SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KOEFISIEN GARIS REGRESI LINEAR DENGAN METODE LEAST MEDIAN SQUARES 1 ABSTRAK

Transkripsi

1 SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KOEFISIEN GARIS REGRESI LINEAR DENGAN METODE LEAST MEDIAN SQUARES Harm Sugart Jurusan Statstka FMIPA Unverstas Terbuka emal: ABSTRAK Adanya penympangan terhadap asums dasar, khususnya jka terdapat pengamatan penclan (outler), penggunaan metode kuadrat terkecl (OLS) dalam menduga selang kepercayaan dapat mengakbatkan berkurangnya keteltan dalam pendugaan selang bag koefsen gars regres. Tulsan n bertujuan untuk membandngkan antara lebar selang kepercayaan koefsen gars regres yang dperoleh dengan menggunakan metode OLS dan metode least medan squares () jka terdapat penclan (outler). Peneltan n dlakukan dengan menggunakan data smulas dan data terapan berupa nla Tugas Tutoral Onlne (Tuton), Nla Partspas Tuton, dan nla UAS mata kulah Metode Statstk I (SATS4). Hasl analss menunjukkan kepercayaan untuk koefsen regres yang dperoleh dengan metode lebh sempt dbandng dengan metode OLS jka data tdak mengandung penclan, Sedangkan untuk data yang mengandung penclan, metode memberkan selang kepercayaan yang lebh sempt dbandng metode OLS, Pada data terapan yang sangat kecl sekal mengandung penclan, metode OLS memberkan selang kepercayaan yang lebh sempt dbandng metode. Keywords: selang kepercayaan, metode least medan squares, penclan PENDAHULUAN Hubungan lnear antara satu peubah respons dengan p peubah bebas dapat dmodelkan sebaga: Y = β0 + β X + βx βpxp + ε, =,,..., n dmana adalah nla peubah respons pada pengamatan ke-, pada pengamatan ke-, β0, β, β,..., βp Y X adalah nla peubah bebas adalah koefsen regres yang tdak dketahu nlanya dan akan dcar nla taksrannya. Taksran parameter dapat berupa taksran ttk atau taksran selang (nterval). kepercayaan adalah suatu ksaran nla yang danggap mengandung nla parameter populas yang sebenarnya. Batas bawah (B) dan batas atas (A) selang tersebut dhtung dar suatu sampel acak yang dtark dar populas bersangkutan. Oleh karena tu sebelum penarkan sampel dlakukan, B dan A merupakan besaran acak. Untuk setap plhan yang wajar atas kedua batas tu selalu ada peluang postf bahwa selang kepercayaannya akan gagal mencakup nla parameter yang sebenarnya. Sebelum percobaan dlakukan, terlebh dahulu dtetapkan nla koefsen kepercayaan (confdence coeffcent). Koefsen n menetapkan peluang bahwa selang kepercayaan akan mencakup nla parameter yang sebenarnya. Oleh karena tu kta mengngnkan peluang tersebut sedekat mungkn dengan. Dsampakan dalam Semnar Nasonal FMIPA Unverstas Terbuka 0 pada tanggal Jul 0

