Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Transkripsi

1 Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah ? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika 8, Kalkulator ii adalah kalkulator 10-digit. Utuk medapatka jawaba yag eksak, Ada memerluka kalkulator dega digit yag lebih bayak. Sekarag berapakah ? Badigka jawaba kedua pertayaa ii. Haruskah Ada megalika dega utuk medapatka ? Jawaba utuk pertayaa terakhir adalah tidak. Kita amati bahwa Kita igat kembali bahwa kalau kita diberi tiga bilaga bulat k, m, da dimita meghitug k m, hasil yag kita peroleh tidak bergatug pada perkalia maa yag kita dahuluka, k m atau m. Kita kataka bahwa perkalia bilaga bulat bersifat asosiatif. Mempelajari kosep seperti perkalia beserta sifat-sifatya adalah fudametal dalam aljabar. Dalam modul ii Ada aka diperkealka kepada operasi sebagai kosep yag lebih umum dari perkalia da megeal beberapa kosep elemeter yag dikaitka dega operasi. Aka diperkealka pula beberapa sifat dasar yag terkait dega pegertiapegertia tersebut. Setelah mempelajari modul ii Ada diharapka dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaa merupaka operasi; b. memeriksa apakah suatu operasi bersifat asosiatif, komutatif; c. memeriksa apakah suatu operasi memiliki usur idetitas;

2 1.2 Aljabar 1 d. memeriksa apakah usur-usur suatu himpua yag dilegkapi operasi dega usur idetitas memiliki balika; e. memeriksa apakah suatu himpua (bagia) tertutup terhadap suatu operasi; f. memafaatka sifat-sifat operasi da pemetaa dalam pembuktia.

3 MATA4321/MODUL S Kegiata Belajar 1 Sistem Bilaga Bulat ebagaimaa sudah sagat kita ketahui, kita dapat mejumlahka, meguragka atau megalika dua bilaga bulat utuk medapatka suatu bilaga bulat. Misalya kita mejumlahka 3 da 5 utuk medapatka 8. Kita megalika 3 da 5 utuk medapatka 15. Sekali pu memberika bilaga bulat yag sama, 3 5 da 5 3 memiliki maka yag berbeda. Yag pertama meyataka , semetara yag kedua meyataka Demikia pula halya dega da Megigat hal itu, kita memadag kedua bilaga bulat yag diberika sebagai suatu pasaga terurut bilaga bulat. Pasaga terurut bilaga bulat m da kita tuliska sebagai m,. Himpua semua bilaga bulat kita simbolka dega, sedagka himpua semua pasaga terurut bilaga bulat kita tuliska sebagai. dega demikia m, : m,. Diberika suatu pasaga terurut bilaga bulat, terdapat satu, tidak kurag da tidak lebih, bilaga bulat yag merupaka hasil pejumlaha kedua bilaga pada pasaga terurut. Dega kata lai, kita mempuyai pegaita dari pasaga terurut bilaga bulat m, kepada bilaga bulat m. Secara simbolis, pegaita ii kita yataka dega m, m. Karea m da boleh bilaga bulat maa pu, pegaita tersebut membagu suatu pemetaa dari ke. Kita kataka bahwa pejumlaha adalah suatu operasi pada. Apa yag kita lakuka di atas dapat pula kita lakuka pada peguraga: kita mempuyai pegaita yag membagu suatu pemetaa dari perkalia: kita mempuyai pegaita m, m m, ke. Demikia pula dega m

4 1.4 Aljabar 1 yag membagu suatu pemetaa dari ke. Kita kataka pula bahwa peguraga da perkalia adalah operasi-operasi pada. Di atas sudah kita yataka bahwa dalam perkalia sebarag tiga bilaga bulat k m, medahuluka k m aka memberika hasil yag sama dega medahuluka m. Secara sigkat, km k m. Hasil serupa kita peroleh pada pejumlaha tiga bilaga bulat: k m k m. Akibatya, peulisa k m tidak meimbulka keracua. Tidak demikia halya dega peguraga: pada 56 7 misalya, medahuluka 5 6 aka meghasilka , semetara medahuluka 6 7 aka meghasilka Peulisa 56 7 aka meimbulka keracua aka yag dimaksud, atau Kita kataka bahwa pejumlaha da perkalia bersifat asosiatif, semetara peguraga tidak bersifat asosiatif. Kita ketahui pula bahwa pada pejumlaha da perkalia meukar uruta kedua bilaga bulat tidak megubah hasil. Secara persis, m m da m m, utuk sebarag bilaga bulat m da. Kita kataka bahwa kedua operasi ii bersifat komutatif. Tidak demikia halya dega peguraga. Kita dapatka bahwa 56 1, sedagka Kita kataka bahwa peguraga tidak bersifat komutatif. Ketika mejumlahka dua bilaga bulat, kalau salah satuya adalah bilaga 0, maka hasil pejumlaha adalah bilaga yag satu lagi. Kita dapati pula bahwa hasil perkalia bilaga 1 dega sebarag bilaga bulat adalah bilaga bulat sebarag tersebut. Secara simbolis, m 0 0 m m da m 11m m, utuk sebarag bilaga bulat m. Kita kataka bahwa 0 adalah usur idetitas pejumlaha bilaga bulat da 1 adalah usur idetitas perkalia bilaga bulat. Pada peguraga kita meemuka situasi berbeda. Utuk sebarag bilaga bulat m, kita peroleh m0 m, aka tetapi 0m m,

