BUKU AJAR STATISTIKA DASAR

Transkripsi

1 BUKU AJAR STATISTIKA DASAR WIWIK SULISTIYOWATI, ST., M.T. CINDY CAHYANING ASTUTI, S.S., M.S. UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SIDOARJO 016

2 BUKU AJAR STATISTIKA DASAR Wwk Sulstyowat, S.T., M.T. Cndy Cahyanng Astut., S.S., M.S. UMSIDA PRESS Jl. Mojopaht 666 B Sdoarjo ISBN:

3 BUKU AJAR STATISTIKA DASAR Wwk Sulstyowat, ST., M.T. Cndy Cahyanng Astut, S.S., M.S. Sdoarjo, 016 Dterbtkan atas Program Bantuan Penulsan dan Penerbtan Buku Ajar dan Modul Praktkum Unverstas Muhammadyah Sdoarjo Tahun 015/016

4 BUKU AJAR STATISTIKA DASAR TIM PENULIS Wwk Sulstyowat, ST., M.T. Cndy Cahyanng Astut, S.S., M.S. Dterbtkan oleh UMSIDA PRESS Jl. Mojopaht 666 B Sdoarjo ISBN: Copyrght 016. Wwk Sulstyowat & Cndy Cahyanng Astut. All rghts reserved. v

5 KATA PENGANTAR Dengan mengucapkan puj syukur Allhamdullllah, atas berkat rahmat Allah SWT, kam dapat menyelesakan buku ajar dengan judul Statstk Dasar. Kam selaku tm penyusun mengucapkan terma kash kepada semua phak yang telah membantu kam selama proses pelaksanaan penyusunan sampa dengan terselesanya buku ajar n. Kam menyadar, dalam buku ajar yang kam susun mash banyak kekurangan, sehngga kam berharap pembaca dan pengguna dapat memberkan masukkan/ krtk yang satnya membangun. Semoga apa yang kam haslkan n dapat memberkan manaat bag pembaca dan mahasswa. Penyusun v

6 DAFTAR ISI Kata Pengantar... v Datar Is... v BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Pengertan Statstk Jens Statstk Elemen Dasar Statstk Tpe Data Skala Pengukuran Data Rangkuman Lathan... 3 Datar Pustaka... 4 BAB PENYAJIAN DATA.1 Tabel atau Datar Grak atau Dagram Rangkuman Lathan Datar Pustaka BAB 3 DISTRIBUSI FREKUENSI 3.1 Pendahuluan Tahapan Pembuatan Tabel Frekuens Frekuens Relat dan Frekuens Kumulat Contoh Soal Rangkuman Lathan... 0 Datar Pustaka... 1 BAB 4 UKURAN, PEMUSATAN DAN PENYIMPANG DATA 4.1 Pendahuluan Jens Ukuran Pemusatan Data Jens Ukuran Penympangan Data Contoh Soal Rangkuman Lathan Datar Pustaka BAB 5 PROBABILITAS Pendahuluan Konsep Probabltas Gabungan dan Irsan Probabltas Bersyarat Aturan Perkalan dan Perstwa Independen Berbaga ATuran Perhtungan atau Pencacahan Rangkuman Lathan v

7 Datar Pustaka BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL Pendahuluan Sat-sat Dstrbus Normal Penggunaan Dstrbus Normal Transormas Dstrbus Normal Rangkuman Lathan Datar Pustaka BAB 7 HIPOTESA Pendahuluan Dua Jens Kesalahan Hpotesa Langkah-langkah Pengujan Hpotesa Pengujan Hpotesa Contoh Soal Rangkuman Lathan Datar Pustaka... 7 BAB 8 REGRESI DAN KORELASI Pendahuluan Analsa Regres Lner Contoh Kasus Rangkuman Lathan... 8 Datar Pustaka BAB 9 ANALISA RAGAM Pendahuluan analisa Ragam Satu Arah Uj Homogentas Analsa Ragam Dua Arah Rangkuman Lathan Datar Pustaka Bodata Penuls Indeks LAMPIRAN Lampran 1. Tabel Dstrbus Normal Lampran. Tabel Dstrbus F v

8 BAB 1 PENDAHULUAN Peranan statstk dalam aktvtas sehar-har telah banyak dgunakan, bak untuk keperluan sehar-har d rumah tangga atau keluarga. Salah satunya adalah dalam pembagan pos-pos pengeluaran. Selan tu statstk juga banyak dgunakan dalam pemerntahan, ndustr dan duna penddkan. Msalkan untuk duna penddkan, statstka dgunakan dalam menentuan nla ketuntasan sswa, bak secara deskrpt maupun secara nerens. 1.1 Pengertan Statstk Santoso (004) menyatakan bahwa statstka adalah lmu yang berkatan dengan data. Hal-hal yang tercakup dalam statstka adalah pengumpulan, klaskas, perngkatan, organsas, analss dan nterpretas normas numerk. Sudjana (005), menyampakan bahwa statstk adalah menyatakan kumpulan data, blangan maupun non blangan yang dsusun dalam tabel dan atau dagram, yang melukskan atau menggambarkan suatu persoalan, lebh lanjut, sudjana (005) menambahkan bahwa dengan statstka merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalssannya dan penarkan kesmpulan berdasarkan kumpulan data da penganalssan yang dlakukan. Spegel (004) menyatakan bahwa statstk adalah dspn lmu yang berhubungan dengan metode-metode lmah yang dgunakan untuk mengumpulkan, mengolah, meramu, menyajkan dan menganalss data, termasuk juga menark kesmpulan yang benar dan membuat keputusan secara rasonal berdasarkan Analss-Analss tad. Sehngga dar beberapa ahl yang telah menjelaskan pengertan statstk maka dapat dartkan bahwa statstk adalah suatu lmu yang dgunakan untuk memecahkan suatu permasalahan dengan menggunakan beberapa tahapan yatu pengumpulan data, pengolahan data, Analss data dan ntepretas data serta kesmpulan dan keputusan yang dambl berdasarkan Analss yang telah dlakukan. 1. Jens Statstk Jens statstk dbedakan menjad dua, yatu statstka deskrpt dan statstka nerens. a. Statstka Deskrpt yatu statstka yang menggunakan metode numerk dan grak untuk mencar pola dalam suatu kumpulan data, merngkas normas yang terkandung dalam kumpulan data, dan menghadrkan normas dalam bentuk yang dngnkan (Santosa, 004). 1

9 b. Statstka Inerens yatu statstk yang menggunakan data sampel untuk membuat estmas, keputusan, predks, dan generalsas terhadap kumpulan data yang lebh besar (Santoso, 004). 1.3 Elemen Dasar Statstka Dalam pembelajaran statstk, terdapat elemen-elemen dasar statstka yatu: a. Populas adalah keseluruhan obyek yang akan dtelt. Contoh : Seluruh mahasswa Unverstas Muhammadyah Sdoarjo b. Sampel adalah bagan dar populas. Contoh : Mahasswa Fakultas Teknk Unverstas Muhammadyah Sdoarjo. c. Data adalah sesuatu yang dketahu meskpun belum tentu benar, dmana data dapat dgunakan untuk menggambarkan suatu keadaan. d. Inormas adalah daya yang telah dolah. e. Varabel adalah karakterstk atau sat dar unt ndvdual populas. 1.4 Tpe Data Dalam lmu statstk, data dbedakan menjad dua tpe, yatu: a. Data Kualtat Pengukuran yang tdak dapat dukur pada skala numerk, dan hanya dapat dklaskaskan dalam salah satu grup atau kategor. Contoh : jens kelamn, tpe kendaraan b. Data Kuanttat Data yang dapat dkodekan dengan skala numerk. Terdapat dua jens data kuanttat, yatu dskrt dan kontnu. - Dskrt merupakan hasl pencacahan Contoh : banyaknya mahasswa yang hadr kulah, banyaknya sepeda motor yang parkr dhalaman parkr kampus. - Kontnu merupakan hasl pengukuran Contoh : berat badan mahasswa, jarak antara kampus 1 dan kampus. 1.5 Skala Pengukuran Data Terdapat empat skala pengukuran data dalam statstk, yatu: 1. Skala Nomnal Skala yang mempunya sat membedakan.