2 Msalkan kta memlh koefsen kepercayaan ( α ), maka selang kepercayaan yang dhaslkan akan dnamakan selang kepercayaan ( α )00% bag suatu parameter. Nla B dan A dkatakan menentukan selang kepercayaan ( α )00% bag suatu parameter apabla memenuh krtera sebaga berkut: a) P( B nla parameter yang sebenarnya A) ( α ) b) nla-nla B dan A dapat dhtung dar sampel yang telah dambl dar populas. Tngkat kepercayaan ( α )00% mempunya art apabla percobaan pengamblan sampel acak dengan ukuran tertentu yang sama dar suatu populas dan perhtungan nla B dan A dulang berkal-kal, maka ( α )00% dar selang kepercayaan yang dhaslkan akan mengandung nla parameter yang sebenarnya ( B μ ) A. kepercayaan yang cukup bak adalah selang kepercayaan yang mempunya lebar selang yang sempt dan persentase selang yang memuat parameter cukup besar (Koopmans, 987). Model Y = β0 + β X + βx β X + ε, =,,..., n. atau dengan notas p p matrks dapat dtuls sebaga: Y = X β + ε nx nxp px nx dapat dtaksr dengan metode kuadrat terkecl (OLS). Penaksr parameter yang dperoleh dengan metode OLS akan bersfat tak bas lnear terbak (best lnear unbased estmator) jka asums yang mendasar metode OLS dpenuh. Asums regres lner klask tersebut antara lan adalah: (a) model regres dspesfkaskan dengan benar, (b) faktor galat (error) menyebar normal dengan mean nol dan varans tertentu, (c) tdak terjad heteroskedaststas pada ragam galat, (d) tdak terjad multkolnertas antara peubah bebas, (e) tdak ada autokorelas dalam galat, dan (f) tdak ada penclan (outler). Pada dasarnya, metode n memnmumkan jumlah kuadrat smpangan Y dar nla harapannya EY ( ) yatu memnmumkan ε ε = ( Y Xβ)( Y Xβ) sehngga dengan menyelesakan persamaan normal s ( β) [ ] [ ] XX βˆ = XY dperoleh penaksr OLS bag β adalah: = XX Y, = ˆ σ X X ˆ [ ] YY XY, dan ˆ σ = (Draper & Smth,99). n-p- ( ) [ ] [ X ] Apabla ada penympangan terhadap asums dasar, khususnya jka model regres dbangun dar data yang mengandung pengamatan penclan yang berpotens sebaga pengamatan berpengaruh, maka penggunaan metode kuadrat terkecl (OLS) tdak dapat memberkan penaksr yang bersfat best lnear unbased estmator. Pengamatan penclan adalah pengamatan dengan ssaan yang cukup besar, sedangkan pengamatan berpengaruh adalah pengamatan yang dapat mempengaruh hasl pendugaan koefsen regres, sehngga tndakan membuang pengamatan yang

3 berpengaruh akan mengubah secara sgnfkan persamaan regres serta kesmpulannya. Selan tu, penggunaan metode OLS dapat mengakbatkan berkurangnya keteltan dalam pendugaan selang bag koefsen gars regres, sementara tndakan membuang atau mengabakan pengamatan penclan yang berpotens sebaga pengamatan berpengaruh bukanlah prosedur yang bjaksana. Pengamatan penclan adakalanya memberkan nformas yang cukup berart, msalnya karena penclan tmbul dar kombnas keadaan yang tdak basa yang mungkn saja sangat pentng dan perlu dseldk lebh lanjut (Draper & Smth, 99). Untuk mendeteks adanya pengamatan penclan terhadap nla-nla X nya, dapat dlaku kan dengan melhat matrks dugaan (hat matrx) yang ddefnskan sebaga: H=XXXX -()Unsur ke- pada dag al utama matrks dugaan yakn basanya dnamakan on h pengaruh (leverage) kasus ke- yang dapat dperoleh dar [ ] h = x XX x, dmana adalah vektor bars ke- dar matrks X. Nla h terletak antara 0 dan yang jumlahny a sama dengan p, yatu banyaknya x parameter regres. Nla leverage h yang besar menunjukkan bahwa pengamatan ke- berada jauh dar pusat semua pengamatan X. Suatu nla leverage h basanya danggap besar apabla nlanya lebh dar dua kal rataan semua leverage ( p n ). Pada dasarnya nla h yang semakn besar menunjukkan semakn besar potensnya berpengaruh dalam pendugaan parameter regres (Myers, 990). Dalam Myers (990), guna mendeteks adanya pengamatan yang berpengaruh, dapat dgunakan nla perbedaan dugaan peubah tak bebas terbakukan (DFFITS) yang drumuskan sebaga: yˆ ( DFFITS ) = s ˆ, y h dmana: y ˆ = nla pendugaan, y = nla pendugaan y tanpa pengamatan ke-, y ˆ, s = dugaan smpangan baku tanpa pengamatan ke- dan h = unsur ke- dar dagonal matrks dugaan. Jka p menyatakan banyaknya parameter dan n menyatakan banyaknya pengamatan, maka suatu pengamatan akan merupakan pengamatan berpengaruh dalam persamaan regres apabla mempunya nla DFFITS > ( p n). Guna mengatas kelemahan dar metode OLS, perlu dcoba metode lan yang bersfat tdak senstf terhadap pelanggaran asums-asums, yatu metode regres robust (robust regresson). Ada beberapa metode pendugaan/ penaksran koefsen gars regres yang bersfat robust telah dkembangkan, dantaranya adalah metode

