BAB I BILANGAN KOMPLEKS

Transkripsi

1 BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN Bilaga kompleks dapat didefiisika melalui pasaga terurut (,) dari bilaga real ag diiterprestasika melalui bidag kompleks, dega koordiat empat persegi pajag da. Bilaga dapat digambarka melalui titik (,) pada sumbu real. Dari sii terlihat bahwa himpua bilaga real termuat dalam himpua bilaga kompleks. Bilaga kompleks ag berbetuk (,) berhubuga dega titik pada sumbu da disebut bilaga imajier muri. Sumbu disebut juga sumbu imajier. Bilaga kompleks (,) biasaa diotasika dega, sehigga () = (,) Bilaga real da masig-masig merupaka bagia real da bagia imajier dari ; da ditulis () Re =, Im = Dua bilaga kompleks = (, ) da = (, ) dikataka sama apabila mempuai bagia real da bagia imajier ag sama. Jadi = jika da haa jika merupaka titik-titik ag sama dibidag kompleks atau dibidag. Pejumlaha + da perkalia dari dua bilaga kompleks =(, ) da = (, ) didefiisika sebagai berikut : () (, ) + (, ) = ( +, + ) (4) (, )(, ) = ( -, + ) Sebagai catata, bahwa operasi ag didefiisika pada (.) da (.4) berasal dari operasi pejumlaha da perkalia pada bilaga real, ag dibatasi pada:

2 (,) + (,) = ( +,) (,)(,) = (,) Dari uraia di atas meujukka bahwa sistim bilaga kompleks merupaka perluasa dari sistim bilaga real. Setiap bilaga kompleks = (,) dapat ditulis = (,) + (,), da juga (,)(,) = (,), jadi = (,) + (,)(,). Jika =(,) da i bagia imajier muri (,), maka jelas bahwa (5) = + i Juga, akibat dari =, =, da seterusa, kita dapatka bahwa i = (,)(,) = (-,), atau (6) i = - Dari persamaa (5), defiisi () da (4) diperoleh (7) ( +i ) + ( +i ) = ( + ) + i( + ) (8) ( +i )( +i ) = ( - ) + i( + ). SIFAT-SIFAT ALJABAR Umuma sifat pejumlaha da perkalia pada bilaga kompleks sama dega bilaga real. Kita daftar sifat-sifat aljabar ag palig medasar, sedagka ag laia sebagai latiha. Hukum komutatif () + = +,. =. da hukum assositif () ( + ) + = + ( + ), ( ) = ( ) pembuktia dari hukum ii sagat mudah berdasarka defiisi dari pejumlaha da perkalia pada bagia. Sebagai cotoh, jika = (, ) da = (, ), maka + = ( +, + ) + ( +, + ) = + Pembuktia utuk hukum ag lai di atas kita tiggalka, selajuta hukum distributif

3 () ( + ) = + da pembuktiaa serupa dega hal di atas. Hukum komutatif utuk perkalia, i = i juga berlaku. Akibata kita juga dapat meuliska = + i da hukum-hukum di atas terdefiisi dega baik, sebab sama saja dega kasus pada bilaga real. Pejumlaha idetitas = (,) da perkalia idetitas = (,) utuk bilaga real sama dega utuk sistim bilaga kompleks, aitu (4) + = da. = utuk setiap bilaga kompleks. Selajuta, pembuktia ketuggala da ii pada bilaga kompleks ditiggalka utuk latiha. Hubuga bilaga kompleks = (,) dega ivers pejumlaha (5) - = (-,-) memeuhi persamaa + (-) =. Selajuta, ivers pejumlaha dari setiap bilaga adalah tuggal, karea persamaa (,) + (u,v) = (,) megakibatka u = - da v = -. Persamaa (5) dapat juga ditulis mejadi = --i, utuk pembuktia (i) = (- i) = i(-) kita tiggalka sebagai latiha. Ivers pejumlaha diguaka utuk medefiisika peguraga bilaga kompleks berikut : (6) - = + (- ) Juga, jika = (, ) da = (, ), maka (7) = ( -, - ) = ( - ) + i( - ). Utuk setiap bilaga kompleks tak ol = (,), terdapat bilaga kompleks - sehigga. - =. Utuk medapatka bilaga kompleks - perhatika ekspresi berikut dega memisalka bilaga real u da v, sehigga (,)(u,v) = (,). Dari persamaa (4) bagia, sifat perkalia dari bilaga kompleks u da v harus memeuhi pasaga berikut u-v =, u+v = dari persamaa liier simulta, kita peroleh