10 Contoh : Angka 1 menyatakan handphone merk pod, angka menyatakan handphone merk samsung, angka 3 menyatakan handphone merk lenovo.. Skala Ordnal Skala yang mempunya sat membedakan dan mengurutkan. Contoh: Dalam menyebarkan kuesoner, terdapat pembobotan untuk menggambarkan jawaban dar responden dalam memberkan penlaan kualtas pelayanan bank, dmana skala 1 menunjukkan sangat tdak bak, menunjukkan tdak bak, 3 menunjukkan bak dan 4 menunjukkan sangat bak. 3. Skala Interval Skala yang mepunya sat membedakan, mengurutkan, jarak antara nla tetap dan mempunya nla nol yang tdak mutlak. Contoh: Waktu tengah har menunjukkan pukul 1.00, tengah malam menunjukkan pukul Skala Raso Skala yang empunya suat membedakan, mengurutkan, jarak antar nla tetap dan mempunya nla nol yang mutlak. Contoh : Jumlah peserta rapat yang hadr adalah 50 orang. 1.6 Rangkuman a. Statstk maka dapat dartkan bahwa statstk adalah suatu lmu yang dgunakan untuk memecahkan suatu permasalahan dengan menggunakan beberapa tahapan yatu pengumpulan data, pengolahan data, Analss data dan ntepretas data serta kesmpulan dan keputusan yang dambl berdasarkan Analss yang telah dlakukan. b. Jens Statstka ada dua yatu statstk Deskrpt dan statstk nerens c. Elemen Dasar Statstka adalah : populas, sampel, data, normas, dan varabel. d. Terdapat dua tpe data yatu data kualtat dan data kuanttat. e. Terdapat 4 (empat) skala pengukuran, yatu skala nomnal, skala ordnal, skala nterval dan skala raso. 1.7 Soal Lathan 1. Jelaskan pengertan statstk dan statstka!. Statstka dbedakan menjad dua, sebutkan dan berkan contohnya dalam aktvtas kehdupan sehar-har! 3. Jelaskan pengertan populas dan sampel dan berkan contohnya! 4. Jelaskan pengertan data kualtat dan kuanttat, sertakan contohnya! 3

11 Datar Pustaka Martnngtyas, Nnng (011)., Teor, Soal dan Pembahasan Statstka. Jakarta :PT.Prestas Pustakaraya. Santosa., R Gunawan., (004).Statstk..Yogyakarta : And Spegel, Murray R (004)., Statstk. Jakarta:Erlangga Sudjana, (005). Metode Statstka. Bandung:Tarsto Wbsono, Yusu (009). Metode Statstk. Yogyakarta:Gadjah Mada Unversty Press. 4

12 BAB PENYAJIAN DATA Data hasl observas, wawancara maupun penyebaran kuesoner yang telah dkumpulkan bak dar suatu populas maupun sampel yang dgunakan dalam pengolahan data dan Analss yang dgunakan sebaga pengamblan keputusan, maka perlu datur dan dsajkan dalam bentuk yang bak, jelas dan mudah dpaham. Terdapat dua cara penyajan data yang serng dgunakan yatu tabel atau datar dan grak atau dagram..1 Tabel atau Datar Secara umum, skema gars besar untuk sebuah tabel terdapat beberapa bagan (Sudjana, 005), yatu: 1. Judul Datar dtuls dtengah-tengah bagan teratas, dalam beberapa bars, semuanya dengan huru besar.. Judul Kolom dan judul bars dtuls dengan sngkat dan jelas, bsa dalam beberapa bars dan usahakan jangan melakukan pemutusan kata. 3. Sel Datar tempat nla-nla data dtulskan. 4. Catatan terdapat dbawah kr sebaga catatan-catatan yang perlu dberkan atau dtambahkan. Terdapat 3 (tga) jens tabel atau datar, yatu: a. Datar Bars Kolom Pada perusahaan X, telah dlakukan transaks pembelan barang-barang oleh unt A. Pembelan barang-barang dalam rbuan unt dan jutaan rupah pada tahun Barang Banyak Harga Banyak Harga Banyak Harga A 8,3 34,4 1,7 307,8 11,0 90,4 B 10,8 81,4 9,4 80,5 13,0 9,0 Jumlah 19,1 315,8,1 388,3 4,0 38,4 Catatan : Data olahan 5

13 b. Datar Kontngens Untuk data yang terdr atas dua aktor atau dua varabel, dmana aktor yang satu terdr atas b kategor dan lannya terdr atas k kategor, dapat dbuat datar kontngens berukuran bxk dengan b menyatakan bars dan k menyatakan kolom. Banyak Murd Sekolah d Daerah A menurut Tngkat Sekolah dan Jens Kelamn pada tahun Tngkat Sekolah SD SLTP SLTA Jumlah Jens Kelamn Lak-lak Perempuan Jumlah 8, Catata : Data Olahan c. Datar Dstrbus Frekuens Data kuanttat yang dapat dbuat menjad beberapa kelompok. Datar Mahasswa Unverstas Muhammadyah Sdoarjo berdasarkan Umur pada tahun 015 UMUR BANYAK MAHASISWA Jumlah Catatan : Data Olahan. Grak atau Dagram Terdapat beberapa jens dagram, yatu: 1. Dagram Batang Data yang varabelnya berbentuk kategor atau atrbut sangat tepat dsajkan dalam dagram batang. Untuk menggambar dagram batang dperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Kedua sumbunya dbag menjad 6

14 beberapa skala, tetap tdak perlu sama skalanya. Jka dagram dbuat tegak, maka sumbu datar menyatakan atrbut atau waktu, sedangkan sumbu tegak menyatakan kuantum atau nla data.. Dagram Bars Untuk menggambarkan yang serba terus atau berkesnambungan. Dperlukan sumbu tegak dan sumbu datar yang salng tegak lurus. Sumbu datar menyatakan waktu, sedangkan sumbu tegaknya menyatakan kuantum data tap waktu. 7

15 3. Dagram Lngkaran Untuk membuat dagram lngkaran, gambarkan sebuah lngkaran, kemudan dbag menjad beberapa sektor. Tap sektor melukskan kategor data yang terlebh dahulu dubah kedalam derajat. Danjurkan untuk pembagan mula dar ttk tertngg lngkaran. Dagram n dgunakan untuk melukskan data atrbut. Keperluan Baya Untuk % Pos A Pos B Pos C Pos D Pos E Jumlah Dagram Lambang Dpaka untuk mendapatkan gambaran kasar sesuatu hal dan sebaga alat vsual bag orang awam. Kesultannya adalah menggambarkan bagan smbul untuk satuan yang tdak penuh. Penggunaan Kendaraa Mobl d Daerah A Tahun Jumlah

16 5. Dagram Peta Dagram n dsebut juga kartogram. Dalam pembuatannya dgunakan peta geogras tempat data terjad. Sehngga, dagram n melukskan keadaan dhubungkan dengan tempat kejadannya. Contoh : Pembagan wlayah pelayanan PLN d Surabaya..3 Rangkuman 1. Terdapat dua cara dalam menyajkan data yatu dengan tabel atau datar dan grak atau dagram.. Terdapat 3 (tga) jens datar, yatu datar bars dan kolom, datar kontngens, dan datar rekuens. 3. Terdapat 5 (lma) jens dagram, yatu dagram batang, dagran gars, dagram lngkaran, dagram lambang dan dagram peta. 9

17 .4 Lathan 1.Terdapat data jumlah mahasswa d sebuah perguruan tngg. Dketahu bahwa 130 mahasswa dar Fakultas Ekonom, 150 dar Fakultas Teknk, 15 dar Fakultas Hukum, dan 16 berasal dar akultas pskolog. Susunlah data tersebut dalam bentuk tabel dan dagram batang. Datar Pustaka Martnngtyas, Nnng (011)., Teor, Soal dan Pembahasan Statstka., Jakarta :PT.Prestas Pustakaraya. Sudjana, (005)., Metode Statstka., Bandung:Tarsto 10