4 pendugaan parameter regres berdasarkan pada penduga least medan of square (). Metode mempunya keuntungan untuk mengurang pengaruh dar ssaan (resdual). Menurut Rousseeuw dan Leroy (003), penduga dperoleh dengan mencar model regres yang memnmumkan medan dar h kuadrat ssaan ( e ) atau ddefnskan sebaga: ˆ T β = arg mn medan e dengan e = ( y x θ ) ; =,,..., n β Ukuran sebaran dar galat dapat dtaksr dengan cara menentukan terlebh dahulu nla 0,486 5 / ( ) ( ˆ s = + n p medan e β ). Faktor,486 = dusulkan Φ (0,75) awal [ ] medan z karena merupakan penaksr konssten untuk σ jka Φ (0,75) ( 0, ) z berdstrbus 0 N σ. Selanjutnya nla awal s dgunakan untuk menentukan pembobot w untuk setap pengamatan, yatu w jka e ˆ σ,5 = 0 jka e ˆ σ >,5 Berdasarkan pembobot w, nla akhr taksra n σ untuk regres dhtung oleh = w p. n n σ w e = = Tulsan n bertujuan untuk membandngkan lebar selang kepercayaan koefsen gars regres yang dperoleh dengan menggunakan metode OLS dan metode jka terdapat penclan. METODE Data yang dgunakan dalam kajan n adalah data smulas dan data terapan berupa nla Tugas Tutoral Onlne (Tuton), Nla Partspas Tuton, dan nla UAS mata kulah Metode Statstk I (SATS4) masa regstras Desan peneltan dsajkan pada Gambar sebaga berkut.

5 Adapun langkah-langkah yang akan dlakukan dalam peneltan n adalah:. Membangktkan data berpasangan ( X, X, ε, Y) dmana ( X, X ) sebaga peubah bebas dan Y sebaga peubah tak bebas dengan Y = + X + X + ε serta ε ~ NIID (0, σ ).. Mendapatkan pengamatan penclan dengan menggant sejumlah tertentu pengamatan Y dengan nla ekstrm sedemkan sehngga dperoleh pengamatan penclan yang berpengaruh. 3. Menghtung lebar selang kepercayaan untuk koefsen gars regres menggunakan metode OLS untuk data smulas dengan atau tanpa penclan. 4. Menghtung lebar selang kepercayaan untuk koefsen gars regres menggunakan metode untuk data smulas dengan atau tanpa penclan. 5. Menghtung lebar selang kepercayaan untuk koefsen gars regres menggunakan metode OLS untuk data terapan. 6. Menghtung lebar selang kepercayaan untuk koefsen gars regres menggunakan metode untuk data terapan. HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan data smulas tanpa penclan, taksran koefsen gars regres, smpangan baku dar koefsen gars regres, dan lebar selang 95% koefsen gars regres yang dperoleh dengan metode OLS dan metode masng-masng dtunjukkan oleh Tabel. Tabel. Kepercayaan 95% untuk Koefsen Gars Regres untuk Data Smulas Tanpa Penclan

