JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

Transkripsi

1 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag keadaa dari sistem waktu diskrit dalam betuk: kaoik terkotrol, kaoik terobservasi, kaoik diagoal, serta kaoik Jorda dega megguaka metoda pemrograma lagsug, pemrograma bersarag da perluasa pecaha sebagia. Juga dibahas ketidaktuggala persamaa ruag keadaa dari suatu sistem yag diberika, yag dibuktika dega relasi atara dua vektor keadaa yag berdimesi sama, dimaa satu sama lai dihubugka oleh sebarag matriks o sigular. Kata kuci : fugsi trasfer, sistem persamaa waktu diskrit, trasformasi z.. PENDAHULUAN Persamaa ruag keadaa terdiri dari persamaa ruag keadaa waktu diskrit da persamaa ruag keadaa waktu kotiu. Masig-masig dari persamaa ruag keadaa tersebut terbagi lagi mejadi persamaa ruag keadaa yag berubah terhadap waktu (time varyig) da persamaa ruag keadaa yag tidak berubah terhadap waktu (time ivariat). Persamaa ruag keadaa yag berubah terhadap waktu utuk waktu diskrit (time varyig discrete time state space equatio) berbetuk: x( k ) = G x H u () y = C x D u dimaa: x(k) : vektor keadaa x y(k) : vektor keluara mx u(k) : vektor masuka rx G(k) : matriks keadaa x 97

2 Metode Peetua Betuk (Robertus Heri) H(k) : matriks masuka xr C(k) : matriks keluara mx D(k) : matriks trasmisi lagsug mxr Variabel k dalam G( k ), H ( k ), C( k ) da D( k ) seperti persamaa () meyataka bahwa matriks-matriks tersebut berubah terhadap waktu. Jika variabel k tidak berubah terhadap waktu, maka persamaa () dapat ditulis : x( k ) = Gx Hu y = Cx Du da disebut persamaa ruag keadaa yag tidak berubah terhadap waktu (time ivariat discrete time state space equatio). Seperti kasus waktu diskrit yag diberika oleh persamaa () da (), persamaa ruag keadaa utuk waktu kotiu yag berubah terhadap waktu, diyataka dega persamaa: xɺ ( t) = A( t) x( t) B( t) u( t) y( t) = C( t) x( t) D( t) u( t) Sedagka persamaa ruag keadaa waktu kotiu yag tak berubah terhadap waktu berbetuk: xɺ ( t) = Ax( t) Bu( t) y( t) = Cx( t) Du( t) Blok diagram utuk persamaa ruag keadaa waktu diskrit yag didefiisika oleh persamaa () ditujukka dega Gambar, da blok diagram persamaa ruag keadaa waktu kotiu ditujukka dega Gambar. () (3) (4) D u H x( k ) x( k ) y z - I C G Gambar Blok diagram utuk persamaa ruag keadaa waktu diskrit 98

3 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : D u( t) B xɺ ( t).dt x( t ) y( t) C A Gambar Blok diagram utuk persamaa ruag keadaa waktu kotiu Model diamik yag memuat variabel masuka, variabel keluara da variabel keadaa sagat berpera dalam aalisis ruag keadaa. Demikia juga pegetahua tetag betuk persamaa ruag keadaa, terutama dalam megubah blok diagram mejadi persamaa ruag keadaa da sebalikya. Bahka dalam beberapa metode peetua kestabila suatu sistem, syarat perlu da cukup utuk dapat meetuka kestabila sistem adalah trasformasi ke betuk kaoik terkotrol. Bagia pertama tulisa ii memperkealka betuk persamaa ruag keadaa waktu diskrit da kotiu, baik yag time varyig maupu time ivariat, kemudia dibahas represetasi ruag keadaa dalam betuk kaoik terkotrol dega metode pemrograma lagsug, betuk kaoik terobservasi dega metode pemrograma bersarag, serta betuk kaoik diagoal da betuk kaoik Jorda, keduaya dega metode perluasa pecaha sebagia. Bagia terakhir membahas ketidaktuggala dari persamaa ruag keadaa.. PEMBAHASAN Perhatika sistem waktu diskrit berikut ii : y a y( k ) a y( k )... a y( k ) = b u b u( k ) b u( k )... b u( k ) 0 dimaa u( k ) da y( k ) berturut-turut adalah iput da output sistem. (5) Trasformasi z dari (5) meghasilka : Y ( z) a z Y ( z) a z Y ( z)... a z Y ( z) = b U ( z) b z U ( z) b z U ( z)... b z U ( z) 0 99