18 BAB 3 DISTRIBUSI FREKUENSI 3.1 Pendahuluan Tabel Frekuens merupakan salah satu jens penyajan data. Tabel Frekuens adalah cara umum untuk menata atau menyusun data yang dmlk dalam sebuah tabel yang menunjukkan sebaran atau dstrbus rekuens data dan tersusun atas rekuens tap-tap kelas atau kategor yang telah dtetapkan. Frekuens tap kelas atau kategor menunjukkan banyaknya pengamatan dalam kelas yang sedang damat. Untuk memperjelas uraan datas, dberkan contoh tabel rekuens sebagamana dtunjukkan pada Tabel 3.1. Tabel 3.1. Tabel Frekuens nla akhr matakulah statstka dasar Interval (Selang) Kelas Frekuens () Total 45 Dengan mempelajar tabel rekuens yang dtunjukkan dalam Tabel 3.1 palng tdak kta dapat mengetahu gambaran secara umum kemampuan mahasswa terhadap matakulah statstka dasar yang dberkan. Bentuk tabel rekuens yang lan dapat dtunjukkan pada Tabel 3.. sebaga berkut. Tabel 3.. Tabel Frekuens banyaknya bola pada suatu kotak Kelas Frekuens () Bola Merah 16 Bola Bru 18 Bola Hjau 15 Bola Kunng 19 Bola Ungu Total 90 11

19 Tabel 3. adalah tabel rekuens dengan kelas bukan merupakan selang (nterval) tetap menunjukkan banyaknya sesuatu yang damat. Bla dbandngkan Tabel 3.1 dan Tabel 3. jelas terdapat perbedaan. Tabel 3.1 merupakan tabel rekuens yang kelasnya merupakan selang (nterval) sedangkan Tabel 3. merupakan tabel rekuens yang kelasnya merupakan banyaknya sesuatu. Pembuatan tabel rekuens dengan kelas sebagamana dtunjukkan pada Tabel 3. tentu saja tdak sult dlakukan, yatu dengan cara menghtung berapa banyak pengamatan yang mempunya nla sesua kelas yang telah dtentukan. Yang perlu dpelajar lebh lanjut adalah cara pembuatan tabel rekuens apabla kelasnya merupakan selang sebagamana dcontohkan pada Tabel 3.1. Pembahasan tentang tahapan-tahapan yang dlakukan dalam pembuatan tabel rekuens yang kelasnya merupakan selang adalah sebaga berkut. 3. Tahapan Pembuatan Tabel Frekuens a. Penentuan banyaknya selang kelas (k) Banyaknya selang kelas tergantung pada jumlah pengamatan dalam data yang kta mlk. Pengamatan yang tdak terlalu banyak tentunya tdak memerlukan selang kelas yang banyak, begtu pula sebalknya pengamatan yang banyak memerlukan selang kelas yang cukup memada untuk mencakup semua data pengamatan yang dmlk. Menurut Ytnosumarto (1990), persamaan yang dgunakan untuk penentuan banyaknya selang kelas dnyatakan sebagamana persamaan 3.1. sebaga berkut. k 1 3,3log n (3.1) d mana : k = banyaknya kelas n = jumlah data b. Penentuan selang dalam kelas (I) Selang dalam kelas atau lebar kelas akan tergantung pada banyaknya kelas dan ksaran data atau dsebut juga dengan range. Hal pentng yang perlu dperhatkan dalam penentuan selang dalam kelas adalah semua selang dalam kelas harus memlk lebar kelas yang sama. Untuk menentukan selang dalam kelas terlebh dahulu harus mengetahu banyak kelas (k) yang telah dhtung pada tahapan pertama. Menurut 1

20 Ytnosumarto (1990), persamaan yang dgunakan untuk penentuan selang dalam kelas dnyatakan sebagamana persamaan 3. sebaga berkut. I R k (3.) d mana : R = range atau ksaran k = banyaknya selang kelas Range atau ksaran dapat dperoleh dar selsh antara nla pengamatan tertngg dengan nla pengamatan terendah, menurut Ytnosumarto (1990), persamaan untuk menghtung ksaran dnyatakan pada persamaan 3.3 sebaga berkut. R X -X max mn (3.3) d mana : X maks = nla pengamatan tertngg X mn = nla pengamatan terendah c. Penentuan batas kelas terendah untuk kelas pertama Batas kelas terendah untuk selang kelas pertama merupakan bagan pentng untuk dtentukan. Pada umumnya batas kelas terendah dar selang kelas pertama dtentukan sedemkan rupa sehngga akan memudahkan kta untuk melhat perbedaan selang kelas pertama dengan selang kelas kedua dan seterusnya. Untuk menjelaskan hal n akan djelaskan uraan sebaga berkut. Apabla kta mempunya data antara 63 sampa dengan 97. Data tersebut merupakan hasl penlaan terhadap kemampuan dengan ksaran nla 0 sampa dengan 100. Msalkan dengan lebar kelas 10, tentu saja akan memudahkan kta menentukan selang kelas 61-70, dan seterusnya sampa dengan dbandngkan dengan selang 63-7, 73-8 dan Mengapa demkan? Hal n karena tdak mungkn terdapat nla 10 untuk ksaran nla Namun apabla semua data pada pengamatan dapat masuk dalam ksaran nla yang ada, kta dapat langsung menggunakan nla pengamatan terendah berdasarkan data. Catatan pentng lan untuk memudahkan pembuatan tabel rekuens adalah data yang damat harus durutkan terlebh dahulu. 13

21 3.3 Frekuens Relat dan Frekuens Kumulat Contoh tabel rekuens sebagamana dtunjukkan pada Tabel 3.1 dan Tabel 3. dapat juga dserta dengan rekuens relat. Menurut Dajan (1991), rekuens relat dapat dartkan sebaga raso antara rekuens tap-tap kelas dengan rekuens total atau banyaknya pengamatan secara keseluruhan. Frekuens relat dapat dnyatakan dalam bentuk propors terhadap rekuens total dan dapat juga dnyatakan dalam bentuk presentase terhadap rekuens total. Frekuens relat untuk Tabel 3.1 dan Tabel 3. dapat dnyatakan sebagamana Tabel 3.3 dan Tabel 3.4 berkut. Tabel 3.3. Sebaran rekuens dan rekuens relat data pada Tabel 3.1 Interval (Selang) Kelas Frekuens () Frekuens Relat /45 = 0,11 8/45 = 0,18 19/45 = 0,4 7/45 = 0,16 6/45 = 0,13 Total 45 45/45 =1 Tabel 3.4. Sebaran rekuens dan rekuens relat data pada Tabel 3. Kelas Frekuens () Frekuens Relat Bola Merah Bola Bru Bola Hjau Bola Kunng Bola Ungu /90 = 0,18 18/90 = 0, 15/90 = 0,17 19/90 = 0,1 /90 = 0,4 Total 90 90/90 =1 Apabla rekuens relat pada Tabel 3.3 dan tabel 3.4 datas dnyatakan dalam persentase maka akan dperoleh rekuens relat berturut-turut untuk Tabel 3.3 adalah 11%, 18%, 4%, 16% dan 13% sedangkan rekuens relat berturut-turut untuk Tabel 3.4 adalah 18%, 0%, 17%, 1% dan 4%. 14

22 Selan rekuens relat, dalam penyajan data pada tabel rekuens juga dkenal stlah rekuens kumulat. Frekuens kumulat ddapatkan dengan menjumlahkan rekuens dem rekuens pada setap kelas. Frekuens kumulat untuk Tabel 3.1 dan Tabel 3. dapat dnyatakan sebagamana Tabel 3.3 dan Tabel 3.4 berkut. Tabel 3.5. Sebaran rekuens dan rekuens relat data pada Tabel 3.1 Interval (Selang) Kelas Frekuens () Frekuens Kumulat Total 45 Tabel 3.6. Sebaran rekuens dan rekuens relat data pada Tabel 3. Kelas Frekuens () Frekuens kumulat Bola Merah Bola Bru Bola Hjau Bola Kunng Bola Ungu Total Contoh Soal Untuk lebh memaham tentang uraan mater tabel rekuens yang telah djelaskan berkut n dberkan contoh kasus pembuatan tabel rekuens dengan kelas merupakan selang (nterval). 1. Berkut n adalah data sswa yang hadr untuk mengkut bmbngan belajar pada 0 har terakhr d suatu Lembaga Bmbngan Belajar. Data sswa tersebut dsajkan lengkap pada Tabel 3.7 d bawah n : 15

23 Tabel 3.7. Data sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB Buatlah tabel rekuens, rekuens relat dan rekuens kumulat berdasarkan data yang terseda! Sesua dengan uraan yang telah djelaskan terdapat tga tahapan dalam pembuatan tabel rekuens, yatu : a. Penentuan banyaknya selang kelas (k) b. Penentuan selang dalam kelas (I) c. Penentuan batas kelas terendah untuk kelas pertama Berdasarkan tga tahapan pembuatan tabel rekuens datas maka akan kta buat tabel rekuens dengan contoh kasus yang ada. a. Penentuan banyaknya selang kelas (k) Penentuan banyaknya selang kelas dhtung berdasarkan persamaan (3.1) yatu sebaga berkut : k 1 3,3log n d mana : k = banyaknya kelas n = jumlah data Berdasarkan data yang ada dketahu bahwa jumlah unt data yang damat adalah 0 har, sehngga pada contoh kasus n n (jumlah data) adalah 0. Selanjutnya akan dhtung banyaknya selang kelas berdasarkan data sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB menggunakan persamaan d atas sehngga dperoleh hasl sebaga berkut : k 1 3, 3log n = 1+ 3,3 log (0) = 5, 5 16

24 b. Penentuan selang dalam kelas (I) berkut : Penentuan selang dalam kelas dhtung berdasarkan persamaan 3.. yatu sebaga I R k d mana : R = X maks - X mn k = banyaknya selang kelas Untuk menghtung selang dalam kelas terlebh dahulu kta harus mengetahu range atau ksaran dar data yang kta mlk. Berdasarkan persamaan d atas, range atau ksaran dperoleh dengan menghtung selsh nla pengamatan tertng dengan nla pengamatan terendah. Nla pengamatan tertngg (X maks ) pada data adalah 35 sedangkan nla pengamatan terendah (X mn ) pada data adalah 6. Sehngga range atau ksaran data adalah R = X maks - X mn =35-6 =9. Selanjutnya akan dhtung selang(nterval) dalam kelas pada data sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB menggunakan persamaan d atas sehngga dperoleh hasl sebaga berkut : I R k 9 = 5 5,8 6 c. Penentuan batas kelas terendah untuk kelas pertama Penentuan batas kelas terendah untuk kelas pertama dapat langsung menggunakan nla pengamatan terendah pada data, hal n dkarenakan semua data pada pengamatan dapat masuk dalam ksaran nla yang ada. Setelah melakukan perhtungan pada tga tahapan dalam pembuatan tabel rekuens dhaslkan tabel rekuens untuk data sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB sebagamana Tabel 3.8. sebaga berkut : 17

25 Tabel 3.8. Tabel rekuens sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB Selang (Interval) Kelas Frekuens () Total 0 Selanjutnya setelah terbentuk tabel rekuens data, akan kta htung juga rekuens relat dan rekuens kumulat data berdasarkan tabel rekuens yang telah dbuat dan selengkapnya dsajkan pada tabel 3.9 sebaga berkut. Tabel 3.8. Tabel rekuens sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB Selang (Interval) Kelas Frekuens () Frekuens Relat Frekuens Kumulat /0 = 0,15 (15%) /0 = 0,15 (15%) /0 = 0,5 (5%) /0 = 0,1 (10%) /0 = 0,35 (35%) 0 Total 0 0/0 = 1 (100%) 18

26 3.5 Rangkuman Tabel Frekuens adalah cara umum untuk menata atau menyusun data yang dmlk dalam sebuah tabel yang menunjukkan sebaran atau dstrbus rekuens data. Terdapat tga tahapan dalam pembuatan tabel rekuens, yatu sebaga berkut: a. Penentuan banyaknya selang kelas (k) k 1 3,3log n d mana : k = banyaknya kelas n = jumlah data b. Penentuan selang dalam kelas (I) I R k d mana : R = range/ ksaran k = banyaknya selang kelas Range atau ksaran dapat dperoleh dar selsh antara nla pengamatan tertngg dengan nla pengamatan terendah R X -X max mn d mana : X maks = nla pengamatan tertngg X mn = nla pengamatan terendah c. Penentuan batas kelas terendah untuk kelas pertama Batas kelas terendah untuk selang kelas pertama dapat langsung menggunakan nla pengamatan terendah berdasarkan data apabla semua data dapat masuk dalam ksaran nla yang ada Frekuens relat dapat adalah raso antara rekuens tap-tap kelas dengan rekuens total atau banyaknya pengamatan secara keseluruhan sedangkan rekuens kumulat ddapatkan dengan menjumlahkan rekuens dem rekuens pada setap kelas. 19

27 3.6 Lathan 1. Buatlah tabel rekuens, rekuens relat dan rekuens kumulat berdasarkan data nla UAS 30 mahasswa pada matakulah dasar-dasar pemrograman sebaga berkut : Berkut n merupakan tabel rekuens jumlah sswa kelas 1 sampa dengan kelas 6 pada sebuah Sekolah Dasar : Kelas Frekuens () Kelas 1 34 Kelas 35 Kelas 3 9 Kelas 4 30 Kelas 5 33 Kelas 6 39 Total 00 Buatlah tabel rekuens relat dan rekuens kumulat berdasarkan tabel rekuens d atas! 3. Lakukan pengumpulan data dkelas, catat berat badan dan tngg badan masng-masng mahasswa. Selanjutnya buatlah tabel rekuens, rekuens relat dan rekuens kumulat untuk data berat badan dan tngg badan mahasswa. 0

28 Datar Pustaka Dajan, Anto. (1991). Pengantar Metode Statstk. Jakarta: PT. Pustaka LP3ES. Ytnosumarto, Suntoyo. (1990). Dasar-Dasar Statstka. Jakarta: Rajawal Pers. 1

29 Halaman n sengaja dkosongkan

30 BAB 4 UKURAN DAN PEMUSATAN DAN PENYIMPANGAN DATA 4.1 Pendahuluan Ukuran pemusatan atau dsebut dengan tendens sentral adalah penjabaran data yang berulang atau berpusat pada nla-nla tertentu secara kuanttat. Ukuran pemusatan adalah cara untuk mencar nla tengah dar satu gugus data, yang telah durutkan dar nla yang terkecl sampa yang terbesar atau sebalknya dar nla terbesar sampa yang terkecl. Sedangkan ukuran penympangan data atau dsebut juga ukuran dspers adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penympangan nla-nla data dar nla pusatnya. Ukuran pemusatan dan penympangan data dbag atas dua jens, yatu ukuran pemusatan dan penympangan data untuk data yang tdak dkelompokkan serta ukuran pemusatan dan penympangan data untuk data yang dkelompokkan. Data yang dkelompokkan adalah data yang sudah dsajkan dalam tabel rekuens sepert yang telah dbahas pada mater sebelumnya. Berkut n adalah beberapa jens ukuran pemusatan dan penympangan data. Terdapat beberapa jens ukuran pemusatan data adalah sebaga berkut : 1. Rata-rata (mean). Medan 3. Modus 4. Kuartl 5. Desl 6. Persentl Terdapat beberapa ukuran penympangan data, yatu: 1. Range atau ksaran. Ragam atau varance 3. Smpangan baku atau standart devas Berkut n akan durakan satu persatu ukuran pemusatan dan penympangan data bak untuk data yang tdak dkelompokkan dan data yang dkelompokkan. 3

