SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL"

Djaja Iskandar
6 tahun lalu
Tontonan:

1 SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas Riau Kampus Bia Widya 89 Idoesia ABSTRACT Iterval set is a set from a object whose elemets cosist of itervals. A set of all oe-tooe ad oto mappigs from iterval set to the other for all with compositio operatio which from a semigrup is called iterval semigroup. I this paper some symmetric semigroup o certai itervals were discused. Some of the properties discused were isomorphic S-iterval symmetric semigroup S-weakly cyclic iterval symmetric semigroup ad S-weakly commutative iterval symmetric semigroup which are expressed i some theorems. Keywords: Iterval Himpua Iterval Semigrup Iterval Smaradache. PENDAHULUAN Struktur Aljabar adalah suatu bidag ilmu dalam bidag matematika yag sagat petig karea ilmu ii sagat erat hubugaya dega ilmu yag lai. Struktur aljabar merupaka suatu himpua dega satu atau lebih operasi-operasi pada himpua. Himpua tersebut disebut himpua dasar dari struktur aljabar. Himpua merupaka kumpula dari suatu objek. Yag masig-masig objek disebut eleme atau aggota atau usur dari himpua. Operasi bier merupaka suatu fugsi dari S S ke S yag membawa setiap ( a b) S S ke a b S yag tuggal. Suatu himpua S dega operasi bier da bersifat assosiatif disebut semigrup. Jika semigrup memiliki idetitas maka disebut dega mooid da jika setiap usur mooid mempuyai ivers disebut dega grup. Semigrup iterval adalah himpua semua pemetaa satu-satu da pada dari himpua iterval ke himpua iterval utuk semua dega operasi komposisi membetuk semigrup. Dalam tulisa ii dibahas Sifat-Sifat Semigrup Simetris Iterval yag diambil dari buku yag berjudul Iterval Semigroup karaga W.B. Vasatha Kadasamy da Floreti Smaradache.. INTERVAL DAN SEMIGRUP INTERVAL Kosep-kosep yag aka dibahas dalam karya tulis ii merupaka materi-materi pedukug yag diambil dari beberapa referesi yaitu [] [] [] [] da [].

2 Defiisi Himpua Himpua merupaka kumpula dari suatu objek. eleme atau aggota atau usur dari himpua. Yag masig-masig objek disebut Defiisi Operasi Bier Operasi bier merupaka suatu fugsi dari S S ke S yag membawa setiap ( a b) S S ke a b S yag tuggal. Dalam hal ii biasaya operasi bier ditadai dega. Jadi terdapat pemetaa *: S S S. Utuk sepasag ( a b) di S S. Defiisi Iterval Jika a b memeuhi maka dapat ditulis didalam himpua ( ) { } Titik a da b disebut titik ujug pada iterval tetapi tidak termasuk di iterval terbuka. Jika titik ujug termauk didalam iterval terbuka maka diperoleh iterval tertutup yag ditetuka oleh a da b yaki di himpua - { } Misalka adalah suatu iterval da sifat yag jelas dari iterval adalah bahwa jika dua titik x da y dega maka setiap titik diatara selag tersebut juga termasuk dalam I yaitu x y. Defiisi Semigrup Suatu himpua S dega operasi bier da bersifat asosiatif disebut semigrup. S dikataka asosiatif terhadap operasi bier * jika x *( y * z) ( x* y) * z x y z S Defiisi Grup Simetris Misalka A adalah himpua tak higga... Semua permutasi grup dari A adalah grup simetris di da ditadai dega S. S mempuyai eleme! dimaa! ( )( )...()()() Defiisi Siklik Suatu grup G disebut siklik jika terdapat eleme g G meujukka bahwa G g Z. Eleme g disebut pembagu dari grup siklik.