4 Metode Peetua Betuk (Robertus Heri) Y( z) = (6) U ( z) a z... a z b0 b z... b z Persamaa (6) merupaka pembagia atara trasformasi z keluara da masuka, da disebut fugsi trasfer. Ada 4 betuk persamaa ruag keadaa yag dapat ditetuka dari persamaa (5) maupu (6), yaitu: betuk kaoik terkotrol (Cotrollable caoical form), betuk kaoik terobservasi (Observable caoical form), betuk kaoik diagoal (Diagoal caoical form), betuk kaoik Jorda (Jorda caoical form).. Betuk kaoik terkotrol Betuk cotrollable caoical form ditetuka dega megguaka metode pemrograma lagsug (direct programmig methode). Persamaa (6) dapat ditulis: Y( z) ( b ab 0) z ( b ab0 ) z... ( b ab0 ) z = b0 U ( z) az... az (7) ( b a b ) z ( b a b ) z... ( b a b ) z Y ( z) = b U ( z) U ( z) az... az Jika didefiisika ( b a b ) z ( b a b ) z... ( b a b ) z Yˆ( z ) = U ( z ) az... az (8) maka (7) mejadi Y ( z) = b U ( z) Yˆ ( z) (9) 0 Persamaa (8) dapat juga ditulis : Yˆ( z ) U ( z ) = = Q( z) ( b a b ) z ( b a b ) z... ( b a b ) z a z... a z sehigga diperoleh dua persamaa : 00

5 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : Q z = Q z a z Q z a z U z (0) ( ) ( )... ( ) ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) Y z = b ( ) ab 0 z Q z b ab0 z Q z b ab0 z Q z () Jika didefiisika: X ( z) = z Q( z) X z = z Q z ( ) ( ), () X z = z Q z ( ) ( ) X z = z Q z ( ) ( ) maka: zx ( z) = X ( z) zx ( z) = X ( z) 3 zx ( z) = X ( z) (3) Dega ivers trasformasi z dari persamaa (3) diperoleh: x ( k ) = x x ( k ) = x 3 x ( k ) = x (4) Ivers trasformasi z dari hasil substitusi persamaa () ke dalam persamaa (0) meghasilka : x ( k ) = a x a x... a x u (5) Aalog dega cara utuk medapatka persamaa (5), persamaa (9) dapat ditulis dalam betuk : y = b u ( b a b ) x... ( b a b ) x ( b a b ) x (6)

6 Metode Peetua Betuk (Robertus Heri) Peggabuga persamaa (4) da (5) serta persamaa (6) meghasilka persamaa ruag keadaa dalam betuk cotrollable caoical form berikut ii : x ( k ) x 0 x ( k ) x 0 = u x ( k ) x 0 x( k ) a a a a x x x y = [ b ab0 b a b0 b ab 0 ] b0u x x. Betuk kaoik terobservasi (Observable caoical form) Trasformasi z dari (5) dapat ditulis dalam betuk : ( { } ) Y ( z) = b0u ( z) z bu ( z) ay ( z) z bu ( z) ay ( z) z bu ( z) ay ( z)... (7) Bila didefiisika: [ ] [ ] X z z bu z a Y z X z ( ) = ( ) ( ) ( ) X ( z) = z b U ( z) a Y ( z) X ( z), (8) [ ] [ ] X ( z) = z b U ( z) a Y ( z) X ( z) X z = z b U z a Y z ( ) ( ) ( ) maka diperoleh hubuga: Y ( z) = b U ( z) X ( z) (9) 0 Substitusi persamaa (9) ke (8) serta megalika kedua ruas dega z, dihasilka : 0