31 4. Jens- jens Ukuran Pemusatan Data Sepert yang telah dsebutkan dbagan awal terdapat enam jens ukuran pemusatan data yatu rata-rata (mean), medan, modus, kuartl, desl dan persentl. Berkut akan durakan lebh jelas tentang beberapa ukuran pemusatan tersebut bak untuk data yang tdak dkelompokkan dan data yang dkelompokkan Rata-rata (mean) Rata-rata (mean) dapat ddenskan sebaga jumlah seluruh nla data dbag dengan jumlah data yang dgunakan. Menurut Supranto (008), persamaan untuk menghtung nla rata-rata data yang tdak dkelompokkan dan data yang dkelompokkan secara berurutan dnyatakan sebagamana persamaan 4.1 dan 4. sebaga berkut. 1. Data tdak dkelompokkan x n 1 n X (4.1) d mana : = 1,,3,..., n n = banyaknya data. Data dkelompokkan x k 1 k 1 X (4.) d mana : = 1,,3,..., k k = banyaknya kelas 4

32 4.. Medan Medan dapat ddenskan sebaga nla tengah yang memsahkan data yang tngg dan data yang rendah. Menurut Supranto (008), persamaan untuk menghtung medan data yang tdak dkelompokkan dan data yang dkelompokkan secara berurutan dnyatakan sebagamana persamaan 4.3 dan 4.4 sebaga berkut. 1. Data tdak dkelompokkan untuk n ganjl untuk n genap Me Me X X ( n 1)/ ( n/) ( n/ 1) X (4.3) d mana : = 1,,3,..., n n = banyaknya data. Data dkelompokkan (0,5 t sm ) Me Bb I m (4.4) d mana : Bb = batas kelas terendah, dmana terletak medan yatu pada rekuens kumulat ke- I t sm m = rekuens total = total rekuens sebelum medan = rekuens pada kelas yang mengandung medan = Interval kelas 1 n 5

33 4..3 Modus Modus dapat ddenskan sebaga nla yang palng serng muncul. Untuk menghtung nla modus pada data tdak dkelompokkan tdak sult yatu dengan menghtung secara manual berapa banyak nla pengamatan yang palng serng muncul, sedangkan untuk menghtung nla modus pada data tdak dkelompokkan menurut Supranto (008), dnyatakan sebagamana persamaan 4.5 sebaga berkut. 1. Data dkelompokkan a Mo Bb I a b d mana : Bb batas bawah kelas dengan rekuens tertngg a = selsh rekuens tertngg dengan rekuens kelas sebelumnya b = selsh rekuens tertngg dengan rekuens kelas sesudahnya I = nterval kelas (4.5) 4..4 Kuartl, Desl dan Persentl Kuartl Kuartl atau dsebut perempatan, desl atau dsebut persepuluhan dan persentl atau dsebut perseratusan juga merupakan besaran yang dgunakan untuk ukuran pemusatan data. Kuartl, desl dan persentl dapat dhtung untuk data yang dkelompokkan. Menurut Ytnosumarto (010), persamaan untuk menghtung kuartl, desl dan persentl secara berurutan dnyatakan sebagamana persamaan 4.6, 4.7 dan 4.8 sebaga berkut : p Kp Bb 4 t sp I p (4.6) d mana : p 1, atau 3 (yatu perempatan ke-1, ke- atau ke-3) Bb batas bawah kelas terendah pada kelas dmana terletak kuartl ke-p I t sp p = rekuens total = rekuens kelas sebelum kelas kuartl = rekuens kelas dmana terletak kuartl ke-p = nterval kelas 6

34 4..4. Desl p Dp Bb 10 t sp I p (4.7) d mana : p 1,, 3,...,10 Bb batas bawah kelas terendah pada kelas dmana terletak desl ke-p t sp p = rekuens total = rekuens kelas sebelum kelas desl = rekuens kelas dmana terletak desl ke-p I = nterval kelas Persentl p Pp Bb 100 t sp I p (4.8) d mana : p 1,, 3,...,100 Bb batas bawah kelas terendah pada kelas dmana terletak persentl ke-p I t sp p = rekuens total = rekuens kelas sebelum kelas persentl = rekuens kelas dmana terletak persentl ke-p = nterval kelas 7

35 4.3 Jens-jens Ukuran Penympangan Data Range Range atau ksaran data dapat ddenskan sebaga nterval yang memuat semua data. Range bak untuk data yang tdak dkelompokkan atau data yang dkelompokkan sangat mudah untuk dhtung yatu dengan menghtung selsh antara nla pengamatan tertngg dengan nla pengamatan terendah. Menurut walpole (1995), persamaan untuk menghtung range (ksaran) dnyatakan sebagamana persamaan 4.9 sebaga berkut: R X -X max mn (4.9) d mana : X maks = nla pengamatan tertngg X mn = nla pengamatan terendah Ragam atau Varance dan Smpangan Baku atau Standart Devas Ragam atau Varance dapat ddenskan sebaga nla yang menunjukkan seberapa jauh data menympang dar rata-ratanya. Persamaan untuk menghtung ragam (varance) data yang tdak dkelompokkan dan data yang dkelompokkan menurut walpole (1995), secara berurutan dnyatakan sebagamana persamaan 4.10 dan 4.11 sebaga berkut. 1. Data tdak dkelompokkan s n n 1 1 X X / n n 1 (4.10) d mana : = 1,,3,..., n n = banyaknya data 8

36 . Data dkelompokkan s k k k X X / n 1 d mana : (4.11) X n = rekuens setap kelas = nla tengah kelas 1,,3,..., n banyaknya data Smpangan baku atau standart devas adalah akar dar ragam (varance). Sehngga untuk menghtung nla sangat mudah yatu dengan mengakarkan nla ragam (varance). 9

37 4.4. Contoh Soal Untuk lebh memaham tentang uraan mater ukuran pemusatan dan penympangan data yang telah djelaskan berkut n dberkan contoh kasus ukuran pemusatan dan penyebaran data. Contoh kasus yang dgunakan sama dengan contoh kasus pada pembuatan tabel rekuens yatu data sswa yang hadr untuk mengkut bmbngan belajar pada 0 har terakhr d suatu Lembaga Bmbngan Belajar. Data sswa tersebut dsajkan lengkap pada Tabel 4.1 d bawah n : Tabel 4.1 Data sswa yang hadr pada 0 har terakhr d suatu LBB Sesua dengan uraan yang telah djelaskan terdapat enam ukuran pemusatan data yatu rata-rata, medan, modus, kuartl, desl dan persentl sedangkan untuk ukuran penympangan data terdapat tga jens yatu range, ragam atau varance dan smpangan baku atau standart devas. Sebaga contoh berkut n akan dhtung ukuran pemusatan dan penympangan data bak untuk data dkelompokkan dan data tdak dkelompokkan. Data tdak dkelompokkan a. Ukuran pemusatan data 1. Rata-rata Persamaan untuk menghtung nla rata-rata data yang tdak dkelompokkan dan dnyatakan sebagamana persamaan 4.1 yatu sebaga berkut : x n 1 n X Berdasarkan data yang ada dketahu bahwa : n = 0 n 1 X

38 sehngga dperoleh nla rata-rata adalah sebaga berkut : x n X n 0,. Medan Persamaan untuk menghtung medan data yang tdak dkelompokkan dnyatakan sebagamana persamaan 4. yatu sebaga berkut : untuk n ganjl untuk n genap Me Me X X ( n 1)/ ( n/) ( n/ 1) X Berdasarkan data yang ada dketahu bahwa jumlah data (n) adalah genap sehngga untuk menghtung medan dgunakan persamaan yang kedua. Me X X X ( n/) ( n/ 1) X 1 3 (10) (11) =. Modus Menghtung nla modus pada data tdak dkelompokkan tdak sult yatu dengan menghtung secara manual berapa banyak nla pengamatan yang palng serng muncul. Nla yang palng serng muncul pada data sswa yang hadr untuk mengkut bmbngan belajar pada 0 har terakhr d suatu Lembaga Bmbngan Belajar adalah 31, sehngga modus untuk data tersebut adalah 31 b. Ukuran penympangan data 1. Range atau Ksaran Persamaan untuk menghtung range (ksaran) dnyatakan sebagamana persamaan 4.9 yatu sebaga berkut: R X -X max mn d mana : 31

39 X maks = nla pengamatan tertngg X mn = nla pengamatan terendah Berdasarkan data yang ada dketahu bahwa : X maks = 35 X mn = 6 Sehngga nla range atau ksaran data adalah R X -X max mn = 35-6 = 9. Ragam atau varance dan smpangan baku atau standart devas Persamaan untuk menghtung ragam (varance) dnyatakan sebagamana persamaan 4.10 yatu sebaga berkut: s n n 1 1 X X / n n 1 Berdasarkan data yang ada dketahu bahwa n 1 n 1 X X n 0 Sehngga nla ragam (varance) adalah s n n 1 1 X X / n (444) / 0 n ,7 Smpangan baku atau standart devas adalah akar dar ragam (varance). Sehngga smpangan baku untuk data tersebut adalah s n n 1 1 X X / n n (444) / 0 = 9,

40 Data dkelompokkan Data dkelompokkan adalah data yang sudah dsajkan dalam tabel rekuens, sehnnga untuk menghtung ukuran pemusatan dan penympangan data dkelompokkan terlebh dahulu harus membentuk tabel rekuens. Karena contoh kasus yang dgunakan sama dengan conoh kasus pada pembahasan tabel rekuens, sehngga kta dapat langsung menggunakan tabel rekuens yang telah terbentuk dengan menambahkan beberapa komponen lan untuk menghtung ukuran pemusatan dan ukuran penympangan data yang dkelompokkan. Tabel rekuens besaerta komponen lan untuk data sswa yang hadr untuk mengkut bmbngan belajar pada 0 har terakhr d suatu Lembaga Bmbngan Belajar adalah sebaga berkut : Interval Frekuens () Frekuens Kumulat Nla Tengah (X) X X X ,5 7,5 5,5 16, ,5 10,5 43,5 630, ,5 40,5 10,5 101, ,5 70, , ,5 1056,5 7,5 7393,8 Jumlah a. Ukuran pemusatan data 1. Rata-rata Persamaan untuk menghtung nla rata-rata data yang tdak dkelompokkan dan dnyatakan sebagamana persamaan 4. yatu sebaga berkut : x k 1 k 1 X Berdasarkan tabel rekuens yang terbentuk dketahu bahwa : 33

41 k 1 k 1 X 0 45 sehngga dperoleh nla rata-rata adalah sebaga berkut : x k 1 k 1 X 45, Medan Persamaan untuk menghtung medan data dkelompokkan dnyatakan sebagamana persamaan 4.4 yatu sebaga berkut : (0,5 t sm ) Me Bb I m Berdasarkan tabel rekuens yang terbentuk dketahu bahwa : Interval Frekuens () Frekuens Kumulat Nla Tengah (X) X X X ,5 7,5 5,5 16, ,5 10,5 43,5 630, ,5 40,5 10,5 101, ,5 70, , ,5 1056,5 7,5 7393,8 Jumlah Bb = 18 t sm m = 0 = 6 = 5 I = 6 34

42 sehngga dperoleh nla medan adalah sebaga berkut : (0, 5(0) 6) Me ,8, Modus Persamaan untuk menghtung modus data dkelompokkan dnyatakan sebagamana persamaan 4.5 yatu sebaga berkut : a Mo Bb I a b Berdasarkan tabel rekuens yang terbentuk dketahu bahwa : Interval Frekuens () Frekuens Kumulat Nla Tengah (X) X X X ,5 7,5 5,5 16, ,5 10,5 43,5 630, ,5 40,5 10,5 101, ,5 70, , ,5 1056,5 7,5 7393,8 Jumlah Bb = 30 a 7 b 7 0 I = 6 sehngga dperoleh nla modus adalah sebaga berkut : Mo (7 ) ,5 (7 ) (7 0) 1 35

43 4. Kuartl, Desl dan Persentl Persamaan untuk menghtung kuartl, desl dan persentl data dkelompokkan dnyatakan berurutan sebagamana persamaan 4.6, 4.7 dan 4.8 yatu sebaga berkut : Kuartl Desl p t sp K p Bb 4 I p p Dp Bb 10 t sp I p Persentl p t sp P p B b I p Berdasarkan tabel rekuens yang terbentuk dketahu bahwa : Kuartl p Bb t 1 = 3 sp 1 = 3 = 0 I = 6 p sehngga dperoleh nla kuartl ke-1 adalah sebaga berkut : 1 (0) 3 K Desl p 1 sp = 0 Bb 6 = 3 t = 0 I = 6 p sehngga dperoleh nla desl ke-1 adalah sebaga berkut : 1 (0) 0 D

44 Persentl p Bb t 50 = 3 sp 18 = 5 = 0 I = 6 p sehngga dperoleh nla persentl ke-50 adalah sebaga berkut : 50 (0) 3 P , 4 5 b. Ukuran penympangan data 1. Ragam atau varance Persamaan untuk menghtung ragam (varance) data dkelompokkan dnyatakan sebagamana persamaan 4.11 yatu sebaga berkut: s k k k X X / k 1 1 Berdasarkan tabel rekuens yang terbentuk dketahu bahwa : Interval Frekuens () Frekuens Kumulat Nla Tengah (X) X X X ,5 7,5 5,5 16, ,5 10,5 43,5 630, ,5 40,5 10,5 101, ,5 70, , ,5 1056,5 7,5 7393,8 Jumlah

45 k 1 k 1 k 1 X X Sehngga nla ragam (varance) adalah : s k k k X X / k (45) / , = 80, Smpangan baku atau standart devas adalah akar dar ragam (varance). Sehngga smpangan baku untuk data tersebut adalah s k k k X X / k , 19 8,98 38

46 4.5 Rangkuman Terdapat dua jens ukuran pemusatan dan penympangan data, yatu untuk data dkelompokkan dan data tdak dkelompokkan.data yang dkelompokkan adalah data yang sudah dsajkan dalam tabel rekuens. Ukuran Pemusatan data Data tdak dkelompokkan a. Rata-rata b. Medan c. Modus x n 1 n X untuk n ganjl untuk n genap Me Me X ( n 1)/ X ( n/) ( n/ 1) X Nla yang palng serng muncul Data tdak dkelompokkan a. Rata-rata b. Medan c. Modus x k 1 k 1 X (0, 5 t sm ) M e Bb I d. Kuartl e. Desl. Persentl p Kp Bb 4 t sp I p p Dp Bb 10 t sp I p m a Mo Bb I a b p Pp Bb 100 t sp I p Ukuran Penympangan Data Data tdak dkelompokkan a. Range b. Ragam c. Smpangan Baku R X -X max mn s n n 1 1 X X / n n 1 Data dkelompokkan a. Range b. Ragam c. Smpangan Baku n n 1 1 s X X / n n 1 R X -X max mn s k k k X X / n 1 s k k k X X / n 1 39

47 4.6 Lathan 1. Menggunakan soal yang sama pada bab tabel rekuens yatu data nla UAS 30 mahasswa pada matakulah dasar-dasar pemrograman, htunglah ukuran pemusatan dan penympangan data bak untuk data yang tdak dkelompokkan dan data dkelompokkan. Data dsajkan pada tabel sebaga berkut : Berkut n merupakan tabel rekuens berat badan 5 sswa kelas 6 sebuah Sekolah Dasar: Kelas Frekuens () Total 5 Htunglah ukuran pemusatan dan penyebaran data untuk data dkelompokkan berdasarkan tabel rekuens d atas! 3. Menggunakan hasl pengumpulan data berat badan dan tngg badan dkelas pada bab tabel rekuens, htunglah ukuran pemusatan dan penyebaran data bak untuk data tdak dkelompokkan dan data dkelompokkan! 40

48 Datar Pustaka Supranto, J. (008). Statstk Teor dan Aplkas. Jakarta : Erlangga. Walpole, Ronald E. (1995). Pengantar Statstka. Jakarta : PT. Grameda Pustaka Utama. Ytnosumarto, Suntoyo. (1990). Dasar-Dasar Statstka. Jakarta: Rajawal Pers. 41

