Kombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com

Transkripsi

1 Kombiatorial da Peluag Adri Priadaa ilkomadri.com

2 Pedahulua Sebuah kata-sadi (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia kata-sadi yag dapat dibuat? abcdef aaaade a23fr erhtgah yutresik????

3 Pedahulua Kombiatorial adalah cabag matematika utuk meghitug jumlah peyusua objekobjek tapa harus megeumerasi semua kemugkia susuaya.

4 Kaidah Dasar Meghitug Kaidah perkalia (rule of product) Percobaa : p hasil Percobaa 2: q hasil Percobaa da percobaa 2: p q hasil Kaidah pejumlaha (rule of sum) Percobaa : p hasil Percobaa 2: q hasil Percobaa atau percobaa 2: p + q hasil

5 Cotoh. Ketua kelas X haya orag (pria atau waita, tidak bias geder). Jumlah pria Kelas X = 65 orag da jumlah waita = 5 orag. Berapa bayak cara memilih ketua kelas? Peyelesaia: = 80 cara. Cotoh 2. Dua orag perwakila kelas X medatagai Bapak Dose utuk protes ilai ujia. Wakil yag dipilih orag pria da orag waita. Berapa bayak cara memilih 2 orag wakil tesrebut? Peyelesaia: 65 5 = 975 cara.

6 Perluasa Kaidah Dasar Meghitug Misalka ada percobaa, masig-masig dg p i hasil. Kaidah perkalia (rule of product) p p 2 p hasil 2. Kaidah pejumlaha (rule of sum) p + p p hasil

7 Cotoh 3. Bit bier haya terdiri dari 0 da. Berapa bayak strig bier yag dapat dibetuk jika: (a) pajag strig 5 bit (b) pajag strig 8 bit Peyelesaia: (a) = 2 5 = 32 buah (b) 2 8 = 256 buah

8 Cotoh 4. Kata-sadi (password) sistem komputer pajagya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau agka; huruf besar da huruf kecil tidak dibedaka. Berapa bayak katasadi yag dapat dibuat? Peyelesaia: Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 0 (0-9) = 36 karakter. Jumlah kemugkia kata-sadi dega pajag 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 6 = Jumlah kemugkia kata-sadi dega pajag 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 7 = Jumlah kemugkia kata-sadi dega pajag 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36 8 = Jumlah seluruh kata-sadi (kaidah pejumlaha) adalah = buah.

9 Permutasi Bola: Kotak: m b p 2 3 Berapa jumlah uruta berbeda yag mugki dibuat dari peempata bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

10 Kotak Kotak 2 Kotak 3 Uruta b p mbp m p b mpb m p bmp b p m bpm m b pmb p b m pbm Jumlah kemugkia uruta berbeda dari peempata bola ke dalam kotak adalah (3)(2)() = 3! = 6.

11 Defiisi: Permutasi adalah jumlah uruta berbeda dari pegatura objek-objek. Permutasi merupaka betuk khusus aplikasi kaidah perkalia. Misalka jumlah objek adalah, maka uruta pertama dipilih dari objek, uruta kedua dipilih dari objek, uruta ketiga dipilih dari 2 objek, uruta terakhir dipilih dari objek yag tersisa. Meurut kaidah perkalia, permutasi dari objek adalah ( ) ( 2) (2)() =!

12 Cotoh 5. Berapa bayak kata yag terbetuk dari kata HAPUS? Peyelesaia: Cara : (5)(4)(3)(2)() = 20 buah kata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 20 buah kata Cotoh 6. Berapa bayak cara megurutka ama 25 orag mahasiswa? Peyelesaia: P(25, 25) = 25!

13 Permutasi r dari eleme Ada eam buah bola yag berbeda waraya da 3 buah kotak. Masigmasig kotak haya boleh diisi buah bola. Berapa jumlah uruta berbeda yag mugki dibuat dari peempata bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Bola: m b p h k j Kotak: 2 3 Peyelesaia: kotak dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 piliha); kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 piliha); kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 piliha). Jumlah uruta berbeda dari peempata bola = (6)(5)(4) = 20

14 Perampata: Ada buah bola yag berbeda waraya da r buah kotak (r ), maka kotak ke- dapat diisi oleh salah satu dari bola (ada piliha) ; kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari ( ) bola (ada piliha); kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari ( 2) bola (ada 2) piliha; kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari ( (r ) bola (ada r + piliha) Jumlah uruta berbeda dari peempata bola adalah: ( )( 2) ( (r ))

15 Permutasi r dari eleme Defiisi 2. Permutasi r dari eleme adalah jumlah kemugkia uruta r buah eleme yag dipilih dari buah eleme, dega r, yag dalam hal ii, pada setiap kemugkia uruta tidak ada eleme yag sama. P (, r) ( )( 2)...( ( r )) =! ( r)!

16 Cotoh 7. Berapakah jumlah kemugkia membetuk 3 agka dari 5 agka berikut:, 2, 3, 4, 5, jika: (a) tidak boleh ada pegulaga agka, da (b) boleh ada pegulaga agka. Peyelesaia: (a) Dega kaidah perkalia: (5)(4)(3) = 60 buah Dega rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 3)! = 60 (b) Tidak dapat diselesaika dega rumus permutasi. Dega kiadah perkalia: (5)(5)(5) = 5 3 = 25. Cotoh 8. Kode buku di sebuah perpustakaa pajagya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda da diikuti dega 3 agka yag berbeda pula? Peyelesaia: P(26, 4) P(0,3) =

17 Kombiasi Betuk khusus dari permutasi adalah kombiasi. Jika pada permutasi uruta kemucula diperhitugka, maka pada kombiasi, uruta kemucula diabaika. Misalka ada 2 buah bola yag waraya sama 3 buah kotak. Setiap kotak haya boleh berisi palig bayak bola. Jumlah cara memasukka bola ke dalam kotak = 3! P (3,2) (3,2)! (3)(2) P 2 2! 2! 2 = 3.

