Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Transkripsi

1 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

2 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan aturan rantai - menggunakan aplikasi dari turunan

3 Sub Pokok Bahasan : Turunan ungsi Turunan sinus dan kosinus Aturan rantai Turunan tingkat tinggi Turunan implisit Penggunaan turunan untuk maksimum dan minimum global dan lokal Penggunaan turunan untuk kemonotonan dan kecekungan Penggunaan turunan dalam penggambaran graik Turunan ungsi multivariabel

4 Garis Singgung c+h c c, c = c+h, c+h c+h c Deinisi Garis singgung kurva = pada titik Pc, c adalah garis ang melalui P dengan kemiringan m tan lim m h0 sec lim h0 c h h c Asalkan limit ini ada dan bukan atau c c + h

5 Contoh : Garis Singgung 1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva = = di titik,4. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva = = pada titik-titik dengan koordinat = -1, ½, dan Carilah persamaan garis singgung pada kurva = 1/ di titik, ½ = 1/ = = - + +

6 Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisina pada saat t diberikan oleh s = t. Pada saat c, benda berada di c; pada saat c+h benda berada di c+h, maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah : c h c v avg h Sedangkan kecepatan sesaatna adalah : c h c v lim vavg lim h0 h0 h Asalkan limitna ada dan bukan atau perubahan waktu c c + h c perubahan posisi c+h

7 Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Contoh : 1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada t = 5,4 detik, jika t = 16t. Berapakah waktu ang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 11 m/dt 3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s jarak berarah dalam cm ang diukur dari titik asal ke titik ang dicapai setelah t detik ditentukan oleh ungsi s = t = 5t + 1 ½. Hitunglah kecepatan sesaat partikel setelah 3 detik 4. Problem Set.1 No. 18-5

8 Konsep Turunan Derivative Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika ang dikenal dengan istilah turunan atau derivative. Deinisi Turunan suatu ungsi adalah ungsi lain / ang nilaina pada sembarang bilangan adalah / h lim h 0 h Asalkan limit ini ada dan bukan atau Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa terdierensiasikan di c. Pencarian turunan disebut dierensiasi, dan bagian kalkulus ang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus dierensial

9 Konsep Turunan Derivative Contoh : 1. Andaikan = Carilah / 4. Jika = 3 + 7, carilah / 3. Jika = 1/, carilah / 4. Carilah F / jika F =, > 0 Problem Set. No. 1 - Teorema Keterdierensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi Jika / c ada, maka dikatakan kontinu di c Teorema di atas tidak berlaku kebalikanna. Sebagai contoh ungsi = Tugas : Tentukan di mana saja suatu ungsi menjadi tidak terdierensiasi? Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottried Leibniz, ang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz. d d lim lim 0 0 / D

10 Aturan Mencari Turunan Bagi Aturan Hasil ' ' ] / [ 8. Kali Aturan Hasil ' ' ] [ 7. Aturan Selisih ' ' ] [ 6. Aturan Jumlah ' ' ] [ 5. Aturan Kelipatan Konstanta ' ] [ 4. Aturan Pangkat ' 3. Identitas Aturan F. 1 '. Konstanta Aturan F. 0 ' constant 1. 1 g g g g D g g g D g g D g g D k D k k D n n n

11 Aturan Mencari Turunan Contoh : 1. Tentukan derivati dari dan Misalkan g = ; h = 1 + ; = g h = 1 +. Temukan /, g /, dan h /. Tunjukkan bahwa / g / h / 3. Temukan derivati dari Temukan 3 5 d d 5. Tentukan D jika 6. Tunjukkan bahwa D n = n n 1 7. Problem Set.3 No

12 Turunan Fungsi Trigonometri cot csc ' csc 6. tan sec ' sec 5. csc ' cot 4. sec ' tan 3. sin ' cos. cos ' sin 1.

13 Turunan Fungsi Trigonometri Contoh : 1. Tentukan D 3sin cos. Tentukan persamaan garis singgung dari ungsi = 3 sin di titik p,0 3. Tentukan D sin 4. Tentukan d 1 sin d cos 5. Tentukan D n tan untuk n > 1 6. Problem Set.4 No. 1

14 Aturan Rantai Teorema Aturan Rantai Misalkan = u dan u = g. Jika g terdierensiasikan di dan terdierensiasikan di u = g, maka ungsi komposit g, dideinisikan oleh g = g terdierensiasikan di dan : g / = / g g / Atau D g = / g g / Atau D = D u D u Atau d d d du du d

15 Aturan Rantai Contoh : 1. Jika = , tentukan D. Jika = 1/ 5 7 3, tentukan d/d 3 3. Temukan t t 1 D t 4 3 t 4. Jika = sin, tentukan d/d 5. Tentukan F / jika F = sin 6. Tentukan 1 D 7. Tentukan 1 d 3 8. Tentukan Dd sin Tentukan D sin[cos ] Problem Set.5 No. 1-40

16 Sub Pokok Bahasan : Turunan Tingkat Tinggi Turunan Implisit Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum Lokal

17 Turunan Tingkat Tinggi Operasi dierensiasi ungsi, menghasilkan ungsi baru, jika dideerensiasi lagi akan menghasilkan, demikian seterusna akan diperoleh, 4, 5 dan seterusna

18 Contoh : Turunan Tingkat Tinggi 1. Jika = sin, carilah d 3 /d 3, d 4 /d 4. Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisina s memenuhi s = t 1t + 8, dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik t > 0. Tentukan kecepatan benda ketika t = 1 dan ketika t = 6. Kapankah kecepatanna nol. Kapankah kecepatanna positi? 3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisina pada saat t dinatakan oleh s = t 3 1t + 36t 30. Di sini diukur dalam desimeter dan t dalam detik. Kapankah kecepatanna nol? Kapan kecepatanna positi? Kapan titik bergerak mundur ke kiri? Kapan percepatanna positi a = dv/dt = d s/dt 4. Problem Set.6 No. 1-16

19 Turunan Implisit Fungsi : = disebut ungsi eksplisit Fungsi : =0 disebut ungsi implisit Bagaimana mencari derivati dari suatu ungsi implisit? Yaitu dengan menggunakan turunan implisit d d 3 d d 7 d d 3 3 d d 7 d d 3 d d 3 3 7

20 Turunan Implisit Contoh : 1. Carilah d/d jika 4 3 = 3 1. Carilah d/d jika = Cari persamaan garis singgung pada kurva 3 + cos = di titik 0,1 4. Jika = 5/ ½, Carilah D 5. Problem Set.7 No. 1-34

21 Maksimum dan Minimum Deinisi Jika S, adalah domain dari, berisi titik c. Maka dikatakan : c adalah nilai maksimum pada S jika c > untuk semua di S c adalah nilai minimum pada S jika c < untuk semua di S c adalah nilai ekstrim pada S bila ia adalah nilai maksimum atau minimum Fungsi ang ingin dimaksimumkan atau minimumkan adalah ungsi objekti Pada [0, tanpa maks atau min Pada [1,3], maks = 1, min = 1/3 Pada 1,3], tanpa maks, min = 1/3 tanpa maks, min = 0 Teorema Jika kontinu pada interval tertutup [a,b], maka mencapai nilai maksimum dan minimum di interval tersebut

22 Maksimum dan Minimum Teorema Jika terdeinisikan pada interval I ang memuat titik c. Jika c adalah titik ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; akni berupa salah satu dari : Titik ujung dari I Titik stasioner dari titik dimana / c = 0, atau Titik singular dari titik dimana / c tidak ada titik ujung titik stasioner titik singular

23 Contoh : Maksimum dan Minimum 1. Carilah titik-titik kritis dari = pada [ - ½, ]. Carilah nilai maksimum dan minimum dari = 3, pada [-,] 3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari = Fungsi F = /3 kontinu di semua interval. Temukan nilai maksimum dan minimumna di [-1,] 5. Temukan nilai maksimum dan minimum dari = + cos pada interval [-p,p] 6. Problem Set 3.1 No. 1-6 Concept Review 1. Suatu ungsi.. pada suatu interval.. akan selalu mempunai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval tersebut.. Istilah nilai.. menatakan suatu nilai maksimum atau minimum 3. Suatu ungsi dapat mencapai nilai ekstrim hana pada titik kritis. Titik kritis tersebut ada tiga jenis aitu..,.., dan.. 4. Titik stasioner untuk adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga..; titik singular untuk adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga..

24 Maksimum dan Minimum Lokal Deinisi Jika S, adalah domain dari, berisi titik c. Maka dikatakan : c adalah nilai maksimum lokal dari jika terdapat sebuah interval a,b ang berisi c sehingga c adalah nilai maksimum dari pada a,b S c adalah nilai minimum lokal dari jika terdapat sebuah interval a,b ang berisi c sehingga c adalah nilai minimum dari pada a,b S c adalah nilai ekstrim lokal dari bila ia adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal

25 Maksimum dan Minimum Lokal Teorema uji turunan pertama Jika kontinu pada interval terbuka a,b ang memuat titik kritis c : Jika > 0 untuk semua dalam a,c dan < 0 untuk semua dalam c,b maka c adalah nilai maksimum lokal Jika < 0 untuk semua dalam a,c dan > 0 untuk semua dalam c,b maka c adalah nilai minimum lokal Jika bertanda sama pada kedua sisi c, maka c bukan nilai ekstrim lokal tanpa nilai ekstrim lokal nilai maksimum lokal nilai minimum lokal

26 Maksimum dan Minimum Lokal Contoh : 1. Carilah nilai ekstrim lokal dari ungsi = pada,. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari = 1 / pada, 3. Carilah nilai ekstrim lokal dari = sin /3 pada -p/6, p/3 Teorema uji turunan kedua Jika dan ada pada setiap interval terbuka a,b ang memuat c, dan andaikan c = 0 : Jika c < 0, maka c adalah nilai maksimum lokal Jika > 0, maka c adalah nilai minimum lokal 4. Untuk = 6 + 5, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal 5. Untuk = 1 / , gunakanlah uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal 6. Problem Set 3.3 No. 1-18

27 Sub Pokok Bahasan : Kemonotonan dan Kecekungan Penggambaran Graik

28 Kemonotonan Deinisi Andaikan terdeinisi pada interval I, dikatakan bahwa : naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan 1 dan dalam I 1 < 1 < turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan 1 dan dalam I 1 < 1 > monoton murni pada I jika naik pada I atau turun pada I

29 Kemonotonan Teorema Kemonotonan Andaikan kontinu pada interval I, dan terdierensiasi pada setiap titik dalam dari I Jika > 0 untuk semua titik dalam I, maka naik pada I Jika < 0 untuk semua titik dalam I, maka turun pada I Contoh : 1. Jika = , cari dimana naik dan dimana turun. Tentukan dimana g = /1+ naik dan dimana turun

30 Kecekungan Jika terdierensiasi pada interval terbuka I. Dikatakan bahwa dan graikna cekung ke atas pada I jika naik pada I dan dikatakan bahwa cekung ke bawah pada I jika turun pada I Teorema Kecekungan Andaikan terdierensiasi dua kali pada interval terbuka I Jika > 0 untuk semua dalam I, maka cekung ke atas pada I Jika < 0 untuk semua dalam I, maka cekung ke bawah pada I

31 Contoh : 1 1. Dimana = naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke 3 bawah. Dimana = /1+ cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah

32 Titik Balik Andaikan kontinu di c, maka titik c, c merupakan titik balik dari graik, jika cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainna dari c. Titik-titik dengan = 0 atau tidak ada, merupakan calon-calon untuk titik balik Contoh : carilah titik balik untuk F = 1/3 + Problem Set 3. No. 1 8

33 Sub Pokok Bahasan : Fungsi Dua Variabel atau Lebih Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai

34 Fungsi Dua Variabel = ungsi satu variabel z=, ungsi dua variabel z: variabel tak bebas, : variabel bebas Contoh : 1.. g, 3, Domain z =, : semua titik, ang memberikan suatu bilangan real untuk,. Kecualikan dan ang menghasilkan bilangan kompleks dan penebut nol

35 Fungsi Dua Variabel Contoh : 1. Sket domain asli dari ungsi :, ,. z 1,

36 Fungsi Dua Variabel Untuk membuat sket graik z =, biasana cukup sulit Cara ang lebih simple adalah dengan menajikan dalam bentuk peta kontour Tiap bidang datar z = c akan memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva. Proeksi kurva pada bidang disebut kurva ketinggian, dan kumpulan kurva-kurva tersebut dinamakan peta kontour Contoh : Gambarkan peta kontour dari permukaan ang berhubungan dengan z z

37 Fungsi Dua Variabel Respect, Proessionalism, & Entrepreneurship

38 Limit dan Kekontinuan Deinisi Limit Fungsi Dua Variabel lim, L berarti bahwa untuk setiap > 0 betapapun, a, b kecilna terdapat > 0 ang berpadanan sedemikian hingga, L < dengan sarat bahwa 0 <, a, b <. Atau secara sederhana dikatakan apabila, cukup dekat dengan a, b, maka, akan cukup dekat dengan L

39 Limit dan Kekontinuan Contoh : evaluasi limit berikut jika ada 0,0, 0,0, 1,, lim. 1 lim. 3 lim. c b a

40 Kekontinuan Pada Titik, kontinu di titik a, b jika 1. memiliki nilai di a, b. memiliki limit di a, b, dan 3. Nilai di a, b sama dengan limitna di titik itu Catatan : 1. Fungsi Polinom kontinu di mana-mana. Fungsi Rasional kontinu di mana-mana asalkan penebut bukan nol

41 Kekontinuan Pada Titik Contoh : Tentukan titik, di mana ungsi berikut kontinu Problem Set 1.3 No cos,. 4 3,. b F a H

42 Turunan Parsial Deinisi Andaikan, adalah ungsi variabel, maka adalah turunan parsial dari terhadap, dan adalah turunan parsial dari terhadap. atau atau

43 Turunan Parsial Note: dihitung dengan menganggap konstan dihitung dengan menganggap konstan

44 Turunan Parsial Contoh : 1. Tentukan 1, dan 1, jika, = Jika z = sin, tentukan z/ dan z/ tentukan / dan / dari ungsi : , 5., 4. 1, 3.

45 Turunan Parsial Tingkat Tinggi Jika z=,, maka turunan parsial kedua dari ungsi adalah : b a 3.. ;. 1.

46 Turunan Parsial Tingkat Tinggi Contoh : 1. Tentukan empat buah turunan parsial kedua dari, = e sin/ + 3. Jika,,z = + z + 3z, tentukan,, z Problem Set 1. No. 1-30,,,,,, 3. z T w T w T e z z w T w tentukan Jika

47 Aturan Rantai Teorema : Jika = t dan = t dapat didierensialkan di t dan andaikan z =, dapat didierensialkan di t, t, maka z = t, t dapat didierensialkan di t : dz d d dt dt dt Contoh : 1. Jika z = 3, dengan = t dan = t, tentukan dz/dt. Misalkan w = + + z, dengan = cos q, = sin q dan z = q. Tentukan dw/dq dan evaluasi pada q = p/3

48 Teorema : Jika = s,t dan = s,t mempunai turunan parsial pertama di s,t, dan z =, dapat didierensialkan di s,t, s,t, maka z = s,t, s,t mempunai turunan parsial z s z s z s z t z t z t Contoh : 1. Jika z = 3 -, dengan = s+7t dan = 5st, tentukan z/ t. Misalkan w = + + z +, dengan = st, = s- t dan z = s + t, tentukan w/ t

49 Misalkan F, = 0, dengan aturan rantai dapat didierensialkan ke sehingga F d d F d d 0 d d F F Contoh : 1. Tentukan d/d jika = 0. Jika F,,z = 3 e +z sin z = 0, tentukan z/ 3. Problem Set 1.6 No. 1 16

50 TIU : Mahasiswa dapat melakukan turunan ungsi multivariabel TIK : Mahasiswa mampu menggunakan uji turunan kedua untuk mencari nilai ekstrim ungsi multivariabel Sub Pokok Bahasan : Nilai Ekstrim

51 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Deinisi Misalkan adalah ungsi dengan domain S, dan p 0 = 0, 0 adalah titik di S, maka : 1. p 0 adalah nilai ekstrim global dari pada S, jika p 0 adalah suatu nilai maksimum global atau nilai minimum global. p 0 adalah nilai maksimum global dari pada S jika p 0 p untuk semua p pada S 3. p 0 adalah nilai minimum global dari pada S jika p 0 p untuk semua p pada S.

52 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Di mana nilai ekstrim muncul? 1. Titik Titik Batas. Titik Stasioner = 0 ; = 0 3. Titik Singular, titik di mana tidak dapat didierensialkan, misalkan titik di mana graik mempunai pojok tajam

53

54 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Contoh : 1. Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari, = + /4. Temukan nilai maksimum atau minimum lokal dari, = - /a + /b

55 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Andaikan, memiliki turunan parsial kedua,, and dan 0 0, 0, maka 1. Jika D>0 dan 0, 0 <0, 0, 0 adalah lokal maksimum. Jika D>0 and 0, 0 >0, 0, 0 adalah lokal minimum 3. Jika D<0, 0, 0 adalah titik saddle bukan nilai ekstrim 4. Jika D=0, tidak ada kesimpulan D= 0, 0 0, 0 - [ 0, 0 ]

56 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Contoh : 1. Cari nilai ekstrim jika ada, dari ungsi F, = Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan z = Problem Set 1.8 No. 1 1