. Tujukka bahwa x c jika L 0 maka it tersebut belum tetu ada. (22) Misalka { x x Q f(x) = 0 x Q Tujukka bahwa f puya it haya di 0. (23) Misalka f, g adalah dua fugsi yag terdefiisi di R da c R. (a) Tujukka bahwa jika f da f + g mempuyai it di c maka g mempuyai it di c. (b) Jika f da fg mempuyai it di c, apakah g mempuyai it di c? Apa syarat yag harus ditambahka agar g mempuyai it di c. (24) (a) Tujukka bahwa tidak ada. (b) Tujukka bahwa ( ) si, ( ) x si, ada. (c) Syarat apa yag diperluka oleh f agar ( f(x) si ada. (25) Padag fugsi: f(x) = ), jika 0 x = m, dega (m, ) = 0 0 < x Q, Tetuka di maa fugsi f kotiu. (26) Tetuka di maa fugsi-fugsi berikut kotiu, (a) f(x) = [x 2 ] (b) f(x) = [ x ] (c) f(x) = [si x]

4 4 NOVEMBER 207 (27) Misalka f : R R yag kotiu di c da misalka f(c) > 0. Tujukka bahwa ada δ > 0 sehigga f positif di x c < δ. (28) Fugsi f : R R dikataka additive jika f(x+y) = f(x)+f(y) utuk setiap x, y. Buktika bahwa jika f kotiu pada sebuah titik, maka f kotiu di maa-maa. (29) Misalka f, g : R R kotiu di c, da misalka h(x) = sup{f(x), g(x)}. Tujukka h(x) = (f(x) + g(x)) + f(x) g(x). Kemudia tujukka h kotiu di 2 2 c. (30) Buktika bahwa: Jika I adalah iterval tutup yag terbatas da f : I R kotiu di I. Maka f kotiu seragam di I. (3) Tujukka bahwa f(x) = x kotiu seragam di [0, ]. (32) Fugsi f dikataka Lipschitz jika, terdapat L R sehigga: f(x) f(y) L x y, utuk setiap x, y. Tujukka bahwa fugsi yag memeuhi kodisi Lipschitz di I kotiu seragam di I. (33) Tujukka bahwa f(x) = x 2 Lipschitz di [0, 2]. (34) Periksa apakah: f(x) = x Lipschitz di [0, ]. (35) Buktika peryataa berikut: jika f kotiu pada [0, ) da kotiu seragam di [a, ), maka f kotiu seragam di [0, ). Tujukka bahwa x kotiu seragam di [0, ). (36) Tujukka bahwa: ( ) 0,. + (37) Misalka 0 < b <. Tujukka bahwa: (b ) 0 jika. (38) Tujukka ( ) 2 0,.! Tujukka utuk sebarag x > 0, ( ) x 0,.! (39) Tujukka: ( ) si 0,. (40) Misalka 0 < r < da x + x < r, utuk setiap. Buktika (x ) Cauchy. (4) Diketahui x + = ( 3 x + 2 ), N. 7 Misalka 0 < x <. (a) Tujukka 0 < x < utuk setiap. (b) Tujukka (x ) kotraktif.

5 TUGAS ANALISIS REAL LANJUT 5 (c) Tujukka bahwa jika (x ) r,, maka r memeuhi: r 3 7r + 2 = 0 (42) Misalka fugsi f : R R didefiisika sebagai { x 2 jika x Q f(x) := 0 jika x R Q. Buktika bahwa f mempuyai turua di 0, da kemudia cari f (0). (43) Misalka fugsi berilai real f mempuyai turua di c R da f(c) = 0. Buktika bahwa fugsi g(x) := f(x) mempuyai turua di c jika da haya jika f (c) = 0. (44) Dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata, buktika bahwa si x si y x y utuk semua x, y R. (45) Misalka fugsi-fugsi f da g mempuyai turua di R da f(0) = g(0). Jika f (x) g (x) utuk setiap x 0, buktika bahwa f(x) g(x) utuk setiap x 0. (46) Buktika Teorema Nilai Rata-rata Cauchy: Jika f da g kotiu pada [a, b] da diferesiabel pada (a, b). Maka terdapat c (a, b) sehigga: f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) (47) Buktika (dega megguaka iduksi Matematika) bahwa: ( ) (fg) () (x) = f k k (x)g (k) (x). (48) Teorema Taylor: Misalka = da misalka f : [a, b] R sedemikia sehigga f dapat dituruka secara kotiu pada [a, b], da f (+) terdefiisi di (a, b). Jika x [a, b], maka utuk setiap x [a, b] terdapat c di atara x da x, sehigga: f(x) = f(x ) + f (k) (x ) (x x ) + f (+) (c) k! ( + )! (x x ) +. Misalka f(x) = + x. (a) Terapka Teorema Taylor utuk =. (b) Terapka Teorema Taylor utuk = 2. (c) Tujukka: + 2 x 8 x2 f(x) + 2 x.