TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

Transkripsi

1 TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar (melalui rumus eksplisit) secara visual (melalui grafik atau kurva ketinggian) Suatu fungsi dua variabel adalah suatu aturan ang memberikan sebuah bilangan riil unik pada masing-masing pasangan bilangan terurut bilangan riil (,) di dalam sebuah himpunan D; dan bilangan riil unik tersebut dinatakan oleh f (,). Himpunan D merupakan daerah asal (domain) dari f. Himpunan nilai ang digunakan f merupakan daerah hasil (range) dari f. Dengan kata lain, f (, ) (, ) D Jika z f (, ), maka dan merupakan variabel bebas (independent variables) sementara z merupakan variabel tak bebas (dependent variable). Fungsi dua variabel tidak lain adalah fungsi ang daerah asalna berupa himpunan bagian dari R dan daerah nilaina merupakan himpunan bagian dari R. Perhatikan contoh berikut. >> Contoh 1 Misalkan f (, ) 9. a. Hitunglah f (1, ). b. Carilah daerah asal fungsi f. c. Carilah daerah hasil fungsi f. a. f (1, ) 9 1 b. Fungsi f tidak akan terdefinisi jika kurang dari 0. Jadi, f (, ) 0 Dengan demikian, D (, )

2 c. Misalkan z f (, ) 9. Karena z merupakan akar kuadrat positif, maka z 0. Dan, z. Jadi, daerah hasilna adalah: z 0 z f (, ) 0 f (, ). Cara lain untuk meninjau perilaku suatu fungsi dua variabel adalah dengan meninjau grafik. Jika f adalah suatu fungsi dua variabel dengan daerah asal D, maka grafik f adalah himpunan semua titik (,,z) di R sedemikian sehingga z = f (,) dan (,) berada di D. >> Contoh Sketsakan grafik fungsi z f (, ) 6. Grafik f mempunai persamaan z 6 atau z 6 ang menatakan bidang. Bagian dari grafik ini terletak pada oktan pertama, ang disketsakan pada gambar berikut. z (0,0,6) (,0,0) (0,,0) >> Contoh 1 Sketsakan grafik fungsi z 6 9. Perhatikan bahwa z 0. Jika kedua ruasna dikuadratkan dan kemudian disederhanakan, z maka diperoleh 9 9z 6 atau 1 ang berbentuk elipsoida. Grafik 9 fungsina adalah setengah bagian atas dari elipsoida, ang disketsakan pada gambar berikut. 1 z 6 9

3 Suatu sketsa ang berpadanan dengan grafik dari fungsi dua variabel z f (, ) seringkali sukar dibuat dalam ruang dimensi-, sehingga sketsa dalam ruang dimensi- dibuat. Setiap bidang horizontal z = c memotong permukaan pada suatu kurva. Proeksi dari perpotongan ini pada bidang disebut sebagai suatu kurva ketinggian, dan koleksi dari kurva-kurva ketinggian tersebut disebut sebagai suatu peta kontur. Permukaan z = f (,) Bidang z = c Peta kontur dengan beberapa kurva ketinggian >> Contoh 1 Gambarkan peta kontur untuk permukaan ang mempunai fungsi z 6 9 dengan z 0, z 1, z 1,5, z 1,75, dan z. Saat z 0, diperoleh 9 6 atau 1 ang berbentuk elips. 9 Saat z 1, diperoleh 9 7 atau 1 ang berbentuk elips. 7 Saat z 1,5, diperoleh Saat z 1,75, diperoleh Saat z, diperoleh Kurva Ketinggian f (,) = c 9 atau atau ang berbentuk titik. 1 ang berbentuk elips. 1 ang berbentuk elips.

