BAB X RUANG HASIL KALI DALAM

BAB X RUANG HASIL KALI DALAM 0. Hasl Kal Dalam Defns. Hasl kal dalam adalah fungs yang mengatkan setap pasangan vektor d ruang vektor V (msalkan pasangan u dan v, dnotaskan dengan u, v ) dengan blangan rl dan memenuh 4 aksoma, yatu:. Smetrs : u, v v, u. Adtvtas : u+ v, u, + v,. Homogentas : ku, v k u, v, k skalar 4. Postvtas : u, u ³ 0 dan ( u, u 0 «u 0) Ruang vektor yang dlengkap hasl kal dalam sepert d atas dsebut ruang hasl kal dalam yang basa dsebut RHD. Contoh 0. Tunjukkan baha operas perkalan ttk-ttk standar d R Eucldes merupakan hasl kal dalam! Penyelesaan: Akan dtunjukkan baha perkalan ttk standar memenuh keempat aksoma hasl kal dalam, yatu: a, a,a b, b,b c c, c,c maka a, b, c Î Msalkan a ( ), b ( ), ( ). Smetrs. Adtvtas a, b ( a. b) ( ab ab ab) ( b a b a b a ) + + + + b, a...(terpenuh) Langkah Past Menuju Sukses 86

( ) ( a b, a b, a b).( c, c,c ) ( ac bc) ( ac bc) ( ac bc ) ( ac ac ac) ( bc bc bc) ( a. c) ( b. c) a + b, c a + b. c + + + + + + + + + + + + + + a, c + b,c...(terpenuh). Homogentas ka, b ( ka. b) ( kab kab kab) k( ab ab ab) k( a. b) + + + + k a, b...(terpenuh) 4. Postvtas a, a ( a. a) ( a + a + a(terpenuh) ) ³ 0... Dan a, a a + a + a(terpenuh) 0(0,0,0) «a... 0 ( ) RHD yang memlk hasl kal dalam berupa perkalan ttk standar sepert d atas basa dsebut RHD Eucldes. Contoh 0. Dketahu u, v ad + cf dengan u (a, b, c) dan v (d, e, f). Apakah u, v tersebut merupakan hasl kal dalam? Penyelesaan: Akan dtunjukkan apakah u, v tersebut memenuh keempat aksoma hasl kal dalam. Smetrs u, v ad + cf da + fc v, u K K K (terpenuh) Langkah Past Menuju Sukses 87

. Adtvtas Msalkan (g, h, ) u + v, (a + d,b + e,c + f),(g,h,). Homogentas ku, v () kad + ckf (a + d)g+ ( c + f) (ag+ c) + ( dg+ f) u, + v, K K K (terpenuh) k() ad + cf k u, v K K K (terpenuh) 4. Postvtas u, u u. u a + c(terpenuh) ³ 0 K K K ( ) ( ) Dan u, u a + c 0(0,0,0) tdak selalu «u 0 karena untuk nla ( ) u (0, b,0) dengan b ¹ 0 maka nla (tdak u, u terpenuh 0 K K K ) Aksoma postvtas tdak terpenuh maka u, v ad + cf dengan u (a, b, c) dan v (d, e, f) bukan merupakan hasl kal dalam. 0. Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor, dan Besar Sudut dalam RHD Ketka kta membahas tentang panjang vektor, maka kta harus menghlangkan rumusan yang selama n kta gunakan mengena panjang vektor dalam ruang n Eucldes berdasarkan operas hasl kal ttk. Kta akan menghtung panjang suatu berdasarkan hasl kal dalam yang telah dberkan, dan sudah dbuktkan bersama sama baha hasl kal ttk dalan ruang n Eucldes juga merupakan hasl kal dalam jad konsep yang dgunakan n akan lebh luas darpada konsep sebelumnya. Msalkan V merupakan ruang hasl kal dalam, u, v Î V maka a. Panjang u u, u b. Jarak u dan v, d(u, v) u- v, u- v c. Msalkan f sudut antara u dan v dalam RHD, maka besar cosf adalah: cosf u, v u v Jka u dan v salng tegak lurus maka u+ v u + v Langkah Past Menuju Sukses 88