6 Koefsen Regres s( ) OLS s( ) 0 0,50 0,344 0,673,07 0,545,067 0,973 0,049 0,097 0,969 0,4 0,43,30 0,05 0,099 0,969 0,093 0,8 Metode OLS memberkan selang kepercayaan yang lebh sempt dbandng metode, namun jka dlhat dar nla taksran untuk koefsen gars regres, metode memberkan taksran yang lebh sesua dbandng metode OLS, dmana nla βˆ mendekat. Pada data smulas dengan 5% penclan, metode OLS dan metode masng-masng memberkan taksran koefsen gars regres, smpangan baku dar koefsen gars regres, dan lebar selang 95% koefsen gars regres sepert tampak pada Tabel ; dmana metode memberkan selang kepercayaan untuk koefsen gars regres yang lebh sempt dbandng metode OLS. Selan tu, metode juga memberkan taksran koefsen gars regres yang mendekat nla sebagamana telah ddesan pada metode smulas sebelumnya, yatu β0 = β = β = atau β =. Tabel. Kepercayaan 95% untuk Koefsen Gars Regres untuk Data Smulas dengan 5% Penclan Koefsen Regres OLS s( ) s( ) 0,659,39,3 0,994 0,33 0,650 0,805 0,64 0,3 0,95 0,046 0,09 0,969 0,68 0,39,07 0,048 0,094 Tdak jauh dar hasl smulas dengan 5% penclan, pada data smulas dengan 0% penclan, metode memberkan selang kepercayaaan yang lebh sempt dbandng metode OLS, serta metode juga memberkan taksran koefsen gars regres yang mendekat nla sebagamana telah ddesan pada metode smulas sebelumnya, yatu β0 = β = β = atau β =. Secara rnc, metode OLS dan metode

7 masng-masng memberkan taksran koefsen gars regres, smpangan baku dar koefsen gars regres, dan lebar selang 95% koefsen gars regres untuk data smulas dengan 0% penclan dapat dlhat pada Tabel 3. Tabel 3. Kepercayaan 95% untuk Koefsen Gars Regres untuk Data Smulas dengan 0% Penclan Koefsen Regres OLS s( ) s( ) 0 4,05,454,850,37 0,335 0,657 0,774 0,09 0,409 0,866 0,044 0,086 0,830 0,5 0,40 0,885 0,046 0,09 Pada data terapan yang mengandung sektar % penclan (pengamatan yang berpengaruh), metode OLS memberkan selang kepercayaan untuk koefsen gars regres yang lebh sempt dbandng metode. Hal n sesua dengan hasl analss untuk data smulas tanpa penclan. Secara rnc, metode OLS dan metode masng-masng memberkan taksran koefsen gars regres, smpangan baku dar koefsen gars regres, dan lebar selang 95% koefsen gars regres untuk data terapan dapat dlhat pada Tabel 4. Tabel 4. Kepercayaan 95% untuk Koefsen Gars Regres untuk Data Terapan Koefsen Regres OLS s( ) s( ) Constant 35,50,04 4,4 30,09,655 3,44 Tugas 0,005 0,037 0,073 0,06 0,08 0,054 Tugas 0,003 0,05 0,0 0,007 0,037 0,073 Tugas 3-0,057 0,05 0,099-0,079 0,037 0,07 Aktvas 0,09 0,068 0,34 0,84 0,05 0,0

8 KESIMPULAN kepercayaan untuk koefsen regres yang dperoleh dengan metode lebh sempt dbandng dengan metode OLS jka data tdak mengandung penclan, Sedangkan untuk data yang mengandung penclan, metode memberkan selang kepercayaan yang lebh sempt dbandng metode OLS, Pada data terapan yang sangat kecl sekal mengandung penclan, metode OLS memberkan selang kepercayaan yang lebh sempt dbandng metode. DAFTAR PUSTAKA Draper, N,R, & Smth, H, 99, Appled regresson analyss, nd ed, Wley, New York, Koopmans, L,H, 987, Introducton to Contemporary Statstcal Methods, nd ed, Boston: PWS, Myers, R,H, 990, Classcal and modern regresson wth applcatons, nd ed, PWS- Kent, Boston, Rousseeuw,P,J, & Leroy,A,M, 003, Robust regresson and outler detecton, Wley, New York, KEMBALI KE DAFTAR ISI