5 MATA4321/MODUL kecuali kalau m 0. Persamaa bilaga bulat x m m dalam x seatiasa mempuyai jawab tuggal 2m, tetapi jawab ii bergatug pada ilai m yag diberika. Kita kataka bahwa operasi peguraga bilaga bulat tidak memiliki usur idetitas. Aka tetapi, karea utuk sebarag bilaga bulat m berlaku m0 m, kita kataka bahwa operasi peguraga bilaga bulat memiliki usur idetitas kaa, yaitu 0. Kita perhatika pula bahwa utuk sembarag bilaga bulat m kedua persamaa xm 0 da mx 0 memiliki jawab bilaga bulat yag sama, yaitu m. Kita kataka bahwa m memiliki balika terhadap pejumlaha bilaga bulat, yaitu m. Hal seperti ii tidak terjadi pada perkalia. Diberika bilaga bulat m, persamaa x m 1 da persamaa mx 1 tidak selalu memiliki jawab bilaga bulat, da bahka dalam hal m 0 kedua persamaa tidak memiliki jawab sama sekali. Perhatika bahwa kedua persamaa memiliki jawab bilaga bulat haya dalam hal m 1 atau m 1. Kedua bilaga ii memiliki balika terhadap perkalia bilaga bulat, yaitu diriya sediri. Himpua yag dilegkapi dega satu atau lebih operasi membetuk suatu sistem matematika. Bila kita haya memperhatika operasi pejumlaha, sistem matematika yag terbetuk kita yataka dega simbol,. Sebalikya, bila kita haya memperhatika operasi perkalia, sistem matematika yag terbetuk kita yataka sebagai, atau,. Bila kita memperhatika kedua operasi pejumlaha da perkalia, sistem matematika yag terbetuk kita yataka dega otasi,, atau,,. Belakaga dalam kuliah ii kita aka melihat bahwa operasi peguraga adalah operasi yag dituruka dari operasi pejumlaha. Diberika suatu pasaga terurut bilaga bulat m,, kita dapat mecoba megaitka pasaga tersebut kepada sesuatu bilaga bulat dega cara-cara lai. Sebagai cotoh adalah dega pembagia. Kita megalami kegagala dalam hal ii, 1,2 misalya kita kaitka kepada 12 yag buka bilaga bulat. Kalau kita batasi bahwa m da haya boleh 1 atau 1 secara formal kita yataka m, 1, 1, maka hasil pembagia m adalah bilaga bulat. Lebih dari itu, hasil pembagia tersebut adalah 1 atau 1. Pegamata ii dapat kita ugkapka sebagai m1, 1, utuk setiap m, 1, 1. Perhatika bahwa peryataa tersebut ekivale

6 1.6 Aljabar 1 dega implikasi jika m, 1, 1, maka 1, 1 bahwa himpua 1, 1 bahwa operasi pembagia tertutup dalam 1, 1 m. Kita kataka tertutup terhadap pembagia. Kita kataka pula. Di lai pihak, tidak tertutup terhadap pembagia. Sebearyalah, himpua 1, 1 tidak dapat kita perbesar dega memasukka bilaga bulat maa pu ke dalamya sambil mempertahaka sifat ketertutupa terhadap pembagia. Berikut ii alasa bagi peryataa di atas. Pertama-tama, kita tidak dapat memasukka bilaga 0, karea pasaga terurut 1,0 tidak dapat dikaitka oleh pembagia kepada bilaga bulat maa pu. Selajutya, kita juga tidak dapat memasukka bilaga asli lai, misalya m, karea 1, m dikaitka oleh pembagia ke 1 m yag buka bilaga bulat. Dega alasa serupa kita juga tidak dapat memasukka bilaga bulat egatif lai. Sebagai cotoh lai, kita padag pemagkata m dega m, bilaga-bilaga bulat. Jika m, adalah bilaga-bilaga asli, maka hasil pemagkata tersebut juga bilaga asli, tidak haya sekedar bilaga bulat. Karea itu kita kataka bahwa himpua semua bilaga asli tertutup terhadap pemagkata da bahwa operasi pemagkata tertutup dalam. Himpua ii tidak dapat kita perbesar dega memasukka bilaga bulat tidak positif ke dalamya sambil mempertahaka sifat ketertutupa terhadap pemagkata. 0, 1,, 1 di maa 1. Sekarag padag himpua Himpua ii tidak tertutup terhadap operasi pejumlaha bilaga bulat. Kita perkealka sekarag operasi pejumlaha baru pada sebagai berikut: utuk ab,, kita kaitka ab, dega sisa pembagia a b oleh. Sisa pembagia ii merupaka usur. Sebagai cotoh, dega 5 4,4 kita kaitka dega 3, yaitu sisa pembagia 44 8 oleh 5., Operasi baru ii kita amaka pejumlaha modulo. Selama koteksya jelas, kita lazim megguaka otasi pejumlaha biasa utuk operasi ii. Pada cotoh di atas, kita aka meuliska 44 3 dega megigat bahwa kita melakuka pejumlaha pada 5. Dega cara serupa kita dapat medefiisika operasi perkalia modulo pada. Sebagai cotoh, pada 5 kita memperoleh 44 1.

7 MATA4321/MODUL Agar tidak meimbulka keracua dega usur-usur Z, kita tuliska usur-usur dega garis di atas bilaga. Dega demikia, kita mempuyai 0, 1,, 1. Notasi ii juga memugkika kita utuk meuliska, sebagai cotoh, di 5. Secara umum, utuk setiap bilaga bulat ak,, kita mempuyai a k a di. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) Himpua 0 tidak tertutup terhadap pemagkata. Megapa? 2) Dapatka suatu himpua bagia dari yag tertutup terhadap pegaita m, m. Apakah himpua yag Ada dapatka masih dapat diperbesar? Catata: x meyataka bilaga bulat terbesar yag lebih kecil atau sama dega x. Sebagai cotoh, , 6 6, da ) Ulagi soal omor 2, kali ii dega pegaita m Catata: x, m. meyataka bilaga bulat terkecil yag lebih besar atau sama dega x. Sebagai cotoh, , 6 6, da ) Jelaska megapa 44 1 pada 5. Petujuk Jawaba Latiha 1) Himpua 0 tidak tertutup terhadap pemagkata karea tidak terdefiisi. 2) Himpua yag tertutup terhadap operasi pembagia (biasa) juga tertutup terhadap operasi yag sedag dibicaraka. Karea itu 1,1 0 0