3 Defiisi 7 Bijektif Misalka : A B jika B (A) maka disebut surjektif atau oto. Jika : A B jika ( ) ( ) megakibatka maka disebut ijektif atau satu-satu. Jika : A B adalah keduaya surjektif da ijektif maka disebut bijektif. Defiisi 8 Isomorphis Pemetaa : G G' adalah isomorpis jika. adalah bijektif da. ( a* b) ( a)* ( b) Jika isomorpis dari G G' maka G adalah isomorpis ke G '. Defiisi 9 Permutasi Suatu permutasi dari himpua A adalah fugsi pemetaa dari A ke A satu-satu da pada. Dega kata lai permutasi dari A adalah fugsi satu-satu dari A pada A. Cotoh : Misalka himpua A S. Jadi bayakya permutasi adalah!. Dega operasi komposisi didapat : S tertutup Utuk meetuka tertutup selajutya dega cara yag sama dapat dilihat pada Tabel..

4 asosiatif. Maka S adalah semigrup. Utuk meetuka asosiatif selajutya dega cara yag sama dapat dilihat pada Tabel.. Tabel. Defiisi 0 Semigrup Iterval Misalka S a 0 i ai Z;. S adalah semigrup operasi pejumlaha modulo. S adalah semigrup iterval pejumlaha modulo. Cotoh : Misalka S ). Tertutup S adalah semigrup iterval pejumlaha. Tabel

5 ). Asosiatif x *( y * z) ( x* y) * z Dari tabel. da pembuktia asosiatif didapat bahwa S adalah semigrup iterval terhadap operasi pejumlaha. Didalam buku karaga W.B Vasatha Kadasamy da Floreti Smaradache tidak ada defiisi megeai Smaradache tetapi ada pejelasaya. Maka dari pejelasa itu aka dibuat pegertia tetag Smaradache yag tidak megubah arti dari yag ada dibuku. Semigrup S dikataka Smaradache semigrup (S-semigrup) jika S mempuyai subgrup sejati dari subsemigrup S dega megguaka operasi da juga S membetuk grup. Jika setiap subgrup simetris iterval dibagu oleh satu usur maka disebut S-semigrup simetris iterval siklik da jika terdapat satu subgrup simetris iterval yag tidak siklik maka disebut S-semigrup simetris iterval siklik lemah. Jika palig sedikit haya satu komutatif dari subgrup simetris iterval maka disebut S-semigrup simetris iterval komutatif lemah [].. SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Pada bagia ii aka dibahas megeai beberapa sifat-sifat semigrup simetris iterval yag terdapat didalam buku yag berjudul Iterval Semigrup karaga W.B. Vasatha Kadasamy da Floreti Smaradache. Defiisi Semigrup Simetris Iterval Misalka X a 0 a... 0 adalah himpua iterval utuk setiap buah iterval 0 berbeda. η : adalah pemetaa iterval jika η - [ ]; Misalka S X : X +. S X a adalah koleksi dari semuapemetaa itervaldari X X atau S( X ) X dega operasi komposisi dari pemetaa adalah semigrup yag disebut dega semigrup simetris iterval. Dapat diilustrasika dega cotoh. Cotoh : Misalka X 0 0 himpua semua pemetaa dari X X adalah : adalah himpua iterval dega dega ( -) = - da ( -) = -

6 : dega ( -) = - da ( -) = - : dega ( -) = - da ( -) = - : dega ( -) = - da ( -) = - sehigga diperoleh ( ) * + da X pemetaa semigrup simetris iterval. Maka bayakya aggota X S dega operasi komposisi pada S adalah. Dalam skripsi ii S (X ) adalah semigrup simetris iterval dega X a 0 a... 0 dega a a i j i j yag bayak aggotaya. 0 a Teorema. Misalka X. Maka S adalah isomorfis dega X i j S adalah semigrup simetris di himpua * + da S semigrup simetris iterval di himpua * S. Bukti: Semigrup simetris S mempuyai aggota simetris iterval S X dega * juga i... da. Bayakya aggota dari semigrup 0a x dega. i i S adalah himpua semua pemetaa dari (... ) kediriya sediri yag asosiatif pada setiap i utuk X ; i. Karea bayak aggota dari S () adalah da (X ) i S adalah maka dapat dibuat pemetaa atau korespode satu-satu atara S () da S (X ) sehigga S () isomorfis dega S (X ). Teorema. Misalka X * Maka X semigrup simetris iterval. S adalah semigrup simetris iterval dega S adalah S- Bukti : Betuk : P( X ) : X X + maka P (X ) adalah subgrup dari subsemigrup sejati S (X ) da dega operasi komposisi berdasarka Defiisi.. P (X ) disebut grup simetris maka S (X ) adalah S- semigrup simetris iterval. Teorema. Misalka X * Maka S X S adalah semigrup simetris iterval dega adalah S- semigrup simetris iterval siklik lemah. Bukti : Dega megguaka Teorema maka diperoleh S (X ) adalah S-semigrup simetris iterval. X maka S yaitu Jika 0 ( X ) 0 0 da dega operasi komposisi maka tidak dapat meetuka siklik lemahya. Jika a 0 a X maka ( X ) S yaitu 0 a 0 a