4 Berikut ini adalah beberapa contoh permukaan disertai dengan peta konturna.

5 Suatu fungsi tiga variabel adalah aturan ang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada masing-masing rangkap-tiga terurut (,,z) di dalam daerah asal D R ; dan bilangan riil unik tersebut dinatakan oleh f (,,z). Dengan kata lain, f (,, z) (,, z) D Suatu fungsi n variabel adalah aturan ang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada masing-masing rangkap-n terurut ( 1,,..., n) di dalam daerah asal D R n ; dan bilangan riil unik tersebut dinatakan oleh f ( 1,,..., n). Dengan kata lain, f (,,..., ) (,,..., ) D 1 n 1 n B. Turunan Parsial Jika f adalah fungsi dua variabel, katakanlah f (,), maka: turunan parsial dari f terhadap pada titik (a,b) (, ) lim f ( a h, b) f ( a, b) f a b h0 h turunan parsial dari f terhadap pada titik (a,b) (, ) lim f ( a, b h) f ( a, b) f a b h0 h Notasi untuk turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel adalah sebagai berikut. Jika z f (, ), maka: f z f(, ) f f (, ) f z f (, ) f f (, ) Simbol merupakan simbol untuk turunan parsial dalam matematika. Aturan untuk pencarian turunan parsial dari z f (, ) adalah sebagai berikut. Untuk mencari f, pandang sebagai konstanta dan diferensialkan f (, ) terhadap. Untuk mencari f, pandang sebagai konstanta dan diferensialkan f (, ) terhadap. >> Contoh 5 Tentukan f (1, ) dan f (1, ) jika f (, ). f (, ) ; sehingga f(1,) (1)(). (, ) 9 f ; sehingga f (1,) (1) 9() 7. Pada turunan parsial tingkat tinggi, secara umum prosesna sama dengan turunan parsial pertama (tingkat satu). Dalam turunan parsial kedua (tingkat dua), diperoleh: 5

6 f f f f - f - f f f f f - f - f Jadi, dalam turunan parsial kedua, diperoleh turunan parsial. Dalam turunan parsial ketiga, diperoleh 8 turunan parsial. Demikian seterusna, sampai turunan parsial ke-n, diperoleh n turunan parsial. >> Contoh 6 Tentukan turunan parsial kedua dari f (, ) e sin. Tentukan terlebih dahulu f dan f. 1 f e cos 1 f sin 6 1 f e sin cos 6 ; ; cos f e f e sin cos 1 f e sin cos 6 Perhatikan pada Contoh 6 bahwa f f. Hal ini merupakan kasus khusus ang memiliki kriteria sebagai berikut. Teorema 1 Teorema Clairaut Misalkan f dan f merupakan fungsi ang kontinu pada suatu himpunan buka S. Maka, f f di setiap titik pada himpunan buka S. Andaikan f adalah suatu fungsi tiga variabel, f (,,z). Maka, turunan parsial f terhadap di (a,b,c): (,, ) lim f ( a h, b, c) f ( a, b, c) f a b c h0 h Jadi, f( a, b, c ) dapat diperoleh dengan memperlakukan dan z sebagai konstanta dan mendiferensialkan f (,, z ) terhadap. Turunan parsial terhadap dan z juga didefinisikan dengan cara ang serupa. >> Contoh 7 Tentukan f z jika f (,, z) sin( z). f cos( z) f 9sin( z) f 9z cos( z) f 9cos( z) 9z sin( z) z 6

7 C. Limit dan Kontinuitas Berikut ini adalah definisi formal dari limit fungsi dua variabel. lim f (, ) L berarti jika untuk setiap bilangan 0, terdapat 0 sedemikian a b (, ) (, ) sehingga f (, ) L bilamana (, ) adalah anggota dari domain D dan 0 (, ) ( a, b) atau 0 ( a) ( b). >> Contoh 8 Hitunglah lim [ ]. (, ) (1,) lim [ ] (, ) (1,) 8 11 Ada beberapa fungsi ang memerlukan penangan khusus. Perhatikan Contoh 9 berikut. >> Contoh 9 Perlihatkan bahwa Misalkan f (, ) lim (, ) (0,0) tidak ada.. Pertama, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-, ang berarti bahwa 0 0. Maka, f(,0) 1 untuk semua 0 sehingga: 0 0 lim 1 (,0) (0,0) 0 Selanjutna, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-, ang berarti bahwa 0. Maka, 0 f(0, ) 1 untuk semua 0 sehingga: 0 Karena f (, ) Fungsi polinomial dua variabel: 0 lim 1 0 (0, ) (0,0) memiliki dua limit ang berbeda, maka f (, ) m n i1 j1 i j cij Fungsi rasional dua variabel: p(, ) f (, ) ; q(, ) 0 q(, ) lim (, ) (0,0) tidak ada. 7

