FOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI

Transkripsi

1 FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi UIN Sua Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. Yogyakarta 55 malahayati_0@yahoo.co.id Abstract Dislocated quasi metric spaces is spaces with distace fuctio that oly satisfies two coditios from four coditios of distace fuctio i metric spaces. Every metric spaces is dislocated quasi metric spaces, but the covers ot satifies, so the characters that satisfies i metric spaces may ot satisfies i dislocated quasi metric spaces. This paper is to recite fixed poit theorems without cotiuity of ay mappig i dislocated quasi metric spaces, also gives a example usig the theorems that has recited. Key word: dislocated quasi metric spaces, fixed poit, metric, metric space.. PENDAHULUAN Teorema titik tetap Baach telah mearik bayak peeliti utuk terlibat dalam mempelajari da megeksplorasi teorema tersebut utuk medapatka hasil yag baru dalam pemetaa kotraksi megguaka berbagai kodisi. Kaa seorag peeliti yag megguaka tipe baru pada pemetaa kotraksi amu bersifat tidak kotiu, sedagka Das, Gupta, da Ciric memberika geeralisasi prisip kotraksi Baach pada ruag metrik. Rohades juga telah sukses dalam upaya membagu uruta parsial utuk berbagai defiisi pemetaa kotraksi. Hitzler da Seda megeluarka gagasa tetag ruag metrik terasig (dislocated metric spaces) sehigga mampu memperluas prisip kotraksi Baach di ruag metrik. Selajutya Zeyada da kawa-kawa megeeralisasika hasil karya Hitzler da Seda pada ruag quasi metrik terasig (dislocated quasi metric spaces). Kemudia Aage da Saluke mempelajari tetag pemetaa yag disampaika oleh Kaa da Ciric serta mejelaska tetag teorema titik tetap pada ruag quasi metrik terasig. Oleh karea itu, Isufati kemudia membuktika beberapa teorema titik tetap utuk pemetaa kotraksi da kotiu di ruag quasi metrik terasig yag didefiisika oleh Das, Gupta da Rohades. 4

2 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Pada tahu 03, Sharma da Thakur membuktika teorema titik tetap dega kodisi pemetaa kotraksi yag sama dega peelitia yag dilakuka Isufati (00) di ruag quasi metrik terasig, amu tidak megguaka sifat kekotiua fugsi. Megkaji da membahas peelitia yag dilakuka oleh Sharma da Thakur pada jural dega judul Fixed Poit Theorems without Cotiuity of ay Mappigs i Dislocated Quasi Metric Space diaggap perlu da petig, karea merupaka peelitia yag baru da berbeda dari peelitia sebelumya, serta dalam jural tersebut pembahasa tetag ruag quasi metrik terasig da pembuktia teorema titik tetap tapa megguaka sifat kekotiua fugsi dirasa masih sagat sigkat, da tidak disertai dega adaya cotoh. Diharapka dega membahas da megkaji peelitia yag dilakuka oleh Sharma da Thakur (03) peulis dapat mejelaska secara rici tetag ruag quasi metrik terasig da pembuktia teorema titik tetap didalamya tapa megguaka sifat kekotiua fugsi da diakhiri dega diberika suatu cotoh sebagai gambara bagi pembaca.. LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka diberika pegertia ruag quasi metrik terasig da sifat-sifat ruag quasi metrik terasig. Sifat-sifat yag diberika aka diguaka utuk mempermudah pembahasa selajutya... Pegertia Ruag Quasi Metrik Terasig Berikut aka diberika defiisi da cotoh ruag quasi metrik terasig, serta hubuga atara ruag metrik dega ruag quasi metrik terasig. Defiisi... (Zeyada, dkk, 006: ) Diberika himpua tidak kosog X. Pemetaa d: X X [0, ) yag memeuhi kodisi: () Jika d( x, y) d( y, x) 0 maka x y, utuk setiap x, y X da () d( x, y) d( x, z) d( z, y), utuk setiap x, yz, X disebut quasi metrik terasig (disigkat: metrik-dq). Selajutya pasaga ( X, d ) disebut ruag quasi metrik terasig (disigkat: ruag metrik-dq). Cotoh... Diberika himpua X xyz,,. Jika fugsi d : X X 0, didefiisika dega: dx, ydz, xdz, y, 43