8 1.8 Aljabar 1 adalah satu cotoh. Misalka C tertutup. Haruslah 1 C karea mm 1, utuk sembarag m, sedagka 0 C, karea tidak ada pembagia oleh 0. Tidak ada bilaga bulat positif lai di dalam C karea 1 m 0, utuk setiap m, m1. Jika bilaga bulat m 0 ada dalam C, maka 1 C karea 1 m 1. Akibatya jika bilaga m ada dalam C, maka m m 1 bulat 1, yag merupaka bilaga bulat positif yag lebih besar dari 1, ada dalam C. Hal terakhir ii tidak bisa terjadi. Dega demikia 1,1 adalah himpua tertutup yag terbesar. 3) Seperti pada soal sebelum ii, 1,1 adalah satu cotoh. Misalka D tertutup. Dega alasa serupa, 1D da 0 D. Jika bilaga bulat egatif m 1 usur D, maka 1 m 0, sehigga bilaga bulat egatif yag dapat dimuat D hayalah 1. Jika 1 D, maka tidak ada usur D selai 1 da 1. Ii diperoleh karea jika bilaga bulat positif m 1 usur D, maka 1 m 0. Di lai pihak, jika 1 D, maka D dapat memuat semua bilaga asli (perhatika bahwa m 1, utuk semua bilaga asli m)., Jadi himpua tertutup terbesar adalah 1,1 da. 4) Perhatika bahwa di kita puyai , yaitu sisa pembagia 44 oleh 5 adalah 1. Jadi 44 1 di 5. RANGKUMAN 1. Pada himpua semua bilaga bulat kita megeal operasioperasi pejumlaha, peguraga da perkalia. 2. Operasi pejumlaha da perkalia bersifat asosiatif da komutatif, sedagka operasi peguraga tidak bersifat asosiatif da tidak bersifat komutatif.

9 MATA4321/MODUL Operasi pejumlaha da perkalia memiliki usur idetitas, yaitu berturut-turut 0 da 1, sedagka operasi peguraga memiliki usur idetitas kaa, yaitu Setiap bilaga bulat memiliki balika terhadap pejumlaha, tetapi haya bilaga 1 da 1 yag memiliki balika terhadap perkalia. 5. Himpua 1, 1 tertutup terhadap pembagia da dapat dikataka juga operasi pembagia tertutup dalam 1, 1, tidak tertutup terhadap pembagia. 6. Himpua semua bilaga asli tertutup terhadap pemagkata da operasi pemagkata tertutup dalam. TES FORMATIF 1 Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii dega tepat! 1) Apakah pegetahua 2 2 m, m memberika suatu operasi pada? Jika ya, apakah bersifat asosiatif? Komutatif? Memiliki usur idetitas? 2) Berika subhimpua S dari sehigga pegaita m, memberika suatu operasi pada S. Dapatkah S diperbesar? m 2 3) Lakuka seperti pada soal omor 2 utuk pegaita m, m. Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif 1 yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 1. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal

10 1.10 Aljabar 1 Arti tigkat peguasaa: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar 1, terutama bagia yag belum dikuasai.

11 MATA4321/MODUL P Kegiata Belajar 2 Operasi ada pasal terdahulu telah kita lihat pejumlaha, peguraga da perkalia bilaga bulat adalah pemetaa-pemetaa dari ke. Kita kataka pula bahwa ketiga-tigaya adalah operasi pada. Sekarag kita berika pegertia operasi yag lebih umum. Defiisi 1.1 Misalka S adalah himpua tak kosog. Setiap pemetaa dari S S ke S adalah operasi pada S. Dalam Defiisi 1.1 di atas S S a, b : a, b S. Cotoh Pejumlaha da perkalia adalah operasi-operasi pada, pada, pada himpua semua bilaga rasioal, da pada himpua semua bilaga real. 2. Peguraga adalah operasi pada, pada da pada, tetapi peguraga buka operasi pada. 3. Pembagia adalah operasi pada 1, Pemagkata adalah operasi pada. 5. Pembagia adalah operasi pada \ 0 da pada \ Pejumlaha da perkalia modulo adalah operasi-operasi pada. 7. Dari kalkulus, pejumlaha da perkalia fugsi adalah operasi-operasi D pada himpua dari semua fugsi berilai real dega daerah asal D D, D 0. Igat kembali bahwa jika f, g, maka f g da

12 1.12 Aljabar 1 f g adalah fugsi-fugsi yag memetaka sebarag usur x D, berturut-turut, kepada usur-usur f x g x da f. x g x 8. Dari kalkulus, komposisi fugsi adalah operasi pada himpua dari semua fugsi berilai real dega daerah asal. Igat kembali bahwa komposisi fugsi f g di usur x kepada usur adalah fugsi yag memetaka sebarag. f g x 9. Pejumlaha vektor adalah operasi pada 2 da pada Perkalia silag (cross product) vektor adalah operasi pada Pejumlaha da perkalia matriks adalah operasi-operasi pada 22 himpua dari semua matriks berukura 2 2 dega kompoe bilaga real. 12. Misalka himpua. Gabuga da irisa adalah operasi-operasi pada himpua kuasa dari, yaitu himpua semua subhimpua dari. Himpua kuasa dari kita tuliska sebagai 2. Utuk himpua S yag berhigga, khususya bila S memuat sedikit usur, operasi pada S dapat kita sajika dalam suatu tabel Cayley (megikuti ama matematikawa Iggeris Arthur Cayley yag hidup dalam masa ). Pada tabel Cayley utuk operasi pada S, sel di sebelah kaa a S da di bawah b S diisi dega usur a b. Cotoh Tabel Cayley utuk operasi pembagia pada 1, 1 adalah

13 MATA4321/MODUL Tabel Cayley utuk operasi pejumlaha modulo 4 adalah Di lai pihak, suatu operasi dapat didefiisika melalui tabel Cayley, seperti ditujukka dalam cotoh berikut. Cotoh 1.3 # medefiisika suatu operasi # pada himpua 0,1, 2,3, 4 di maa a# b adalah usur pada sel di sebelah kaa a da di bawah b, utuk setiap ab, 0,1,2,3,4. Sebagai cotoh, 2 # 1 4 da 4 # 3 2. Sekalipu operasi adalah pemetaa, kita lazim megguaka simbol utuk meyataka suatu operasi. Kita sudah biasa megguaka simbol + utuk pejumlaha, utuk peguraga da utuk perkalia. Sebagai pemetaa, operasi pejumlaha pada kita yataka dega :. Perhatika bahwa operasi haya melibatka dua usur. Dalam berbagai situasi kita mugki perlu melakuka operasi lebih dari satu kali dega melibatka lebih dari dua usur. Sebagai cotoh, dalam meetuka volum sebuah balok kita megalika pajag, lebar da tiggi balok. Hasil yag diperoleh dega megalika pajag da lebar lalu megalika hasilya dega tiggi akakah berbeda dega hasil megalika lebar da tiggi lalu megalika hasilya kepada pajag?