8 Teorema >> Jika f (, ) merupakan fungsi polinomial, maka: lim f (, ) f (, ) (, ) ( a, b) p(, ) >> Jika f (, ) dengan p(, ), q(, ) adalah fungsi polinomial, maka: q(, ) p(, ) p( a, b) lim ; (, ) ( a, b) q(, ) q( a, b) q( a, b) 0 >> Jika lim (, ) L 0 dan lim (, ) 0, maka: (, ) ( a, b ) (, ) ( a, b ) p(, ) lim (, ) ( a, b) q(, ) tidak ada. >> Contoh 10 Perlihatkan bahwa lim (, ) (0,0) 1 tidak ada. lim p(, ) lim [ 1] 1 (, ) (0,0) (, ) (0,0) lim q(, ) lim [ ] 0 (, ) (0,0) (, ) (0,0) Berdasarkan Teorema, maka dapat dikatakan bahwa Selanjutna akan dibahas mengenai fungsi kontinu. lim (, ) (0,0) 1 tidak ada. Fungsi dua variabel f (, ) disebut kontinu di (a,b) jika lim f (, ) f (, ) (, ) ( a, b) oleh: Hal di atas mengartikan bahwa kekontinuan f (, ) pada suatu titik (a,b) ditentukan (1) f (, ) mempunai nilai di (a,b), () f (, ) mempunai limit di (a,b), dan () nilai f (, ) di (a,b) sama dengan limitna di (a,b). Teorema (Fungsi Komposisi) Jika g suatu fungsi dua variabel ang kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi satu variabel ang kontinu di g(a,b), maka fungsi komposisi f g ang didefinisikan oleh (f g)(,) = (f (g(,)) kontinu di (a,b). >> Contoh 11 Perlihatkan bahwa f (, ) cos adalah kontinu di setiap titik dari bidang. 8

9 Fungsi g(, ), ang merupakan suatu fungsi polinom, adalah kontinu di mana-mana. Demikian pula dengan f ( t) cos t kontinu di setiap bilangan t pada R. Berdasarkan Teorema, dapat disimpulkan bahwa f (,) = (f (g(,)) kontinu di semua titik (,) pada bidang. D. Keterdiferensialan Suatu fungsi f dikatakan dapat terdiferensialkan di p jika terdapat suatu vektor m sedemikian sehingga dengan ε h 0 saat h 0. f (p + h) = f (p) + m h + h ε(h) Jika vektor m ada, maka sifatna unik (tunggal). Vektor m ini disebut sebagai vektor gradien f di p dan dilambangkan f (p) [baca: grad f ]. Jadi, jika fungsi f terdiferensialkan di p maka fungsi f memiliki gradien f (p) dan f (p + h) = f (p) + f (p) h + h ε(h) dengan ε h 0 saat h 0. Dari definisi di atas, dapat ditarik beberapa aspek, aitu: 1) Turunan f ( ) merupakan suatu bilangan, sedangkan gradien f (p) merupakan suatu vektor. ) f (p) h merupakan hasil kali titik dari dua vektor. ) Definisi tersebut memiliki arti pada sembarang dimensi. Teorema Jika f fungsi dua variabel terdiferensialkan di p =,, maka turunan parsial pertama dari f ada di p dan f f (p) = (p) i + f (p) j Serupa dengan fungsi dua variabel, Jika g adalah fungsi tiga variabel ang terdiferensialkan di p =,, z, maka turunan parsial pertama dari g ada di p dan Teorema 5 g (p) = g (p) i + g (p) j + g (p) k z adalah suatu operator linier. Maka, (i) [f (p) + g (p)] = f (p) + g (p) (ii) [α f (p)] = α f (p) (iii) [f (p) g (p)] = f (p) g (p) + g (p) f (p) Teorema 6 Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p. 9

10 >> Contoh 1 Carilah f jika f (,, z) sin z. p = (,, z ), maka: f f (p) = (p) i + f (p) j + f (p) k z f (p) = sin z i + z cos z j + cos z k E. Turunan Berarah dan Gradien Untuk setiap vektor satuan u, misalkan D u f p = lim 0 f p + u f(p) Limit ini, jika ada, disebut sebagai turunan berarah dari f di p dalam pada arah u. Teorema 7 Misalkan f terdiferensialkan di p. Maka, f memiliki suatu turunan berarah di p pada arah dari suatu vektor satuan u dan D u f (p) = u f (p) Jika f adalah fungsi dua variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi D u f (,) = u 1 f (,) + u f (,) Jika f adalah fungsi tiga variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi D u f (,,z) = u 1 f (,,z) + u f (,,z) + u f z (,,z) >> Contoh 1 Carilah turunan berarah fungsi f (, ) di titik (, 1) dalam arah vektor v = i + 5 j. Diketahui p = (, 1). Langkah pertama, cari terlebih dahulu vektor gradien di (, 1), aitu f (, 1). f f (p) = (p) i + f (p) j f f (, ) = (, ) i + f (, ) j f (, ) = i + ( ) j f (, 1) = i + 8 j Perhatikan bahwa v bukanlah vektor satuan. Jadi, langkah selanjutna adalah mencari vektor satuan dari v. 10

11 Berdasarkan Teorema 7, maka v = 5 9 u = v v = 9 i j D u f (p) = u f (p) D u f, 1 = 9 i j i + 8 j = 9 F. Aturan Rantai Teorema 8A (Aturan Rantai Kasus Pertama) Misalkan z f (, ) adalah fungsi dari dan ang terdiferensiasi, dengan g() t dan h() t adalah fungsi ang terdiferensiasi dari t. Maka, dz f d f d dt dt dt Bentuk di atas juga dapat dituliskan sebagai berikut: dz z d z d dt dt dt >> Contoh 1 Diketahui z dengan t dan t. Tentukanlah dz/dt. dz z d z d t 6 t 6( t) ( t ) ( t) ( t) 0t dt dt dt Teorema 8B (Aturan Rantai Kasus Kedua) Misalkan z f (, ) adalah fungsi dari dan ang terdiferensiasi, dengan g( s, t) dan h( s, t) adalah fungsi ang terdiferensiasi dari s dan t. Maka, z z z s s s z z z t t t >> Contoh 15 Diketahui z dengan s 7t dan 5st. Tentukanlah z/ t. z z z t t t 6 7 ( ) 5s 10s (s 7 t) 10(5 st) s s t s t 11

12 Teorema 8 (Aturan Rantai Versi Umum) Misalkan u adalah fungsi dari n variabel antara 1,,..., n ang terdiferensiasi, dengan masing-masing j adalah fungsi dari m variabel t 1, t,... t m. Maka, u u 1 u u n... ti 1 ti ti n ti untuk masing-masing i 1,,..., m. >> Contoh 16 Jika w z dengan st, s t, dan z s t. Tentukan w/ t w w w w z t t t z t ( )( s) ( )( 1) ( z)() ( s s) ( ) z ( st) s ( s t) s ( s t) ( st) ( s t) s t s ts s t st s 8t s t s st s 10t Teorema 9 (Teorema Fungsi Implisit) Misalkan F(, ) 0 mendefinisikan secara implisit sebagai suatu fungsi dalam, maka d F / d F / Misalkan F(,, z) 0 mendefinisikan secara implisit z sebagai suatu fungsi dalam dan, maka z F / z F / ; F / z F / z >> Contoh 17 Tentukan d / d jika Misalkan F(, ) Maka, d F / d F / 0 G. Bidang Singgung, Aproksimasi Bidang singgung terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F(,, z) di titik P( 0, 0, z 0) dapat didefinisikan sebagai bidang ang melalui titik P dan memiliki vektor normal F( 0, 0, z0). Persamaan bidang singgung ini dapat dituliskan sebagai berikut: F (,, z )( ) F (,, z )( ) F (,, z )( z z ) z k 1

13 F( 0, 0, z0) F(,, z) = k Bidang singgung 0, 0, z 0 Garis normal terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F(,, z) k di titik P adalah garis ang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang singgung. Karena itu, arah garis normal diberikan oleh vektor gradien F( 0, 0, z0), sehingga persamaan parametrikna adalah: 0 0 z z0 F (,, z ) F (,, z ) F (,, z ) z >> Contoh 18 Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan z di titik (1,,). Misalkan F(,, z) z, dengan 0 1, 0, z0. F (,, ) z F (,, z) Fz (,, z) z F (1,,) F (1,,) Fz (1,,) 1 Persamaan bidang singgungna adalah: F (,, z )( ) F (,, z )( ) F (,, z )( z z ) z F (1,,)( 1) F (1,,)( ) F (1,,)( z ) 0 z ( 1) ( ) 1( z ) 0 Dan, garis normalna adalah: 0 0 z z0 F (,, z ) F (,, z ) F (,, z ) z z F (1,,) F (1,,) F (1,,) z 1 z 1 Misalkan z = f (,) dengan f suatu fungsi ang terdiferensialkan, dan misalkan d dan d berupa variabel-variabel. Diferensial dari variabel tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df (, ), didefinisikan oleh: dz df (, ) f (, ) d f (, ) d 1

14 Pentingna dz adalah dari kenataan bahwa jika d = dan d =, masing-masing mewakili perubahan kecil dalam dan, maka dz akan berupa suatu aproksimasi ang baik terhadap z, perubahan padananna dalam z. Untuk lebih jelasna, perhatikan gambar berikut ini. Bidang singgung Walaupun dz bukanlah merupakan suatu aproksimasi ang baik terhadap z, dapat dilihat bahwa penghampiran ini akan semakin baik jika Δ dan Δ semakin kecil. >> Contoh 19 Diketahui z f (, ). Hitunglah Δz dan dz jika (,) berubah dari (,1) ke (,0, 0,98). z f (, 0, 0,98) f (,1) (, 0) (, 0)(0,98) (0,98) () (1) 1 0, 77906,0 0,0 0,98 1 0,0 dz f (, ) d f (, ) d 6 0,77 6() 1 (0, 0) (1) ( 0, 0) H. Maksimum dan Minimum Misalkan p = (, ) sebagai suatu titik variabel dan p 0 = ( 0, 0) sebagai suatu titik tetap pada ruang dimensi-. (Hal berikut juga berlaku pada ruang dimensi-n.) 1

15 Misalkan p 0 suatu titik di S, aitu wilaah dari f. (i) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada S. (ii) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada S. (iii) Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai maksimum global atau minimum global, maka f(p 0 ) adalah nilai ekstrem global dari f pada S. Misalkan p 0 suatu titik di S, aitu wilaah dari f. Untuk (i) dan (ii) jika N S, dengan N merupakan suatu lingkungan dari p 0. (i) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai maksimum lokal dari f pada S. (ii) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai minimum lokal dari f pada S. (iii) Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai maksimum lokal atau minimum lokal, maka f(p 0 ) adalah nilai ekstrem lokal dari f pada S. Gambar berikut memberikan tafsiran geometri dari kedua konsep di atas. maksimum lokal maksimum global minimum global minimum lokal S Teorema 10 (Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum) Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup ang terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu minimum (global) dua-duana di sana. Titik-titik kritis dari f pada S ada tiga jenis, aitu: 1) titik-titik batas ) titik-titik stasioner; p 0 disebut sebagai suatu titik stasioner jika p 0 adalah suatu titik dalam dari S dengan f terdiferensialkan dan f (p 0 ) = 0. Pada titik ini, bidang singgung akan mendatar. ) titik-titik singular; p 0 disebut sebagai suatu titik singular jika p 0 adalah suatu titik dalam dari S dengan f tidak terdiferensialkan. 15

16 Teorema 11 (Teorema Titik Kritis) Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S ang mengandung p 0. Jika f (p 0 ) adalah suatu nilai ekstrem, maka p 0 haruslah berupa suatu titik kritis; aitu, p 0 merupakan salah satu dari: a. suatu titik batas dari S, atau b. suatu titik stasioner dari f, atau c. suatu titik singular dari f. Teorema 1 Jika f mempunai maksimum atau minimum lokal di p 0 dan turunan parsial pertama dari f ada, maka f (p 0 ) = 0 dan f (p 0 ) = 0. Perhatikan Teorema 1 di atas. Jika diketahui p 0 merupakan suatu titik maksimum atau minimum lokal dari f, maka nilai f (p 0 ) dan f (p 0 ) pastilah sama dengan 0. Namun, jika diketahui f (p 0 ) = 0 dan f (p 0 ) = 0, hal ini tidak menjamin terdapat ekstrem lokal di titik p 0. Untuk lebih jelasna, simak Contoh 0 dan Contoh 1 berikut ini. >> Contoh 0 Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f (, ). f (, ) f(, ) f (, ) Selanjutna, buatlah turunan parsial pertamana sama dengan nol, f (, ) 0 1 f (, ) 0 0 sehingga diperoleh satu-satuna titik kritis, aitu (1,0). 0 Perhatikan bahwa f (1, 0) 1 (1) 1. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh: f (, ) ( 1) 1 16

17 0, maka didapat (, ) 1 Karena ( 1) 0 dan f untuk semua nilai dan. Jadi, f (1,0) 1 adalah nilai minimum lokal sekaligus juga minimum global dari f. >> Contoh 1 Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f (, ) f (, ) f (, ) f (, ). Selanjutna, buatlah turunan parsial pertamana sama dengan nol, f (, ) 0 0 f (, ) 0 0 sehingga diperoleh satu-satuna titik kritis, aitu (0,0). Perhatikan bahwa titik (0,0) ini tidaklah memberikan keterangan mengenai suatu maksimum ataupun minimum dari f. Maka, f (0,0) 0 tidak dapat menjadi nilai ekstrem untuk f sehingga f (, ) tidak memiliki nilai ekstrem. Dari Contoh 1 ini, titik (0,0) disebut sebagai titik pelana (saddle point) dari f. Untuk itu, terdapat kriteria untuk menentukan apa ang terjadi di suatu titik stasioner. Teorema 1 (Uji Turunan Parsial Kedua) Diketahui bahwa f (p) mempunai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari p 0, dan f (p 0 ) = 0. Misalkan, D = D (p 0 ) = f (p 0 ) f (p 0 ) [ f (p 0 )] Maka, (a) Jika D 0 dan f (p 0 ) > 0, maka f (p 0 ) adalah nilai minimum lokal. (b) Jika D 0 dan f (p 0 ) < 0, maka f (p 0 ) adalah nilai maksimum lokal. (c) Jika D 0, maka f (p 0 ) bukanlah nilai ekstrem. Atau, p 0 merupakan titik pelana. (d) Jika D 0, maka tidak dapat disimpulkan. Untuk mengingat rumus D, akan lebih mudah bila dituliskan sebagai determinan: f f D f f f f f f ( f ) f f >> Contoh Carilah jarak terpendek dari titik (1,0, ) ke bidang z. Jarak sebarang titik (,, z ) ke titik (1,0, ) adalah: d ( 1) ( z ) Karena z, maka z, sehingga d ( 1) (6 ). Selanjutna, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan ang lebih sederhana: d f (, ) ( 1) (6 ) Lalu, 17

18 f ( 1) (6 ) 1 0 f (6 ) 10 0 Dengan proses eliminasi dari sistem persamaan: diperoleh satu-satuna titik kritis 6,. Kemudian, karena f f f 10 maka, D f f ( f ) sehingga berdasarkan Teorema 1, f mempunai nilai minimum lokal di titik 6,. Secara intuitif, dapat dilihat bahwa minimum lokal ini sebenarna juga merupakan minimum global, karena pasti terdapat tepat satu titik pada bidang ang diberikan ang terdekat dengan titik (1,0, ). Jadi, jarak terdekatna adalah: d ( 1) (6 ) ( ) ( ) ( ) Cara lain untuk pengerjaan Contoh akan dibahas pada subbab selanjutna. I. Metode Lagrange Teorema 1 (Metode Pengali Lagrange) Untuk mencari nilai maksimum atau minimum f(p) terhadap kendala g p = 0, selesaikanlah sistem persamaan berikut: f p = λ g(p) dan g p = 0 untuk p dan λ. Setiap titik p ang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala, dan λ ang berpadanan disebut sebagai pengali Lagrange. Hitunglah f di semua titik p ang dihasilkan; ang terbesar antara nilai-nilai ang didapat adalah nilai maksimum f, sementara ang terkecil adalah nilai minimum f, Jika p = (, ) dan persamaan vektor f p = λ g(p) dituliskan dalam bentuk komponenna, maka sistem persamaan pada Teorema 1 menjadi: f g ; f g ; g(, ) 0 Jika p = (,, ) z dan persamaan vektor f p = λ g(p) dituliskan dalam bentuk komponenna, maka sistem persamaan pada Teorema 1 menjadi: 18

19 f g ; f g ; fz gz ; g(,, z) 0 Jika terdapat lebih dari kendala ang ditekankan pada variabel-variabel suatu fungsi ang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, digunakanlah pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Misalna, jika kita mencari nilai ekstrem dari suatu fungsi f dengan tiga variabel terhadap dua kendala g(,,z) = 0 dan h(,,z) = 0, maka sistem persamaan ang harus diselesaikan adalah: f (,, z) 1g (,, z) h(,, z) g(,, z) 0 h(,, z) 0 >> Contoh Carilah jarak terpendek dari titik (1,0, ) ke bidang z. Jarak sebarang titik (,, z ) ke titik (1,0, ) adalah: d ( 1) ( z ) Selanjutna, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan ang lebih sederhana: d f (,, z) ( 1) ( z ) Lalu, karena z, maka z 0, sehingga diperoleh kendalana: g(,, z) z 0 Dengan menggunakan Teorema 1, f (p) = λ g (p) f (,, z) g(,, z) diperoleh: ( 1) 1 ( 1) 1 ( z ) 1 ( z ) z Karena g(,, z) z 0, maka: z Jadi, 1 ; ; z z Titik kritis ang diperoleh adalah,,. Dengan demikian, jarak terdekatna adalah: d 6 6 f(,, ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( )

20 L A T I H A N 1. Sketsakan grafik fungsi f ( ) 16.. Tentukan turunan parsial kedua dari f (, ) e cos.. Tentukan apakah limit di bawah ini memiliki hasil atau tidak. Jika memiliki hasil, tentukanlah limitna. sin( ) a. lim b. lim (, ) (0,0) (, ) (0,0) 5 5. Carilah turunan berarah dari fungsi vektor v = 5,,. f (,, z) z di titik (1,1,1) dalam arah 5. Tentukan z/ jika z z Jika w f ( r s, s t, t r), tentukanlah w w w r s t. 7. Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan z 8 di titik (, 0, ). 8. Diketahui fungsi F(, ) 9. Tentukanlah titik ekstrem fungsi tersebut, kemudian tentukan jenis dari titik ekstrem tersebut. 9. Carilah volume maksimum dari suatu silinder ang memiliki luas permukaan π. 10. Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari f (,, z) z pada elips dan bidang z 1. 0