7 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : zx ( z) = X ( z) a X ( z) ( b a b ) U ( z) 0 zx ( z) = X ( z) a X ( z) ( b a b ) U ( z) 0 zx ( z) = X ( z) a X ( z) ( b a b ) U ( z) 0 (0) zx ( z) = a X ( z) ( b a b ) U ( z) 0 Ivers trasformasi z dari persamaa (0) da (9) berturut-turut meghasilka persamaa keadaa da persamaa keluara dalam betuk matriks berikut ii : x ( k ) a x b ab0 x( k ) a x b a b 0 = u () x ( k ) a x b a b 0 x( k ) a x b ab 0 x x y = [ ] b0u () x x Persamaa () da () merupaka persamaa ruag keadaa dalam betuk observable caoical form. Metode utuk meetuka ruag keadaa ii diamaka metode pemrograma bersarag (ested programmig methode)..3 Betuk kaoik Jorda (Jorda caoical form) Utuk membetuk persamaa ruag keadaa dalam betuk kaoik Jorda, diasumsika bahwa terdapat pole (pembuat ol utuk peyebut) dari fugsi trasfer (6) yag sama sebayak m buah sedagka sisaya berbeda satu sama lai. Sedagka utuk meyataka persamaa ruag keadaa dalam betuk diagoal caoical form diasumsika pole dari fugsi trasfer (6) semuaya 03

8 Metode Peetua Betuk (Robertus Heri) berbeda. Karea alasa itulah maka betuk kaoik diagoal da betuk kaoik Jorda, keduaya ditetuka dega metode perluasa pecaha sebagia. Sub bab ii membahas betuk kaoik Jorda. Karea terdapat m buah pole yag sama sedagka yag lai berbeda, maka persamaa (6) dapat ditulis: Y( z) ( b a b ) z ( b a b ) z... ( b a b ) z = b0 U ( z) ( z p ) ( z p )...( z p ) m m Y z = b c c c c c c U z, m m m ( ) ( ) m m ( z p) ( z p) z p z pm z pm z p dega pole yag sama adalah z = p. Utuk X( z), X ( z),..., X m( z ) didefiisika: U ( z) U ( z) U ( z) X ( z) =, X ( z) =,..., X ( z) = ( ) ( ) ( ) m m m z p z p z p (3) sedagka utuk X m ( z), X m ( z),..., X ( z) didefiisika : U ( z) U ( z) U ( z) X ( z) =, X ( z) =,..., X ( z) = m m z pm z pm z p (4) Dari persamaa (3) didapat relasi : X ( z) X ( z) X ( z) X ( z) X ( z) X ( z) z p m = =... = = (5) 3 m Ivers trasformasi z dari persamaa (5) da (4), didapatka: x ( k ) = x p x x ( k ) = x p x 3 x ( k ) = x p x m m m 04

9 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : x ( k ) = p x u m m m m x ( k ) = p x u x ( k ) = p x u m (6) Da ivers trasformasi z utuk Y ( z ) didapatka : y = b u c x c x... c x c x... c x (7) 0 m m m m Peggabuga persamaa (6) da (7) meghasilka persamaa ruag keadaa dalam betuk Jorda caoical form berikut ii: x( k ) p x 0 x( k ) 0 p x xm ( k ) = p 0 0 xm u xm ( k ) pm 0 xm 0 x ( k ) p x x x y = [ c c c ] xm b0u xm x (8) Metode utuk medapatka persamaa (8) diamaka metode perluasa pecaha bagia (partial fractio expasio methode). Berikut ii diberika cotoh metode peetua betuk persamaa ruag keadaa waktu diskrit. 05