14 1.14 Aljabar 1 Defiisi 1.2 Operasi pada S bersifat asosiatif jika berlaku Cotoh 1.4 a b c a b c, utuk semua a, b, c S. 1. Pejumlaha da perkalia pada,,, semuaya bersifat asosiatif. 2. Pejumlaha da perkalia modulo pada bersifat asosiatif. D 3. Pejumlaha da perkalia fugsi pada bersifat asosiatif. Sifat asosiatif kedua operasi ii adalah warisa dari sifat asosiatif pejumlaha da perkalia pada. 4. Komposisi fugsi pada bersifat asosiatif. 5. Pejumlaha vektor pada 2 3 da bersifat asosiatif. 6. Pejumlaha da perkalia matriks pada 22 bersifat asosiatif. 7. Operasi-operasi gabuga da irisa himpua pada 2 bersifat asosiatif. 8. Pemagkata pada tidak bersifat asosiatif, karea Perkalia silag vektor di 3 tidak bersifat asosiatif. Utuk operasi yag bersifat asosiatif, kita aka dapat meuliska a b c atau bahka a1 a2 a tapa meimbulka keracua atau keragua tetag makaya. Sifat asosiatif meyataka bahwa dalam melakuka operasi lebih dari satu kali, uruta operasi tidak mempegaruhi hasil. Defiisi 1.3. Operasi pada S bersifat komutatif jika berlaku a b b a, utuk semua a b S.

15 MATA4321/MODUL Cotoh Pejumlaha da perkalia pada,,, semuaya bersifat komutatif. 2. Pejumlaha da perkalia modulo pada keduaya bersifat komutatif. D 3. Pejumlaha da perkalia fugsi pada bersifat komutatif. Sifat komutatif kedua operasi ii juga adalah warisa dari sifat komutatif pejumlaha da perkalia pada. 4. Pejumlaha vektor pada 2 3 da bersifat komutatif. 5. Operasi-operasi gabuga da irisa himpua pada 2 bersifat komutatif. 6. Komposisi fugsi pada tidak bersifat komutatif. Perhatika bahwa 2 2 utuk f : x x da g : x x kita peroleh f g : x x, sedagka g f x x 2 : Pejumlaha matriks pada bersifat komutatif, tetapi perkalia 22 matriks pada tidak. Cotoh peyagkal utuk peryataa terakhir ii adalah sedagka Pemagkata pada juga tidak bersifat komutatif, karea Perkalia silag vektor di juga tidak bersifat komutatif. u v v u, utuk semua uv, 3. Sebearyalah,

16 1.16 Aljabar 1 Sifat komutatif meyataka bahwa dalam melakuka satu operasi, uruta usur tidak mempegaruhi hasil. Sifat komutatif dapat dikeali pada tabel Cayley dega memeriksa apakah tabel tersebut, sebagai matriks, simetri terhadap diagoal utamaya. Dega demikia operasi-operasi pada Cotoh 1.2 bersifat komutatif, semetara operasi pada Cotoh 1.3 tidak. Defiisi 1.4. Misalka suatu operasi pada S. Usur e S diamaka usur idetitas operasi jika berlaku ae a e a, utuk semua a S. Cotoh Usur 0 adalah usur idetitas pejumlaha pada,,. Pejumlaha pada tidak memiliki usur idetitas. 2. Usur 1 adalah usur idetitas perkalia pada,,,. 3. Usur 0 adalah usur idetitas pejumlaha modulo pada, sedagka 1 adalah usur idetitas perkalia modulo pada. 4. Fugsi ol, yaitu fugsi yag memetaka setiap usur di D ke 0, adalah D usur idetitas pejumlaha fugsi pada. Sedagka fugsi yag memetaka setiap usur di D ke 1 adalah usur idetitas perkalia fugsi D pada. 5. Fugsi idetitas, yaitu fugsi yag memetaka setiap usur di kepada diriya sediri, adalah usur idetitas komposisi fugsi pada. 6. Vektor 0,0 adalah usur idetitas pejumlaha vektor pada sedagka vektor pada 3. 2, 0,0,0 adalah usur idetitas pejumlaha vektor

17 MATA4321/MODUL Matriks ol da matriks kesatua adalah usur-usur idetitas berturutturut pejumlaha da perkalia matriks pada Himpua kosog adalah usur idetitas operasi gabuga himpua pada Himpua adalah usur idetitas operasi irisa himpua pada Perkalia silag vektor pada tidak memiliki usur idetitas. 3 Perhatika bahwa tidak ada x yag memeuhi da tidak ada pula y a x a, a 3 yag memeuhi y a a, a 11. Pembagia pada \ 0 tidak memiliki usur idetitas. Dalam hal ii x 1 x, x \ 0 berlaku, tetapi 1 x x, x \ 0 tidak berlaku. Berikut ii suatu sifat elemeter usur idetitas. Hedakya Ada memahami betul bukti yag diberika. Teorema 1.1. Usur idetitas setiap operasi selalu tuggal. Bukti: Misalka e da f adalah usur-usur idetitas operasi. Karea e usur idetitas, maka ef f, da karea f usur idetitas, maka e f e. Jadi f e f e. 3 3 Ii meujukka bahwa usur idetitas operasi tuggal. Ketika membicaraka operasi peguraga pada, kita kataka bahwa 0 adalah usur idetitas kaa operasi tersebut. Secara umum, usur e S adalah usur idetitas kaa operasi pada S jika utuk setiap x S berlaku x e x 1 \ 0 adalah usur idetitas. Dega demikia, usur kaa operasi pembagia pada Cotoh di atas.

18 1.18 Aljabar 1 Dega cara serupa kita defiisika usur idetitas kiri operasi pada S sebagai usur e S yag memeuhi e x x, x S. Sebagai cotoh, 2 operasi pada yag didefiisika melalui ab a b mempuyai usurusur idetitas kiri 1 da 1. [Ii merupaka cotoh bahwa usur idetitas kiri (atau kaa) tidak harus tuggal. Badigka dega Teorema 1.1]. Berdasarka defiisiya, setiap usur idetitas adalah usur idetitas kaa da usur idetitas kiri sekaligus. Sudah tetu, jika operasiya bersifat komutatif, maka usur idetitas kiri da usur idetitas kaa adalah usur yag sama yag, dega demikia, merupaka usur idetitas. Secara umum, operasi yag memiliki usur-usur idetitas kiri da kaa secara bersamaa mestilah memiliki usur idetitas, da ketiga macam usur idetitas tersebut sama. Hal ii diyataka dalam teorema berikut. Teorema 1.2. Misalka operasi pada S dega usur idetitas kaa e S da usur idetitas kiri f S. Maka e f, da dega demikia usur tersebut adalah usur idetitas operasi. Bukti: Misalka e da f seperti diyataka di atas. Karea e idetitas kaa, maka f e f. Sebalikya, karea f idetitas kiri, maka f e e. Jadi e f e f. Selajutya, utuk sebarag x S berlaku xe x f x e x. Jadi e f adalah usur idetitas operasi. Defiisi 1.5. Misalka suatu operasi pada S dega usur idetitas e. Usur a S dikataka mempuyai balika jika terdapat usur b S yag memeuhi ab e b a. Dikataka pula bahwa b adalah balika dari a. [Dega meukar pera a da b, kita medapatka a adalah balika dari b.] Perhatika bahwa meurut defiisi di atas, sebelum kita berbicara tetag usur balika, operasi yag sedag kita tijau harus mempuyai usur idetitas. Perhatika pula bahwa usur idetitas seatiasa memiliki balika, yaitu diriya sediri.

19 MATA4321/MODUL Cotoh Setiap usur x di,, atau mempuyai balika terhadap operasi pejumlaha. Dalam hal ii balika dari x adalah x. 2. Setiap usur x di mempuyai balika terhadap operasi pejumlaha modulo. Dalam hal ii balika dari x adalah x. 3. Terhadap operasi perkalia modulo, tidak semua usur memiliki balika. Usur x mempuyai balika jika da haya jika, sebagai usur-usur, x da relatif prima. [Bilaga-bilaga bulat a da b relatif prima jika pembagi sekutu keduaya hayalah 1 da 1.] 4. Terhadap operasi perkalia, setiap usur x 0 di atau mempuyai balika, yaitu 1 x. Sedagka di haya usur-usur 1 da 1 yag mempuyai balika, yaitu diriya sediri, semetara di haya usur Terhadap operasi pejumlaha fugsi, setiap fugsi f di mempuyai balika, yaitu fugsi yag memetaka setiap usur x D ke f x. Sedagka terhadap operasi perkalia fugsi, tidak D D semua fugsi di mempuyai balika. Fugsi f yag daerah ilaiya tidak memuat 0 mempuyai balika berupa fugsi yag memetaka setiap usur x D ke 1 f x. D 6. Setiap vektor di vektor. da 2 3 memiliki balika terhadap pejumlaha 7. Terhadap operasi pejumlaha matriks, semua matriks A mempuyai balika berupa matriks yag setiap kompoeya adalah egatif dari kompoe matriks A pada posisi yag bersesuaia. Terhadap 22 operasi perkalia matriks, haya matriks-matriks tak sigulir di yag mempuyai balika, yaitu berupa matriks iversya. 22

20 1.20 Aljabar 1 8. Terhadap operasi gabuga maupu irisa himpua, haya usur idetitas masig-masig yag memiliki balika. Apakah usur balika itu tuggal? Jawaba utuk pertayaa ii diberika dalam teorema berikut. Teorema 1.3. Misalka operasi pada S dega usur idetitas e da a S mempuyai balika terhadap. Jika juga bersifat asosiatif, maka balika dari a tuggal. Bukti: Misalka b da c adalah balika-balika dari a terhadap. Maka ab ba e ac c a. Jadi b a b b a c b a c e c c. b eb b a b Serupa dega usur idetitas, kita dapat medefiisika balika kaa atau balika kiri. Sekali lagi kita megasumsika operasi pada S yag memiliki usur idetitas e. Balika kaa dari a S adalah usur b S yag memeuhi ab e, sedagka balika kiri dari a adalah usur c S yag memeuhi ca e. Kita aka berbicara lebih jauh tetag balika dalam Pasal 1.3. Perhatika kembali operasi pejumlaha. Operasi ii kita dapati atara lai pada da pada. Perhatika pula bahwa kedua himpua tersebut memeuhi hubuga. Sekalipu bekerja pada himpua-himpua yag berbeda, kedua operasi pejumlaha tersebut adalah operasi yag sama. Dega ugkapa tersebut kita maksudka hal berikut. Misalka ab,. Karea adalah himpua bagia dari, maka a da b pu usur di. Ada dua cara mejumlahka keduaya: yag pertama dega pejumlaha sebagai operasi di, sedagka yag kedua dega pejumlaha sebagai operasi di. Aka tetapi kedua cara tersebut aka memberika hasil yag sama. Sekarag kita padag pejumlaha semata-mata sebagai operasi di. Kalau operasi ii kita keaka haya pada pasaga-pasaga terurut di

21 MATA4321/MODUL , maka semua hasil operasi adalah usur-usur. Kalimat terakhir tidak lai meyataka bahwa tertutup terhadap operasi pejumlaha. Hal serupa juga aka kita peroleh kalau kita gati pada uraia di atas dega atau. Pegamata di atas membawa kita kepada defiisi berikut. Defiisi 1.6 Misalka suatu operasi pada S. Misalka pula S S Himpua S dikataka tertutup terhadap operasi jika setiap pasaga terurut di S Sdipetaka oleh ke S. Secara rigkas peryataa terakhir kita tulis sebagai S S S. Padag operasi pejumlaha pada. Dega defiisi di atas, ketiga himpua, da tertutup terhadap operasi pejumlaha ii. Pegertia tertutup sudah diperkealka pada akhir Pasal 1.1. Di saa diberika dua cotoh. Salah satuya adalah himpua 1, 1 tertutup terhadap pembagia. Dega sifat ketertutupa ii da sesuai dega Defiisi 1.1, pembagia adalah suatu operasi pada himpua 1, 1. Pada bagia tersebut juga diyataka bahwa tidak tertutup terhadap pembagia. Supaya pembagia dapat mejadi operasi yag megaitka pasaga terurut bilaga bulat, pertama-tama kita harus megeluarka 0 utuk medapatka \ 0. Kemudia kita mesti megimbuhka bilagabilaga yag merupaka hasil pembagia dua bilaga bulat utuk medapatka \ 0 1, 1 tertutup. Sebagai akibatya kita peroleh bahwa \ 0. terhadap operasi pembagia di Berikut ii beberapa cotoh lai. Cotoh Himpua a b : ab, b a tertutup terhadap operasi pejumlaha da perkalia matriks.