4 4, v u Jadi ivers perkalia dari = (,) adalah (8), Ivers perkalia - tidak didefiisika utuk =. Keataaa bahwa, = megakibatka + =, da ii tidak terdefiisi pada persamaa (8). Keberadaa dari ivers perkalia diguaka utuk meujukka bahwa jika perkalia =, maka palig sedikit salah satu faktor atau sama dega ol. Utuk bukti perataa ii, kita misalka saja. = da. Akibata - ada. Dari defiisi perkalia bilaga kompleks, diperoleh (9) =. = ( - ) = - ( ) = -. =. Hal ii meujukka bahwa, jika =, maka salah satu = atau =, atau mugki keduaa da sama dega ol. Perataa ii ekivale dega megataka bahwa, jika bilaga kompleks da tak ol maka hasil perkalia tidak sama dega ol. Pembagia dega bilaga kompleks tak ol adalah didefiisika sebagai berikut (). Jika = (, ) da = (, ), persamaa (.) da (.8) memberika (),, i Utuk medapatka persamaa () dapat dilakuka dega cara () i i i i

5 5 Selajuta, dari sifat perkalia da pembagia di atas kita peroleh () Terakhir, hubuga (4) diperoleh melalui persamaa () dega meggati =. Sebagai cotoh, persamaa () dapat ditulis sebagai berikut (5) Selajuta, dapat juga diselidiki bahwa, Hal ii meujukka bahwa. Selajuta, kita dapat megguaka persamaa (4) utuk meujukka (6), da juga (7), Cotoh. Nataka bilaga kompleks berikut dalam betuk + i, dimaa da bilaga real. i i i i i i i i i i i

6 Latiha.. Buktika bahwa a. i i i; b.,-,,8; i i d. - 4i 5i i c.,,,, 5 5 e. ; f. - i 4 i 5 4 i. Tujukka bahwa (+) = + + i. Buktika bahwa dua bilaga kompleks = i memeuhi persamaa + = 4. Tujukka bahwa a. Im(i) = Re b. Re (i) = -Im c. d. (-) = - 5. Buktika bahwa perkalia dalam bilaga kompleks adalah komutatif. 6. Guaka hukum assosiatif da komutatif perkalia bilaga kompleks utuk meujukka bahwa ( )( 4 ) = ( )( 4 ). 7. Buktika bahwa jika =, maka palig sedikit salah satu dari ketiga faktor adalah ol. 8. Buktika : a. Hukum assosiatif utuk pejumlaha memeuhi persamaa () bagia. b. Hukum distributif persamaa () bagia. 9. Guaka hukum assosiatif utuk pejumlaha da hukum distributif utuk meujukka bahwa ( + + ) = Dega meuliska i = (,) da = (,), tujukka bahwa (i) = (-i) = i(-).. a. Tulis (,) + (u,v) = (,) utuk meujukka ketuggala bilaga kompleks = (,) dalam pejumlaha. b. Demikia juga, tulis (,)(u,v) = (,) utuk meujukka ketuggala bilaga kompleks = (,) dalam perkalia.. Selesaika persamaa + + = utuk = (,) dega meuliska (,)(,) + (,) + (,) =(,) da selesaika persamaa simulta dalam da. i 6

7 . Turuka persamaa () bagia utuk pembagia dijelaska. seperti cara ag telah 4. a.dega megguaka hubuga persamaa (5) da (6) bagia, turuka persamaa (7) bagia. b. Guaka peurua bahagia (a) utuk membuktika hukum pembatala berikut,. Modulus da Sekawa Sebagai dasar utuk meghubugka setiap bilaga kompleks tak ol = + i dega arah segme garis atau vektor, dari titik asal ke titik (,) ag diataka dega dalam bidag kompleks. Keataa ii, kita selalu megguaka melalui titik atau vektor. Di dalam gambar bilaga = + i da + i digambarka di dua titik da jari-jari vektor. (-,) -+i - (,) +i Gambar Dari defiisi pejumlaha dua bilaga kompleks = + i da = +, bilaga + berhubuga dega titik ( +, + ). Ii juga berhubuga dega vektor ag koordiata sebagai kompoea. Juga + merupaka sebuah vektor ag ditujukka pada gambar. Peguraga meataka jumlah dari vektor 7

8 da (dalam gambar ), - dapat diiterprestasika melalui arah segme garis dari titik (, ) ketitik (, ). Selajuta, perkalia dari dua buah bilaga kompleks da adalah bilaga kompleks itu sediri ag diataka dega vektor, aitu vektor ag terletak dibidag ag sama melalui vektor da. Jelas bahwa, perkalia ii buka skalar atau perkalia vektor ag biasa diguaka dalam aalisis vektor. + - (, ) Gambar Gambar (, ) - Iterprestasi vektor dalam bilaga kompleks sagat membatu dalam memperluas kosep dari ilai mutlak dari bilaga real ke bidag kompleks. Modulus atau ilai mutlak dari bilaga kompleks = + i didefiisika sebagai bilaga real o egatif da diataka dega ; aitu () Secara geometri, bilaga adalah jarak atara titik (,) da titik asal, atau pajag dari vektor ag diataka dega. Ii merupaka peurua dari ilai mutak didalam sistim bilaga real dimaa =. Sebagai catata, ketaksamaa < mempuai arti keduaa da adalah bilaga real, perataa mempuai arti titik lebih dekat dega titik asal dibadigka dega titik. 8

9 Cotoh. i da 4i 7, titik + i lebih dekat dari titik asal dibadigka dega titik + 4i. Jarak dari titik = + i da = + i adalah. Ii jelas dari gambar, dimaa adalah pajag dari vektor. Sebagai akibat dari defiisi () da diekspresika - = ( ) + i( - ) bahwa Bilaga kompleks ag berhubuga dega titik-titik pada ligkara dega pusat da berjari-jari R memeuhi persamaa R. Cotoh. Persamaa i meataka ligkara ag mempuai pusat = (,-) da mempuai jari-jari R =. Dari defiisi () bilaga real, Re =, da Im =, hubugaa dega persamaa () = (Re ) + (Im ). adalah () Re Re da Im Im Sekawa kompleks atau sekawa dari bilaga kompleks = + i adalah didefiisika dega i da diataka dega, aitu; (4) = i. Bilaga adalah diataka dega titik (,-) ag merupaka pecermia terhadap sumbu real dari titik (,) ag diataka dega (gambar 4). Sebagai catata da utuk setiap. 9

10 Jika = + i da = + i, maka i i i. Jadi, pejumlaha dua buah sekawa sama dega jumlah dari sekawa-sekawaa. (5) (,) (,-) Gambar 4 Dega cara serupa mudah ditujukka bahwa, (6) (7) (8), Pejumlaha dari bilaga kompleks = + i da sekawaa = i adalah bilaga real da peguragaa i. Jadi adalah bilaga imajier muri (9) Re, Im. i Suatu hubuga ag sagat petig atara sekawa dari suatu bilaga kompleks = + i dega modulus adalah ()

11 Metode ii ag diguaka utuk megitug hasil bagi pada persmaa () bagia. Metode ii adalah jelas dega megalika kedua peebut da pembilag dari dega, sehigga peebuta mejadi bilaga real. Cotoh. Melalui suatu ilustrasi, i i i i i i 5 5i 5 5i i i 5. Juga, lihat cotoh terakhir bagia. Dari persamaa (), dapat dega mudah meuruka sifat ag lai dari modulus da sekawa pada catata di atas. () () Sifat () dapat diperoleh melalui da igat bahwa modulus adalah tidak perah egatif. Sifat () dapat dituruka dega cara serupa. 4. KETAKSAMAAN SEGITIGA Sifat dari modulus da sekawa di bagia memugkika utuk meuruka sifat aljabar dari ketaksamaa segitiga, dega meetuka suatu batas atas utuk modulus dari pejumlaha dua bilaga kompleks da : () Ketaksamaa ii sagat petig dalam geometri (lihat gambar. bagia ). Tetu saja, perataa bahwa pajag suatu sisi pada suatu segitiga adalah lebih kecil atau sama

12 dega jumlah pajag dua sisi ag laia. Sebagai catata dari gambar bahwa (4.) adalah suatu kesamaa apabila titik, da adalah koliier. Tetapi da juga Kita mulai meuruka secara aljabar dega meuliska ; Re, atau karea modulus oegatif maka, ketaksamaa () berlaku. Suatu akibat dari ketaksamaa segitiga adalah jelas bahwa () Utuk meuruka ketaksamaa (), kita tulis Yag berarti bahwa. (). Ketaksamaa () ii berlaku jika. Jika, kita haa meukar dega dalam ketaksamaa () utuk medapatka. Persamaa () memberika arti bahwa pajag suatu sisi segitiga adalah lebih besar atau sama dega selisih dari pajag kedua sisi ag lai. Sebagai akibat dari () da (), dimaa digati dega (- ) adalah; (4)

13 (5) Cotoh. Jika titik terletak pada ligkara satua = ag berpusat di titik asal, maka da Ketaksamaa segitiga dapat diperumum dega iduksi matematika sebagai jumlah higga dari suku-suku : (6)...,,, Berikut ii aka diberika pembuktia iduksi secara rici, kita catat bahwa utuk = ketaksamaa (6) dijami oleh ketaksamaa pada (). Selajuta kita asumsika ketaksamaa (6) bear utuk =m, kita aka buktika bear utuk = m +. Dari ketaksamaa segitiga diperoleh,... m m... m... m m Cotoh. Jika adalah titik di dalam ligkara ag berpusat di titik asal dega jarijari, aki, maka 5 Latiha.. Gambarka bilaga + da - dalam betuk vektor jika a. = i, = / i b.,,, c. = (-,), = (,4) d. = + i, = i. Guaka sifat sekawa da modulus utuk meujukka bahwa a. i i b. i i c. i 4i d. 5 i 5

14 . Buktika ketaksamaa pada persamaa () bagia megeai hubuga Re, Im da. 4. Buktika bahwa Re Im. 5. Buktika sifat pada persamaa (6) da (7) bagia. 6. Guaka sifat utuk meujukka (a). da 4 (b) Buktika sifat dari modulus pada persamaa () bagia. 8. Guaka hasil dibagia utuk meujuka bahwa jika da tidak ol maka (a). ; (b). 9. Dega megguaka ketaksamaa pada bagia 4, tujukka bahwa jika 4 maka 4 4. Dalam setiap kasus, gambarka himpua dari titik-titik dega sarat ag diberika : (a). i ; (b). i ; (c). Re i ; (d). - i 4. Guaka ketaksamaa dalam bagia da 4 utuk meujukka bahwa Jika maka Im-. Dega pemfaktora dalam dua faktor kuadrat da dega megguaka ketaksamaa pada persamaa (5) bagia 4, tujukka bahwa jika terletak pada ligkara, maka 4 4. Telah ditujukka pada bagia bahwa jika = maka palig sedikit satu dari bilaga da harus ol. Berika suatu bukti ag lai, berdasarka hasil hubuga utuk bilaga real, dega megguaka persamaa (.). 4

15 4. Buktika bahwa (a). adalah real jika da haa jika =; (b). adalah salah satu real atau bagia imajier jika da haa jika. 5. Guaka iduksi matematika utuk meujukka bahwa jika =,, maka (a) (b) Misalka a, a, a,, a ( ) meataka bilaga real, da misalka suatu bilaga kompleks. Dega megguaka hasil pada soal o. 5, tujukka bahwa a a a... a a a a Tujukka bahwa persamaa o R dari suatu ligkara ag berpusat di da berjari-jari R, dapat ditulis Re R. 8. Guaka persamaa (9) bagia, utuk Re da Im, Kemudia tujukka bahwa hperbola = dapat ditulis 9. Guaka keataa bahwa suatu iterprestasi geometri bahwa a adalah jarak atara dua titik da, berika (a). Persamaa 4i 4i fokus, 4; meataka suatu elips ag mempuai titik (b). Persamaa i meataka garis lurus ag melalui titik asal da kemiriga. 5. KOORDINAT POLAR DAN RUMUS EULER Misalka r da merupaka koordiat polar dari titik (,) ag berhubuga dega bilaga kompleks tak ol = + i. Dimaa = r cos da = r si, dapat ditulis dalam betuk polar melalui () = r(cos + i si ). Jika =, maka koordiat tak terdefiisi. 5

16 Di dalam aalisis kompleks, bilaga real r tidak perah egatif da didefiisika sebagai pajag dari jari-jari vektor utuk ; aki r =. Bilaga real meataka sudut ag diukur dalam radia, dibuat dega ais real positif dimaa diiterprestasika sebagai jari-jari vektor (gambar 5). Dalam kalkulus, mempuai ilai ag tak berhigga baaka, aitu merupaka kelipata bilaga bulat. Nilaia dapat ditetuka dari persamaa ta = /, dimaa kuadra memuat titik ag berhubuga dega harus diperhatika. Setiap ilai dari disebut argume dari, da himpua semua ilaia diotasika dega arg. Nilai utama dari arg, diataka dega Arg, adalah ilai tuggal sehigga. Sebagai catata bahwa () arg = Arg + ( =,,, ) Juga, jika bilaga real egatif, Arg mempuai ilai, buka -. r =+i Gambar 5 Cotoh. Bilaga kompleks i, terletak dikuadra ketiga da mempuai argume utama -/4, aitu Arg i ; 4 da dari sii diperoleh arg 4 i ( =,,, ) 6

17 Pegguaa simbol e i, atau ep(i) adalah didefiisika dega rumus Euler utuk setiap bilaga real dari melalui () e i = cos + i si, kita dapat meuliska betuk polar pada persamaa () dalam betuk ekspoesial melalui (4) = r e i Cotoh. Bilaga --i dalam cotoh mempuai betuk ekspoesial (5) i epi 4 Dega perjajia bahwa e -i = e i(-) 4, kita dapat juga meuliska i e. Persamaa (5) haa salah satu dari sejumlah tak berhigga kemugkia utuk betuk ekspoesial dari i ; (6) i epi ( =,,, ). 4 Sekarag padag suatu titik = re i, terletak pada suatu ligkara ag berpusat di titik asal da dega jari-jari r (gambar 6). aka meigkat, kalau digeraka megeliligi ligkara dega arah berlawaa dega arah jarum jam. Khususa jika diaika sampai, sampai dititik asal; da sama jika dituruka sampai dega. i =re i r Gambar 6 7

18 Oleh karea itu, dari gambar 6 meujukka bahwa dua bilaga kompleks tak ol r e da r e i i adalah sama jika da haa jika r = r da = +, dimaa suatu bilaga bulat ( =,,, ). Sebagai catata, ilai dari e i dega jelas terlihat pada gambar 6. Dega merujuk pada rumus Euler (persamaa ()) dimaa r = da adalah suatu kelipata bilaga bulat dari /. Utuk kasus ii, secara geometri dapat diselidiki i i e, e i, da e -i4 =. Gambar 6, dega r = R, juga meujukka bahwa persamaa (7) = Re i ( ) adalah meataka suatu persamaa parameter dari suatu ligkara = R, ag berpusat dititik asal da berjari-jari R. Melalui persamaa parameter dalam gambar 6. aik dari = pada iterval, titik mulai dari sumbu real positif da melewati ligkara dega arah berlawaa dega jarum jam. Secara umum, ligkara =R, mempuai pusat di da berjari-jari R, mempuai persamaa parameter (8) = + Re i ( ). Re i Gambar 7 Hal ii dapat ditujukka dega vektor (gambar 7) dega catata bahwa suatu titik melalui ligkara =R dega arah berlawaa jarum jam ag berkorespodesi 8

19 dega jumlah suatu vektor tetap da suatu vektor dega pajag R da mempuai sudut ag berubah-ubah dari = sampai dega =. 6. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DALAM BENTUK EXPONENSIAL Telah kita ketahui dalam trigoometri sederhaa e i merupaka sifat pejumlaha ag sudah umum dari fugsi ekspoesial dalam kalkulus : e cos isi cos i i i e si = cos cos si si isi cos cos si i = cos i si i i Jadi, jika r e da r e () Selai itu, r e r e i i r r e e, perkalia mempuai betuk epoesial i e i r r e i () r e r e i i i i e i i i re r e e r e r Karea, = e i, maka dari persamaa () ivers dari suatu bilaga kompleks tak ol =re i adalah () e r i Persamaa (), () da () adalah mudah diigat dega megguaka hukum aljabar utuk bilaga real dari e. Hasil lai ag sagat petig ag dirumuska dega megguaka atura dari bilaga real adalah (4) = r e i ( =,,, ). Utuk bilaga bilaga bulat positif, persmaa (4) sagat mudah dibuktika dega megguaka iduksi matematika. Utuk bukti secara rici, kita mulai dega = re i utuk =. Selajuta, misalka bear utuk = m, dimaa m suatu bilaga bulat 9

20 positif. Dari persamaa () utuk perkalia dua bilaga kompleks tak ol dalam betuk ekspoesial, maka bear utuk = m+; m+ = m = re i r m e im = r m+ e i(m+) Persamaa (4) telah dibuktika utuk bilaga bulat positif. Juga Persamaa (4) bear utuk =, aki =. Jika = -, -, -,, pada hal lai, kita defiisika betuk sebagai perkalia ivers dari dega meuliska m, dimaa m = - =,,, Maka, dari persamaa (4) adalah bear utuk pagkat bilaga bulat positif, dari sii betuk ekspoesial pada persamaa () dari - diperoleh e r m m i r im i i r e e r Persamaa (4) telah dibuktika utuk semua pagkat bilaga bulat. Jika r = pada persamaa (4) maka diperoleh e ( = -, -, ) i i (5) Jika kita tuliska dalam betuk e e ( =,,, ). (6) cos isi cos i si ( =,,, ) Persamaa ii merupaka rumus de Moivre. Persamaa (4) dapat diguaka dalam meghitug pagkat dari bilaga kompleks jika diberika betuk empat persegi pajag da hasila adalah dalam betuk persegi pajag. Cotoh. Rubahlah i 7 dalam betuk empat persegipajag. Kita tuliska 7 i 7 i 7 i i 6 i e e e e 64 i 64 64i Selajuta, sekarag aka dibahas sifat petig ag medasari argume (bagia 5) dari perkalia (7) arg( ) = arg +arg,

21 Persamaa ii diiterprestasika melalui perataa bahwa ilai dari dua argume atau tiga arugume atau argume berilai baak, maka terdapat ilai dari ketiga ilai tersebut sehigga persamaa di atas bear. Kita mulai membuktika persmaa (7) dega memisalka da meataka suatu ilai dari arg da arg masig-masig. Dari persamaa (6.) kita ketahui bahwa + merupaka ilai dari arg( ). (Lihat Gambar 8). Jika pada hal lai, ilai dari arg ( ) da arg diberika, maka ilai ag berhubuga dega pemiliha da diekspresika berikut ii; arg ( ) = ( + ) + ( =,,, ) da arg = + ( =,,, ) karea ( + ) + = ( + ) + ( + ( ) ), Persamaa (7) jelas dipeuhi jika dipilih ilai arg = + ( ) Peelidika ilai dari arg ( ) da arg adalah khusus simetri. + Gambar 8 Persamaa (7) terkadag bear jika ilai arg digati dega Arg (lihat latiha 6). Tetapi, melalui ilustrasi cotoh berikut ii, bahwa tidak selalu bear kasus utuk tersebut.

22 Cotoh. Jika = - da = i, maka Arg ( ) = Arg (-i) = tetapi Arg + Arg = +. Bagaimaapu, kita meetuka ilai dari arg da arg masih tepat diguaka ilai arg ( ) = /, kita dapatka bahwa persamaa (7) dipeuhi. Perataa lai ag aalog dega perataa pada persamaa (7) adalah (8) arg arg arg. Persamaa ii dapat dibuktika dega batua persamaa (). Latiha. Carilah argume utama Arg jika ; i i (b). ; - - i (a). 6 (c). i. Dega meuliska masig-masig faktor dalam betuk ekspoesial da kemudia rubahlah kembali dalam betuk koordiat empat persegi pajag, tujukka bahwa 5i i (a). i i i i; (b). i 7 (c). i 8 i; (d). i i. Tujukka bahwa (a). e i ; (b).e e ;...,,... i i i i (c). e e...e e i i i 4. Selesaika persamaa utuk peelesaiaa secara geometri. e da tujuka 5. Guaka rumus De Moivre utuk meuruka rumus trigoometri berikut : (a). cos = cos - cos si (b). si = cos si - si. 6. Tujukka bahwa jika Re > da Re >, maka Arg( ) = Arg + Arg, dimaa Arg( ) meataka argume utama dari arg( ), da seterusa.

23 7. Tujukka bahwa arg arg arg. 8. Dari bagia, peguraga dari dua bilaga kompleks ag berbeda dapat diiterprestasika dega vektor. (Lihat gambar 9, dimaa meataka sudut ikliasi dari vektor - ). Dega traslasi vektor utuk -, tujukka bahwa ilai dari arg adalah sama dega ilai dari arg(- ). Guaka metode ag sama utuk meujukka bahwa Arg = Arg(- ) jika da haa jika - buka bilaga real egatif Diberika, guaka betuk ekspoesial dari da utuk membuktika bahwa Re jika da haa jika - = ( =,,, ), dimaa = arg da = arg. Gambar 9. Diberika da guaka hasil pada soal o. 9, modifikasi peurua dari ketaksamaa segitiga utuk meujukka bahwa jika da haa jika - = ( =,,, ), dimaa = arg da = arg. Iterprestasika perataa ii secara geometri.. Misalka bilaga kompleks tak ol da suatu bilaga egatif ( = -, -, ). Juga tulis = re i da m = - =,,. Guaka persamaa m = r m e im da

24 - = (/r)e i(-), buktika bahwa ( m ) - = ( - ) m da juga defiisi = ( - ) m dalam bagia 6 dapat dituliska mejadi = ( m ) -.. Buktika bahwa dua bilaga kompleks tak ol da mempuai modulus ag sama jika da haa jika terdapat bilaga kompleks c da c sedemikia sehigga = c c da = c c. (petujuk : ep i ep i ep i juga soal omor bahagia b]. ep i ep i ep i. Buktika bahwa... ( ) ) da [lihat da rumus ii utuk meujukka peurua rumus trigoometri Lagrage +cos +cos + +cos = si si S=... persamaa pertama. ( < < ). (petujuk : Utuk ag pertama, tulis da hitug S S. Utuk ag kedua, tulis = e i dalam 4. Guaka iduksi matematika utuk meujukka rumus Biomial utuk bilaga k k k k Kompleks :,,,) da! =. ( =,, ), dimaa! k k! k! ( k =, 5. Guaka iduksi matematika utuk meujukka rumus De Moivre (pada bagia 6), aki cos isi cos isi,, ). dimaa adalah bilaga bulat positif ( = 6. (a). Guaka rumus Biomial (soal No. 4) da rumus De Moivre (lihat soal o. 5) da tulis cos isi cos k i si k k k ( =,, ). Maka defiisika bilaga bulat m dega, m = - jika geap jika gajil da jumlah di 4

25 atas utuk meujukka (badigka dega soal 5 (a)) m cos k k k k k cos si ( =,, ). (b). Tulis = cos da misalka bahwa, dalam kasus ii -. Bagaimaa merubah betuk hasil terakhir pada bagia (a) bahwa setiap fugsi cos cos T variabel. 7. AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS ( =,,, ) adalah poliom berderajat dalam Betuk = r e i pada bagia 6 utuk pagkat bilaga bulat dari bilaga kompleks = re i adalah diguaka utuk meemuka akar pagkat dari setiap i bilaga kompleks tak ol = r e, dimaa salah satu dari =,,. Metode awal utuk meelidiki suatu akar pagkat dari adalah dega memisalka suatu bilaga = re i tak ol sedemikia sehigga =, atau i i r e r e. Sekarag, berdasarka perataa pada bagia 5 tetag kesamaa dua bilaga kompleks, diperoleh r = r da = + k, dimaa k suatu bilaga bulat (k =,,, ). Jadi r r, hal ii meataka ketuggala akar pagkat dari bilaga real positif r, da k Akibata, bilaga kompleks k (k =,,, ) = k r epi (k =,,, ) adalah akar pagkat dari. Kita dapat melihat dega jelas dari betuk epoesial di atas bahwa semua akar-akara terletak pada ligkara r ag berpusat dititik 5

26 asal. da setiap titika adalah sama dega / radia dari asala, mulai dari argume /. Maka jelas bahwa semua akara ag berbeda dapat diperoleh jika k =,,, -, da ilai akar ag lai dari k tidak diambil. Kita misalka c k (k =,,, -) meataka akar ag berbeda da ditulis k () c k r epi (k =,,, -). Bilaga r adalah pajag dari setiap jari-jari vektor akar pagkat. Akar pertama c mempuai argume /; da akar pagkat jika = terletak berhadapa titik akhira dari suatu diameter ligkara r, serta akara ag kedua c. Jika, akara terletak dititik sudut segi beratura ag dituliska dalam ligkara. Kita misalka merupaka himpua akar ke- dari. Khususa, jika adalah bilaga real positif r, simbol r meataka himpua semua akar-akara; da simbol r ag diguaka dalam persamaa () haa utuk akar positif. Jika ilai ag diguaaka pada persamaa () adalah ilai utama dari argume, bilaga c kita sebut akar utama. Selajuta, jika adalah bilaga real positif r maka akar utamaa adalah r. Akhira, salah cara utuk megigat persamaa () kita tulis dalam betuk ekspoesial ag sudah diketahui (badigka cotoh. bagia 5). = r ep[i( + k)] (k =,,, ) da kita guaka sifat umum ekspoesial ag ada pada bilaga real, bahwa terdapat buah akar; r ep i k 6

27 r i k ep k r epi (k =,,, -). Cotoh. Dalam uruta utuk meetuka akar pagkat dari, kita tulis = ep [i( + k)] (k =,,, ) da diperoleh () k k i epi (k =,,, ). Jika =, maka jelas bahwa akar-akara adalah. Jika, akar-akara terletak dititik sudut poligo ag beratura dalam ligkara satua =, dega titik sudut ag pertama merupaka akar utama = (k =). Jika kita tulis () w epi maka dari persamaa (5) bagia 6, da sifat e i bahwa w k k ep i (k =,,, ) Jadi diperoleh akar pagkat ag berbeda dari adalah, w, w,..., w. Perhatika gambar, dimaa utuk kasus =, 4 da 6 diilustrasika. Perlu dicatat bahwa w =. Terakhir, hal ii aka bermafaat jika c merupaka akar pagkat dari bilaga kompleks tak ol, maka himpua dari akar pagkat diperoleh dalam betuk c, cw, cw,..., cw. 7

28 Hal ii disebabka karea perkalia dari bilaga kompleks tak ol dega w mempuai argume ag aik dega peambahaa sebesar / sedagka modulusa tidak berubah. w w 4 w6 w 6 w w 4 w 4 w 6 4 w 6 5 w 6 Cotoh. Misalka aka dicari semua ilai dari 8i, atau aka dicari akar pagkat tiga dari 8i. Pertama-tama kita tulis maka akar-akara adalah i 8i 8ep k k (4) c epi k 6 (k =,,, ) (k =,, ) Akar-akar ii terletak pada titik sudut segitiga sama sisi ag terletak dalam ligkara =, da jarak atara setiap titik megeliligi ligkara sebesar / radia, ag dimulai dari akar utama (lihat gambar ) c i cos isi i ep Gambar c c c Gambar 8

29 Dega tapa meghitug lebih lajut, maka aka diperoleh c = i; da c simetri dega c pada sumbu imajier, kita ketahui bahwa c i. Jadi, akar-akara dapat ditulis c, c w, c w, dimaa w i (rigkasa, lihat bagia akhir cotoh ) Latiha ep. Carilah akar kuadrat dari (a). i; (b). i da ataka dalam betuk koordiat empat persegi pajag.. Dalam setiap kasus, carilah semua akara dalam betuk koordiat empat persegi pajag, gambarka pula hasila dalam betuk geometri. : (a) ( c ). 8 ; (d) i. ; (b). -6 ;. Misalka = re i suatu bilaga kompleks tak ol da bilaga bulat egatif ( = -, -, ). Maka defiisika m dega m m, dimaa m = -. Tujukka bahwa.tujukka pula bahwa m. (badigka dega soal o. latiha ). 4.(a). Misalka a meataka suatu bilaga real tetap, da tujukka bahwa dua akar kuadrat dari a + i adalah epi, dimaa A a, da Arga i (b).dari rumus trigoometri A. cos cos, cos s i. Tujukka bahwa akar kuadrat pada bagia (a) dapat ditulis A a i A a. 5. Dari bagia 7., akar pagkat tiga dari bilaga kompleks dapat ditulis c, c w, c w, dimaa c akar utama dari da w = epi i. Tujukka 9

30 bahwa jika = 4 i; maka c i 4 da dua akar pagkat tiga ag i i laia c w, c w. 6. Carilah akar pagkat 4 dari persamaa = da faktorka dalam faktor kuadrat dega koefisiea bilaga real. 7. Tujukka bahwa jika akar pagkat dari c adalah sama dega satu, tetapi c tidak sama dega satu, maka c c... c (petujuk : guaka rumus pertama pada latiha. omor ) 8. (a). Buktika bahwa peelesaia dari persamaa kuadrat a +b+c = (a), dimaa a, b da c adalah bilaga kompleks. Khususa dega pelegkapa b b 4ac kuadrat pada bagia kiri turuka rumus kuadratik. a Dimaa kedua akar kuadrata adalah b 4ac. (b). Guaka hasil pada bagia (a) utuk mecari akar dari persamaa ++(-i)= 8. DAERAH DALAM BIDANG KOMPLEKS Dalam bagia ii, kita aka memperkealka himpua dari bilaga kompleks atau titik dalam bidag, da berhubuga sagat dekat atara satu dega ag laia. Kami aka meperkealka kosep dasar dari suatu ligkuga () dari suatu titik ag diberika. Ligkuga dari terdiri dari semua titik dalam ligkara ag berpusat di da berjari-jari tetapi buka pada ligkara tersebut. (gambar ). Jika ilai dari diketahui, maka himpua pada persamaa (8.) serig juga disebut suatu ligkuga. Berdasarka hal di atas maka dapat juga diketahui suatu ligkuga peghilaga dari () <

