Menentukan Pembagi Bersama Terbesar dengan Algoritma

Transkripsi

1 Meetuka Pembagi Besama Tebesa dega Algoitma Macelius Hey M. (135108) Pogam Studi Tekik Ifomatika Sekolah Tekik Elekto da Ifomatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 10 Badug 4013, Idoesia Abstact - Dalam bebagai pesoala bilaga, pembagi pesama tebesa atau yag biasa disebut PBB (geatest commo diviso atau gcd) memegag peaa petig dalam bebeapa pesoala bilaga dai yag sedehaa higga yag sagat kompleks sekalipu. PBB juga memegag peaa dalam kehidupa sehai-hai tapa kita sadai. Makalah ii aka mejelaska bebagai algoitma yag dapat diguaka utuk megetahui ilai PBB dai dua bilaga bulat atau lebih. Idex Tems - bilaga bulat, fakto, algoitma Euclidea, poho fakto I. PENDAHULUAN Euclid, matematikawa Yuai yag lahi pada 350 SM, meuliska sebuah buku yag bejudul Elemet. Di dalam buku ii, dituliska lagkah-lagkah utuk mecai ilai pembagi besama tebesa (PBB) dai dua buah bilaga bulat m da, yaitu bilaga positif tebesa yag habis membagi dua bilaga tesebut. PBB bayak diguaka dalam membahas bebagai teoi bilaga yag ada da juga utuk kehidupa sehai-hai. Maka dai itu, mecai ilai PBB dai bebeapa bilaga sagat petig tuk diketahui da dipelajai. II. TEORI.1 Defiisi Bilaga Bulat Bilaga bulat adalah bilaga yag tidak mempuyai kompoe pecaha atau desimal. Bilaga bulat tedii dai bilaga cacah (0, 1,, 3, ) da egatifya (-1, -, -3, ; -0 adalah sama dega 0 sehigga tidak lagi dimasukka secaa tepisah). Himpua semua bilaga bulat dalam matematika dilambagka dega, beasal dai Zahle (bahasa Jema utuk bilaga ).. Sifat-sifat opeasi bilaga bulat..1 Closue Jika a da b adalah bilaga bulat, maka ilai pejumlaha da pekalia dai a da b juga meupaka bilaga bulat. Jika ab, maka a b ab.. Asosiatif Jika a, b, da c adalah bilaga bulat, maka pejumlaha da pekalia dai ketiga bilaga tesebut sama hasilya tapa mempehatika opeasi pejumlaha atau pekalia yag didahuluka. Jika abc,, maka a ( b c) ( a b) c a( bc) ( ab) c..3 Komutatif Jika a da b adalah bilaga bulat, maka pejumlaha da pekalia dai kedua bilaga tesebut sama hasilya tapa mempehatika uutaya. Jika ab, maka a b b a ab ba..4 Idetitas Jika a maka a 0 a a.1 a..5 Ives Jika a maka a ( a) 0..6 Distibutif Jika abc,, maka a( b c) ab ac.3 Sifat pembagia pada bilaga bulat Misalka a da b bilaga bulat, a 0. a habis membagi b jika tedapat bilaga bulat c sedemikia sehigga b ac. Notasi : a b jika b ac, c da a 0..4 Pembagi Besama Tebesa (PBB) Misalka a da b bilaga bulat tidak ol. Pembagi besama tebesa (PBB geatest

2 commo diviso atau gcd) dai a da b adalah bilaga bulat tebesa d sedemikia sehigga d a da d b. Dalam hal ii kita yataka bahwa PBB( a, b) d..5 Teoema Euclidea Teoema 1. Misalka m da bilaga bulat, 0. Jika m dibagi dega maka tedapat bilaga bulat uik q (quotiet) da (emaide), sedemikia sehigga m q dega 0. Teoema. Misalka m da bilaga bulat dega syaat 0 sedemikia sehigga m q, 0 maka PBB( m, ) PBB(, ) III. Meetuka PBB dai dua buah bilaga atau lebih 3.1 Meetuka PBB dai dua buah bilaga Dalam meetuka PBB dai dua buah bilaga, kita bisa memakai bebeapa caa diataaya yag aka dibahas disii yaitu dega medafta semua fakto bilaga, dega poho fakto, da dega algoitma Euclidea Meetuka PBB dega medafta semua fakto yag mugki. Ambil buah bilaga, misalka 60 da Tabel fakto dai Tabel fakto dai 7 Dai tabel dapat dilihat bahwa fakto dai 60 : 1,, 3, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 30, 60 7 : 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 18, 4, 36, 7 maka PBB(60, 7) = Meetuka PBB dega poho fakto Kita ambil dua buah bilaga pada caa petama yaitu 60 da Poho fakto dai 60 Poho fakto dai 7 Dai poho fakto tesebut didapat hasil sebagai beikut maka PBB(60, 7) Meetuka PBB dega algoitma Euclidea Repesetasi algoitma Euclidea dalam otasi algoitmik Iteatif fuctio pbb(a, b : itege) t : itege while (ot (b = 0)) do t b b a mod b a t a Rekusif fuctio pbb(a, b : itege)