Contoh 0. Dketahu V adalah RHD dengan hasl kal dalam u, v ( u v + u v + u v ) dengan u ( u, u,u ), ( v, v,v ) v. Jka vektor-vektor u, v Î V dengan a (,,) dan b (,,), tentukan a. Besar cos a jka sudut yang dbentuk antara a dan b adalah a! b. Jarak antara a dan b! Penyelesaan: a, b cosf a b a, b. +.(.) +. 5 a b +. + 8 +. + Jad cosf a, b 5 5 a b 8 4 0. Bass Orthonormal Dketahu V ruang hasl kal dalam dan v,v, K,vn adalah vektor-vektor dalam V. Beberapa defns pentng a. H { v,v, K,v } dsebut hmpunan orthogonal bla setap vektor dalam V n salng tegak lurus, yatu v,v 0 untuk ¹ j j dan, j,,,n. b. G { v,v, K,vn} dsebut hmpunan orthonormal bla - G hmpunan orthogonal - Norm dar v,,,, n atau v,v Metode Gramm-Schmdt Metode Gramm-Schmdt dgunakan untuk merubah suatu hmpunan vektor yang bebas lner menjad hmpunan yang orthonormal. Jad, dalam hal n dsyaratkan hmpunan yang dtransformaskan ke hmpunan orthonormal adalah hmpunan yang bebas lner. Jka yang akan dtransformaskan adalah hmpunan vektor yang merupakan bass dar ruang vektor V maka metode Gramm-Schmdt akan menghaslkan bass orthonormal untuk V. Langkah Past Menuju Sukses 89

Sebelum membahas tentang metode n, akan dbahas tentang proyeks orthogonal vektor terhadap ruang yang dbangun oleh hmpunan vektor. Dketahu H { v,v, K,v } adalah hmpunan vektor yang bebas lner dar ruang n vektor V dengan dm ³ n dan S {,, K, } merupakan hmpunan yang n orthonormal. Jka W menyatakan ruang yang dbangun oleh,, K,n maka untuk setap vektor z dalam W, dapat dtulskan z k + k + K + knn dengan k, k, K, k n skalar. Jka u adalah sembarang vektor dalam V, maka tentunya u dapat dtulskan sebaga jumlah dar dua vektor yang salng tegak lurus msalkan z dan z, jad dapat dtulskan u z + z. Karena z dalam W, maka sebenarnya z merupakan proyeks orthogonal u terhadap W, sedangkan z merupakan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap W. Jad untuk menentukan z, maka harus dtentukan nla k, k,, k n sedemkan hngga nla k merupakan panjang proyeks u terhadap, k merupakan panjang proyeks u terhadap dan seterusnya sehngga k n merupakan panjang proyeks u terhadap n. Proyeks orthogonal u terhadap adalah proy W (u) < u, >, dkarenakan,,, n merupakan vektor vektor yang orthonormal. Jad dapat dtulskan baha proyeks orthogonal u terhadap W adalah : Proy W (u) z < u, > + < u, > +... + < u, n > n dengan {,,, n } merupakan hmpunan orthonormal. Komponen u yang tegak lurus terhadap W adalah: z u (< u, > + < u, > +... + < u, n > n ) Msal dketahu K { v,v, K,vn} adalah hmpunan yang bebas lner, maka K dapat drubah menjad hmpunan S {,,, n } yang orthonormal dengan metode Gramm-Schmdt yatu: v. v. n proses normalsas yang palng sederhana karena hanya melbatkan satu vektor saja. Pembagan dengan v bertujuan agar memlk panjang, pada akhr langkah n ddapatkan orthonormal. v - v, v - v, Pada akhr langkah n ddapatkan dua vektor dan yang orthonormal.. M v - v, - v, v - v, - v, Langkah Past Menuju Sukses 90