3 Mutia Utami & Malahayati dy, xdx, zdy, z, 6 dx, x, dy, y0, dz, z. 7 4 utuk x, yz, X, maka fugsi d adalah metrik-dq. Bukti: Ambil sebarag abc,, X. (i) Aka dibuktika bahwa jika d a, b d b, a 0, maka a b. Diketahui bahwa da, b 0, berarti da, b d y, y 44 dega kata lai ab y. (.) Selajutya diketahui bahwa db, a 0 berarti db, a d y, y dega kata lai ab y. (.) Karea da b db a a b.,, 0 da berdasarka (.) da (.), maka diperoleh bahwa () Selajutya aka dibuktika bahwa da, b da, c dc, b. Terdapat eam kemugkia yag harus dipeuhi utuk membuktika kodisi tersebut. Apabila memeuhi kodisi berikut:,, dx, y d a b, 6, dx, z d a c dc, b dz, y, maka diperoleh: da, bda, cdc, b Apabila memeuhi kodisi berikut:, 6, dy, x d a b, 6, dy, z d a c dc, b dz, x,

4 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi maka diperoleh: da, bda, cdc, b Apabila memeuhi kodisi berikut:,, dz, x d a b,, dz, y d a c, 6, dy, x d c b maka diperoleh: da, bda, cdc, b Apabila memeuhi kodisi berikut:,, dz, y d a b,, dz, x d a c,, dx, y d c b maka diperoleh: da, bda, cdc, b Apabila memeuhi kodisi berikut:, 6, dx, z d a b,, dx, y d a c, 6, dy, z d c b maka diperoleh: da, bda, cdc, b Apabila memeuhi kodisi berikut: 45

5 Mutia Utami & Malahayati, 6, dy, z d a b, 6, dy, x d a c dc, b dx, z, 6 maka diperoleh: da, bda, cdc, b Karea keeam kemugkia terpeuhi, maka terbukti bahwa da, bda, c dc, b utuk setiap abc,, X. Karea d memeuhi kedua kodisi metrik-dq, maka d adalah metrik-dq pada himpua X, lebih lajut pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq. Berdasarka defiisi ruag metrik-dq dapat ditarik suatu hubuga yag meyataka bahwa setiap ruag metrik merupaka ruag metrik-dq amu tidak berlaku sebalikya, peryataa tersebut disajika dalam lemma berikut ii. Lemma..3. Setiap ruag metrik adalah ruag metrik-dq. Cotoh..4. Diberika himpua tak kosog X 0, da pemetaa d : X X 0, yag didefiisika dega: d x, y x y x utuk setiap x, y X. Pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq, tetapi buka merupaka ruag metrik. Bukti: Sebelum membuktika bahwa pasaga X, d buka merupaka ruag metrik aka dibuktika terlebih dahulu bahwa X, d merupaka ruag metrik-dq. Ambil sebarag x, yz, X. (i) Aka dibuktika bahwa jika d( x, y) d( y, x) 0 maka x y. Diketahui bahwa d( x, y) d( y, x) 0, berarti x y x yx y 0. Berdasarka sifat ilai mutlak diperoleh bahwa: x y x 0 x y 0 x 0 x yx 0 (.3) yx y 0 yx 0 y 0 y x y 0 (.4) 46

6 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Berdasarka (.3) da (.4) maka diperoleh bahwa x (ii) Aka dibuktika bahwa dx, y d x, z d z, y. Megguaka sifat ketaksamaa segitiga diperoleh: d x, y x y x xzz y x xz z y x x z z y x z x z x z y z d x z, dz, y y. Karea d memeuhi kedua kodisi metrik-dq, maka d merupaka metrik-dq pada himpua X, lebih lajut pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq. Selajutya aka dibuktika bahwa pasaga X, d buka merupaka ruag metrik. Fugsi d buka merupaka metrik pada himpua X, karea terdapat X tetapi d, 0, dega kata lai fugsi d tidak memeuhi kodisi metrik. Jadi pasaga X, d buka merupaka ruag metrik. Berdasarka uraia defiisi ruag metrik-dq da hubuga atara ruag metrik dega ruag metrik-dq dapat disimpulka bahwa sifat-sifat yag berlaku pada ruag metrik belum tetu berlaku pada ruag metrik-dq... Sifat-Sifat Ruag Quasi Metrik Terasig Berikut aka diberika defiisi barisa koverge, barisa Cauchy, da fugsi kotraksi. Serta beberapa teorema yag melekat pada barisa koverge da barisa Cauchy di ruag metrik-dq. Defiisi... (Zeyada, dkk, 006:) Diberika ruag metrik-dq X, d da barisa x X. Barisa x dikataka koverge di ruag metrik-dq (disigkat: koverge-dq) ke x X apabila lim d( x, x) lim d( x, x ) 0. Selajutya barisa x yag koverge-dq ke x dapat diotasika dega x x. Dalam hal ii x disebut sebagai limit barisa di ruag metrik-dq (disigkat: limit-dq). 47

7 Mutia Utami & Malahayati Cotoh... Diberika himpua tak kosog X 0, da ruag metrik-dq, defiisi pemetaa d : X X 0, yaitu: X d dega d x, y x y x (.5) utuk setiap x, y X. Jika barisa x X didefiisika dega: x utuk setiap, maka barisa x koverge-dq ke 0. (.6) Bukti: Aka dibuktika barisa x koverge-dq ke 0 dega kata lai aka ditujuka bahwa dx d x lim, 0 lim 0, 0. Berdasarka (.5) da (.6) diperoleh: da lim d x,0 lim x 0 x lim x x lim x lim lim 0 lim d 0, x lim 0 x x lim x x lim x x lim x lim lim 0 Berdasarka (.7) da (.) diperoleh bahwa d x d x terbukti bahwa barisa x koverge-dq ke 0. (.7) (.) lim, 0 lim 0, 0. Jadi 4

8 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Defiisi..3. (Zeyada, dkk, 006: ) Diberika ruag metrik-dq ( X, d ) da barisa x X. Barisa x dikataka barisa Cauchy apabila setiap 0 terdapat 0 sehigga utuk setiap m, 0 berlaku d x, x atau, m d x x. Cotoh..4. Diberika himpua tak kosog X 0, da ruag metrik-dq, defiisi pemetaa d : X X 0, d x, y x y x yaitu: utuk setiap x, y X. Jika barisa x X didefiisika dega: x utuk setiap, maka barisa x adalah barisa Cauchy. Bukti: m X d dega Ambil sebarag 0, berdasarka hukum Archimedes maka terdapat 0 sedemikia sehigga m diperoleh: 0 d x, xm x xm x m m m m m m m Jadi terbukti bahwa x adalah barisa Cauchy.. Oleh karea itu utuk setiap m, 0 dega asumsi 0 Berikut ii aka diberika defiisi ruag metrik-dq legkap. Defiisi..5. (Zeyada, dkk, 006: ) Ruag metrik-dq dikataka legkap apabila setiap barisa Cauchy didalamya koverge-dq. Cotoh..6. Diberika himpua tak kosog X 0, da pemetaa d : X X 0, yag didefiisika dega: d x, y x y x (.9) 49

9 Mutia Utami & Malahayati utuk setiap x, y X. Pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq legkap Bukti: Telah dibuktika sebelumya pada Cotoh..4 bahwa pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq. Selajutya aka dibuktika bahwa pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq legkap. Ambil sebarag barisa Cauchy x X. Karea x adalah barisa Cauchy berarti utuk setiap 0 terdapat 0 sehigga utuk setiap m, 0 berlaku: d x, xm x x x m Karea x xm x maka x xm, dega kata lai 50 x merupaka barisa Cauchy di. Karea mempuyai sifat legkap maka barisa x koverge, misalka barisa x koverge ke x. Jelas x X himpua tertutup., karea barisa x X da X merupaka Selajutya aka ditujuka bahwa barisa x koverge-dq ke x X, dega kata lai aka ditujuka bahwa d x x d x x lim, lim, 0. Berdasarka (.9) da karea x da m, m, lim d x, x lim x x x lim x lim x x lim x x x 0 m m m lim d x, x lim d x, x lim xx x m, m, lim lim x x lim x m lim x x x 0 m m m m X merupaka barisa Cauchy, maka diperoleh bahwa: m m lim d x, x m (.0) (.)

10 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Berdasarka (.0) da (.) diperoleh d x x d x x lai barisa x koverge-dq ke x X 5 lim, lim, 0, dega kata. Jadi terbukti bahwa, X d adalah ruag metrikdq legkap. Sebelumya telah diketahui bahwa ilai limit barisa pada ruag metrik tuggal, hal ii berlaku pula di ruag metrik-dq yag aka disajika pada lemma berikut ii. Lemma..7. (Sharma da Thakur, 03: 60) Limit barisa di ruag metrik-dq berilai tuggal. Bukti: Ambil sebarag ruag metrik-dq X, d, da barisa koverge-dq x X. Misalka barisa x koverge-dq ke x da y. Selajutya aka dibuktika bahwa x y. Karea barisa x koverge-dq ke x da y, maka berdasarka Defiisi.. berarti: lim d x, x lim d x, x 0 (.) lim d x, y lim d y, x 0 (.3) Berdasarka Defiisi.. (ii) perhatika bahwa:,,, d x y d x x d x y dega demikia maka: lim d x, y lim d x, x lim d x, y Oleh karea itu berdasarka (.) da (.3) maka diperoleh d x, y 0. Selajutya berdasarka Defiisi.. (ii) perhatika bahwa:,,, d y x d y x d x x dega demikia maka: lim d y, x lim d y, x lim d x, x Oleh karea itu berdasarka (.) da (.3) maka diperoleh d y, x 0. Karea diperoleh dx y d y x,, 0, maka berdasarka Defiisi.. (i) diperoleh bahwa x y, dega kata lai terbukti bahwa ilai limit barisa di ruag metrik-dq X, d tuggal. Berikut ii aka diberika defiisi fugsi kotraksi pada ruag metrik-dq.

11 Mutia Utami & Malahayati Defiisi... (Sharma da Thakur, 03: 6) Diberika ruag metrik-dq X, d. Pemetaa f : X X dikataka kotraksi (cotractio) apabila terdapat 0 sehigga: ( ), ( ), d f x f y d x y utuk setiap x, y X. Cotoh..9. Diberika himpua tak kosog X 0, da ruag metrik-dq, didefiiska dega: X d yag d x, y x y x (.4) utuk setiap x, y X. Jika pemetaa f : X X didefiisika dega: x f( x) (.5) utuk setiap x X, maka pemetaa f kotraksi. Bukti: Ambil sebarag x, y X, berdasarka (.4) da (.5) diperoleh: d f( x), f( y) x y x x y x x y x x y x dx, y Sehigga diperoleh. Karea maka terbukti bahwa pemetaa f kotraksi. 3. PEMBAHASAN Setelah pegertia ruag metrik-dq da sifat-sifat pada ruag metrik-dq diberika, selajutya aka dibahas teorema titik tetap pada ruag metrik-dq. 5

12 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi 3.. Teorema Titik Tetap Pada Ruag Quasi Metrik Terasig Berikut ii aka dibahas dua teorema titik tetap pada ruag metrik-dq tapa megguaka sifat kekotiua fugsi da diakhiri dega diberika suatu cotoh. Teorema 3... (Sharma da Thakur, 03: 6) Diberika ruag metrik-dq legkap ( X, d ). Jika diberika pemetaa f : X X da diperuhi kodisi berikut:, ( ) d x, f( x) dx, y d y f y d f( x), f( y) d x, y Dega cara yag sama apabila proses ii dilakuka utuk setiap, maka: 53 (3.) utuk setiap x, y X da, 0 dega, maka pemetaa f mempuyai titik tetap tuggal. Bukti: Ambil sebarag barisa x f ( x0) x, f ( x) x, f ( x ) x, 3 f ( x ). x X da x0 Berdasarka (3.) perhatika bahwa: X. Kemudia didefiisika:, ( ), ( ) dx, f( x) dx, f( x ) dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x d x x d f x f x dega demikia diperoleh: = d x, x d x dx, x dx, x d x, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x Apabila ( ) dega 0 maka diperoleh d( x, x ) d( x, x)., x

13 Mutia Utami & Malahayati utuk diperoleh: d x, x d( x, x ) (3.) 0 Selajutya berdasarka (3.) maka utuk, diperoleh: d x, x3 d( x, x) d( x0, x) d( x, x ) 0 Berdasarka (3.3) selajutya utuk 3, diperoleh: d x, x d( x, x ) d x0 x 3 d( x0, x) (, ) Lebih lajut utuk setiap, maka diperoleh: 0 54 (3.3) (3.4) d( x, x ) d( x, x ) (3.5) Berdasarka (3.5) apabila maka 0 karea 0. Oleh karea itu dx, x 0 utuk. Dega kata lai x adalah barisa Cauchy di X. Selajutya karea X adalah ruag metrik-dq legkap maka berdasarka Defiisi..5 barisa x koverge-dq. Misalka barisa x koverge-dq ke z X, sehigga berdasarka (3.) diperoleh:, ( ), ( ) dx, f( x) dx, f( x) dx, x dx, x dx, x dx, x d x x d f x f x dega demikia: dz, z dz, z dz, z, dz, z d x, x d x, x,, dx, x d x x d x x lim dx, x lim dx, x d z, z d z, z d z z Hal tersebut tidak mugki terjadi karea 0 memeuhi adalah d z, z 0. da d z, z 0 sehigga yag

14 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Selajutya utuk meujuka bahwa z adalah titik tetap pada pemetaa f, berdasarka (3.) diperoleh:, ( ), ( ) dz, x d x f x d z f z d f( z), f( x) dz, x dega demikia:, ( ), ( ) dz, x d x f x d z f z lim d f( z), f( x ) lim dz, x d z z d f( z), z d z, z d f( z), z 0, dz, f( z) dz, z dz f z 0.0., ( ) Hal ii tidak mugki terjadi sehigga yag memeuhi adalah d f( z), z 0. Dega cara yag sama diperoleh juga bahwa d z, f( z) 0. Oleh karea d f( z), zdz, f( z) 0 maka berdasarka Defiisi.. (i) diperoleh f ( z) f..0 z dega kata lai z adalah titik tetap Kemudia utuk membuktika ketuggala titik tetap pada pemetaa f, diberika w sebagai titik tetap lai pada f dega w z. Berdasarka (3.) maka diperoleh: dw, f( w) d z, f( z) dz, w dw, w,, d z z dz, w dz, w, dz, w d z, w d f( z), f( w) d z, w d z w d z w Hal ii tidak mugki terjadi, sebab 0 da d z, w 0 sehigga yag memeuhi adalah dz, w 0. Dega cara yag sama diperoleh juga bahwa Karea dz w dw z d w, z 0.,, 0 maka berdasarka Defiisi.. (i) diperoleh z w. Sehigga terbukti bahwa pemetaa f mempuyai titik tetap tuggal. 55

15 Mutia Utami & Malahayati Berdasarka Teorema 3.. telah terbukti bahwa tapa megguaka sifat kekotiua fugsi, pemetaa f yag memeuhi kodisi (3.) di ruag metrik-dq mempuyai titik tetap yag tuggal. Selai memeuhi kodisi (3.) terdapat kodisi lai yag meyebabka pemetaa f tetap memiliki titik tetap yag tuggal. Kodisi tersebut aka disajika pada Teorema 3.. berikut ii. Teorema 3... (Sharma da Thakur, 03: 6) Diberika ruag metrik-dq legkap X, d. Jika diberika pemetaa f : X X da dipeuhi kodisi berikut: ( ), ( ), ( ), ( ), d f x f y d x f y d y f x d x y (3.6) dega,, berilai o egative da bergatug pada x da y yaitu sup{ : xy, X}, maka pemetaa f mempuyai titik tetap tuggal. Bukti: Ambil sebarag barisa x f ( x0) x, f ( x) x, f ( x ) x, 3 f ( x ). x X da x0 X. Kemudia didefiisika: Berdasarka (3.6) perhatika bahwa: dx, x d f( x ), f( x) dx, f( x) dx, f( x ) dx, x = dx, x dx, xdx, x d x, x d x, x d x, x d x, x d x, x d x, x d x, x dega demikia diperoleh:,,,, dx x dx x,, d x x d x x d x x d x x,, d x x d x x Apabila dega 0 maka diperoleh: 56

16 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi,, d x x d x x Dega cara yag sama apabila proses ii dilakuka utuk setiap, maka: utuk diperoleh: d x, x d( x, x ) (3.7) 0 Selajutya berdasarka (3.7) maka utuk, diperoleh: d x, x3 d( x, x) d( x0, x) d( x, x ) 0 Berdasarka (3.) selajutya utuk 3, diperoleh: d x, x d( x, x ) d x0 x 3 d( x0, x) (, ) Lebih lajut utuk setiap, maka diperoleh: 0 57 (3.) (3.9) d( x, x ) d( x, x ) (3.0) Berdasarka (3.0) apabila maka 0 karea 0. Oleh karea itu dx, x 0 utuk. Dega kata lai x adalah barisa Cauchy di X. Selajutya karea X adalah ruag metrik-dq legkap maka berdasarka Defiisi..5 barisa x koverge-dq. Misalka barisa x koverge-dq ke z X sehigga berdasarka (3.6) diperoleh: dx, x d f( x), f( x) d( x, f( x )) d x, f( x ) d x, x d x, x d x, x d x, x dega demikia: dx x d x x d x x d x x,,,,, dz, z lim, lim,,, d z z d z z d z z d z z d z z Karea 0 da d z, z 0 sehigga diperoleh bahwa d z, z 0. Selajutya utuk meujuka bahwa z adalah titik tetap pada pemetaa f, berdasarka (3.6) diperoleh:

17 Mutia Utami & Malahayati ( ), ( ) (, ( )), ( ), (),,, (), d f z f x d z f x d x f z d z x d f z x d z x d x f z d z x dega demikia: d f z x d z x d x f z d z x ( ),,, ( ), ( ),, ( ) lim ( ), lim,, ( ), d f z z d z z d z f z d z z d f z z d z f z Karea 0 sehigga diperoleh bahwa d f( z), z 0. Dega cara yag sama diperoleh juga bahwa dz, f( z) 0. Oleh karea d f z z dz f z berdasarka Defiisi.. (i) diperoleh f ( z) ( ),, ( ) 0 maka z dega kata lai z adalah titik tetap f. Selajutya utuk membuktika ketuggala titik tetap pada pemetaa f, diberika w sebagai titik tetap lai pada f dega w z. Berdasarka (4.6) maka diperoleh: da,, ( ), ( ) dz, f( w) dw, f( z) dz, w dz, wdw, zdz, w dz, wdw, z d z w d f z f w, ( ), ( ) dw, f( z) dz, f( w) dw, z dw, zdz, wdw, z dw, zdz, w d w z d f w f z Berdasarka (4.) da (4.) diperoleh: Sehigga:,,,,,, dz, wdz, w dw, zdw, z dz, w dw, z dz, wdw, z d z w d w z d z w d w z d w z d z w,,,, d z w d w z d z w d w z (3.) (3.) 5