3 if (b = 0) the a else pbb(b, a mod b) Misalka a da b adalah bilaga bulat tak egatif dega a b. Misalka 0 a da 1 b. Lakuka algoitma Euclidea sebagai beikut q 0 Meuut teoema, PBB( a, b) PBB(, ) PBB(, ) PBB(, ) PBB(, ) 1 1 PBB(,0) Bukti Dai betuk 0 1 q1 dapat diketahui utuk setiap x da x 0 seta x 1 maka belaku juga x kaea betuk diatas bisa diubah mejadi q Sehigga PBB( 0, 1 ) da PBB(, ). Maka didapat Dai pembalikaya, didapat pula PBB( 1, ) 0 da PBB( 1, ) 1. Sehigga didapat Dai petidaksamaa tesebut, dapat disimpulka Hal ii belaku seteusya higga salah satu dai ilai beilai Meetuka PBB lebih dai buah bilaga Pada pembahasa 3.1, PBB dai buah bilaga dapat ditetuka dega 3 caa yaitu dega medafta semua facto yag ada, dega membuat poho facto da dega megguaka algoitma Euclidea. Pada bagia ii aka dibahas bagaimaa meetuka PBB lebih dai bilaga dega caa caa yag sudah dibahas pada subbab sebelumya Meetuka PBB dega medafta semua facto yag mugki Kita ambil 3 buah bilaga misalka 16, 40, da Tabel fakto dai Tabel fakto dai Tabel fakto dai 180 Dai tabel dapat dilihat bahwa fakto dai 16 : 1,, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 1, 4, 63, : 1,, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 1, 15, 16, 0, 4, 30, 40, 48, 60, 80, 10, : 1,, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 18, 0, 30, 36, 45, 60, 90, 180 Maka PBB(16, 40,180) Meetuka PBB dega poho fakto Kita pakai 3 buah bilaga pada caa 3..1 yaitu 16, 40, da 180.

4 Poho fakto dai Poho fakto dai Poho fakto dai 180 Dai poho fakto tesebut didapat hasil sebagai beikut Maka PBB(16, 40,180) 3 6 meetuka PBB dai buah bilaga saja. Namu, dega sedikit modifikasi da pembuktia, kita dapat megguaka algoitma Euclidea utuk meetuka PPB dai bebeapa buah bilaga. Caaya yaitu dega megguaka algoitma Euclidea pada bilaga petama da kedua, kemudia megguaka algoitma Euclidea pada hasil algoitma Euclidea yag sebelumya da bilaga ketiga. Teuska poses higga bilaga teakhi. Misalka aka dicai PBB dai bilaga bulat a1, a,, a, maka lagkah yag dilakuka yaitu PBB( a, a ) PBB(, a ) 1 Dega poses tesebut didapatka PBB-ya yaitu. 1 Bukti Pembuktiaya hampi seupa dega pembuktia pada algoitma Euclidea utuk mecai PBB dai bilaga. Jika, da PBB( a1, a ) seta a maka 3 PBB( a1, a, a3 ) PBB( PBB( a1, a), a3) Dega caa yag sama didapat pula PBB( a1, a, a3 ) PBB( PBB( a1, a), a3) Sehigga algoitma dalam otasi algoitmikya mejadi fuctio pbb(a : aay [1..] of itege) i : itege hasil : itege hasil a[1] i taveal [..] hasil pbb(hasil, a[i]){pemaggila algoitma Euclidea} hasil 3..3 Meetuka PBB dega algoitma Euclidea Sepeti yag kita ketahui, bahwa algoitma Euclidea haya dapat

5 IV. KESIMPULAN Dai pembahasa diatas dapat disimpulka pecaia ilai PBB dai bayak bilaga dapat dilakuka dega bayak caa, diataaya dega table facto, poho facto, da algoitma Euclidea baik yag mui maupu modifikasi. V.DAFTAR REFERENSI [1] M. Rialdi, Diktat Kuliah IF 091 Stuktu Diskit, Pogam Studi Tekik Ifomatika, 008, Badug, Idoesia. [] taggal akses 16 Desembe 013 pukul [3] taggal akses 15 Desembe 013 pukul 0.00 PERNYATAAN Dega ii saya meyataka bahwa makalah yag saya tulis ii adalah tulisa saya sedii, buka sadua, atau tejemaha dai makalah oag lai, da buka plagiasi. Badug, 11 Desembe 011 Macelius Hey M