n. n v - v, - v, - L v, n n n n n- n- v - v, - v, - L v, n n n n n- n- Secara umum oleh,,, -. v - v - pro pro W W () v () v dengan W merupakan ruang yang dbangun Pada metode n, pemlhan v,v, K,vn tdak harus mengkut urutan vektor yang dberkan tetap bebas sesua kengnan kta karena satu hal yang perlu dngat baha bass suatu ruang vektor tdak tunggal. Jad dengan mengubah urutan dar v,v,,v sangat memungknkan ddapatkan jaaban yang berbeda-beda. K n Pemlhan urutan dar v,v, K,vn yang dsarankan adalah yang mengandung hasl kal dalam yang bernla 0 yatu < v, v j > 0, dalam kasus n bsa dambl v v dan v v j dan seterusnya. Contoh 0.4 Dketahu H { a, b, c } dengan a (,, ), b (,, ), c (,,0 ) a. Apakah H bass R? b. Jka ya, transformaskan H menjad bass orthonormal dengan menggunakan hasl kal dalam Eucldes! Penyelesaan: a. Karena dm(r ) dan jumlah vektor dalam H, maka untuk menentukan apakah H merupakan bass R atau bukan, adalah dengan cara menghtung determnan matrks koefsen dar SPL Ax b dengan b adalah sembarang vektor é - dalam R, yatu det. Jka det 0 maka berart H bukan merupakan 0 ë bass R, sebalknya jka det ¹ 0 maka berart vektor-vektor d H bebas lner dan membangun R, jad H merupakan bass R. Dengan ekspans kofaktor sepanjang bars ketga, dperoleh: - - - - - 0 Karena det, n berart H merupakan bass dar R. b. Hasl kal dalam antara a, b, dan c a, b 4, a, c 0, b, c Langkah Past Menuju Sukses 9

Untuk memlh bass yang perhtungannya lebh sederhana dapat dambl v a, v c, v b a. b. a (,,) a c- c, c (-,,0) c- c, c {Karena a, c 0 maka c, a a, c c, 0} a a c. b- b,, -, -, - b b b a a b c c b- b, -, b b- b, a a- b, c c b- é é é é- 6 é 4 b, a a- b, c c - - 6 6 0 - ë ë ë - ë ë b- 6 b, a a- b, c c 6 6 Jad é s 6 -ë Normalsas hmpunan orthogonal ke hmpunan orthonormal Dketahu V RHD dan H { v,v, K,vn} Î V merupakan hmpunan orthogonal dengan v 0 maka bsa ddapatkan hmpunan orthonormal yang ddefnskan v sebaga S { s, s,, s n } dengan s,,,...,n. Kalau dlhat secara v seksama, sebenarnya rumusan n merupakan rumusan dar metode Gramm Schmdt yang telah mengalam reduks yatu untuk nla proy W (v) 0 akbat dar v, v,, v n yang salng orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang orthonormal basa dsebut dengan menormalsaskan vektor. Jka dm (V) n, maka S juga merupakan bass orthonormal dar V. Langkah Past Menuju Sukses 9

Contoh 0.5 Dketahu a (,, ), b (,5, ), c (,0, ) dan a, b,c Î. Jka R merupakan RHD Eucldes, Transformaskan a, b, c ke bass orthonormal! Penyelesaan a, b 0, a, c 0, b, c 0 a b c + - + ( ) 6 + + 5 0 - + + ( ) 0 5 Msalkan H {a, b, c} maka H merupakan hmpunan orthogonal. Dm(R ) jad dapat dtentukan bass orthonormal untuk R. a b c Msalkan s (,-,),(,5,),( s,0,) s - a 6 b 0 c 5 Bass orthonormal untuk R ì adalah ï ü í (,-,),(,5,),(,0,) - ï ý ïî 6 0 5 ïþ 0.4 Perubahan Bass Sepert dketahu baha suatu ruang vektor bsa memlk beberapa bass. Dar sfat nlah tentunya jka terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memlk hmpunan vektor A dan B sebaga bassnya maka x tentunya merupakan kombnas lner dar vektor-vektor d A dan B. Kajan yang dlakukan sekarang n adalah melhat hubungan antar kombnas lner tersebut. Secara sstemats, langkah-langkahnya dapat dlhat sepert berkut n; Jka V ruang vektor, S { s, s,, s n } merupakan bass V maka untuk sembarang x Î V, dapat dtulskan : x ks + ks + K + k n sn dengan k, k,, k n skalar. k, k,, k n juga dsebut koordnat x relatf terhadap bass S. ék k x s dsebut matrks x relatf terhadap bass S. M k ë \n [ ] Jka S merupakan bass orthonormal, maka Langkah Past Menuju Sukses 9