7 7 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a dega operasi komposisi maka jika : a 0 a P adalah siklik. : a 0 a X 0 a 0 a 0 a maka ( X ) komposisi maka : P adalah siklik a 0 a :... S dega operasi a 0 a dega cara yag sama maka P P da P : P : P : : a 0 a a 0 a a 0 a a 0 a : : : P adalah siklik a 0 a a 0 a a 0 a

8 8 dega cara yag sama P tidak siklik karea terdapat usur dari yag tidak siklik maka S (X ) merupaka S-semigrup simetris iterval siklik lemah. X 0 a 0 a 0 a 0 a maka ( X ) Jika komposisi maka P adalah siklik a 0 a S dega operasi a 0 a 0 a dega cara yag sama maka P P P 7 8 P P adalah siklik. 9 0 P P P a 0 a a 0 a a 0 a a 0 a a a 0 a a 0 a 0 0 a a 0 a P P

9 9 7 8 P P 0 P a 0 a a 0 a 0 a a 0 a a 0 a 0 a a 0 a 0 0 a a 0 a a 0 a a a 0 a 0 0 a a 0 a a a 0 a a 0 a

10 a 0 a dega cara yag sama P da P tidak siklik karea terdapat usur dari P 8 da P 9 yag tidak siklik maka S (X ) merupaka S-semigrup simetris iterval siklik lemah. P P a 0 a a 0 a 0 a a a 0 a 0 0 a a 0 a a 0 a 0 a a 0 a 0 a a a 0 a 0 0 a a 0 a 0 0 a a 0 a a a 0 a jika diteruska maka diperoleh S (X ) yag S-semigrup simetris iterval siklik lemah utuk yag laiya.

11 Teorema. Misalka X S adalah semigrup simetris iterval dega * i j jika. Maka S X adalah haya Smaradache semigrup simetris iterval komutatif lemah. Bukti : Seperti yag telah diuraika dalam bukti Teorema diperoleh : Utuk da dega operasi komposisi maka tidak dapat meetuka komutatif lemahya. Utuk da dega cara yag sama diperoleh P adalah komutatif. Utuk da dega cara yag sama diperoleh P P P P adalah komutatif tetapi P tidak komutatif maka S (X ) haya Smaradache semigrup simetris iterval komutatif lemah. Jika diteruska maka diperoleh S (X ) haya Smaradache semigrup simetris iterval komutatif lemah utuk yag laiya. DAFTAR PUSTAKA [] Bartle Robert G da Doald R. Shrebert Real Aalysis. Joh Wiley & os Ic. New York [] Dorhoff Larry L Applied Moder Algebra. acmilla Publishig CO Ic. New York [] Fraleigh Joh B. A First Course I Abstarct Algebra. Addiso Wesley Publishig Compay. Columbia [] Gilbert Jimmie da Lida Gilbert. 99. Elemets of Moder Algebra. PWS-KENT Publishig Compay. Bosto [] Kadasamy W.B Vasatha da Smaradache Floreti. 0. Iterval Semigrup.

dokumen-dokumen yang mirip

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices