BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

Transkripsi

1 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1 Jurusa Matematika Uiversitas Begkulu, Begkulu 1 bswita@ymail.com, ABSTRACT ell ad ell-lucas Series are the power series deoted by ad where ad are the th ell ad ell-lucas umber respectively. Koshy showed that ad coverge if ad oly if This article discusses alterative proof the covergece of these two series. Numeric calculatio of the parsial sums is also give. Keywords: The ell ad ell-lucas Series, Covergece ABSTRAK Deret ell da ell-lucas merupaka deret pagkat yag diyataka dega da di maa da adalah bilaga ell da ell-lucas ke. Koshy telah meujukka bahwa da koverge jika da haya jika. Artikel ii memberika bukti alteratif kovergesi ke dua deret tersebut. Kalkulasi umerik dari beberapa jumlah parsial juga diberika. Katakuci:Deret ell da ell-lucas, Kekovergea 1. ENDAHULUAN Beberapa jeis barisa bilaga bulat diguaka hampir pada semua bidag moder sciece. Barisa bilaga Fiboacci adalah salah satu barisa yag terkeal dalam matematika da dipelajari secara luas dari sudut padag aljabar da kombiatorik [1]. Barisa yag sama petigya dega barisa bilaga Fiboacci adalah barisa bilaga ell da ell-lucas. Bilaga ell da ell-lucas didefiisika dega relasi rekursi sebagai [2] (1) (2) Berbagai peelitia yag berhubuga dega ke dua bilaga ii telah dilakuka. Salah satu topik yag mearik adalah kajia tetag deret ell da deret ell- Lucas di maa da berturut-turut adalah bilaga ell da ell-lucas ke 1

2 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak Rumus alteratif utuk meetuka bilaga ellda ell-lucaske tapa harus meetuka bilaga sebelumya dikeal dega Rumus Biet, diyataka sebagai [2] Q, 1 2, 1 2 (3), 1 2, 1 2 (4) Kovergesi da divergesi darisuatu deret adalah salah satu topik yag medapat perhatia para peeliti. Koshy dalam [3] meujukka bahwa deret ell da deret ell-lucas koverge jika da haya jika Dega kata lai, utuk telah ditujukkka bahwa deret ell da ell- Lucas merupaka deret dega suku-suku riil yag koverge. Deret dikataka koverge da mempuyai jumlah jika barisa jumlah-jumlah parsial { } koverge meuju dimaa. Suatu deret dikataka koverge mutlak bila deret koverge. Teorema 1 berikut meyataka bahwa kovergesi mutlak megimplikasika kovergesi. Teorema 1 [4]. Jika koverge maka koverge. Ada beberapa teorema yag dapat diguaka utuk meguji kovergesi da divergesi suatu deret, salah satu diataraya adalah teorema berikut. Teorema 2[4]. Misal adalah deret dega suku-suku tak ol da adaika u Lim u 1 (i) Jika (ii) Jika (iii) Jika maka deret tersebut koverge mutlak maka deret diverge maka uji ii tidak memberika kesimpula Teorema 2 di atas merupaka pegembaga dari rasio test. Karea suku-suku deret tidak sama dega ol, maka Berarti deret mempuyai sifat seperti deret geometrik dega rasio Sebuah deret geometrik koverge ketika rasioya lebih kecil dari 1 da diverge ketika rasioya lebih besar dari 1. Bukti selegkapya dari Teorema 2 dapat dilihat pada [4]. embuktia kovergesi dari deret ell da ell-lucas telah diberikapada [3] dalam artikel yag berjudul The Covergece of ell ad ell-lucas Series. ada artikel ii diberika metode pembuktia alteratif. 2

3 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak 2. METODE ENELITIAN Metode pembuktia yag diberikaadalah metode pembuktia lagsug (direct proof) dega megguaka teori-teori yag bersifat elemeter seperti yag telah diuraika pada pedahulua. 3. EMBAHASAN 3.1 Deret da koverge jika da haya jika Koshy telah membuktika bahwa deret da koverge dega himpua kovergesi ( alteratif. Bukti.. Berikut ii aka diberika bukti Karea maka deret Utuk deret ii jelas koverge. Utuk deret pagkat mempuyai suku-suku yag tidak sama dega ol. Oleh karea itu dega megguaka Teorema 2 da ersamaa 4 diperoleh Lim 1 x x 1 Lim 1 1 x x Lim x Lim x Lim ( ) x Lim x Lim 1 ( ) 1 Karea, maka Lim / 0. Jadi diperoleh x Lim x Berdasarka Teorema 2, deret koverge mutlak ketika. Sedagka jika da haya jika Karea, berarti deret koverge mutlak jika da haya jika Sehigga meurut Teorema 1, deret koverge jika da haya jika 3

4 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak Utuk deret jelas koverge. Utuk deret mempuyai suku-suku tak ol sehigga dega cara yag sama, dega megguaka Teorema 2 da ersamaa 3 diperoleh Q 1x Lim Q x 1 1 x Lim 1 x Karea diperoleh ilai yag sama, berarti deret juga koverge mutlak,sehigga meurut Teorema 1 koverge jika da haya jika Utuk da, kalkulasi umerik meujukka ke dua deret diverge. Karea ke dua deret koverge pada selag, selajutya aka ditujukka jumlah dari masig-masig deret 3.2 Jumlah Deret ell da ell-lucas Misal jumlah dari deret, makadega megguaka tekik pada [5] utuk Bilaga Fiboacci diperoleh Dega megguaka relasi rekursi dari bilaga ell pada ersamaa 1 diperoleh Jadi jumlah deret ell adalah sehigga diperoleh Misal jumlah deret, dega megguaka tekik yag sama 4