18 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Karea 0 maka berakibat d z w dw z diperoleh bahwa d z, w dw, z Berdasarka (3.) da (3.) karea d z, w dw, z,, 0. Oleh karea itu maka diperoleh: dz, w dz, w Karea 0 sehigga diperoleh bahwa d z, w 0 da karea dz w dw z d w, z 0. Oleh,, 0 maka berdasarka Defiisi.. (i) diperoleh z w. Sehigga terbukti bahwa pemetaa f mempuyai titik tetap tuggal. Cotoh Diberika himpua tak kosog X 0,. Didefiisika fugsi d : X X 0, dega: d x, y x y x (3.3) utuk setiap x, y X. Berdasarka Cotoh..6 jelas bahwa pasaga X, d merupaka ruag metrik-dq legkap. Jika fugsi f : X X didefiisika dega: x f x (3.4) utuk setiap x X, maka pemetaa f mempuyai titik tetap tuggal. Bukti: Utuk membuktika bahwa pemetaa f mempuyai titik tetap tuggal, lihat kembali Teorema 3... Selajutya aka ditujukka bahwa pemetaa f memeuhi kodisi (3.6). Ambil sebarag x, y X. Berdasarka (3.3) da (3.4) perhatika bahwa: x y d f( x), f( y) d, x y x x y x x y x Sebelumya perhatika bahwa: 59 (3.5)

19 Mutia Utami & Malahayati y y x y x y y y x y y 7 x y y x y y x x y y x x x y y (3.6) da x x x y x y x (3.7) Oleh karea itu berdasarka (3.6) da (3.7), maka (3.5) mejadi: y x d f x f y x x y y x y x ( ), ( ) y x,,, dx dy d x y dx, f( y) dy, f( x) dx, y d x f y d y f x d x y, ( ), ( ), (3.) Berdasarka (3.) jelas bahwa pemetaa f memeuhi kodisi (3.6) dega,,, oleh karea itu berdasarka Teorema 3.. maka pemetaa f mempuyai titik 0 tetap tuggal. Lebih lajut, titik tetap pada pemetaa f adalah 0, sebab f 0 0, da bersifat tuggal. 4. KESIMPULAN Berdasarka pembahasa pada bab sebelumya, maka dapat disimpulka bahwa setiap ruag metrik merupaka ruag quasi metrik terasig, amu tidak berlaku sebalikya. 60

20 Teorema Titik Tetap pada Ruag Quasi Metrik Terasig Tapa Megguaka Sifat Kekotiua Fugsi Sifat ketuggala limit barisa di ruag metrik berlaku pula di ruag quasi metrik terasig. Tidak semua sifat barisa yag berlaku di ruag metrik berlaku di ruag quasi metrik terasig, hal tersebut berdasarka hubuga atara ruag metrik dega ruag quasi metrik terasig. Pemetaa f yag memeuhi kodisi (4.) atau (4.), serta terdefiisi pada ruag quasi metrik terasig legkap X, d mempuyai titik tetap yag tuggal. Dalam membuktika teorema tersebut meggabaika sifat kekotiua fugsi, da memafaatka sifat kelegkapa pada ruag quasi metrik terasig. 5. DAFTAR PUSTAKA [] Bartle, R.G. ad Sherbert, D.R. 00. Itroductio to Real Aalysis. Fourth Editio. New York: Joh Wiley & Sos, Ic. [] Dass, Bal Khisha ad Gupta, Satya. A Extesio of Baach Cotractio Priciple Through Ratioal Expressio. F. C. Auluck, F.N.A. (973) [3] Khamsi, Mohammad A. ad Krik, William A. 00. A Itroductio to Metric Spaces ad Fixed Poit Theory. New York: Joh Wiley & Sos, Ic. [4] Sharma, Rajider ad Thakur, Deepti. Fixed Poit Theorems without Cotiuity of ay Mappig i Dislocated Quasi Metric Space. It. Joural of Math. Aalysis (03) [5] Shirali, Satish ad Vasudeva, Harkrisha L Metric Spaces. Lodo: Spriger-Verlag. [6] Siddiqi, Abul Hasa Applied Fuctioal Aalysis: Numerical Methods, Wavelet Method, ad Image Processig. New York: Marcel Dekker, Ic. [7] Zeyada, F.M., Hassa, G.H., ad Ahmed, M.A. A Geeralizatio of A Fixed Poit Theorem Due to Hizler ad Seda i Dislocated Quasi Metric Spaces. The Arabia Joural for Sciece ad Egieerig (006)