18 a b 2 3 sama b a 2 3 a b 2 3 haya 3 cara sama b a 2 3 a b 2 3 sama b a 2 3

19 Bila sekarag jumlah bola 3 da jumlah kotak 0, maka jumlah cara memasukka bola ke dalam kotak adalah 0! P(0,3) 7! (0)(9)(8) 3! 3! 3! karea ada 3! cara memasukka bola yag waraya sama. Secara umum, jumlah cara memasukka r buah bola yag berwara sama ke dalam buah kotak adalah ( )( 2)...( r! ( r ))! r!( r)! = C(, r) atau r

20 Kombiasi C(, r) serig dibaca " diambil r", artiya r objek diambil dari buah objek. Defiisi 3. Kombiasi r eleme dari eleme, atau C(, r), adalah jumlah pemiliha yag tidak terurut r eleme yag diambil dari buah eleme.

21 Iterpretasi Kombiasi. C(, r) = bayakya himpua bagia yag terdiri dari r eleme yag dapat dibetuk dari himpua dega eleme. Misalka A = {, 2, 3} Jumlah Himpua bagia dega 2 eleme: {, 2} = {2, } {, 3} = {3, } 3 buah {2, 3} = {3, 2} 3 3! 3! atau 3 2 (3 2)!2!!2! buah

22 2. C(, r) = cara memilih r buah eleme dari buah eleme yag ada, tetapi uruta eleme di dalam susua hasil pemiliha tidak petig. Cotoh: Berapa bayak cara membetuk paitia (komite, komisi, dsb) yag beraggotaka 5 orag orag dari sebuah fraksi di DPR yag beraggotaka 25 orag? Peyelesaia: Paitia atau komite adalah kelompok yag tidak terurut, artiya setiap aggota di dalam paitia kedudukaya sama. Misal lima orag yag dipilih, A, B, C, D, da E, maka uruta peempata masig-masigya di dalam paitia tidak petig (ABCDE sama saja dega BACED, ADCEB, da seterusya). Bayakya cara memilih aggota paitia yag terdiri dari 5 orag aggota adalah C(25,5) = 5330 cara.

23 Permutasi da Kombiasi Betuk Umum Misalka: ada buah bola yag tidak seluruhya berbeda wara (jadi, ada beberapa bola yag waraya sama - idistiguishable). bola diataraya berwara, 2 bola diataraya berwara 2, k bola diataraya berwara k, da k =. Berapa jumlah cara pegatura buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. buah bola)?

24 Jika buah bola itu kita aggap berbeda semuaya, maka jumlah cara pegatura buah bola ke dalam buah kotak adalah: P(, ) =!. Dari pegatura buah bola itu, ada! cara memasukka bola berwara ada 2! cara memasukka bola berwara 2 ada k! cara memasukka bola berwara k Permutasi buah bola yag maa diataraya berwara, 2 bola berwara 2,, k bola berwara k adalah: P( ;, 2,..., k ) P(, )!!... 2 k!!!!... 2 k!

25 Jumlah cara pegatura seluruh bola kedalam kotak adalah: C(;, 2,, k ) = C(, ) C(, 2 ) C( 2, 3 ) C( 2 k-, k ) = )!!(! )!!( )! ( 2 2 )!!( )! ( k )!...!( )!... ( 2 2 k k k k = k!...!!! 3 2 Kesimpula:!!...!! ),...,, ; ( ),...,, ; ( k k k C P

26 Cotoh 0. Berapa bayak kata yag dapat dibetuk dega megguaka huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Peyelesaia: S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I} huruf M = buah ( ) huruf I = 4 buah ( 2 ) huruf S = 4 buah ( 3 ) huruf P = 2 buah ( 4 ) = = buah = S Cara : Jumlah strig = P(;, 4, 4, 2)! = 34650buah. (!)(4!)(4!)(2!) Cara 2: Jumlah strig = C(, )C(0, 4)C(6, 4)C(2, 2)! 0! 6! 2! =... (!)(0!) (4!)(6!) (4!)(2!) (2!)(0!)! = (!)(4!)(4!)(2!) = buah

27 Kombiasi Dega Pegulaga Misalka terdapat r buah bola yag semua waraya sama da buah kotak. (i) Masig-masig kotak haya boleh diisi palig bayak satu buah bola. Jumlah cara memasukka bola: C(, r). (ii) Masig-masig kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasa jumlah bola) Jumlah cara memasukka bola: C( + r, r).

28 Cotoh 3. Pada persamaa x + x 2 + x 3 + x 4 = 2, x i adalah bilaga bulat 0. Berapa jumlah kemugkia solusiya? Peyelesaia: Aalogi: 2 buah bola aka dimasukka ke dalam 4 buah kotak (dalam hal ii, = 4 da r = 2). Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalya, Kotak diisi 3 buah bola (x = 3) Kotak 2 diisi 5 buah bola (x 2 = 5) Kotak 3 diisi 2 buah bola (x 3 = 2) Kotak 4 diisi 2 buah bola (x 4 = 2) x + x 2 + x 3 + x 4 = = 2 Ada C(4 + 2, 2) = C(5, 2) = 455 buah solusi.

29 Matur Nuwu