49 Halaman In Sengaja Dkosongkan 4

50 BAB 5 PROBABILITAS 5.1 Pendahuluan Dalam statstka nerens, probabltas berperan pentng. Wbsono (009) menyatakan bahwa probabltas adalah peluang atau kebolehjadan, yatu perstwa yang ddenskan sebaga kemungknan terjadnya suatu perstwa (event). Contoh penggunaan probabltas dalam aktvtas sehar-har adalah seorang pedagang mempunya (dua) plhan untuk membel barang dagangannya. Jka da membel har n, harganya setap klo adalah Rp , namun jka membel besok harganya akan nak % setap klonya. Keputusannya adalah apakah pedagang tersebut akan membel barang dagangannya sekarang atau esok har?. Sehngga keputusan yang dambl oleh pedagang tersbut berhubungan dengan peluang untuk mendapatkan laba yang lebh banyak. 5. Konsep Probabltas Terdapat beberapa dens dan pengertan yang berhubungan dengan konsep probabltas, yatu: 1. Ekspermen (Percobaan) adalah aks/proses pengamatan yang membeawa kta kepada satu hasl yang tdak dapat dpredks dengan past.. Ttk Sampel adalah hasl yang palng mendasar dar suatu ekspermen. 3. Perstwa adalah kumpulan khusus/tertentu dar ttk sampel. 4. Ruang sampel adalah kumpulan dar semua ttk sampelnya. Contoh : Terdapat dua kon uang logam, terdr dar gambar (G) dan angka (A). Tentukan: a. Ruang sampelnya. b. Gambarkan dagram venn-nya c. Peluang muncul 1 A dan 1 G d. Peluang muncul G e. Peluang muncul A Jawab: a. Ruang sampelnya adalah AA, AG, GA, GG b. S GA AG 43

51 AA GG c. Peluang muncul 1 A dan 1 G adalah : / 4 d. Peluang muncul G : 1/4 e. Peluang muncul A : ¼ Jad, aturan dalam probabltas ttk sampel adalah: 1. Semua probabltas ttk sampel harys terletak antara 0 dan 1. Jumlah semua probabltas tk sampel dalam ruang sampel harus berharga Gabungan dan Irsan Gabunngan (unon) dan rsan (ntersecton) adalah dua konsep operas hmpunan yang terdapat pada teor hmpunan. Gabungan perstwa A dan B adalah perstwa yang terjad jka A terjad atau B terjad atau keduanya terjad secara bersamaan. Smbolnya adalah A B. Irsan perstwa A dan B adalah perstwa yang terjad jka A dan B terjad secara bersamaan. Smbolnya adalah A B. Contoh: Terdapat perstwa A = {pelemparan 1 dadu yang menghaslkan blangan genap} dan B = {pelemparan 1 dadu yang menghaslkan blangan yang kurang dar atau sama dengan 3}. Tentukan A B dan A B. Jawab: Perstwa A B = {1,,3,4,6} dan perstwa A B = {}. Jka dandakan dadu tersebut embang, maka P (A B) = 5/6 dan P (A B) = 1/ Probabltas Bersyarat Merupakan probabltas yang mengkutsertakan tambahan pengetahuan (normas) lan. Untuk menentukan probabltas A terjad apabla dketahu bahwa perstwa B terjad, kta dapat membag probabltas A B terjad dengan probabltas B terjad. P (A B) = P (A B) (5.1) P(B) 44

52 5.5 Aturan Perkalan Dan Perstwa Independen Aturan perkalan untuk probabltas adalah sebaga berkut: P (A B) = P (A). P (B A) (5.) Atau P (A B) = P (B). P (A B) (5.3) Perstwa A dan B adalah perstwa ndependen jka terjadnya perstwa B tdak mempengaruh terjadnya perstwa A sehngga P(A B) = P (A). demkan pula, jka A dan B ndependen, maka P(B A) = P(B) adalah benar. Jka perstwa A dan B ndependen, probabltas rsan perstwa A dan B sama dengan hasl kal probabltas A dan probabltas B sehngga P(A B)=P(A).P(B). Contoh: Kta ambl satu kartu secara acak dar satu set kartu brge yang berjumlah 5 buah, kemudan kta kembalkan lag kartu tersebut dan kta acak lag tumpukan kartu untuk mengambl kartu kedua sehngga dperoleh hasl A1 = (ddapat As pada pengamblan I) dan A = (ddapat As pada pengamblan II maka P (A 1 A ) = P (A 1 ). P (A ) = (4/5) (4/5) = 1/169. Dalam hal n A1 dan A adalah perstwa yang ndependen. 5.6 Beberapa Aturan Perhtungan/Pencacahan Aturan sederhana yang dgunakan untuk mencacah ataumenghtung adalah: 1. Aturan perkalan Terdapat beberapa hmpunan dar elemen-elemen dmana n1 berada dalam hmpunan pertama, n berada dalam hmpunan kedua,, dan n berada dalam hmpunan yang ke-k, kta ngn membentuk sampel yang terdr k elemen dengan mengambl satu elemen dar tap k hmpunan. Sampel berbeda yang dapat dbentuk adalah: n 1.n.n 3 nk (5.4) Contoh : Dalam kantong plastk terdapat 3 kelereng merah dan kelereng hjau. Ada berapa carakah memlh kelereng yang terdr dar 1 merah dan 1 kelereng hjau? Jawab: Terdapat (3).() = 6 cara. 45

53 . Aturan Permutas Dberkan hmpunan tnggal yang terdr dar N elemen yang berbeda. Kta ngn memlh n elemen dar N dan mengatur mereka dalam n poss. Banyaknya permutas yang berbeda dar N elemen yang dambl n pada sekal waktu dsmbolkan dengan sebaga N P n dan drumuskan N P N( N 1)( N )( n 3)...( N n 1) n N! ( N n )!. (5.5) Dmana, n! = n (n-1) (n-) (n-3) 3..1 dsebut n actoral. Contoh: Terdapat berapa cara untuk memlh huru dar hmpuan 3 huru (X, Y, Z) apabla urutannya dperhtungkan? Jawab: P 3 3! 3! (3 )1 1! 1 Jad, terdapat 6 cara yatu : (X,Y); (Y,Z); (Z, X); (X,Z); (Y, X) dam (Z, Y). 3. Aturan Parts Terdapat hmpunan tunggal yang terdr dar N elemen yang berbeda. Kta memparts mereka ke dalam k hmpunan, dengan hmpunan pertama memuat n 1 elemen, hmpunan kedua memuat n elemen, dan hmpunan ke-k memuat n k elemen. Banyaknya parts yang berbeda adalah: N! n! n! n!... n! 1 3 k dengan n 1 + n + n n k = N (5.6) Contoh: Ada berapa banyak cara untuk memparts hmpunan {1,,3,4} ke dalam 3 hmpunan, Dana hmpunan pertama memuat elemen, hmpunan kedua memuat 1 elemen dan hmpunan ketga memuat 1 elemen? 46

54 Jawab: Terdapat : 4!!1!1! 1 4. Aturan Kombnas Suatu sampel terdr dar n elemen yang dplh dar hmpunan N elemen. Banyaknya sampel berbeda yang terdr dar n elemen yang dplh dar N, dsmbolkan dengan: N n N! n!( N n)! (5.7) Contoh: Terdapat berapa cara untuk memlh huru dar hmpunan 3 huru (A, B, C) apabla urutan tdak dperhtungkan? Jawab: 3 3! 3!!(3 )!!1! 3, Sehngga terdapat 3 cara. 47

55 5.7 Rangkuman 1. Probabltas adalah peluang atau kebolehjadan, yatu perstwa yang ddenskan sebaga kemungknan terjadnya suatu perstwa (event).. Dalam konsep probabltas terdapat 4 konsep, yatu: a. Ekspermen b. Ttk Sampel c. Ruang Sampel d. Perstwa 3. Dalam teor probabltas terdapat gabungan dan rsn. 4. Probabltas bersyarat adalah probabltas yang mengkutsertakan tambahan normas. 5. Terdapat beberapa aturan perhtungan atau pencacahan, yatu: a. Aturan perkalan b. Aturan permutas c. Aturan parts d. Aturan Kombnas 48

56 5.8 Lathan 1. Apakah yang dmaksud dengan : a. Statstk b. Ruang Sampel c. Ttk Sampel d. Perstwa e. Permutas. Ber contoh masng-masng pengertan d atas. Tulskan anggota ruang sampel berkut n : a. Hmpunan blangan bulat antara 1 dan 50 yang habs dbag 8. b. Hmpunan blangan ganjl antara 1 dan 77 yang habs dbag Bla ada dketahu : a. T = {0,1,,3,4,5,6,7,8,9} dan A = {0,,4,6,8}, B = {1,3,5,7,9}, C = {,3,4,5} dan D ={1,6,7}, tulskan anggota hmpunan yang berkatan dengan kejadan : - A U C - A b. T ={Tembaga, natrum, ntrogen, kalum, uranum,oksgen,seng} dan kejadan A = {tembaga, natrum, seng}, B = {natrum, kalum, ntrogen}, dan C= {oksgen}, tulskan anggota hmpunan yang berkatan dengan kejadan berkut : - A U C - A 4. Dalam setangan peman poker terdapat 5 kartu, htunglah peluangnya mendapatkan As dan 3 jack. Dan berapa peluang dar 5 kartu yang berada dtangan peman poker? 49

57 Datar Pustaka Santosa, R. Gunawan (004)., Statstk., Yogyakarta: And Sudjana (005)., Metoda Statstka., Bandung: Tarsto 50

58 BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL 6.1 Pendahuluan Dstrbus Normal adalah dstrbus dar varabel acak kontnyu yang palng serng dgunakan karena dstrbus normal adalah dstrbus yang palng luas aplkasnya dan merupakan pendekatan yang bak dar dstrbus-dstrbus lannya. Menurut Walpole dan Myers (1986), varabel acak X dkatakan berdstrbus normal umum, jka ungs peluang untuk X dyatakan sebagamana persamaan 6.1 sebaga berkut : 1 1 ( x ) exp ;,, 0 x x (6.1) Penulsan notas dar varabel acak yang berdstrbus normal adalah N (x; µ, ), yang memlk art bahwa varabel acak x memlk dstrbus normal dengan rata-rata µ dan. ragam (varance) Varabel acak X yang berdstrbus normal dengan rata-rata µ dan varans (ragam). Juga dapat dtulskan sebaga X ~ NID(, ), NID berart normally ndependently dstrbuted. Kurva dstrbus normal berbentuk lonceng atau genta yang dtunjukkan sebagamana gambar 6.1 sebaga berkut : Gambar 6.1 Kurva Dstrbus Normal 51

59 6. Sat-sat Dstrbus Normal a. Kurva dstrbus normal berbentuk lonceng (genta) Sepert yang sudah d jelaskan pada bagan awal bahwa kurva dstrbus normal berbentuk lonceng atau genta dengan dua paremeter yatu µ (rata- (smpangan baku) b. Kurva dstrbus normal berbentuk lonceng (genta) mempunya sat setangkup Sat setangkup pada dstrbus normal berart bahwa luasan kurva dstrbus normal ss kr sama dengan luasan kurva dstrbus normal ss kanan. Luas kurva dtrbus normal ss kr dan ss kanan yatu 0,5. c. Luas daerah yang terletak d bawah kurva tetap d atas sumbu mendatar x sama dengan 1 atau dapat dnyatakan sebaga berkut: ( x) dx 1 Berdasarkan sat setangkup dstrbus normal, dketahu bahwa luas kurva dtrbus normal ss kr dan ss kanan yatu 0,5, sehngga luas kurva normal secara keseluruhan adalah 1. 5

60 d. Fungs peluang dstrbus normal mencapa maksmum d x=µ, sehngga ungs peluang dtrbus normal dapat dnyatakan sebaga berkut : ( x) 1 (Ytnosumarto,1990) 6.3 Penggunaan Dstrbus Normal Berkut n dberkan contoh kasus penggunaan dstrbus normal pada perhtunganperhtungan nla peluang untuk lebh mengetahu aplkas dar dstrbus normal yang djelaskan. Tngg lak-lak dkelas tersebar secara normal dengan rata-rata 155 cm dan smpangan baku 7 cm. Apabla d panggl secara acak, seorang lak-lak dkelas maka tentukan berapa peluang: a. Tngg lak-lak tersebut kurang dar 150 cm b. Tngg lak-lak tersebut lebh dar 170 cm c. Tngg lak-lak tersebut antara cm d. Tngg lak-lak tersebut tepat 160 cm Untuk menyelesakan kasus tersebut, kta msalkan bahwa tngg badan lak-lak dkelas sebaga varabel acak X, sehngga notas varabel acak X dapat dtulskan sebaga berkut : X ~ NID(155, 49) Karena luas daerah d bawah kurva ungs peluang dstrbus normal merupakan peluang maka nla peluang untuk tngg lak-lak dkelas adalah : a. Tngg lak-lak tersebut kurang dar 150 cm 150 P( x 150) ( x) dx = exp x 155 (49) (49) b. Tngg lak-lak tersebut lebh dar 170 cm dx P( x 170) ( x) dx = exp x 155 (49) (49) 170 dx 53

61 c. Tngg lak-lak tersebut antara cm P(140 x 160) ( x) dx = exp x 155 (49) (49) dx d. Tngg lak-lak tersebut tepat 160 cm Karena nla peluang merupakan luas daerah d bawah kurva ungs peluang dstrbus normal maka peluang untuk P(X=160) tdak dapat dhtung, sehngga kta harus menempatkan dantara dua nla msalnya antara 159,95 cm dan 160,05 cm. Jad peluang untuk tngg lak-lak tepat 160 adalah: 160,05 P(159,95 x 160, 05) ( x) dx 159,95 160, = exp x 155 (49) (49) 159, Transormas Dstrbus Normal Proses penyelesaan ntegral ungs peluang dstrbus normal cukup rumt oleh karena tu, untuk mempermudah proses penyelesaan terdapat transormas dar dstrbus normal ke dstrbus normal baku. Menurut Ytnosumarto (1990), bentuk tranormas dstrbus normal baku dnyatakan sebagamana persamaan 6. sebaga berkut : dx Z X (6.) d mana : µ = rata-rata Dstrbus normal baku adalah dstrbus untuk varabel acak normal dengan nla tengah nol dan smpangan baku 1. Fungs peluang dstrbus normal baku dnyatakan sebagamana persamaan 6.3 sebaga berkut 1 1 ( x ) exp x ; x (6.3) 54

62 Untuk lebh memaham proses transormas dstrbus normal baku, berkut n dberkan contoh kasus penggunaan transormas normal baku menggunakan contoh kasus yang sama dengan dstrbus normal umum sebaga berkut. Tngg lak-lak dewasa d Indonesa tersebar secara normal dengan rata-rata 155 cm dan ragam 7cm. Apabla d panggl secara acak, seorang lak-lak dewasa Indonesa, berapa peluang : a. Tngg orang tersebut kurang dar 150 cm b. Tngg orang tersebut lebh dar 170 cm c. Tngg orang tersebut antara cm d. Tngg lak-lak tersebut tepat 160 cm Dengan menggunakan transormas normal baku, maka nla peluang untuk tngg lak-lak dkelas adalah sebaga berkut : a. Tngg orang tersebut kurang dar 150 cm a. P( x 150) P( Z ) 7 = P( Z 0, 71) = P( Z 0, 71) = P( Z 0) P(0 Z 0, 71) = 0,5 0, 61 =0,388 b. Tngg orang tersebut lebh dar 170 cm P( x 170) P( Z ) 7 = P( Z,14) = P( Z 0) P(0 Z,14) = 0,5 0,4838 = 0,016 c. Tngg orang tersebut antara cm P(140 x 160) P( Z ) 7 7 = P(,14 Z 0, 71) = P(,14 Z 0) P(0 Z 0,71) =0, ,61=0,745 55