Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Transkripsi

1 Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga real x, y, da z berlaku: A. x + y = y + x A. (x + y) + z = x + (y + z) A3. 0 sehigga x + 0 = x, utuk setiap x A4. x,! w sehigga x + w = 0 A5. xy = yx A6. (xy)z = x(yz) A7. sehigga 0, da x. = x x A8. x, x 0, w sehigga xw = A9. x(y + z) = xy + xz Himpua yag memeuhi aksioma di atas disebut lapaga (terhadap operasi + da.). Diperoleh dari A bahwa eleme 0 adalah tuggal. Eleme w pada A4 juga tuggal da diotasika dega x. Eleme pada A7 uik da eleme w pada A8 juga uik da diotasika dega x Kemudia didefiisika peguraga da pembagia sebagai berikut: x x y = x + ( y) da = xy y Aksioma Uruta Misalka P adalah himpua bilaga real positif, P memeuhi aksioma berikut: B. x, y P x + y B. x, y P x.y B3. x (x = 0) atau (x P) atau (x P) Suatu sistem yag memeuhi aksioma lapaga da aksioma uruta disebut lapaga terurut (ordered field). Sehigga bilaga real adalah lapaga terurut. Begitu juga dega himpua bilaga rasioal merupaka lapaga terurut. Dalam lapaga terurut didefiisika x < y yag berarti x y P. Kita meuliska x y utuk x < y atau x = y. Himpua bilaga real dega relasi < merupaka himpua terurut liear. Berdasarka aksioma uruta diperoleh: a. (x < y) & (z < w) x + z < y + w b. (0 < x < y) & (0 < z < w) xz < yw. Tidak ada x sehigga x < x. a. Utuk membuktika x + z < y + w ukup dibuktika (y + w) (x + z) P. Karea x < y maka y x P Karea z < w maka w z P

2 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Karea y x, w z P maka berdasarka aksioma B diperoleh y x + w z = y + w x z = (y + w) (x + z) P. b. Utuk membuktika xz < yw ukup dibuktika yw xz Karea 0 < x < y maka y x P da x 0 = x P Karea 0 < z < w maka w z P da w 0 = w P Karea y x, y, w z, da w P maka berdasarka B da B diperoleh: w(y x) + x(w z) = yw wx + wx xz = yw xz P. Adaika ada x sehigga x < x. Karea x < x maka x x P. Akibatya 0 P. Kotradiksi dega diketahui P himpua bilaga positif. Jadi pegadaia salah yag bear tidak ada x sehigga x < x. Defiisi (Supremum da Ifimum) : Misalka S.. a * batas atas S, jika x a * utuk setiap x S. a batas atas terkeil dari S, jika (i) a batas atas S (ii) Jika b batas atas maka a b Notasi : a = sup(s) = sup x = sup{x x S} x S 3. * batas bawah S, jika * x utuk setiap x S 4. batas bawah terbesar dari S, jika (i) batas bawah S (ii) Jika d batas bawah maka d Notasi : = if(s) = if x = if{x x S} x S Perhatika ilustrasi berikut: a ε x 0 a Jika a batas atas terkeil, maka utuk setiap ε > 0 aka selalu ada x 0 sehigga x 0 > a ε. Artiya, a ε buka batas atas karea ada x 0 yag ilaiya lebih besar (atas) dariya. x 0 + ε Jika batas bawah terbesar, maka utuk setiap ε > 0 aka selalu ada x 0 sehigga x 0 < + ε. Artiya + ε buka batas bawah karea ada x 0 yag ilaiya lebih keil (bawah) dariya. Dari dua ilustrasi di atas, maka defiisi supremum da ifimum dapat diyataka dalam otasi matematis sebagai berikut:. a batas atas terkeil dari S, jika (i) x S, x a (ii) ε > 0, x 0 S, x 0 > a ε. batas bawah terbesar dari S, jika (i) x S, x (ii) ε > 0, x 0 S, x 0 < + ε

3 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Cotoh Soal : Misalka A da B terbatas. Buktika bahwa sup(a + B) = sup(a) + sup(b) dega A + B = {a + b a A da b B} Jawab : Misal p = sup(a) da = sup(b). Karea p = sup( A). ( i) p a, a A ε.( ii ) ε > 0, a0 A a0 > p da = sup( B). ( iii ) b, b B ε.( iv ) ε > 0, b0 B b0 > Dari (i) da (iii) diperoleh p + a + b, a A da b B. Jadi, p + a + b, a + b A + B.. (*) Jadi p + batas atas dari A + B Dari (ii) da (iv) diperoleh ε > 0, a 0 A da b 0 B sehigga a 0 + b 0 > (p + ) ε. (**) Dari (*) da (**) terbukti bahwa p + = sup(a + B) Aksioma Kelegkapa Setiap himpua bagia dari yag tidak kosog da terbatas di atas mempuyai batas atas terkeil (supremum). Setiap himpua bagia dari yag tidak kosog da terbatas di bawah mempuyai batas bawah terbesar (ifimum)... Bilaga Real yag Diperluas Utuk memperluas sistem bilaga real, maka ditambahka eleme da. Himpua * * baru ii disebut himpua bilaga real yag diperluas. Relasi < diperluas defiisiya pada mejadi < x < utuk setiap x. Kemudia didefiisika x. x + =, x = x. = jika x > 0 x. = jika x > 0 da + =, =.(±) = ±,.(±) = Sedagka operasi tidak didefiisika. Tetapi, 0. = 0. Salah satu keguaa * adalah utuk medefiisika sup(s) da if(s) utuk semua S himpua himpua bagia dari yag tidak kosog S. Jika S tidak terbatas di atas, maka sup(s) = Jika S tidak terbatas di bawah, maka if(s) = Jadi, didefiisika sup( ) =..3. Bilaga Asli da Bilaga Rasioal sebagai Subset dari Bilaga Real Kita telah megguaka simbol buka haya utuk meyataka bilaga asli pertama tetapi juga bilaga real spesial seperti yag dituliska dalam aksioma A7. Pertama, didefiisika bilaga real 3 sebagai + +. Dega demikia kita dapat medefiisika bilaga real yag berkorespodesi dega sembarag bilaga asli. Berdasarka prisip rekursif maka terdapat sebuah fugsi ϕ : yag memetaka bilaga asli ke bilaga real dega defiisi sebagai berikut: 3

4 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si ϕ() = ϕ( + ) = ϕ() + (Catata: meyataka bilaga real pada sisi kaa da bilaga asli pada sisi kiri) Kita harus meujukka bahwa fugsi ϕ adalah fugsi satu-satu. Utuk meujukkaya ukup ditujukka bahwa fugsi ϕ mooto. Aka dibuktika ϕ mooto aik. Artiya, jika p < maka ϕ(p) < ϕ() dega p,. Karea p < maka = p + utuk setiap Aka dibuktika bahwa ϕ(p) < ϕ(p + ) Bukti dega iduksi Utuk =, diperoleh ϕ(p) < ϕ(p + ) = ϕ(p) + Jadi, peryataa bear utuk =. Asumsika peryataa bear utuk = k, yaitu berlaku ϕ(p) < ϕ(p + k) Aka dibuktika peryataa bear utuk = k +, ϕ(p + (k + )) = ϕ((p + k) + ) = ϕ(p + k) + > ϕ(p) + > ϕ(p) Jadi, ϕ(p) < ϕ(p + (k + )). Artiya peryataa bear utuk = k +. Berdasarka iduksi di atas, terbukti ϕ mooto. Dega kata lai, terbukti ϕ satu-satu. Selajutya, juga dapat dibuktika (dega iduksi matematika) bahwa ϕ(p + ) = ϕ(p) + ϕ() da ϕ(p) = ϕ(p) ϕ() Pertama: Misalka =,. Diperoleh ϕ(p + ) = ϕ(p) + ϕ() Utuk = ϕ( p + ) = ϕ( p) + = ϕ( p) + ϕ() Jadi peryataa bear utuk =. Asumsika peryataa bear utuk = k, yaitu ϕ(p + k) = ϕ(p) + ϕ(k) Aka dibuktika peryataa bear utuk = k +, yaitu: ϕ( p+ ( k+ )) = ϕ(( p+ k) + ) = ϕ( p+ k) + = ϕ( p) + ϕ( k) + = ϕ( p) + ϕ( k+ ) Jadi peryataa bear = k +. Berdasarka prisip iduksi, terbukti bahwa ϕ(p + ) = ϕ(p) + ϕ() Kedua: Misalka =,. Diperoleh ϕ(p) = ϕ(p) ϕ() 4

5 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Utuk = ϕ(p) = ϕ(p) = ϕ(p) = ϕ(p)ϕ() Jadi peryataa bear utuk =. Asumsika peryataa bear utuk = k, yaitu: ϕ(pk) = ϕ(p)ϕ(k) Aka dibuktika peryaaa berlaku utuk = k +, yaitu: ϕ( p( k+ )) = ϕ( pk+ p) = ϕ( pk) + ϕ( p) = ϕ( p) ϕ( k) + ϕ( p) = ϕ( p) ( ϕ( k) + ) = ϕ( p) ϕ( k+ ) Jadi peryataa bear = k +. Berdasarka prisip iduksi, terbukti bahwa ϕ(p) = ϕ(p) ϕ() Sehigga ϕ memberika korespodesi satu-satu atara himpua bilaga asli dega subset bilaga real. Artiya ada korespodesi satu-satu atara himpua bilaga asli dega himpua bagia dari bilaga real yag megawetka operasi pejumlaha, perkalia, da relasi <. Jadi dapat dipadag sebagai himpua bagia dari. Dega medefiisika selisih bilaga-bilaga asli, maka diperoleh himpua bilaga bulat yag merupaka subset dari. Kemudia medefiisika pembagia bilaga-bilaga bulat diperoleh himpua bilaga rasioal. Jadi himpua bilaga real isomorf dega,, da. Setiap himpua terurut isomorf dega,, da. Aksioma Arhimedes : Utuk setiap x, ada sehigga x < (Setiap bilaga real yag disebutka, pasti ada bilaga bulat yag lebih besar dariya) Jika x < 0, diambil = 0. Jika tidak demikia, didefiisika himpua S = { k k x}, x 0 Sehigga himpua S mempuyai batas atas yaitu x. Dari defiisi di atas, S tidak kosog karea palig tidak S memuat eleme yaitu x. Karea S tidak kosog da terbatas di atas maka S mempuyai supremum (aksioma kelegkapa). Misalka y = sup(s) Karea y supremum, maka y buka batas atas. Oleh karea itu ada k S sehigga k > y Jika kedua ruas ditambah, diperoleh k+ > y+ > y Karea y supremum, maka k+ S. Karea k + bilaga bulat yag buka eleme S, maka k + > x Jadi dipilih = k +. (ool!!) Akibat : Terdapat suatu bilaga rasioal diatara dua bilaga real sembarag Dega kata lai, jika x < y maka r sehigga x < r < y. Ekuivale, ada korespodesi - 5

6 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Kostruksi bukti : Diketahui x < r < y, berarti diari bilaga, sehigga r = dega x < da y <. Didefiisika himpua S + = y. Dari sii jelas S memiliki batas bawah, yaitu y. Karea S terbatas ke bawah da S tidak kosog maka S memiliki batas bawah terbesar 3, + misalka p = if(s) da p. Karea p S maka p y atau p y. Selai itu p S. p Oleh karea itu p < y atau y >. p p p p Di lai pihak x = y ( y x) < ( y x) < < y. Jadi ( y x) < atau p p < ( y x) y x > > ( y x). Bilaga iilah yag diambil sebagai bilaga bulat yag lebih besar 4 dari (y x) Jika x 0, maka utuk setiap bilaga real (y x) ada sehigga > ( y x) atau y x > < y x Misalka S + = y S karea palig tidak y S. Dari defiisi S tersebut S terbatas ke bawah. Karea S da terbatas ke bawah maka S memiliki ifimum, misalka p = if(s). Karea p S maka p y atau p y Karea p S maka p S. Oleh karea itu, p p < y atau y > Sehigga p p p p < y da x = y ( y x) < = Jadi, p p x < da < y. p Dari sii dipilih r = yag jelas terletak diatara x da y. Jika x < 0, diambil sehigga > x atau + x > 0. Jadi, meurut pembuktia di atas, ada r dega + x < r < y < y + atau x < r < y. Jelas r bilaga rasioal. Pedefiisia ii didasarka pada hipotesis bahwa y palig besar. Jadi, dibetuk himpua dega aggota-aggota bilaga rasioal da berilai lebih besar dari y. Ideya adalah agar himpua mempuyai ifimum, misalka p. 3 Berdasarka Aksioma Kelegkapa 4 Berdasarka Aksioma Arhimedes 6

7 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si.4. Barisa Bilaga Real Barisa bilaga real <x > adalah suatu fugsi yag memetaka setiap bilaga asli ke bilaga real x. Bilaga real l dikataka limit barisa <x > jika utuk setiap ε positif terdapat bilaga N sehigga utuk setiap N berlaku x l < ε. Seara matematis, l = lim x ( ε > 0)( N) ( N)( x l < ε ) Barisa bilaga real <x > disebut barisa Cauhy jika utuk setiap ε positif terdapat bilaga N sehigga utuk setiap, m N berlaku x x m < ε. Jadi x barisa Cauhy ε > 0 N, m N x x < ε ( )( ) ( )( ) m Kriteria Cauhy : Barisa bilaga real <x > koverge 5 jika da haya jika <x > barisa Cauhy. * Notasi limit ii diperluas utuk memasukka bilaga (pada )sebagai berikut. lim x =, jika > 0, N N, x > lim x =, jika > 0, N N, x < Misalka S(l, ε) = {x : x l < ε}, maka l = lim x, jika ε > 0, N, x S(l, ε), N Pada kasus ii l adalah titik limit (luster poit) dari <x >. Jadi titik l dikataka titik limit (Cluster Poit) dari barisa <x > jika ε > 0, terdapat sedikitya satu titik x N sehigga x N l < ε. Bilamaa kosep ii diperluas pada *, l = titik limit dari barisa <x >, jika > 0 terdapat palig sedikit satu titik x N sehigga x N. Jika <x > adalah suatu barisa, didefiisika limit superior sebagai 6 lim x = lim sup x = if sup x = if{sup{ x, x,...},sup{ x, x,...},...} k k 7 3 Simbol lim da lim sup keduaya diguaka utuk limit superior. Bilaga real l dikataka limit superior dari barisa <x > jika da haya jika : (i) ε > 0, k, x k < l + ε (ii) ε > 0 da, k, x k > l ε (ada palig sedikit satu titik x k sehigga x k > l ε Utuk bilaga real yag diperluas adalah limit superior <x > jika da haya jika da terdapat k sedemikia sehigga x k. Bilaga real adalah limit superior <x > jika da haya jika = lim x. Limit iferior didefiisika sebagai lim x = lim if x = sup if x = sup{if{ x, x,...}, if{ x, x,...},...} k k Sifat-sifat: lim x = lim x ) ( ) ) lim x lim x * 3) lim x = l (pada ) l = lim x = lim x 4) lim x + lim y lim ( x + y ) lim x + lim y lim ( x + y ) lim x + lim y 3.5. Himpua Terbuka dalam Bilaga Real Selag buka (a, b) = {x a < x < b}. Notasi B(x, δ) = {y x y < δ} = (x δ, x + δ) meyataka bola yag berpusat di x da berjari-jari δ. Dalam bilaga real, B(x, δ) adalah selag buka. 5 Limitya ada 6 Diatara supremum-supremum tersebut, maakah ifimumya?

8 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Defiisi : Himpua O dikataka terbuka di jika x O, δ > 0 B( x, δ ) O Dega kata lai, x O selalu terdapat selag buka I yag memuat x sehigga I O. Selag buka adalah otoh dari himpua terbuka. Himpua kosog da juga otoh dari himpua terbuka. Jika O da O terbuka maka O O terbuka. Diambil sebarag x O O. Aka ditujukka δ > 0 sehigga B(x, δ) O O. Karea x O O, maka x O da x O. Karea O da O terbuka maka δ, δ > 0 sehigga B(x, δ ) O da B(x, δ ) O. Artiya t x < δ da t x < δ Dega megambil δ = mi(δ, δ ), diperoleh t x < δ < δ da t x < δ < δ Dega kata lai, t B(x, δ) berlaku t B(x, δ ) da t B(x, δ ), dega δ = mi{δ, δ }. Jadi B(x, δ) O da B(x, δ) O. Sehigga B(x, δ) O O. Akibat : Irisa sejumlah berhigga himpua terbuka adalah terbuka. Misal O i, i =,, himpua terbuka. Aka dibuktika Oi terbuka. Maka, x O. x O, i =,, i = i i. δi > 0 Bx (, δi) Oi, i=,,. Bx (, δ) O, δ = mi{ δ }, i=,, Jadi, Oi terbuka. i = Aother versio (alterate sol) : Diambil sebarag x i = i O i i i =, maka x O i dega O i terbuka i. Karea x O da O terbuka, maka terdapat δ > 0 sehigga B(x, δ ) O Karea x O da O terbuka, maka terdapat δ > 0 sehigga B(x, δ ) O Demikia seterusya. Karea x O da O terbuka, maka terdapat δ > 0 sehigga B(x, δ ) O Diambil δ = mi{δ, δ,..., δ }, jelas bahwa δ > 0. Maka B(x, δ) B(x, δ i ) O i, i =,,, yag berakibat bahwa Bx (, δ ) Oi. Jadi terbukti bahwa Oi terbuka i = Kovers dari proposisi di atas diberika pada proposisi sebagai berikut i = 8

9 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Proposisisi : Setiap himpua terbuka di merupaka gabuga terhitug dari selag-selag terbuka yag salig asig. Misalka O sebarag himpua terbuka di. Karea O terbuka, maka utuk setiap x O terdapat y > x sedemikia sehigga (x, y) O. Misalka b = sup {y (x, y) O}, da a = if {z (z, x) O} maka a < x < b da I x = (a, b) adalah selag terbuka yag memuat x. Klaim I x O. Diambil sebarag w I x, sebut x < w < b, berdasarka defiisi b di atas, maka diperoleh bilaga y > w sehigga (x, y) O. Jadi w O. Klaim b O. Adaika b O, maka ada ε > 0 sehigga (b ε, b + ε) O atau (x, b + ε) O. Kotradiksi dega defiisi b. Seara sama dapat dibuktika bahwa a O. Himpua {I x }, x O merupaka koleksi selag-selag buka. Karea setiap x di O termuat di I x da setiap I x termuat di O, diperoleh O = Ix. Misalka (a, b) da (, d) sebarag dua selag di O dega beberapa titik yag sama. Maka haruslah < b da a < d. Karea O, maka (a, b). Diperoleh a. Karea a O, maka (, d). Diperoleh a. Jadi a =. Seara sama, diperoleh b = d. Akibatya (a, b) = (, d). Sehigga setiap dua selag yag berbeda di {I x } pasti salig asig. Jadi, O merupaka gabuga selag-selag buka yag salig asig. Terakhir tiggal ditujukka O terhitug. Setiap selag buka memuat bilaga rasioal 7. Karea O gabuga selag-selag buka yag salig asig da setiap iterval buka memuat bilaga rasioal maka terdapat korespodesi - atara O dega himpua bilaga rasioal atau himpua bagiaya. Jadi O terhitug. Jika C koleksi himpua terbuka di, maka x O. x O, utuk suatu O himpua terbuka di.. δ > 0 Bx (, δ) O, utuk suatu. δ > 0 Bx (, δ) O Jadi, O himpua terbuka di. Aother versio (with outable revisio) : Diambil sebarag x O, maka terdapat O C sehigga x O. Karea O terbuka maka terdapat δ > 0 sehigga B(x, δ) O terdapat δ > 0 sehigga B(x, δ) O. Jadi terbukti bahwa utuk setiap O yag berarti O terbuka. x O 7 Aksioma Arhimedes 9

10 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Perlu diperhatika bahwa, jika C koleksi himpua terbuka di maka O 8 belum tetu himpua terbuka di. Sebagai otoh, O =, selag terbuka, tetapi O = {0} buka = himpua higga di. Proposisi (Lidelöf) : Misalka C koleksi himpua terbuka di, maka terdapat {O i } subkoleksi terhitug dari C sedemikia sehigga Misal O = Oi O C i= U = { O } Diambil sebarag x U. Maka terdapat himpua O C, dega x O. Karea O terbuka, maka terdapat selag buka I x sehigga x I x O. Diperoleh 9 bahwa terdapat selag buka J x dega titik akhir bilaga rasioal sehigga x J x I x. Karea koleksi semua selag buka dega titik akhir bilaga rasioal adalah terhitug, maka himpua {J x }, x U terhitug da U = J. x U x Utuk setiap selag di {J x } pilih himpua O di C yag memuat J x. Diperoleh subset terhitug { i} i O dari C, da U = O = O = i O C i =.6. Himpua Tertutup Peutup himpua E diotasika E Defiisi : x E δ > 0, y E x y < δ Dega kata lai, x E, jika setiap selag buka yag memuat x juga memuat suatu titik di E 0. Jadi, jelas E E. Cotoh : E = (0, ]. Tetuka E. Apakah x = 0 E? Perhatika bahwa δ > 0, y E= (0,] x y < δ y = 0 δ > 0, 0 N, y 0 < δ, 0 atau, δ > 0, y 0 < δ Pilih y = (0,]. Karea 0 0, maka δ > 0, y 0 < δ. Sehigga x = 0 E. Jadi, E = [0,]. 0 8 Irisa tak berhigga himpua-himpua terbuka 9 Lihat proposisi : Jika x da y bilaga real da x < y maka terdapat bilaga rasioal r sehigga x < r < y 0 x y < δ, berarti y (x δ, x + δ). Sehigga δ > 0, y (x δ, x + δ). Jadi, setiap selag terbuka yag memuat x, juga memuat suatu titik (yaitu y) di E. 30

11 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si. Jika A B maka A B. A B= A B. Diambil sebarag δ > 0 da x A. Karea x A, maka y A y x < δ. Karea A B, maka y B y x < δ. Meurut defiisi, x B. Jadi terbukti A B.. Karea A A B, berdasar ) di atas maka A A B. Hal yag sama, karea B A B maka B A B. Jadi, A B A B. Kemudia, aka dibuktika bahwa A B A B. Disii dibuktika kotraposisiya, yaitu jika x A B maka x A B. Karea x A B, maka x A da x B. x A δ > 0 tidak ada y A dega x y < δ x B δ > 0 tidak ada y B dega x y < δ Diambil δ = mi{δ, δ }, maka tidak ada y A B dega y x < δ. Jadi, x A B. Ii berarti, jika x A B maka x A B. Bukti lai : Diambil sebarag δ > 0 da x A B. x A B δ > 0, y A B y x < δ Karea y A B, maka y A atau y B. Utuk y A dega y x < δ diperoleh x A Utuk y B dega y x < δ diperoleh x B Jadi, x A B. Defiisi : Himpua F disebut tertutup (losed) jika F Meurut defiisi F F, maka himpua F disebut tertutup jika F F, yaitu jika F memuat semua titik-titik lusterya. 3 = F Cotoh : ) F = (0, ] buka himpua tertutup, sebab F = [0,] F ) F = [0, ] himpua tertutup, sebab F = [0,] = F 3) Selag [a, b] da [, ] adalah himpua tertutup 4) adalah himpua tertutup 5) F =. Aka dibuktika bahwa = Dari defiisi,. Jadi, tiggal dibuktika. x. δ > 0, y, y x < δ. δ > 0, y, y B( x, δ ). x Jadi,. Oleh karea itu terbukti bahwa. Peutup himpua E adalah tertutup.

12 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Aka dibuktika E = E. Dari defiisi, E E. Jadi, tiggal dibuktika E E. Misalka x E. x E δ > 0, y E, y x < δ Karea y E maka utuk δ di atas, terdapat z E sehigga z y < δ. Jadi, utuk δ di atas, terdapat z E sehigga z x. = z y+ y x. < z y + y x. < δ δ + = δ Ii berarti x E Jika F da F tertutup, maka F F tertutup. Aka dibuktika bahwa F F = F F. Dari defiisi, jelas bahwa F F F F sehigga ukup dibuktika F F F F Diambil sebarag x F F. Aka dibuktika bahwa x F F. Meurut proposisi sebelumya, x F F = F F. Karea F da F tertutup, maka x F F. Irisa koleksi himpua tertutup adalah tertutup Misalka C koleksi himpua-himpua tertutup. Aka dibuktika bahwa { F F C} tertutup, yaitu { F F C} = { F F C}. Meurut defiisi, ukup dibuktika { F F C } { F F C }. Diambil sebarag x { F F C} y F F C. Maka utuk setiap δ > 0 terdapat { } sehigga y x < δ. Karea y { F F C} maka y F utuk setiap F C dega y x < δ. Meurut defiisi, diperoleh bahwa x F utuk setiap F C. Karea F C maka F tertutup. Karea F tertutup maka F = F akibatya x F, utuk setiap F C. Dari sii maka, x { F F C}. Jadi terbukti bahwa { F F C} { F F C} F F C tertutup.. Sehigga { }. Kompleme himpua terbuka adalah tertutup. Kompleme himpua tertutup adalah terbuka. Misalka O himpua terbuka. Aka dibuktika bahwa O Jadi ukup dibuktika O O. Aka dibuktika kotraposisiya. Karea O terbuka, maka x O, δ > 0 sehigga B(x, δ) O. Karea x O, maka x O. Misalka y B(x, δ). Karea B(x, δ) O maka y O. = O. Dari defiisi O O. 3

13 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si Sehigga, jika y x < δ maka y O. Artiya, tidak ada y O sehigga y x < δ. Sesuai defiisi peutup, x O. Misalka F himpua tertutup. Aka dibuktika bahwa F terbuka. Diambil sebarag x F, aka dibuktika bahwa terdapat δ > 0 sehigga B(x, δ) F. Jika δ > 0 diambil sembarag, maka ukup dibuktika B(x, δ) F. Aka dibuktika kotraposisiya. Karea x F maka x F. Karea F tertutup, maka x F = F. Artiya, tidak ada y F sehigga utuk setiap δ > 0 yag diberika berlaku y x < δ. Sehigga, utuk setiap y F berlaku y B(x, δ). Jadi, utuk setiap y F maka y B(x, δ). Koleksi himpua C disebut selimut (overs) dari himpua F jika F { O: } dalam hal ii koleksi himpua C disebut meyelimuti (overig) F. Jika setiap O C terbuka, maka koleksi C disebut selimut terbuka (ope overig) dari F. Jika C haya memuat sejumlah berhigga himpua-himpua, maka koleksi C disebut selimut higga (fiite overig). Dalam hal selimut terbuka, kata sifat terbuka tersebut meujukka sifat himpua-himpua dalam selimut da tidak bermaka diselimuti oleh himpua terbuka. Demikia juga dega istilah selimut higga tidak meujukka bahwa selimutya merupaka himpua berhigga. Teorema (Heie-Borel) : Misalka F tertutup da terbatas pada. Maka setiap selimut terbuka dari F mempuyai selimut bagia yag berhigga. Dega kata lai, jika C adalah koleksi himpua terbuka sehigga F { O: } maka ada koleksi berhigga {O, O,..., O } pada C sehigga (see Real Aalysis, 3 rd ed., H.L. Royde, page 45) F O..7. Fugsi Kotiu Misalka f fugsi berilai real dega domai E merupaka himpua bilaga real. Berikut ii defiisi-defiisi kotiu di titik, kotiu pada E, da kotiu seragam pada E. Defiisi : Fugsi f dikataka kotiu di titik (otiuous at the poit) x E jika ε > 0, δ > 0 sehigga y E, dega y x < δ maka f(x) f(y) < ε. Fugsi f dikataka kotiu pada (otiuous o) A subset dari E jika f kotiu di setiap titik dari A. Fugsi f dikataka kotiu seragam pada (uiformly otiuous o) E, jika ε > 0, δ > 0 sehigga x, y E, dega y x < δ maka f(x) f(y) < ε. Utuk selajutya, jika disebutka f kotiu, maka yag dimaksud adalah f kotiu pada domaiya. Misalka f fugsi berilai real yag kotiu da didefiisika pada F. Jika F kotiu da terbatas, maka f terbatas pada F da mempuyai titik maksimum da miimum pada F. Artiya ada titik x da x di dalam F sehigga f(x ) f(x) f(x ), x F. i = i Pembedaa ii haya terlihat dari bagaimaa ketergatuga pemiliha δ terhadap yag lai (x, y, atau δ) 33

14 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si (see Real Aalysis, 3 rd ed., H.L. Royde, page 47) Misalka f fugsi berilai real yag didefiisika pada. Fugsi f kotiu pada jika da haya jika f (O) terbuka utuk setiap O himpua terbuka di. (see Real Aalysis, 3 rd ed., H.L. Royde, page 47 48) Teorema (Teorema Nilai Atara) : Misalka f fugsi berilai real da kotiu pada [a, b]. Jika f(a) f(y) f(b) atau f(b) f(y) f(a) maka ada [a, b] sedemikia sehigga f() = y. Jika f fugsi berilai real da kotiu pada himpua tertutup da terbatas F maka f kotiu seragam pada F. (see Real Aalysis, 3 rd ed., H.L. Royde, page 48) Defiisi : Misalka <f > barisa fugsi pada E. Barisa <f > dikataka koverge titik demi titik (overge poitwise) pada E ke fugsi f, jika x E da ε > 0, N sehigga f(x) f (x) < ε, N. Barisa <f > dikataka koverge seragam (overge uiformly) pada E ke fugsi f, jika ε > 0, N 3 sehigga x E, f(x) f (x) < ε, N..8. Himpua Borel Walaupu irisa dari sebarag koleksi himpua tertutup adalah tertutup da gabuga dari koleksi berhigga dari himpua tertutup juga tertutup, tetapi gabuga dari koleksi terhitug himpua-himpua tertutup tidak harus tertutup. Sebagai otoh, himpua bilaga rasioal adalah gabuga dari koleksi terhitug himpuahimpua tertutup yag setiap himpuaya memuat tepat satu aggota. Defiisi : Koleksi himpua Borel B adalah aljabar-σ terkeil yag memuat semua himpua-himpua terbuka. Eksistesi aljabar-σ ii dijami oleh proposisi 4 3 di Bab I. Lebih lajut, aljabar-σ terkeil ii juga memuat semua himpua-himpua tertutup da memuat pula semua selag-selag buka. Himpua yag merupaka gabuga terhitug dari himpua-himpua tertutup disebut F σ atau dikataka memiliki tipe F σ (F utuk tertutup, σ utuk jumlah). Sehigga, himpua D dikataka memiliki tipe F σ jika dapat ditulis D = F utuk setiap himpua tertutup F di R. = Jika F himpua tertutup, maka F memiliki tipe F σ sebab F dapat ditulis mejadi F = F = dega F = F; F = F 3 = F 4 =... = yag merupaka himpua tutup. Juga, selag buka (a, b) memiliki tipe F σ, sebab Pemilihaya bergatug pada x 3 Pemilihaya tidak bergatug pada x 4 Misalka C koleksi himpua bagia dari X, maka terdapat aljabar-σ terkeil R yag memuat C. 34

15 Bab Sistem Bilaga Real Compiled by : Khaeroi, S.Si ( ab, ) = a+, b = Dari sii diperoleh bahwa setiap himpua terbuka memiliki tipe F σ. Sebab, jika O buka maka : O = a+, b = Dega a = batas bawah O, da b = batas atas O. Irisa terhitug dari semua himpua terbuka dikataka memiliki tipe G δ. Jadi, suatu himpua dikataka memiliki tipe G δ jika himpua tersebut merupaka irisa terhitug dari semua himpua terbuka. Jadi, kompleme dari himpua yag memiliki tipe F σ adalah himpua yag memiliki tipe G δ da demikia juga sebalikya. Sebab, F = F F = F ( F ). = F σ σ σ = = =. = F = Karea F tertutup utuk setiap F di maka meurut proposisi, F terbuka. Terlihat (F σ ) merupaka irisa terhitug dari himpua-himpua terbuka. Jadi terbukti bahwa (F σ ) memiliki tipe G δ. Bukti sebalikya aalog. Himpua yag memiliki tipe F σ da G δ adalah otoh himpua Borel, yaitu aljabar-σ terkeil yag memuat semua himpua terbuka da tertutup. 35