31 ag terdiri dari semua titik dalam suatu ligkuga dari kecuali titik itu sediri. Gambar Suatu titik dikataka titik dalam (titik iterior) dari suatu himpua S jika terdapat suatu ligkua dari ag haa memuat titik-titik di S; disebut titik luar (titik eksterior) dari S jika terdapat ligkuga dari ag tidak memuat titik-titik di S. Jika buka titik dalam atau titik luar dari S maka disebut titik batas dari S. Jadi titik batas adalah semua titik ag ligkugaa memuat titik di S da titik ag buka di S. Kumpula semua titik batas disebut pembatas (boudar) dari S. Ligkara =, merupaka pembatas dari setiap himpua () da. Suatu himpua dikataka terbuka jika himpua tersebut tidak memuat titik batas. Sebagai latiha dapat ditujukka bahwa suatu himpua dikataka terbuka jika da haa jika setiap titik-titika merupaka suatu titik dalam. Suatu himpua dikataka tertutup jika memuat semua titik batas; da peutup (closure) dari suatu himpua S adalah himpua tertutup ag terdiri dari semua titik di S bersama-sama dega pembatas dari S. Sebagai catata bahwa pada persamaa (8.) ag pertama adalah himpua terbuka da ag kedua adalah himpua tertutup. Suatu himpua boleh jadi tidak terbuka atau tidak tertutup. Utuk himpua ag tidak terbuka harus terdapat suatu titik batas ag dimuat oleh himpua tersebut; da suatu himpua dikataka tidak tertutup jika tidak memuat suatu titik batas dari himpua tersebut. Sebagai cotoh dapat diselidiki bahwa cakram tidak

32 terbuka da juga tidak tertutup. Himpua dari semua bilaga kompleks adalah terbuka da juga tertutup sebab tidak mempuai titik batas. Suatu himpua terbuka S dikataka terhubug jika setiap pasag titik-titik da dapat dihubugka oleh garis patah, ag terdiri dari sejumlah higga peggal garis ag dihubugka dari awal sampai akhir da semuaa terletak dalam S. Himpua terbuka adalah terhubug. Himpua adalah terbuka da juga terhubug. (lihat gambar ). Suatu himpua terbuka ag terhubug disebut domai. Sebagai catata bahwa setiap ligkuga adalah domai. Suatu domai bersama-sama dega sebagia atau seluruh titik batasa disebut daerah. Gambar Suatu himpua S dikataka terbatas jika setiap titika terletak dalam suatu ligkara R ; selai itu dikataka tak terbatas. Kedua himpua pada persamaa () adalah daerah ag terbatas, da setegah bidag Re adalah tidak terbatas. Suatu titik dikataka titik akumulasi dari himpua S jika setiap ligkuga peghilaga dari memuat palig sedikit satu titik dari S. Dari sii, jika suatu himpua adalah tertutup, maka memuat semua titik-titik akumualsi. Jika suatu titik akumulasi buka titik di S, maka tetulah titik tersebut merupaka titik batas dari S; tetapi bertetaga dega keataa bahwa suatu himpua tertutup memuat semua titik batas. Hal ii dapat ditujukka pada latiha bahwa sebalika perataa ii juga adalah bear.

33 Selajuta, suatu titik adalah buka suat titik akumulasi dari suatu himpua S jika terdapat suatu ligkuga peghilaga dari ag tidak memuat titik di S. Sebagai catata bahwa titik ol saja ag merupaka titik akumulasi dari himpua = i/, ( =,, ). Latiha. Gambarlah himpua berikut da tetuka ag maa merupaka domai. (a). i ; (b). 4; (c).im ; (d).im (e). arg, ; (f) Yag maa himpua pada soal o. ag tidak buka atau tidak tutup?. Yag maa himpua pada soal o. ag terbatas? 4. Dalam kasus ii, gamabarlah peutup dari himpua: (a). arg, ; ( b). Re ; (c). Re ; (d). Re. 5. Misalka S adalah himpua terbuka ag terdiri dari semua titik sehigga atau. Apakah S tidak terhubug? 6. Tujukka bahwa himpua S adalah terbuka jika da haa jika setiap titik di S adalah titik iterior. 7. Tetuka titik akumulasi dari setiap himpua berikut : (a). i ( b)., (,,...); (c). arg, i ( d)., (,,...). ; i ( =,, ); 8. Buktika bahwa jika suatu himpua memuat setiap titik akumulasi, maka himpua tersebut tertutup. 9. Tujukka bahwa setiap titik pada daerah adalah titik akumulasi dari domai.

34 . Buktika bahwa suatu himpua higga dari titik-titik,,, tidak mempuai titik akumulasi. 4