5 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak Dega megguaka relasi rekursi dari bilaga ell-lucas pada ersamaa 2 diperoleh sehigga Jadi jumlah deret ell-lucas adalah Berdasarka ersamaa 5, utuk diperoleh jumlah deret ell Tabel 1 meujukka hasil kalkulasi jumlah-jumlah parsial dari deret ell utuk Tabel 1. Jumlah-Jumlah arsialdari Deret ell utuk NILAI ,3 0,3 0,3 0, ,3 0,09 0,18 0, ,3 0,027 0,135 0, ,3 0,0081 0,0972 0, ,59718E+11 0,3 6,17673E-17 1,60421E-05 0, ,27014E+11 0,3 1,85302E-17 1,16187E-05 0, ,51374E+12 0,3 5,55906E-18 8,415E-06 0, ,6545E+12 0,3 1,66772E-18 6,09468E-06 0, ,17494E+19 0,3 2,15369E-27 2,53046E-08 0, ,83655E+19 0,3 6,46108E-28 1,83272E-08 0, ,84804E+19 0,3 1,93832E-28 1,32737E-08 0, ,65326E+20 0,3 5,81497E-29 9,61368E-09 0, ,57508E+30 0,3 4,43426E-43 1,58528E-12 0, ,631E+30 0,3 1,33028E-43 1,14816E-12 0, ,08371E+31 0,3 3,99084E-44 8,31574E-13 0, ,03052E+31 0,3 1,19725E-44 6,02279E-13 0, ,21447E+32 0,3 3,59175E-45 4,36209E-13 0, ,61733E+38 0,3 1,54613E-53 2,50061E-15 0, ,90459E+38 0,3 4,6384E-54 1,8111E-15 0, ,4265E+38 0,3 1,39152E-54 1,31172E-15 0, ,27576E+39 0,3 4,17456E-55 9,50029E-16 0, ,49417E+39 0,3 1,25237E-55 6,88072E-16 0, ,08782E+42 0,3 9,12976E-59 9,93151E-17 0, ,62622E+42 0,3 2,73893E-59 7,19304E-17 0, ,34027E+42 0,3 8,21678E-60 5,20966E-17 0,

6 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak erhatika Jadi kovergesi deret ell sagat lambat. Berdasarka ersamaa 5, utuk diperoleh jumlah deret ell. Tabel 2 meujukka hasil kalkulasi jumlah-jumlah parsial dari deret ell utuk Tabel 2. Jumlah-Jumlah arsial dari Deret ell utuk NILAI ,4 0,4 0,4 0, ,4 0,16 0,32 0, ,4 0,064 0,32 1, ,4 0,0256 0,3072 1, ,59718E+11 0,4 4,61169E-13 0, , ,27014E+11 0,4 1,84467E-13 0, , ,51374E+12 0,4 7,3787E-14 0, , ,6545E+12 0,4 2,95148E-14 0, , ,17494E+19 0,4 5,0706E-21 0, , ,83655E+19 0,4 2,02824E-21 0, , ,84804E+19 0,4 8,11296E-22 0, , ,65326E+20 0,4 3,24519E-22 0, , ,57508E+30 0,4 5,84601E-33 0, , ,631E+30 0,4 2,3384E-33 0, , ,08371E+31 0,4 9,35361E-34 0, , ,03052E+31 0,4 3,74144E-34 0, , ,21447E+32 0,4 1,49658E-34 0, , ,61733E+38 0,4 6,42775E-41 0, , ,90459E+38 0,4 2,5711E-41 0, , ,4265E+38 0,4 1,02844E-41 0, , ,27576E+39 0,4 4,11376E-42 0, , ,49417E+39 0,4 1,6455E-42 0, , ,08782E+42 0,4 6,73999E-45 0, , ,62622E+42 0,4 2,69599E-45 0, , ,34027E+42 0,4 1,0784E-45 0, , Berdasarka Tabe 1, 2 da jumlah dari deret, diperoleh, sedagka. Jadi kovergesi deret ell utuk utuk lebih lambat dibadigka dega kovergesi deret egitegrala ke dua ruas ersamaa 5 da 6 meghasilka deret ( ) 6

7 rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak 3. KESIMULAN embuktia kovergesi dari deret ell da ell-lucas dapat dilakuka dega megguaka teori-teori yag bersifat elemeter yag merupaka metode pembuktia alteratif dari metode yag telah diberika pada [3]. 4. USTAKA [1]. Dasdemir A. O the ell, ell-lucas ad Modified ell Numbers By Matrix Method. Applied Mathematical Scieces. 2011; 64(5): [2]. Bickell M. A rimer o the ell Sequeces ad Related Sequeces.The Fiboacci Quarterly. 1975; 4(13): [3]. Koshy T. Covergece of ell ad ell-lucas Series. Applied robability Trust [Iteret] [cite 2014 Des 8]. Available from: [4]. urcell EJ, Varberg, D, ad Rigdo, SE. Calculus, 8th editio [Julia Gressado, tras]. retice Hall:2003. [5]. Horadam AF. Applied Combiatorics. The Uiverity of New Eglad, Armidale;