4. KOMBINATORIKA ... S 1. S n S 2. Gambar 4.1

Transkripsi

1 4. KOMBINATORIKA 4. Atua Utuk Suatu Peistiwa Evet sesuatu yag tejadi. Jika peistiwa A dapat tejadi dalam m caa da peistiwa B dapat tejadi dalam N caa, maka tedapat (m, ) caa kedua peistiwa tejadi besama-sama. 4.. Atua Pejumlaha Misalka himpua A adalah gabuga dai himpua-himpua bagia tidak kosog yag salig asig S, S,, S. Maka A S S... S S... S S Gamba 4. Dega kata lai, jumlah aggota himpua A sama dega jumlah aggota semua himpua bagiaya. Pehatika bahwa dalam atua pejumlaha, disyaatka bahwa himpuahimpua bagia (S, S,, S ) semuaya salig asig (iisaya = Ø). Cotoh Dalam suatu katu bidge legkap, beapa macam caa utuk megambil a. Sebuah jatug (heat) atau sebuah dau (spade)? b. Sebuah jatug atau katu As c. Sebuah As atau sebuah Kig d. Sebuah katu beomo higga 0? a. Dalam katu bidge, katu-katu jatug da dau meupaka himpuahimpua yag salig asig sehigga sebayak caa utuk medapatka salah satuya adalah jumlah caa yag medapatka masig-masig bagia. Dalam katu bidge, ada 3 buah katu jatug da 3 buah katu dau sehigga bayak caa utuk medapatka sebuah katu jatug atau dau adalah = 6. b. Ada 3 buah katu jatug (temasuk As jatug), da ada 3 katu As selai As jatug, sehigga bayak kemugkia = 6 caa. c. Ada 4 buah As da 4 buah Kig sehigga kemugkiaya ada = 8 caa. d. Utuk masig-masig gamba, ada 9 katu beomo higga 0 sehigga kemugkiaya adalah = 36 caa. Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada

2 4.. Atua Pekalia Atua pekalia utuk meghitug bayak caa yag dapat dilakuka adalah sebagai beikut Misalka suatu pekejaa melibatka k buah lagkah. Lagkah ke- dapat dilakuka dalam caa. Lagkah ke- dapat dilakuka dalam caa... Lagkah ke-k dapat dilakuka dalam k caa. Maka keseluuha pekejaa dapat dilakuka dalam ( )( ).( k ) caa. Atua pekalia utuk lagkah dapat diilustasika dalam gamba 4.. (C i, C j ) adalah poses yag lagkah petama memakai caa -i da lagkah kedua dilakuka dega caa ke-j. Lagkah ke- Lagkah ke- (C, C ) (C, C ) (C, C ) Gamba 4. (C, C ) (C, C ) (C, C ) (C,C ) (C,C ) (C,C ) Cotoh Jika dua dadu yag bebeda dilotaka, ada beapa bayak kemugkia agka yag mucul? Bagaimaa jika 5 buah dadu?. Bagaimaa jika buah dadu? Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada

3 Sebuah dadu mempuyai 6 kemugkia muculya agka-agka sehigga kalau dadu bebeda aka mempuyai 6 x 6 = 6 = 36 kemugkia. Jika 5 buah dadu, maka bayakya kemugkia adalah 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 5 caa. Jika ada dadu, maka ada 6 kemugkia. Cotoh Hituglah jumlah kata yag dapat dibetuk dega pola KVKVK. Jumlah seluuh alfabet kosoa adalah da jumlah seluuh alfabet vokal adalah 5. Maka jumlah kata yag dapat dibetuk dega pola KVKVK adalah x 5 x 0 x 4 x 9 = Pemutasi 4.. Defiisi Pemutasi adalah bayakya caa utuk meyusu k eleme dai eleme ( k ) dega uuta dipehatika.! P(, k) Pk ( k)! Dega 0! = Pemutasi P(, ) seig disebut pemutasi objek kaea pemutasi tesebut meyusu keseluuha objek yag ada. Cotoh Tulislah semua pemutasi 3 objek {a, b, c}! Pemutasi yag mugki dai 3 objek {a, b, c} ada 3! = 6 kemugkia yaitu abc, acb, bac, bca, cba, cab. Cotoh Suatu udia dilakuka s\dega megguaka agka yag tedii dai 7 digit. Jika digit-digit dalam suatu agka dihauska bebeda satu dega yag lai, ada bebeapa kemugkia omo udia? Dalam udia tesebut, jelas uuta kemucula agka-agka dipehatika. Udia dega omo aka bebeda dega omo Kaea digit-digitya dihauska selalu bebeda, maka bayakya kemugkia omo udia adalah P(0,7) 0! 3!!! P(, )! ( )! 0! 0 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = macam kemugkia. Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada 3

4 4.. Lexicogaphic Ode (Uuta Kamus) Misalka tedapat pemutasi atas eleme P a da P b dega P a = a, a, a 3, a da P b = b, b, b 3, b P a dikataka medahului P b pada uuta kamus (LO) jika tedapat k ( < k < ) sedemikia sehigga a i = b i, i =,,., k- da a k < b k. Cotoh Diketahui 8 buah pemutasi atas 6 eleme P = 5436 P = 3465 P3 = 3465 P4 = 3564 P5 = 3645 P6 = 3564 P7 = 4635 P8 = 4365 Tetuka uuta dai 8 pemutasi tesebut dalam LO! K = {P} K = {P, P5} K = {P, P5, P7} K = {P5} K = {P, P3, P5, P7} K = {P7} K = {P3} K = {P4, P6} K = {P, P5, P7} K = {P3} K3 = {P8} K4 = {P} Maka uuta kamus = P P5 P7 P3 P6 P4 P8 P Jika diketahui pemutasi atas eleme a, a,., a maka pemutasi beikutya dalam LO adalah b, b,, b aka memeuhi syaat sebagai beikut i. a i = b i, < i < k dega megambil k sebesa mugki. ii. b k = miimum dai a k+, a k+,, a yag lebih besa dai a k. iii. b k+ < b k+ <. < b. Cotoh Tetuka uuta semua pemutasi atas 4 eleme (,, 3, 4)! Pemutasi dega Ada Eleme yag Sama Secaa umum, jika suatu himpua tedii dai objek yag tesusu dai buah objek sama jeis- buah objek sama jeis-... Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada 4

5 ... k buah objek sama jeis-k. dega k = Maka bayakya pemutasi bebeda yag mugki dai objek tesebut adalah... k!... 3 k!!...! k Cotoh Ada beapa bayak caa yag mugki dai kata MATEMATIKA? Kata MATEMATIKA tedii dai 0 kaakte huuf, yag tesusu dai buah huuf M 3 buah huuf A buah huuf T buah huuf E buah huuf I buah huuf K Sehigga bayakya kemugkia utuk membuat pemutasi adalah 0! bayakya caa meyusu elemeeleme!3!!!!... 4 tesebut. 4.3 Kombiasi 4.3. Defiisi Misalka himpua S mempuyai S = eleme. Bayakya himpua bagia S yag tedii dai k ( k ) disebut kombiasi objek yag diambil sebayak k objek sekaligus. Simbolya adalah atau C(, k) atau C k. Bayakya kombiasi yag k! dimaksud dapat diyataka dalam pesamaa C(, k) C k ( - k)!k! Dalam himpua bagia yag dipilih, uuta kemucula aggotaya tidaklah dipehatika. Yag dipehatika adalah objek-objek yag mucul. Cotoh Seoag pelatih bola basket aka memilih komposisi pemai yag aka dituuka dalam suatu petadiga. Ada oag pemai yag dapat dipilihya. Beapa macam tim yag dapat ia betuk? Dalam memilih pemai yag aka dituuka, uuta pemiliha tidaklah dipehatika. Jadi, yag mejadi masalah hayalah siapa yag dipilih. Tidak mejadi masalah apakah seoag pemai (katakalah A) tepilih petama ataupu teakhi. Hal ii bebeda dega pemiliha ketua da wakil ketua. Komposisi yag dibuat apabila Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada 5

6 seseoag (misalya B) yag tepilih petama (mejadi ketua) aka bebeda apabila B tepilih kedua (mejadi wakil ketua). Jadi bayakya tim yag dapat dibetuk oleh pelatih tesebut adalah kombiasi objek yag diambil 5 sekaligus adalah sebagai beikut! 79 tim. 5 7!5! 4.3. Teoema Biomial Pagkat suku dua Utuk = 0, (a + b) 0 = Utuk =, (a + b) = a + b Utuk =, (a + b) = a + ab + b Utuk = 3, (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3.. Utuk (a + b) 0 =? Utuk (a + b) =? Maka belaku umus Biumium Newto ( a b) 0 C(, ) a b (a + b ) 5 = C(5, 0) a 5 b 0 + C(5, ) a 4 b + C(5, ) a 3 b + C(5, 3) a b 3 + C(5, 4) a b 4 + C(5, 5) a 0 b 5 = a a 4 b + 0 a 3 b + 0 a a ab 4 + b Teoema Poliomial Misalka dibeika = Maka bayakya caa megelompokka eleme tesebut adalah Teoema ( a a... a ) Cotoh Hitug (a + b + c) 4! dalam hal ii = 4 ; = 3, sehigga...!!!...! a a... a!!...!! Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada 6

7 3! !! 3! 3 0 6!!! 4 3! 0 3!! 3! 3!! N 3! suku!! 3! c b a bc b 3 c ac ab a 3 c a 3 b b c a c a b 4 abc 4 ab c 4 a bc Tabel 4. Pusat Pegembaga Pedidika - Uivesitas Gadjah Mada 7