22 1.22 Aljabar 1 2. Himpua a b : a, b, d 0 d tertutup terhadap operasi pejumlaha da perkalia matriks. [Matriks yag merupaka usur himpua ii dikeal dega ama matriks segitiga atas.] 3. Misalka pada S terdefiisi suatu operasi asosiatif yag memiliki usur idetitas. Misalka S himpua semua usur di S yag memiliki balika. Maka S tertutup terhadap operasi tersebut. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) Diberika himpua tak kosog S dega operasi di maa ab b, a, b S. Periksa sifat asosiatif da komutatif operasi. Apakah ia memiliki usur idetitas? Idetitas kaa? Idetitas kiri? 2) Pada himpua S u, v, w, z didefiisika operasi berikut. u v w z u u v w z v v v u v w w u v u z z z u v Apakah usur idetitas operasi tersebut? Apakah w memiliki balika? Apakah sifat asosiatif berlaku? 3) Tujukka bahwa operasi pemagkata di tidak memiliki usur idetitas. Apakah ia memiliki usur idetitas kaa? Idetitas kiri? 4) Buktika Cotoh 1.8.3

23 MATA4321/MODUL ) Diberika himpua tak kosog S dega operasi. Bilakah operasi tidak komutatif? Petujuk Jawaba Latiha 1) Utuk setiap a, b, c S berlaku abc bc c ac ab c. Jadi sifat asosiatif berlaku. Secara umum, ab b da ba a, sehigga sifat komutatif tidak berlaku, kecuali dalam hal S 1. Setiap usur adalah usur idetitas kiri. Tidak ada usur idetitas kaa, kecuali dalam hal S 1. 2) Usur idetitas adalah u. Usur w memiliki dua balika, yaitu v da z, karea vw u w v da z w u w z. Sifat asosiatif tidak vw z u z z v vu v w z. berlaku karea Catata: Ketidakberlakua sifat asosiatif dapat dituruka dari Teorema 1.3 jika sifat asosiatif berlaku, usur w tidak aka memiliki dua balika. 3) Usur 1 adalah usur idetitas kaa karea 1 a a, a. Aka tetapi a 1 buka idetitas kiri karea 1 1, a. Tidak ada usur idetitas b kiri karea jika terdapat a yag memeuhi a b, b, maka a buka idetitas kiri. 1 a 1 (dega memilih b = 1), tetapi sudah kita ketahui bahwa 1 4) Misalka x, y S. Maka a, b S demikia, sehigga xa e a x da y b e b y. Kita peroleh da x yba x yba xea xa e bax y ba x y be y b y e. Dega demikia b a adalah balika dari x y, sehigga xy S. Jadi S tertutup.

24 1.24 Aljabar 1 5) Terdapat a, b S demikia, sehigga ab b a. RANGKUMAN Misalka S adalah himpua berhigga, S memuat sedikit usur maka operasi pada S dapat disajika dalam suatu tabel Cayley. Apabila diberika Operasi pada S maka bersifat: asosiatif jika berlaku abc abc,utuk semua a, b, c S. komutatif jika berlaku ab ba, utuk semua a, b S. mempuyai usur idetitas e S jika berlaku ae a e a, utuk semua a S. Usur idetitas setiap operasi selalu tuggal. Usur e S adalah usur idetitas kaa operasi pada S jika utuk setiap x S berlaku xe x. Apabila diberika operasi peguraga pada himpua bilaga bulat maka dapat dikataka bahwa 0 adalah usur idetitas kaa operasi tersebut. Usur e S adalah usur idetitas kiri operasi pada S jika utuk setiap x S berlaku ex x. Operasi pada yag didefiisika 2 melalui ab a b mempuyai usur idetitas kiri 1 da 1. Misalka suatu operasi pada S dega usur idetitas e. Usur a S dikataka mempuyai balika jika terdapat usur b S yag memeuhi ab e b a. Misalka diberika operasi pada S yag memiliki usur idetitas e. Balika kaa dari a S adalah usur b S yag memeuhi ab e, sedagka balika kiri dari a adalah usur c S yag memeuhi ca e. Misalka suatu operasi pada S, misalka pula S S. Himpua S dikataka tertutup terhadap operasi jika setiap pasaga terurut di S S dipetaka oleh ke S. Himpua, da tertutup terhadap operasi pejumlaha.

25 MATA4321/MODUL TES FORMATIF 2 Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii dega tepat! 1) Ada berapa operasi yag dapat dibuat pada himpua S dega 2 usur? Berapa bayak yag memiliki usur idetitas? 2) Diberika himpua tak kosog S dega operasi. Bilakah operasi tidak asosiatif 3) Diberika himpua tak kosog S dega operasi. Bilakah S tidak memiliki usur idetitas? 4) Misalka MUU 2 meyataka himpua semua matriks segitiga atas berukura 2 2 dega kedua kompoe diagoal berilai 1, yaitu MUU 2 1 a : 0 1 a Tujukka bahwa perkalia matriks adalah operasi MUU 2. Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif 2 yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 2. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar 2, terutama bagia yag belum dikuasai.

26 1.26 Aljabar 1 P Kegiata Belajar 3 Komposisi Sebagai Operasi ada pasal ii kita aka membicaraka suatu kelas operasi yag merupaka sumber yag kaya bagi cotoh-cotoh operasi, terutama yag tidak komutatif. Aka diberika beberapa defiisi. Demi kelegkapa, defiisi-defiisi yag diberika bersifat umum. Sebelum itu dua otasi da sebuah fakta. Misalka, Y dua himpua tak kosog. Kita tuliska himpua semua pemetaa dari ke Y sebagai Y. Selajutya, jika Y da A, kita tuliska himpua semua peta dari A oleh sebagai A. Jadi A x : x A. Defiisi 1.6. Misalka, Y, U himpua-himpua tak kosog. Misalka Y pula Y, yaitu suatu pemetaa dari ke Y, da U, yaitu suatu pemetaa dari Y ke U. Maka komposisi da adalah pemetaa dari ke U yag memetaka setiap usur x ke usur ax. Komposisi da kita tuliska dega otasi. Jadi U Defiisi 1.7 (i) Pemetaa Y dikataka pada jika utuk setiap y Y terdapat x yag memeuhi x y. (ii) Pemetaa berakibat x y. Y dikataka satu-satu jika x, y Y, x y Sekarag misalka suatu himpua berhigga yag terdiri dari usur s1, s2,, s, Peta dari usur-usur oleh Y adalah s1, s2,, s. Secara umum, peta dari usur tersebut boleh ada

27 MATA4321/MODUL yag sama. Ii berarti bahwa bayakya usur tidak lebih dari bayakya usur, yaitu. Dalam hal satu-satu, mestilah s s s semuaya berbeda, sehigga.,,, 1 2 Kita mempuyai sifat berikut. Sifat 1.1. Misalka Y (yaitu da Y terdiri dari berhigga bayakya usur). Pemetaa Y pada jika da haya jika satu-satu. Bukti: Misalka Y, s1, s2,, s. Misalka pada. Maka Y. Dega demikia Ii megharuska s s s satu-satu. Y. 1, 2,, semuaya berbeda, sehigga Misalka satu-satu. Maka Y. Aka tetapi Adaika Y. Maka terdapat t Y, tetapi t Y \ t, sehigga Y Y \ t Y 1 Jadi haruslah Y Y. Akibatya, kotradiksi. yaitu pada. Misalka himpua tak kosog. Perhatika himpua yag terdiri dari semua pemetaa dari ke diriya sediri. Karea komposisi dua pemetaa dari ke adalah juga pemetaa dari ke, maka komposisi adalah suatu operasi pada. Selajutya aka kita lihat beberapa sifat dari operasi komposisi pada. Pertama, operasi komposisi pada seatiasa bersifat asosiatif. Dapat kita lihat dega mudah bahwa utuk setiap,, da setiap x berlaku x x x x da dega demikia x.

28 1.28 Aljabar 1 Operasi komposisi pada seatiasa memiliki usur idetitas. Misalka adalah pemetaa yag megaitka setiap usur di dega diriya sediri, yaitu x x, x. Merupaka latiha bagi pembaca utuk meujukka bahwa adalah usur idetitas di terhadap komposisi. Kita kataka bahwa adalah pemetaa idetitas. Selajutya, secara umum operasi komposisi pada tidak komutatif. 2 Sebagai cotoh, ambil. Pilih x x 1 da x x. Maka x x 2 x 2 1 semetara 2 x x 1 x 1. Bagaimaa tetag balika usur di? Misalka adalah balika kiri dari. Maka kita peroleh bahwa da dega demikia, utuk x yag tertetu, x x x megembalika x ke x. Misalka y x usur lai x yag memeuhi x y. Ii megataka bahwa adalah pemetaa yag. Sekiraya terdapat, kita megalami kesulita utuk meetuka ke maa kita megembalika y. Supaya kesulita ii tidak mucul haruslah bersifat satu-satu. Di lai pihak, misalka bersifat satu-satu. Kita aka megkostruksi sebagai berikut. Misalka x x, terdapat tepat. Dalam hal satu y yag memeuhi x y x y. Dalam hal x, defiisika x x x x x. Dalam hal ii defiisika x. Maka. Kesamaa terakhir kita peroleh karea. Jadi yag kita kostruksi merupaka balika kiri bagi. Dega demikia kita mempuyai sifat berikut. Sifat 1.2. Pemetaa bersifat satu-satu. memiliki balika kiri jika da haya jika Pembuktia sifat berikut merupaka latiha bagi Ada. Sifat 1.3. Pemetaa memiliki balika kaa jika da haya jika bersifat pada.

29 MATA4321/MODUL Sebagai akibat kedua sifat di atas, kita memiliki teorema berikut. Teorema 1.4. Pemetaa bersifat satu-satu pada. Himpua semua pemetaa di sebagai memiliki balika jika da haya jika yag memiliki balika kita tuliska. Sim. Jadi Sim : satu-satu pada Berdasarka Sifat 1.1, teorema ii memberika akibat bahwa jika adalah himpua higga, maka tidak ada pemetaa di yag memiliki balika kiri, tetapi tidak memiliki balika kaa, atau sebalikya. Berikut ii sebuah cotoh pemetaa yag memiliki balika kiri yag buka balika kaa. x Cotoh 1.9 Padag f dega f x e. Balika kiri dari f adalah g dega l x, x 0 gx x, x 0. Perhatika bahwa utuk setiap x berlaku l x g f x e x. Aka tetapi g buka balika kaa dari f karea f gx x haya berlaku utuk x yag positif. Sesugguhya, f tidak mempuyai balika kaa. Utuk mejadika g balika kaa dari f, kita harus medefiisika gx utuk x 0 sehigga memeuhi f gx x. Aka tetapi ii mustahil karea ruas kiri adalah gx e f g x tidak positif. yag seatiasa positif, semetara ruas kaa adalah x yag LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! 1) Misalka a, b. Maka terdiri dari 4 usur. (a) Berika tabel Cayley utuk operasi komposisi pada.

30 1.30 Aljabar 1 (b) Tetuka semua usur di 2) Misalka, dega x Tujukka bahwa. yag memiliki balika. x, x. Y 3) Berika cotoh Y, U yag memeuhi tetapi tidak pada? U pada, Petujuk Jawaba Latiha 1) Misalka,,,, di maa a a, b a a a, b b, a b, b a, a b, b b. Maka a a da b a a a alpha a da b b, sehigga Dega pula a a da a a a b sehigga.,. Dega demikia., Dega cara serupa data kita perlihatka,,,,,,,,,,,, da. (a) Tabel Cayley utuk adalah (b) Dari tabel kita peroleh bahwa usur idetitas adalah. Jadi usur yag memiliki balika adalah da.. Dega megambil x y y y, sehigga y y 2) Misalka y kita peroleh. Demikia pula, dega

31 MATA4321/MODUL megambil x y kita peroleh y y y y. Jadi y y y y. Jadi., sehigga, utuk semua 3) Pilih Y U. Kemudia pilih, da x ta x, dega x l utuk setiap x. Maka tidak pada, sedagka pada. x RANGKUMAN Misalka, Y, U himpua-himpua tak kosog. Misalka pula Y Y, yaitu suatu pemetaa dari ke Y,da U, yaitu suatu pemetaa dari pemetaa dari x ke Y. Maka komposisi da adalah ke U yag memetaka setiap usur x ke usur. Komposisi da kita tuliska dega otasi. Jadi U. Misalka himpua tak kosog. Himpua terdiri dari semua pemetaa dari ke sediriya sediri. Karea komposisi dua pemataa dari ke adalah juga pemetaa dari ke, maka komposisi adalah suatu operasi pada. Beberapa sifat dari operasi komposisi pada atara lai: operasi komposisi pada bersifat asosiatif yaitu utuk setiap,, da x. berlaku operasi komposisi pada memiliki usur idetitas. Misalka i adalah pemetaa yag megaitka setiap usur di dega diriya sediri, yaitu ix x, x maka i adalah pemetaa idetitas. operasi komposisi pada tidak komutatif. Pemetaa memiliki balika kiri jika da haya jika bersifat satu-satu. Pemetaa memiliki balika kaa jika da haya jika bersifat pada. Pemetaa memiliki balika jika

32 1.32 Aljabar 1 da haya jika bersifat satu-satu pada. Himpua semua pemataa di Sim, atau dapat juga ditulis yag memiliki balika ditulis Sim : satu-satu pada. TES FORMATIF 3 Jawablah pertayaa-pertayaa di bawah ii dega tepat! 1) Misalka. Buktika bahwa jika A 2 da A, maka A tidak memiliki balika terhadap operasi irisa himpua. 2) Buktika Sifat 1.3 di atas. 3) Misalka : 0 a F f f a. Buktika bahwa komposisi fugsi adalah operasi pada F a jika da haya jika a 0. Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif 3 yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar 2. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 100% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar 3, terutama bagia yag belum dikuasai.

33 MATA4321/MODUL Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif 1 1) Pegaita ii memberika operasi yag asosiatif da komutatif, tetapi tidak memiliki usur idetitas. [Pembaca hedakya memberika ricia bukti.] 2) Ada tak higga bayakya himpua tertutup, yaitu S S a a, utuk setiap a. Setiap himpua ii tidak dapat diperbesar. [Pembaca hedakya memberika ricia bukti.] 3) Di sii juga ada tak higga bayakya himpua tertutup, yaitu S S a a a 0. Berbeda dega Soal 2, di, utuk setiap sii setiap himpua dapat diperbesar. [Pembaca hedakya memberika ricia bukti.] Tes Formatif 2 S 1) Misalka a, b. Suatu operasi ditetuka oleh peta-peta dari empat pasaga terurut a, a, a, b, b, a, b, b. Karea ada dua piliha bagi peta dari setiap pasaga terurut, yaitu a atau b, maka ada operasi yag dapat dibuat pada S. Misalka a usur idetitas operasi pada S. Maka a, a a, b b, b, a b, sedagka peta dari, a, bb boleh a atau b. Dega demikia ada 2 operasi dega usur idetitas a. Dega alasa serupa, ada 2 operasi dega usur idetitas b. Jadi ada 4 operasi pada S yag memiliki usur idetitas. 2) Terdapat a, b, c S demikia, sehigga abc ab c. 3) Utuk setiap a S, terdapat b S demikia, sehigga ab b atau ba b. 1 a 1 b 4) Misalka A, B MUU 2. Maka A, B , utuk suatu ab,. Perkalia kedua matriks adalah

34 1.34 Aljabar 1 1 a 1 b 1 a b AB yag juga merupaka usur MUU 2. Jadi MUU 2 tertutup terhadap operasi perkalia matriks, atau dega kata lai, perkalia MUU. matriks adalah operasi pada 2 Tes Formatif 3 1) Misalka B 2. Maka A B A. Karea A 2 da A, maka A. Akibatya AB, sehigga A B. Karea adalah usur idetitas 2 utuk operasi irisa, maka A tidak memiliki balika terhadap operasi ii. 2) Misalka memiliki balika kaa. Maka kita peroleh bahwa. Dega demikia, utuk setiap x, x x x, yag berarti bahwa terdapat sehigga x y. Jadi pada. y x Di lai pihak, misalka bersifat pada. Kita aka megkostruksi sebagai berikut. Misalka x. Padag himpua P x y y x satu usur. Karea pada, maka Px. Pilih tepat Px, kataka z. Kaitka x dega z. Pegaita ii x z. memberika pemetaa pada dega Utuk setiap x, kita mempuyai x x x karea x P x (berdasarka kostruksi di atas). 3) Misalka f g F f a g,. Maka 0 0. Aka ditujukka bahwa a f g F a jika da haya jika a 0. Misalka 0 a. Maka f g F a. Sekarag misalka a 0 memeuhi f a 2 a. f g f g f a f a. Jadi. Kita dapat memilih f yag

35 MATA4321/MODUL Utuk f yag demikia berlaku f f 0 f f 0 f a 2a. Aka tetapi, karea a 0, maka 2a a. Dega demikia f f 0 a. Jadi f f Fa.

36 1.36 Aljabar 1 Daftar Pustaka J.R. Durbi. (1985). Moder Algebra: A Itroductio, 2d Editio, Joh Wiley. K. Meyberg. (1980). Algebra, Teil 1, 2. Auflage, Haser.