Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Kalkulus Rekayasa Hayati DERET"

Hartono Darmadi
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1

2 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2

3 Kompetesi Dasar Setelah megikuti kuliah, peserta dapat membedaka atara baris da deret, beberapa deret positif da deret gati tada yag populer, da meetuka kekovergea deret tersebut. 3

4 PENDAHULUAN Seorag filsuf dari Yuai Zeo of Elea ( BC) megemukaka race course paradox b 1,,,,,,, 1 1/2 Apakah pelari sampai garis fiish? 4

5 Cotoh: Udia utuk medapat Uag Belaja setiap tahu sampai duia kiamat. - Apakah tidak perah stop? - Yag maa yag palig megutugka? Piliha I: B=Rp B B B B B B,,,,,,, Piliha II: C=Rp C C C C C C,,,,,,,

6 Apakah barisa ,,,,,,, ,,,,,,, b c b da c koverge? b c b Apakah deret da c koverge? 6

7 Kekovergea Baris: Barisa a koverge ke L atau lim a L jika utuk setiap ε terdapat bilaga positif N sehigga utuk N, a L. Barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga disebut Diverge 7

8 Sifat-sifat limit barisa yag koverge 1.lim k k, 2.lim ka k lim a, a Misal da adalah barisa koverge da K adalah kostata. 3.lim a b lim a lim b, 4.lim a b lim a lim b, a lim a 5.lim, asalka lim b 0. b lim b b 8

9 Teorema Apit: a Jika da barisa yag koverge ke L da b c a b c, utuk K, maka koverge juga ke L. Cotoh: Tetuka kekovergea barisa koverge ke 0. 3 si Teorema limit mutlak: Jika lim a 0 lim a 0 maka 9

10 Teorema Barisa Mooto: Jika a barisa tak turu da U adalah batas atas dari barisa tersebut, maka barisa a aka koverge ke suatu limit A, da A U. U Jika a barisa tak aik da U adalah batas bawah dari barisa tersebut, maka barisa suatu limit A, da A U. a U aka koverge ke 10

11 DERET TAK-HINGGA k1 a a a a k Jumlah parsial: S S S 1 2 a a 1 a 1, a a S 2, a a 11

12 Defiisi kekovergea deret Deret tak-higga a k k1 mempuyai jumlah S jika barisa jumlah parsial S koverge ke S. koverge da Teorema kedivergea deret Deret tak-higga ak koverge maka lima 0 k1 k k lima 0 Jika maka deret diverge. k k a k k1 12

13 Beberapa Deret yag populer Deret geometri: k1 k1 2 3 ar a ar ar ar... dega a S rs a ar ar ar r a ar ar ar a ar, S a ar 1 r, r < 1 deret koverge S= lim S r 1 deret diverge a 1 r 13

14 Deret Harmoik: k 2 3 k S S= lim S deret diverge 14

15 Deret Kolaps/Telescopig Deret k1 a k b k a yag tiap sukuya dapat dibetuk mejadi S k b k1 ( b k1 k, k=1,2,3, sehigga b 1) b k 1 b Kekovergea deret tergatug pada lim S 15

16 Deret p: Uji Itegral: k p 2 p 3 p 4 p k Jika f fugsi kotiu, positif da tak aik pada selag [1, ) da adaika a k f ( k) utuk semua bilaga positif k maka k1 a k koverge jika haya jika 1 f ( x) dx koverge p > 1 deret koverge, p 1 deret diverge 16

17 Sifat-sifat deret koverge Jika da b keduaya koverge da c a k k1 k 1 adalah kostata, maka da k ca da ( a b ) koverge k k k k1 k1 1. ca c a, k k1 k1 2. ( a b ) a b. Sifat deret diverge k 1 k k k k k 1 k 1 k 1 Jika a diverge da c 0 maka ca diverge. k k k 1 k 17

18 UJI KEKONVERGENAN DERET 1. a merupaka deret terkeal: 1.Deret Geometrik: r < 1 koverge, r > 1 diverge 2. Deret Harmoik: diverge 3. Deret yag Megecil (collapsig series) 4. Deret-p: p > 1 koverge, p 1 diverge S a 1 r 18

19 2. Uji suku ke- utuk divergesi Jika lim a 0 atau tidak ada maka diverge. 3. Jika a deret positif 1. Uji jumlah terbatas 2. Uji Itegral 3. Membadigka dega deret lai yag terkeal - Uji Perbadiga Biasa - Uji Perbadiga Limit 4. Membadigka suku-suku sediri - Uji Rasio 19

20 4. Deret Bergati Tada 5. Membadigka dega a 1. Kovergesi Mutlak: Jika a koverge maka a 2. Uji Rasio Mutlak 3. Kovergesi bersyarat 6. Susu Ulag a koverge tapi a diverge koverge 20

21 Membadigka dega deret lai yag terkeal (sudah diketahui kekovergeaya) Uji Perbadiga Biasa: Adaika 0 a b, utuk N, 1. Jika b koverge maka a koverge 2. Jika a diverge maka b diverge 21

22 Uji Perbadiga Limit: Adaika a b 0, >0, da a lim b L 1. Jika 0 < L < maka a da b sama-sama koverge atau diverge. 2. Jika L=0 da b koverge maka a koverge 22

23 Membadigka suku-suku sediri Uji Rasio: Jika a adalah deret positif da a lim a 1 1. Jika ρ < 1 maka deret koverge. 2. Jika ρ > 1 atau ρ = maka deret diverge. 3. Jika ρ = 1 maka tidak ada kesimpula (harus cari uji lai) Guaka uji ii jika a melibatka!, r atau 23

24 Uji deret bergati tada: Misalka adalah deret bergati tada dega Jika lim a 0 a a a a maka deret tersebut koverge. a a Cotoh: tujukka deret koverge ( 1)

25 Uji Rasio Mutlak: Jika u adalah deret dega suku-suku takol da lim u 1 u 1. Jika ρ < 1 maka deret koverge mutlak. 2. Jika ρ > 1 atau ρ = maka deret diverge. 3. Jika ρ = 1 maka tidak ada kesimpula (harus cari uji lai) 25

26 DERET PANGKAT Deret fugsi u( x) Cotoh: si( x) si x si 2x si 3x Pertayaa petig: 1. Utuk x yag bagaimaa deret aka koverge? 2. Pada fugsi yag bagaimaakah deret tersebut aka koverge? Atau berapa S(x) dari deret? Deret Pagkat: 1 a x a a x a x a x

27 Himpua kevergesi: Himpua x dimaa sebuah deret pagkat aka koverge. Himpua kovergesi utuk deret pagkat berupa salah satu dari 3 jeis selag berikut: (1). Titik tuggal x = 0 ax (2). Selag (-R,R) dega/tapa 2 titik ujug selag (harus dicek di titik ujug selag) (3). Seluruh garis bilaga Real. Jari-jari kekovergea: (1) 0 (2) R (3) 27

28 Cotoh: x ( 1) Tetuka himpua kekovergea ya. 2. Tetuka jari-jari kekovergeaya. 28

29 Deret Pagkat: 1 a ( x a) a a ( x a) a ( x a) a ( x a)... Himpua kovergesiya berupa salah satu dari 3 jeis selag berikut: (1). Titik tuggal x = a (2). Selag (a-r,a+r) dega/tapa 2 titik ujug selag (harus dicek di titik ujug selag) (3). Seluruh garis bilaga Real. 29

30 Pediferesiala da pegitegrala pada deret pagkat Misal S(x) adalah jumlah deret pagkat pada selag I S( x) a a x a x a x Jika x berada dalam selag I, maka S '( x) D a x a 2a x 3 a x... x a x 1 30

31 x 2. S( t) dt a t dt a x a x a x a x x a x Mafaat: - Medapatka deret baru dari deret pagkat yag ada - Melakuka hampira ilai dari fugsi di suatu titik. Cotoh: x x x ta x x... Dari maa? 31

32 ta Igat: 1 x x t 2 dt Dari deret geometri terhadap x, dimaa: k1 Gati x dega k x 1 x x x... 1 x 1 1 t 1 1 t t sehigga t t t... x x x x ta x x... S t t t... dt a 1 r x 32

33 Cotoh: Tetuka deret pagkat dari x 1 1. f ( x) e 1 x x 2. f ( x) l(1 e ) 33

34 DERET TAYLOR DAN DERET MACLAUREN Deret pagkat yag terkeal adalah Deret Taylor da Deret Maclauri. Deret Taylor adalah deret pagkat dalam x-a dega koefesieya adalah koefesie poliom Taylor. f ( x) Jika f memeuhi c0 c1( x a) c2( x a) c3( x a) utuk semua x di sekitar a, maka. c 2 f ( ) ( a)!

35 Kekovergea deret Taylor: Deret Taylor: f ( a) f '( a)( x (3) f ( a) ( x a) 3! f ''( a) a) ( x 2! 3... a) meggambarka fugsi f sebearya pada selag (a-r,a+r) jika lim R ( x) 0 ( 1) dega f ( c) 1 R( x) ( x a) ( 1)! 2 (suku sisa) di maa c titik atara x da a. 35

36 Deret Maclauri yag petig: 1 1 x x x... 1 x x x x l(1 x) x x x x ta x x e x 1 x x x x... 2! 3! 4! 36

37 x x x si x x... 3! 5! 7! x x x cos x ! 4! 5! x x x sih x x... 3! 5! 7! x x x cosh x ! 4! 5! p p p p (1 x) 1 x x x... 37

dokumen-dokumen yang mirip

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga