BAB V STATISTIKA DESKRIPTIF

Transkripsi

1 BAB V Sulsetjono Bolog FMIPA Unverstas eger Malang (State Unversty of Malang) Emal: sulsetjono.fmpa@um.ac.d copyrght August 016 STATISTIKA DESKRIPTIF A. Capaan Pembelajaran Mahasswa mampu mengetahu dan memaham serta mengaplkaskan statstka deskrptf ukuran tendens sentral dan statstka deskrptf ukuran dspers (sebaran). B. Indkator Capaan Pembelajaran 1. Kemampuan menggunakan statstk deskrptf ukuran tendens sentral: rerata (mean), medan, modus, mdrange.. Kemampuan menggunakan statstka deskrptf ukuran dspers (sebaran): selang, standar devas dan varans; koefsen keragaman, kesalahan baku dar rerata (standard error), estmas selang kepercayaan rerata. C. Mater I. UKURA GEJALA PUSAT ATAU TEDESI SETRAL Dsebut ukuran gejala pusat atau tendens sentral (central tendency), karena nla atau harga ukuran gejala pusat mampu member gambaran tentang poss atau letak pusat data atau nlanla pengamatan, bak dalam bentuk data terserak, maupun yang sudah dkelompokkan dalam bentuk tabel dstrbus frekuens. Data yang dsajkan dengan ukuran-ukuran gejala pusat lebh mudah dbaca dbandngkan dengan data yang mash dalam keadaan terserak. Poss atau letak pusat data yang ada dapat dlhat dar besarnya harga rata-rata, modus, medan, kuartl, desl, dan persentl. A. Rata-rata (mean) Rata-rata (mean) melput rata-rata htung, rata-rata ukur, rata-rata harmons dan rata-rata tertmbang. 1. Rata-rata htung (arthmatc mean) a. Rata-rata data terserak Jka Anda memperoleh data dar kegatan sensus, maka harga rata-rata yang Anda mlk merupakan rata-rata populas dber smbol, apabla Anda memperoleh data dar peneltan samplng, maka datanya merupakan data statstk sampel. Oleh karena tu jka Anda car rata-ratanya, maka rata-rata tersebut meupakan rata-rata sampel atau rata-rata contoh, dan dber smbol Y (baca Y bar). Y1 Y Y3... Y Rumus rata-rata populas () adalah sebaga berkut: n Y : data (nla pengamatan) untuk = 1,,3,..., : banyaknya data/nla pengamatan (ukuran populas) Rumus rata-rata sampel ( Y ): Y= Y1 Y Y3... Yn Y Y : data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., : banyaknya data/nla pengamatan (ukuran sampel) Y 79

2 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog Y Coba Anda perhatkan contoh peneltan sensus berkut n. Setelah berhasl dhaslkan 30 ekor br-br melalu kegatan clonng (kopan), pada usa 1 tahun seluruh br-br tersebut ddata berat tubuhnya. Ternyata haslnya sebaga berkut (dalam kg): Karena merupakan hasl sensus, berart rata-rata yang akan dhtung adalah rata-rata populas (). Rata-rata populas dar data sebanyak 30 sebesar: = 78, kg 30 Bagamana jka peneltan yang dlakukan merupakan peneltan samplng? Msal 30 ekor br-br tersebut merupakan sampel dambl secara acak dar populas br-br hasl clonng sebanyak 100 ekor, berapa rata-ratanya? Rata-rata sampel ( Y ) dar n data sebanyak 30 adalah: Y = 78, kg 30 b. Rata-rata htung data yang dkelompokkan Rumus rata-rata hasl sensus untuk data yang sudah dkelompokkan ke dalam k kelompok adalah sebaga berkut: Rata-rata populas () f1y1 fy f3y3... fkyk = f1 f f3... fk Y f = f Y f Y f 1 f f 3 f 3 Y 3... f... f k k Y k fy f : nla tengah kelas ke- untuk = 1,, 3,..., k : frekuens kelas ke-i, dan f + f + f fk = n fy f Perhatkan contoh peneltan sensus d bawah n. Hasl pendataan tngg dar seluruh tanaman lamtoro yang tumbuh d pekarangan penduduk desa Mnapad adalah sepert pada Tabel 5.1. Karena seluruh pohon ddata, maka rata-rata yang dhtung adalah rata-rata populas (), yatu: 6(34,5) 9(44,5) 10(54,5) 13(64,5) 10(74,5) 8(84,5) (94,5) = = 3790 = 63, dm Bagamana jka data d atas adalah data hasl peneltan samplng? Msalkan 60 pohon tersebut merupakan sebagan dar 600 pohon lamtoro yang ada d desa Mnapad, yang dambl secara acak? Berapakah rata-ratanya? 6(34,5) 9(44,5) 10(54,5) 13(64,5) 10(74,5) 8(84,5) (94,5) Y =

3 Bab V Statstka Deskrptf 81 Y = 3790 = 63, dm 60 Tabel 5.1 Hasl Pengukuran Tngg Tanaman Lamtoro d Pekarangan Penduduk Desa Mnapad Kelas (dalam dm) la tengah kelas (tanda kelas) (Y) Atau log G = log Y1 log Y log Y3... log Y dsngkat menjad: log G = log Y Y : data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., : banyaknya data/nla pengamatan ukuran (populas) Y Y. Y Rata-rata ukur sampel ( Y Y n G ) G = Y 1. Y. Y3... Y n atau log Y1 log Y log Y3... log Yn log Y G = n dsngkat menjad: log Y log Y G = n Y : data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., n n : banyaknya data/nla pengamatan (ukuran sampel) Coba anda perhatkan contoh peneltan sensus d bawah n. Hasl sensus berat badan 30 ekor br-br usa 1 tahun hasl clonng (kembaran) menunjukkan kenakan rata-rata berat trwulan I sebanyak 10 kg, trwulan II sebanyak 15 Y Frekuens absolut (f) , , , , , , ,5 4 Jumlah 60. Rata-rata ukur (Geometrc mean) Rata-rata ukur (Geometrc mean) merupakan rata-rata nla/harga pengamatan yang dhtung atas dasar akar banyaknya nla/harga pengamatan dar hasl perkalan seluruh data. Sajan rata-rata ukur akan lebh bak dbandngkan rata-rata htung jka merupakan data yang menunjukkan urutan perubahan yang tetap atau hampr tetap. Msalnya, data kenakan atau penurunan dar sesuatu hal. a. Rata-rata ukur data terserak Untuk mencar rata-rata ukur dar data yang mash terserak dgunakan rumus sebaga berkut: Rata-rata ukur populas (G) G =

4 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog kg, trwulan III sebanyak,5 kg, dan trwulan IV sebanyak 15 kg. berap rata-rata kenakan badan per trwulan? Kenakan trwulan II = 15/10 x trwulan I = 1,50 kal Kenakan trwulan III =,5/15 x trwulan II = 1,50 kal Kenakan trwulan IV = 15/,5 x trwulan III = 0,67 kal Jka dhtung dengan menggunakan rumus rata-rata htung populas (): 1,50 1,50 0,67 = 3 = 1, kal Jka dhtung dengan menggunakan rumus rata-rata ukur populas (G): G = 3 ( 1,50)(1,50)(0,67) = 1,15 atau log 1,50 log 1,50 log 0,67 log G = = 0,178573/3 = 0, kal 3 sehngga G = antlog 0, = 1, kal = 1,15 kal Jka data tersebut merupakan data hasl peneltan samplng, berart notasnya tnggal dgant dengan notas untuk sampel, sedang haslnya akan tetap sama. b. Rata-rata ukur yang dkelompokkan Untuk mencar rata-rata ukur dar data yang sudah dkelompokkan dapat dgunakan rumus sebaga berkut: ( f log Y ) Rata-rata ukur populas log G = f Y : nla tengah kelas ke- = 1,, 3,..., k f : frekuens kelas ke-, dan f + f + f fk = ( f log Y ) Rata-rata ukur sampel ( Y G ) log Y G = f Y : nla tengah kelas ke- untuk = 1,, 3,..., k f : frekuens kelas ke- dan f1 + f + f fk = n Untuk peneltan sensus perhatkan contoh d bawah n. Hasl pengukuran terhadap pertambahan tngg 60 tanaman lamtoro yang ada d pekarangan penduduk Desa Mnapad setelah dsusun dalam bentuk tabel dstrbus frekuens tampak pada Tabel 5.. Jka dhtung dengan menggunakan rata-rata htung () 5(34,5) 9(44,5) 11(54,5)... 3(94,5) 3780 = = = 63,0 cm Jka dhtung dengan menggunakan rata-rata geometr (G): log G = 5log 34,5 9log 44,5 11log 54,5... 3log 94, = = 1, G = 60,

5 Bab V Statstka Deskrptf 83 Tabel 5. Hasl Pertambahan Tngg Tanaman Lamtoro Selama 1 Bulan yang Tumbuh d Pekarangan Penduduk Desa Mnapad Kelas (dalam cm) la tengah kelas (tanda kelas) (Y) Frekuens absolut (f) , , , , , , ,5 3 Jumlah Rata-rata harmons (harmonc mean) Rata-rata harmons (harmonc mean) adalah rata-rata yang dperoleh dengan cara mencar kebalkan atau nvers dar datanya. Rata-rata harmons basa dgunakan untuk mencar rata-rata dar banyak hal yang berbeda kualtasnya. Rata-rata harmons populas (H): (H) = Y1 Y Y3 Y : data(nla pengamatan untuk = 1,, 3,..., : banyaknya data/nla pengamatan (ukuran populas) Rata-rata harmons sampel ( Y H ): Y H = Keterangan : Y : data(nla pengamatan untuk = 1,, 3,..., : banyaknya data/nla pengamatan (ukuran populas) Coba Anda perhatkan contoh peneltan sensus berkut n.... Seluruh luas lahan pad d Desa Mnapad ha. Setelah lahan dbag menjad 5 bagan, dan tap bagan dtanam pad Csadane, IR-8, VUTW, Rajalele dan Canjur, haslnya sepert pada Tabel 5.3. Tabel 5.3 Hasl Produks Pad Desa Mnapad menurut Kultvarnya Kultvar pad Luas lahan (ha) Produks/ha (ton) Produks total (ton) Csadane ,4.644 IR , VUTW , Rajalele , Canjur , Y Jka rata-rata produks pad tap bagan dcar dengan rata-rata htung (): = = = 0.134,8 ton 5

6 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog ,4 6,7 6,6 5,7 6,5 atau: = = 6,58 ton/ha 5 Jka dcar dengan rata-rata harmons (H): 5 H = atau 5 H = ,4 6,7 6,6 5,7 6,5 = 6,534 ton = ,07 ton 4. Rata-rata tertmbang (weghted mean) Rata-rata tertmbang (weghted mean) adalah rata-rata yang dcar dengan mempertmbangkan tngkat pentngnya kelompok-kelompok datanya. Rata-rata tertmbang populas (W) 1Y1 Y 3Y3... kyk Y W = k Y : data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., k : banyaknya data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., k Rata-rata tertmbang sampel ( Y W ): n1y1 n Y n3y3... n kyk ny Y W = n1 n n3... n k n Y : data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., k n : banyaknya data (nla pengamatan) untuk = 1,, 3,..., k Coba Anda perhatkan contoh peneltan sensus n. Produktvtas tanaman pad berdasarkan kultvarnya dar seluruh lahan yang ada d Desa Mnapad berdasarkan kultvarnya dar seluruh lahan yang ada d Desa Mnapad dtamplkan pada Tabel 5.4. Tabel 5.4 Hasl Produks Desa Mnapad menurut Kultvarnya Jens pad Luas lahan (ha) Produks/ha (ton) Produks total (ton) Csadane ,4.644 IR , VUTW , Rajalele 700 5, Canjur.500 6, C , Ketan 500 5,6.800 Jumlah (): Kalau dhtung harga rata-rata produks pad dengan menggunakan rata-rata htung 7,4 6,7 6,6 5,7 6,5 7,0 5,6 = = 6,5 ton/ha 7

7 Bab V Statstka Deskrptf 85 Jka dhtung dengan menggunakan rata-rata tertmbang (W): (1.00)(7,4) (4.100)(6,7) (3.300)(6,6)... (500)(5,6) W = ton/ha = 6, B. Modus Modus adalah data yang memlk frekuens pemunculan terbanyak. Oleh karena tu, cara mencar modus dapat dlhat dar berapa kal suatu data muncul d antara seluruh data yang ada. 1. Menentukan modus data terserak Agar lebh mudah melacaknya, data durutkan dar yang terkecl ke yang terbesar atau sebalknya. Coba Anda perhatkan contoh peneltan samplng n. Hasl pengukuran berat 30 ekor br-br yang dambl secara acak dar populas br-br hasl clonng sebanyak 100 ekor, adalah sebaga berkut (dalam kg): Agar dapat dcar modusnya, data tersebut harus durutkan dar yang terbesar ke yang terkecl. Haslnya adalah sebaga berkut: Data sebesar 8,78, 7 dan 66 muncul tga kal. Dengan demkan, sebaran data d atas memlk empat modus yakn 8, 78, 7 dan 66. Dengan kata lan data d atas merupakan data tetramodal, sehngga termasuk data multmodal.. Menentukan modul data yang dkelompokkan Modus untuk data yang sudah dkelompokkan dapat dhtung dengan rumus sebaga berkut: s1 Mo = L C s1 s L : batas bawah (lower class boundary) kelas yang mengandung modus (kelas yang memlk frekuens terbesar). s1 : selsh frekuens kelas yang mengandung modus dengan frekuens kelas dbawahnya. s : selsh frekuens kelas yang mengandung modus dengan frekuens kelas d atasnya. C : panjang kelas atau selang kelas (selsh harga batas bawah dengan batas atas kelas) Sebaga contoh perhtungan, perhatkan data peneltan samplng hasl pengukuran tngg 60 batang tanaman lamtoro yang ada d pekarangan penduduk Desa Mnapad sepert pada Tabel 5.5.

8 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog Tabel 5.5 Hasl Pengukuran Tngg Tanaman Lamtoro d Desa Mnapad Kelas (dalam dm) la tengah kelas (tanda kelas) Frekuens absolut Frekuens Kumulatf , , , , , , , Coba Anda perhatkan, kelas yang manakah yang mengandung modus? Carlah kelas yang frekuensnya terbanyak, dan ternyata kelas Oleh karena tu car harga batas bawah kelasnya (L). L dar kelas = 59,5 s1 : = 3 s : = 3 C: 39,5 9,5 = 10 3 Mo = 59, = 64,5 3 3 C. Medan Medan adalah suatu nla yang membag data yang telah durutkan besarnya dar yang terbesar sampa yang terkecl atau sebalknya), menjad dua kelompok data, yakn dara kelompok atas dan data kelompok bawah dengan anggota yang sama banyaknya. 1. Menentukan medan data terserak Agar lebh mudah melacak poss medan, data perlu durutkan dar yang terkecl ke yang terbesar atau sebalknya. Kemudan car poss atau letak medan dengan rumus: Poss Me = ( + 1)/ untuk data sensus atau Poss Me = (n + 1)/ untuk poss data samplng Seteah dperoleh poss medan, Anda akan dapat mempeoleh harga medannya. Coba perhatkan contoh berkut n. Dar hasl peneltan samplng berupa pengukuran berat terhadap 30 ekor br-br yang dambl secara acak dar populas br-br hasl clonng sebanyak 100 ekor yang telah dhtung modusnya, sekarang carlah medannya. Perhatkan datanya Setelah durutkan dar yang terbesar ke yang terkecl terlhat sebaga berkut: Karena data samplng, berart banyaknya data (n) = 30. Berart poss medan (Me) = (n + 1)/ = (30+1) = 15,5. Data ke 15 = 81; data ke-16 = 78, berart Me = (81+78)/ = 79,5 kg. Menentukan medan data yang dkelompokkan Medan untuk data yang sudah dkelompokkan dapat dhtung dengan rumus sebaga berkut: 0,5n fkb f( ka ) 0,5n Me = L C, atau Me = U C f Keterangan : m fm L : batas bawah (lower class boundary) kelas yang mengandung medan (kelas yang mengandung datum ke (n + 1)/ dar n data)

9 Bab V Statstka Deskrptf 87 U C n atau fkb fka fm : batas atas kelas (upper class boundary) yang mengandung medan : panjang kelas atau selang kelas : banyaknya data, n untuk data samplng dan data sensus. : frekuens kumulatf kelas d bawah kelas yang mengandung medan. : frekuens kumulatf kelas d kelas yang mengandung medan. : frekuens absolut kelas yang mengandung medan. Sebaga contoh coba perhatkan hasl peneltan sensus terhadap tngg tanaman lamtoro d Desa Morangan yang tersaj pada Tabel 5.6. Tabel 5.6 Hasl Sensus Tngg Tanaman Lamtoro d Desa Morangan Kelas (dalam dm) la tengah kelas (tanda kelas) Frekuens absolut Frekuens Kumulatf , , , , , , , Oleh karena 00 tanaman lamtoro damat semua berart merupakan data sensus, maka banyaknya data () = 00. Poss medan sebelum data durutkan = ( + 1)/ = (00 + 1)/ = 100,5, dengan demkan kelas yang mengandung medan adalah kelas 60-69, sehngga: L: 59,5 U : 69,5 C : 10 fkb : 75 fka: 18 fm: 53 0,5 (00) ,5 (00) Me = 59,5 10 = 64, dm atau Me = 69, = 64, dm 53 D. Kuartl Kuartl adalah tga buah nla yang membag data yang telah durutkan besarnya, menjad empat kelompok data dengan anggota yang sama banyaknya. Karena kuartl membag menjad 4 kelompok sama banyak, maka harga kuartl kedua akan sama dengan harga medan. 1. Menentukan kuartl data yang terserak Untuk memperoleh harga kuartl I, kuartl II dan kuartl III, data harus durutkan terlebh dahulu dar yang terkecl ke yang terbesar. Kemudan dcar lebh dahulu poss atau letak masng-masng kuartl, baru dapat dperoleh harganya. Mula-mula car kuartl II atau medannya, msalkan n = 61, maka (n + 1)/ = 31. Jad kuartl II adalah data urutan ke 31. Mengapa? Karena data urutan ke 31 membag data menjad dua kelompok, masng-masng beranggotakan 30 data. Kelompok I beranggotakan data ke 1 sampa data ke 30, dan kelompok II beranggotakan data ke 3 sampa data ke 61. Poss kuartl I akan membag kelompok I menjad dua kelompok yang anggota sama banyak. Karena anggota kelompok I sebanyak 30, berart kuartl I = (n + 1)/ = (30 + 1)/ = 15. Jad kuartl I berada dantara data urutan ke 15 dan data urutan ke 16. Kuartl III = (n + 1)/ = (30 + 1)/ = 15,5, tetap urutan data kelompok II dmula dar urutan ke 3 dan seterusnya sampa urutan ke 61. Karena data pertama pada poss urutan ke 3, maka poss kuartl III pada urutan 15,5 berada dantara data urutan ke 46 dan data urutan ke 47.

10 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog Menentukan kuartl data yang dkelompokkan Untuk data yang telah dkelompokkan, harga kuartlnya dapat dhtung dengan rumus sebaga berkut. 0,5n fkb Kuartl I atau K1 dcar dengan rumus: K1 = L C fm Kuartl II sama dengan medan. Bagamana dengan kuartl III? 0,75n fkb Kuartl III atau K3 dcar dengan rumus: K3 = L C fm L : batas bawah (lower class boundary) kelas yang mengandung kuartl yang dmaksudkan. C : panjang kelas atau selang kelas. n atau : banyaknya data, n untuk data samplng dan untuk data sensus. fkb : frekuens kumulatf kelas d bawah kelas yang mengandung kuartl yang dmaksudkan. fm : frekuens absolut kelas yang mengandung kuartl yang dmaksudkan. Sebaga contoh perhtungan, perhatkan kembal data peneltan samplng hasl pengukuran tngg 60 batang tanaman lamtoro yang dambl secara acak dar 600 tanaman lamtoro yang ada d pekarangan penduduk Desa Mnapad yang dsajkan pada Tabel 5.6 yang sudah dhtung harga modusnya. Oleh karena data hasl peneltan samplng, maka banyaknya data (n) = 60. Oleh ketga kuartl, data terkelompokkan menjad 4 kelompok, masng-masng beranggotakan 15 data. Kelas (dalam dm) la tengah kelas (tanda kelas) Frekuens absolut Frekuens Kumulatf , , , , , , , Mencar harga kuartl I (K1): Poss kuartl I d urutan ke 15,5 atau antara datake 15 dan data ke 16. Jad kelas yang mengandung kuartl I adalah kelas Dengan demkan: L : 49,5 C : 10 fkb : 15 fm : 10 0,5(60) 15 K1 = 49,5 10 = 49,5 dm 10 Poss kuartl II d urutan ke 30,5 atau antara data ke 30 dan data ke 31. Jad kelas yang mengandung kuartl II adalah kelas Dengan demkan: L : 59,5 C : 10 fkb : 5 fm : 13 0,5(60) 5 K = 59,5 10 = 63,35 dm 13 Poss kuartl III d urutan ke 45,5 atau antara data ke 45 dan data ke 46. Jad kelas yang mengandung kuartl III adalah kelas Dengan demkan: L : 59,5 C : 10 fkb : 38 fm : 13 0,75(60) 38 K3 = 69,5 10 = 74,88 dm 13

11 Bab V Statstka Deskrptf 89 E. Desl Desl adalah semblan buah nla yang membag data yang telah durutkan besarnya, menjad sepuluh kelompok data dengan anggota yang sama banyaknya. Oleh karena tu, harga desl kelma (Dv) akan sama dengan harga medannya. Agar dapat dkelompokkan menjad 10 kelompok, maka banyaknya data juga harus berkelpatan 10. a. Menentukan desl data terserak Mula-mula data dbag dua untuk mencar desl V atau medannya. Msal, banyaknya data 60. Poss desl V = (n + 1)/ = (60 + 1)/ = 30,5. Dengan demkan desl V berada d antara data urutan ke 30 dan data urutan ke 31. Kemudan kelompok pertama harus dbag lag menjad lma kelompok, demkan pula kelompok yang kedua. Kelompok pertama yang beranggotakan 30 data, jka dbag menjad lma kelompok, masng-masng akan beranggotakan enam data. Dengan demkan, desl I (D1) d urutan 6,5 atau antara data ke 6 dan ke 7. Desl II (D) d urutan 1,5 atau antara data ke 1 dan ke 13. D mana poss desl V? Desl V (D5) d urutan 30,5 atau antara data ke 30 dan ke 31. Demkan pula untuk kelompok kedua, jka dbag lag menjad lma kelompok masng-masng juga beranggotakan enam data. Oleh karena tu, desl VI (D6) durutan 36,5 atau antara data ke 36 danke 37. D mana poss desl IX? Desl IX (D9) d urutan 54,5 atau antara data ke 54 dan ke 60. b. Menentukan desl data yang dkelompokkan Desl I atau D1 dcar dengan rumus: 0,10n f kb D1 = L C f m Desl II atau D dcar dengan rumus: 0,0n f kb D = L C f m Bagamana dengan desl IX atau D9? Desl IX dapat dhtung dengan rumus: 0,90n f kb D9 = L C f m L : batas bawah (lower class boundary) kelas yang mengandung desl yang dmaksudkan. C : panjang kelas atau selang kelas. n atau : banyaknya data, n untuk data samplng dan untuk data sensus. fkb : frekuens kumulatf kelas d bawah kelas yang mengandung desl yang dmaksudkan. fm : frekuens absolut kelas yang mengandung desl yang dmaksudkan. F. Persentl Persentl adalah 99 buah nla yang membag data yang telah durutkan besarnya, menjad 100 kelompok data dengan anggota yang sama banyaknya. Dengan demkan, harga persentl ke 50 akan sama dengan harga medannya. Agar dkelompokkan menjad 100 kelompok tentunya data harus cukup banyak, yakn merupakan kelpatan 100. Untuk data yang telah dkelompokkan, besarnya persentl dapat dhtung dengan rumus sebaga berkut: Persentl pertama atau P1 dcar dengan rumus:

12 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog ,01n f kb P1 = L C f m Persentl kedua atau P dcar dengan rumus: 0,0n f kb P = L C f m Bagamana dengan desl IX atau D9? Desl IX dapat dhtung dengan rumus: 0,99n f kb D99 = L C f m L : batas bawah (lower class boundary) kelas yang mengandung persentl yang dmaksudkan. C : panjang kelas atau selang kelas. n atau : banyaknya data, n untuk data samplng dan untuk data sensus. fkb : frekuens kumulatf kelas d bawah kelas yang mengandung persentl yang dmaksudkan. fm : frekuens absolut kelas yang mengandung persentl yang dmaksudkan. LATIHA 1. Jelaskan mengapa nla rata-rata, modus dan medan mampu menjad ukuran gejala pusat!. Jelaskan perbedaan nla rata-rata htung, rata-rata ukur, rata-rata tertmbang dan rata-rata harmons! 3. Jelaskan bagamana prosedur mencar kuartl untuk data terserak! 4. Data yang bagamanakah yang dapat dcar harga desl dan persentlnya! RAGKUMA 1. Data yang terserak sangat sukar untuk dnterpretas. Oleh karena tu perlu dsajkan secara terorgansas.. Ukuran gejala pusat mampu memberkan nformas yang lebh komunkatf dalam kta membaca data darpada mash berwujud data terserak ataupun jka sudah dkelompokkan ke dalam dstrbus frekuens. 3. Dengan melhat besarnya ukuran gejala pusatnya, kta dapat mengetahu deskrps atau gambaran yang utuh dar konds populas atau sampel yang kta telt, apalag jka sudah dlengkap dengan ukuran penympangannya. II. UKURA PEYIMPAGA ATAU VARIABILITAS Ukuran penympangan atau ukuran varabltas dsebut pula ukuran dspers, karena merupakan ukuran yang mampu member gambaran tentang besar keclnya data terhadap rata-ratanya. Ukuran penympangan juga menunjukkan keberagaman harga data atau nla pengamatan. Semakn besar ukuran penympangannya berart semakn besar tngkat keberagaman harga data atau nla pengamatan. Semakn besar ukuran peympangannya berart semakn besar tngkat keberagaman harga data yang kta mlk. Oleh karena tu, dengan

13 Bab V Statstka Deskrptf 91 dberkannya ukuran gejala pusat beserta ukuran penympangan atau ukuran varabltas/ dspersnya, akan dapat dperoleh gambaran yang lengkap tentang keadaan data tersebut. Untuk lebh mudah memperoleh gambarannya, dapat dlhat dar lustras sebaga berkut: Dua nduk ayam sama-sama memlk 3 anak. Ketga anak ayam dar nduk pertama masng-masng beratnya 3 ons, 4 ons, dan 5 ons. Anak dar nduk kedua masng-masng beratnya 3,5 ons, 4 ons, dan 4,5 ons. Kalau dcar reratanya, maka rerata (rata-rata) masngmasng kelompok anak ayam tersebut 4 ons. amun demkan, jka dlhat berat tap ekornya, ketga anak ayam dar nduk pertama kurang seragam dbandng ketga anak dar nduk yang kedua. Oleh karena tu, kalau nformas yang dsampakan hanya ukuran gejala pusatnya, dalam hal n berupa reratanya, belum dapat member gambaran sepenuhnya terhadap keadaan berat anak ayam dar kedua nduk tersebut. Besarnya penympangan data dar rata-ratanya dapat dlhat dar harga ksaran atau rentangan (range), smpangan rata-rata (mean devaton), smpangan baku (standard devaton), varans/ragam (varance), dan koefsen varas (coeffsen of varablty/coeffsen of varaton). A. RETAG ATAU KISARA (RAGE) Rentang atau ksaran (range) adalah selsh antara nla pengamatan terkecl dengan nla pengamatan terbesar dar suatu data. Ksaran atau rentang (R) = nla pengamatan terbesar nla pengamatan terkecl Sebaga contoh, perhatkan data hasl sensus terhadap 30 ekor br-br usa 1 tahun hasl clonng (kembaran) yang menunjukkan berat badan sebaga berkut (dalam kg): la atau harga data terkecl 60 dan data terbesar 98, maka rentang/ksaran data (R) = = 8. B. SIMPAGA RATA-RATA ATAU DEVIASI RATA-RATA (mean devaton) Smpangan atau devas adalah jumlah dar harga mutlak selsh antara setap data dengan reratanya. Jka smpangan atau devas tersebut dbag dengan banyaknya data ( untuk populas atau n untuk sampel), maka akan dperoleh rerata smpangan (smpangan rata-rata) atau devas rata-rata. Untuk smpangan rata-rata tdak ada notas khusus. 1. Mencar rerata smpangan dar data terserak Rumus rerata smpangan atau rerata devas populas adalah sebaga berkut: Y Rerata smpangan populas = : rerata populas Y : data (nla pengamatan) ke- untuk = 1,, 3,., : banyaknya data atau ukuran populas Rumus smpangan rata-rata atau devas rata-rata sampel adalah sebaga berkut: Smpangan rata-rata sampel = Y Y n

14 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog... 9 Y Y : rata-rata sampel : data (nla pengamatan) ke- untuk = 1,, 3,., : banyaknya data (nla pengamatan) Coba anda perhatkan contoh penghtungan rerata smpangan untuk hasl peneltan sensus berkut n. Hasl sensus terhadap 30 ekor br-br usa 1 tahun hasl clonng (kembaran) menunjukkan berat adalah sebaga berkut (dalam kg) Jka dbuat tabel akan tersaj pada Tabel 5.7. Tabel 5.7 Data Sensus Berat Br-Br Hasl Clonng Usa Satu Tahun (Dalam kg) Pengamatan ke Berat br-br (kg) Y Penympangan Y , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Jumlah ,0 Y Y

15 Bab V Statstka Deskrptf 93 Oleh karena hasl sensus maka harus dgunakan rumus untuk populas, sehngga harga rerata populas (): Y = 351 = 78, kg. Sedangkan rerata smpangan atau rerata devas 30 Y 79 populas: Smpangan rata-rata populas = = = 9,3 kg f 30. Mencar rerata smpangan atau rerata devas populas Rerata smpangan populas untuk data yang sudah dkelompokkan dapat dcar dengan menggunakan rumus berkut: Rerata smpangan populas = : rata-rata populas Y f f f Y f f : nla tengah kelas ke- untuk I = 1,, 3,.., k : frekuens kelas ke-, dan f1 + f + f fk = : banyaknya data (ukuran populas) Rerata smpangan sampel (RS) Smpangan rata-rata sampel = Y Y Y : rata-rata populas Y : nla tengah kelas ke- untuk I = 1,, 3,.., k f : frekuens kelas ke-, dan f1 + f + f fk = n n : banyaknya data (ukuran sampel) Tabel 5.8 adalah contoh perhtungan untuk mencar rerata smpangan dar yang sudah terkelompokkan dar hasl-hasl sensus terhadap seluruh tanaman lamtoro yang tumbuh d pekarangan penduduk Desa Dadapan yakn sebanyak 60 batang. Harga rerata populas () dar data sebanyak 60 buah dan yang sudah dkelompokkan menjad 7 kelas tersebut adalah: fy 3790 = = = 63,17 f 60 Besarnya smpangan rata-rata atau devas rata-rata populas: f (Y ) Besarnya rata-rata populas = = f 853,30 60 = 14, Tabel 5.8 Hasl Sensus terhadap Pengukuran Tngg Tanaman Lamtoro d Pekarangan Penduduk Desa Dadapan Kelas (dalam dm) la tengah kelas (tanda kelas) Y Frekuens absolut Y f YI f Penympangan , ,67 17, , ,5 18,67 168, , ,67 86, , ,5 1,33 17, , ,33 113, , ,33 170, , ,33 15,3 Jumlah ,30 f f YI f Y f Y

16 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog C. Smpangan baku atau devas standar (standard devaton) Dsebut smpangan baku atau devas standar karena ukuran n menunjukkan standar penympangan dar rata-ratanya. Dalam menyajkan gambaran penympangan yang terjad, lebh umum dsajkan harga smpangan baku atau standar devasnya darpada ukuran smpangan rata-ratanya. Kalau dalam perhtungan smpangan rata-rata dengan memberkan harga mutlak untuk menghlangkan harga negatf selsh masng-masng data dengan rataratanya, maka pada perhtungan smpangan baku atau standar devas dlakukan dengan cara mengkuadratkan selsh masng-masng data dengan rata-ratanya. 1. Mencar smpangan baku dar data terserak Smpangan baku atau devas standar populas yang dber notas (baca sgma) dapat dhtung menggunakan rumus d bawah n. ( Y ) ( Y ) Y = Untuk memaham bagamana cara mencar smpangan baku populas coba perhatkan contoh berkut n. Hasl sensus terhadap 30 ekor br-br usa 1 tahun hasl clonng (kembaran) menunjukkan berat sebaga berkut (dalam kg): Jka dbuat tabel akan tersaj pada Tabel 5.9. Hasl perhtungannya sepert berkut. = (Y ) (Y ) 3560, = 10,894 kg atau : (351) Y = = 10,895 kg 30 Untuk mencar smpangan baku atau devas standar sampel, dber notas s, dapat dgunakan rumus d bawah n. S = (Y Y) n 1 ( Y ) Y n n 1 Coba perhatkan perhtungan smpangan baku sampel dengan contoh berkut n. Msalkan ketgapuluh br-br tersebut merupakan sampel yang dambl secara acak dar 100 br-br hasl clonng yang sudah berhasl dlaksanakan. Dengan demkan, data yang dperoleh merupakan data statstk sampel (lhat Tabel 5.9), sehngga: ( Y Y) 3560, = = 11, n atau dhtung dengan rumus yang satunya yatu: s = smpangan baku untuk sampel, pembagnya n-1 s = Y Y n n

17 Bab V Statstka Deskrptf 95 Tabel 5.9 Data Sensus Bobot Br-Br Hasl Clonng Usa Satu Tahun (dalam kg) Pengamatan ke Bobot br-br Y Y - (Y - ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Jumlah , Y (Y ) Y Y Dengan menggunakan kalkulator fx-350ms atau yang sejensnya, setelah dnyalakan tombol tekan tekan, d layar kalkulator tampak huruf SD. Data ke-1 bobot br-br (Tabel 5.9) 78 lalu tekan tombol data DT (warna bru) untuk yang n jad satu dengan tombol. Kalkulator yang lan (fx-3600p), tombol data jad satu dengan tombol

18 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog Setelah memasukkan data 78 tekan tombol, maka d layar muncul n = 1, artnya data yang sudah masuk 1 buah. Data dmasukkan lag sampa data ke-30 yatu 86, d layar akan muncul n =30. =.? =.? tekan (S-SUM) D layar akan muncul tekan 1 muncul angka 187,801 n artnya = tekan muncul angka,351 n artnya Y = 351 Tekan (S-VAR), d layar akan muncul x xn xn tekan muncul angka n artnya = 78, x x n 1 3 Angka-angka yang sudah dperoleh dmasukkan ke rumus s = Y Y n n s = ( ) = = = s = 11, ,08 Sekarang cobalah tekan tombol muncul angka berapakah? Sama dengan yang manakah? (dengan lambang xn-1), d layar. Mencar smpangan baku dar data yang dkelompokkan Jka data sudah dkelompokkan, atau data yang dperoleh berupa data sekunder yang telah dkelompokkan, mash dapat dcar harga smpangan baku atau devas standar populasnya dengan rumus sepert berkut. f (Y ) = Untuk smpangan baku atau devas standar sampel (s) dapat dhtung dengan rumus sebaga berkut: f (Y Y) s = n 1 Sebaga perhtungannya, coba Anda perhatkan contoh berkut n. Hasl sensus terhadap seluruh tanaman lamtoro yang tumbuh d pekarangan penduduk desa Jeruk Sawt, yakn sebanyak 60 batang, sepert pada Tabel Rerata populas () dar data d atas sebanyak 60 buah yang telah dkelompokkan menjad 7 kelas adalah: fy 3790 = 63,17 dm 60 = f (Y ) 17693, = 17,17 dm

19 Bab V Statstka Deskrptf 97 Tabel 5.10 Data Sensus Tngg Tanaman Lamtoro d Pekarangan Penduduk Desa Jeruk Sawt Kelas (dalam dm) la tengah kelas Y Frekuens absolut f (f Y) (Y ) Penympangan (tanda kelas) f (Y ) , , , , ,5-18, , , ,67 751, , ,5 1,33, , ,33 183, , , , , ,33 396,756 Jumlah ,3340 f Y f (Y ) Untuk perhtungan peneltan samplng dapat anda perhatkan contoh berkut n. Jka data 60 batang lamtoro yang telah dukur dambl secara acak dar 300 pohon yang ada d desa Jeruk Sawt, maka smpangan baku yang dperoleh merupakan smpangan baku sampel, dan perhtungannya adalah sepert berkut. Rerata sampel ( Y ): f Y 3790 f ( Y Y ) 17693,334 Y = = 63,17 dm s = = 17,317 dm n 60 n Coba Anda perhatkan besarnya rata-rata dan besarnya smpangan baku antara populas dan sampel dengan data apakah yang harganya sama? Manakah yang harganya lebh kecl? D. VARIASI ATAU RAGAM (varance) Varans() atau ragam (varance) adalah kuadrat dar smpangan baku. Varans atau ragam populas dber smbol. Smpangan baku sampel dber smbol s. Jka besarnya smpangan baku populas () sudah dketahu yatu 17,17 maka besarnya varans atau ragam populas dapat dhtung yatu sebesar: = 17,17 = 94, ,88. Perhatkan contoh data 30 bobot br-br (data Tabel 5.9) dar perhtungan sebelumnya dperoleh s = 11, maka besarnya varans atau ragam sampel: s = (11, ) = 1, E. KOEFISIE VARIASI/KOEFISIE VARIABILITAS ATAU AGKA BAKU (coeffsen of varablty/coeffsen of varaton) Koefsen varans atau koefsen varabltas (koefsen keragaman, KK) adalah smpangan baku dbag dengan rata-ratanya dkalkan 100%. Koefsen varas dber smbol CV. Jka besarnya smpangan baku populas () = 17,17 dan rata-rata populas () = 63,17, maka besarnya koefsen varas sampel (CV): CV (KK, Koefsen Keragaman) populas = x 100% 17,17 CV = 100% = 7,1838% 63,17 Perhatkan contoh data 30 bobot br-br (data Tabel 5.9) dar perhtungan sebelumnya dperoleh s = 11, dan = 78, CV bobot br-br = x 100% = x 100% = 14, % 14,14%

20 Sulsetjono, Statstka dalam Bdang Bolog Koefsen keragaman (KK, CV) dar kelompok data hasl peneltan yang bak adalah berksar antara 3% sampa dengan 0%. Koefsen keragaman data hasl peneltan tdak dharapkan melebh 30%, karena varas datanya terlalu besar. Jka nant data dengan KK yang besar melebh 30% dgunakan untuk uj beda, haslnya akan menjad bas. F. GALAT BAKU RATA-RATA ATAU SIMPAGA BAKU RATA-RATA (Smpangan Baku Rerata; STADARD ERROR) Galat baku rata-rata (rerata) atau smpangan baku rata-rata (standard error) adalah smpangan baku dbag dengan akar banyaknya data, atau akar (varans dbag banyaknya data). Galat baku rata-rata atau smpangan baku rata-rata populas dber smbol. Besarnya dapat dhtung dengan menggunakan rumus: Y = atau Y = Jka besarnya smpangan baku populas () = 17,17 dan banyaknya data populas () = 60, maka besarnya galat baku rerata populas: = = Y 17,17 =, , 60 Perhatkan contoh data 30 bobot br-br (data Tabel 5.9) dar perhtungan sebelumnya dperoleh s = 11, dan s = 1, Y Y = n atau Y = n Y br-br = =, atau Y br-br = = =, ,0 G. CI (COFIDET ITERVAL)/SELAG KEPERCAYAA RERATA Rumus CI = Y Msalnya rerata data = 41,000 dan standar error 1,00. Banyaknya data n = 10, maka nla t dperoleh dar tabel t (kumpulan Tabel no. 04), dengan taraf sgnfkans ( ) 5% atau taraf kepercayaannya 95%. Cara membaca pada nla t-tabel ( arah, two tal areas) dcar dulu db (derajat bebas, degree of freedom, degree of varaton), yatu n 1; 10-1 = 9; maka dengan db = 9 dan (taraf sgnfkans) 5% atau 0,05 dperoleh angka,6. Hasl perhtungan CI adalah: CI = 41,000,6 x 1,00 41,000,71464, dengan demkan selang kepercayaan rerata 95% dar kelompok data tersebut adalah berksar antara 38, , Perhatkan data 30 bobot br-br, dperoleh Y =, dan = 78, , n = 30, maka db = 30 1 = 9, nla t0,05(db = 9) =,045. CI = 78, (,045 x, ) 78, , , dengan demkan selang kepercayaan rerata 95% data bobot br-br adalah berksar antara 74, , ,3-8,50. Untuk memperdalam pemahaman mengena kegunaan mater statstka deskrptf ukuran dspers (sebaran), slakan menjawab lathan berkut n! 1. Jelaskan enam hal yang mampu menjad ukuran dspers dar kelompok suatu data?. Jelaskan hubungan antara smpangan baku, galat baku dan ragam! 3. Apa artnya bla data memlk harga smpangan baku yang sangat besar? 4. Bagamana Anda dapat memperoleh harga koefsen varas dar data yang Anda mlk?

21 Bab V Statstka Deskrptf 99 D. Rngkasan Rngkasan yang dapat dtark setelah Anda mempelajar mater yang ada dalam Kegatan Belajar varabltas sepert berkut n. 1. Untuk mengnterpretaskan data, maka data tersebut tdak hanya dsajkan dalam bentuk ukuran pemusatan. Agar dapat dnterpretaskan dengan tepat maka dperlukan nformas lan yakn berupa ukuran-ukuran penympangan/varabltas.. Setap ukuran penympangan/varabltas memberkan nformas spesfk, sepert range akan memberkan nformas nla mnmum dan maksmum dar data yang dmlk; smpangan baku memberkan nformas besarnya standar penympangan data dar nla rata-ratanya; smpangan baku rata-rata menggambarkan besarnya nla standar kekelruan dar nla rata-ratanya, dan seterusnya. 3. Semakn besar nla penympangan/varabltas dar data yang dmlk semakn bervaras/ beragam nla-nla dar data tersebut, dan semakn kecl ukuran penympangan berart semakn seragam nla-nla data tersebut. E. Lathan Soal 01. Mengapakah kta memerlukan ukuran gejala pusat dan penympangan? 0. Apakah art medan dan apakah kegunaannya? 03. Apakah art kuartl, desl, persentl? Apakah kegunannya? 04. Mengapakah kta memerlukan smpangan baku, varans, dan standard error? 05. Apakah manfaat angka baku? 06. Apakah yang dmaksud dengan koefsen keragaman? Apakah manfaatnya? 07. Data berkut merupakan data skor hasl lempar cakram mahasswa Bolog dalam uj kemampuan fsk a. Buatlah data d atas ke dalam bentuk dstrbus kelompok! b. Buatlah perhtungan-perhtungan berdasarkan data terserak (tunggal): 1) rerata htung, geometrk, harmonk! 5) varans (ragam) ) modus dan medan! 6) koefsen keragaman 3) rentang 7) selang kepercayaan rerata (CI) 4) smpangan baku 08. Berkut kumpulkan data dar mahasswa peserta statstka kelas Saudara tentang: a) umur (dalam bulan); b) massa (bobot) (kg); c) tngg (m) ( ) d) ndeks massa badan: ( ) Buatlah perhtungan-perhtungan berdasarkan data terserak/tunggal. 1) rerata htung, geometrk, harmonk! 5) varans (ragam) ) modus dan medan! 6) koefsen keragaman 3) rentang 7) selang kepercayaan rerata (CI) 4) smpangan baku Sulsetjono Bolog FMIPA Unverstas eger Malang (State Unversty of Malang) Emal: sulsetjono.fmpa@um.ac.d copyrght August 016