[ x] é x, s, s x s M, ë x sn Jka A {x, x } dan B {y, y } berturut-turut merupakan bass dar V, maka untuk sembarang z Î V z z dan [ z ] B? bsa ddapatkan [ ] A é é ëb ëd éa x ddapatkan x a + b...() ëb y y a c MIsalkan [ x ] B dan [ x ] B Dar [ ] B Dar [ ] B Untuk [ ] éc x ddapatkan x c + d...() ëd y y ék z ddapatkan z k A x + k x...() ëk dan [ z ] B. Bagamana hubungan [ ] A Dengan melakukan substtus dar persamaan dan ke persamaan ddapatkan: z k ()() ay + by + k cy + dy ()() k a + k c y + k b + k d y In berart [ z] P[ z] B ék a + k c éa cé k k b + k d ëb d k ë ë P dsebut matrks transs dar bass A ke bass B. Secara umum, jka A { x, x,, x n } dan B { y, y,, y n } berturut-turut merupakan bass dar ruang vektor V, maka matks transs bass A ke bass B adalah: P é[ ] [ ] [ ] ë x x B L x B n B Jka P dapat dbalk, maka P - merupakan matrks transs dar bass B ke bass A. A Langkah Past Menuju Sukses 94

Contoh 0.6 Dketahu A { v, } dan B { x, y } berturut-turut merupaka bass R, dengan v (,), (,), x (,) dan y (-, -) Tentukan: a. Matrks transs dar bass A ke bass B! éæ - ö b. Htung ç ç ë çè ø A c. Htung éæ - ö ç ç ë çè ø B dengan menggunakan hasl pada (b)! d. Matrks transs dar bass B ke bass A! Penyelesaan éa é a. Msalkan [ v] B maka é - é a éa é 0, ddapatkan dan untuk ëb ë ë - ë b ëb ë- éc é é - é c éc é- [ ] B maka, maka ddapatkan ëd ë- ë - ë d ëd ë- 5 b. Msalkan Jad matrks transs dar bass A ke bass B adalah: éæ - ö ék ék é maka, ddapatkan ë A k -ë ë ç çè ø k ë 0 P é - ë- - 5 0 c. Dar (a) dan (b) ddapatkan P é - ë- - 5 0 P éæ - ö é - ç é é ç 5 ëè ø - - - A ë ë ë dan éæ - ö é ç ç ëè ø - A ë sehngga d. Matrks transs dar bass B ke bass A adalah P - dengan P merupakan matrks transs terhadap bass A ke bass B. 5 Jad P é - - - merupakan matrks transs dar bass B ke bass A. 4 ë 0 Langkah Past Menuju Sukses 95

Lathan. Dketahu a, b ab + a b dengan a) (a,a dan b) (b,b. Tunjukkan sfat Hasl kal dalam yang tdak dpenuh!. Dketahu a, b ab - ab + ab dengan a (a,a,) a dan b (b,b,) b. Perksa apakah a, b merupakan hasl kal dalam atau tdak! Jka tdak tentukan aksoma mana yang tdak dpenuh!. R merupakan RHD dengan hasl kal dalam u, v u v + u v + u v dengan u (u,u,) u dan v (v,v,) v. W adalah subruang R yang memlk bass B { (-,, ), (,, -) } a. Transformaskan B menjad bass orthonormal! b. Msalkan x (,, -4) d R, nyatakan x y + z dengan y Î orthogonal terhadap W. W dan z 4. R merupakan RHD dengan hasl kal dalam u, v u v + u v + u v dengan u (u,u,) u dan v (v,v,) v. W adalah subruang R yang memlk bass C { b (-, 0, -), b (,, ) } a. Htung sn b jka b adalah sudut antara b dan b! b. Tentukan jarak antara b dan b! c. Msalkan x (,, -) d R, nyatakan y dan z adalah komponen dar x, dengan y Î W dan z orthogonal terhadap W. Tentukan y dan z! é 5. Dketahu P merupakan matrks transs dar bass A terhadap bass B, -ë dengan A { a, a } dan B { b, b } merupakan bass R. Jka x a a, tentukan [x] B! ì é é0 é ü ì é é0 é ü - 6. Dketahu A ï í,, ï ý dan B ï í 0,, - ï ý ïî ë ë ë ïþ 0 ïî ë ë ë ïþ tentukan a. x b. Matrks transs dar bass A ke bass B c. [x] B, bass R. Jka [ ] é x, A ë Langkah Past Menuju Sukses 96