10 Metode Peetua Betuk (Robertus Heri). Misalka diketahui suatu sistem dega blok diagram seperti Gambar 3. b 0 b b u(k) z - x 3 (k) z - z - x (k) x (k) b 3 y(k) a a a 3 Gambar 3. Blok diagram sistem kotrol Maka persamaa keadaa da persamaa keluara sistem dapat ditetuka sebagai berikut : x ( k ) = u a x a x a x x ( k ) = x 3 x ( k ) = x y = b x b x b x b x ( k ) { } = b x b x b x b u a x a x a x = ( b a b ) x ( b a b ) x ( b a b 0 ) x 3 b 0 u Sehigga persamaa keadaa da persamaa outputya adalah : x( k ) 0 0 x 0 x ( k ) = 0 0 x 0 u x3( k ) a3 a a x3 x y = [ b3 a3b0 b ab0 b ab 0 ] x b0u x3 06

11 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : δ T e s Ts s Y(s) G( z) Gambar 4. Sistem kotrol waktu diskrit. Aalog dega cotoh pertama, bila sistem kotrol waktu diskrit ditujukka oleh Gambar 4, maka represetasi ruag keadaaya dapat ditetuka dega cara berikut: G( z) = Z ( z ) Z ( z ) Z ( z ) s s = = = s s ( z ) Ts e z ( z ) z ( z ) z z = = = ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) Karea Y( z) G( z) =, maka persamaa terakhit dapat ditulis: U ( z) z Y ( z) = U ( z) U ( z) ( z ) ( z ) Dega megguaka metode expasi pecaha parsial yag diguaka dalam pembuktia Jorda Caoical Form, diperoleh betuk persamaa ruag keadaa:: x( k ) x = u x ( k ) 0 x x y = [ 0.5] x Blok diagram dari cotoh kedua adalah : 07

12 Metode Peetua Betuk (Robertus Heri) u(k) x (k) x(k) z - z - - y(k) KETIDAKTUNGGALAN PERSAMAAN RUANG KEADAAN Bila diberika suatu fugsi trasfer dari keluara ke masuka, represetasi ruag keadaa tidaklah tuggal. Aka ditujukka bahwa utuk suatu fugsi trasfer yag diberika dimugkika terdapat lebih dari satu persamaa ruag keadaa yag berbeda. Perhatika sistem persamaa seperti (). Jika vektor xˆ( k ) berdimesi sama dega x( k ), maka dapat dibuat hubuga atara keduaya sebagai berikut: x = Pxˆ (9) dimaa P matriks o sigular. Dega substitusi persamaa (9) ke persamaa () da megalika kedua ruas dari kiri dega P diperoleh persamaa: xˆ ( k ) = Gx ˆ ˆ Hu ˆ (30) dega ˆ G P = GP H = P H, ˆ Aalog dega persamaa keadaa, utuk keluara didapatka persamaa baru : y = Cx ˆ ˆ Du (3) dega C ˆ = CP, D ˆ = D. 08

13 Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : Jadi telah ditujukka bahwa persamaa ruag keadaa yag diberika persamaa () ekivale dega persamaa ruag keadaa persamaa (30) da (3). 4. KESIMPULAN Dari pembahasa di atas dapat disimpulka:. Pegetahua tetag trasformasi z sagat diperluka dalam lagkah-lagkah pembuktia utuk meetuka betuk perssamaa ruag keadaa waktu diskrit.. Betuk kaoik diagoal merupaka kasus kusus betuk kaoik Jorda. 3. Vektor keadaa x( k ) da xˆ( k ) dihubugka dega relasi (9). Karea matriks P adalah matriks sebarag x, maka terdapat tak berhigga bayakya persamaa ruag keadaa utuk suatu sistem yag diberika. Jika dalam peerapaya diigika betuk diagoal dari matriks keadaa G, maka dapat dipilih matriks P sedemikia sehigga P GP = matriks diagoal. Jika tidak dimugkika utuk mediagoalka G, maka ditrasformasi mejadi betuk kaoik Jorda. P GP dapat DAFTAR PUSTAKA. Katsuhiko Ogata, Discrete Time Cotrol Systems, Pretice Hall Ic, R.W.Brocket, Fiite Dimesioal Liear Systems, Joh Wiley ad Sos Ic,