EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
|
|
- Hadian Hermawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM Ditulis pada sekitar bula Maret Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka grid persegipajag dari rute jala. Ada dimita meelusuri jala itu dari A ke B dega megguaka rute sedekat mugki. Berapa bayak rute yag ada? Perumum hasil yag diperoleh utuk sebarag ukura grid. PEMBAHASAN Jika geraka 1 lagkah ke kaa dilambagi dega huruf K da geraka 1 lagkah ke atas dilambagi huruf A, maka litasa yag ditujukka pada gambar di sampig diyataka sebagai: (i) KAKKKAKAKKAAK Geraka ke kaa meyusuri sisi bawah (sebayak 8 lagkah) kemudia dilajutka geraka ke atas (sebayak 5 lagkah) juga aka sampai ke titik B. Litasa yag dilalui dapat diyataka sebagai: (ii) KKKKKKKKAAAAA Pajag litasa (ii) sama dega pajag litasa (i), yaitu 13 lagkah. Komposisiya juga sama, yaitu 8K5A atau {K (8), A (5) }. Kedua litasa tersebut merupaka litasa terpedek, sebab semua jeis gerakaya lagsug megarah ke titik B. Badigka jika ada geraka ke bawah atau ke kiri, maka pajag litasa utuk mecapai titik B pasti lebih dari 13 lagkah. Berdasarka argumet tersebut, maka litasa terpedek utuk mecapai posisi B adalah litasa yag pajagya 13 lagkah da harus terdiri atas 8 lagkah ke kaa da 5 lagkah ke atas. Sutopo, Fisika UM 1 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
2 Litasa-litasa laiya dapat dibetuk dega membuat permutasi-13 dari {K (8), A (5) }. Bayakya permutasi yag dihasilka adalah! = Dalam bahasa kombiatorik,bayakya litasa!! yag terjadi adalah sama dega bayakya cara memilih 8 posisi dari 13 posisi yag disediaka utuk meempatka lambag K, yaitu 13! = 8 = = 1.287, atau bayakya cara!! memilih 5 posisi dari 13 posisi yag disediaka utuk meempatka lambag A, yaitu sebayak 13 5! = = macam litasa.!! Perluasa hasil di atas: Bayakya litasa terpedek utuk berpidah dari titik O(0,0) ke P(m,) dalam suatu grid adalah m + + = m m Jika dalam pergeraka tersebut harus melewati titik lai, misalya C(p,q), maka bayakya litasa p + q p + q p + q p + q adalah m = m. Megapa dikalika? Jawab: p m p q q ketika sampai di C, setiap litasa dari O ke C bertemu dega semua litasa dari C ke P. PEMBAHASAN TAMBAHAN 1. Seperti telah dibicaraka, persoala tersebut sama dega mecari bayakya kata yag pajagya ( + ) da dibetuk dari huruf {K, D} yag masig-masig sebayak da. Bayakya kata tersebut adalah sama dega koefisie suku K D pada ekspasi biomial (K + D) =, K D dega,!. Karea!! = maka! =!! Jika K da D digati dega agka 1, maka diperoleh idetitas: i = 2.!!( )! = = =!!( )!. Apa arti bilaga-bilaga tersebut? Dalam koteks ii, bilaga 2 meyataka bayakya litasa yag dihasilka dari geraka lagkah dega masig-masig lagkah berarah ke kaa Sutopo, Fisika UM 2 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
3 atau ke depa. Bilaga, sebagaimaa telah disebutka, meyataka bayakya litasa i sepajag lagkah yag terdiri atas i lagkah ke kaa da ( i) lagkah ke depa. Bilaga 2 da koefisie, dapat diguaka utuk meghitug berbagai feomea, atara lai sebagai berikut. No 2, = 1 Bayakya kata yag pajagya karakter da dibetuk dari dua huruf berbeda, misal {B,I} 2 Bayakya bilaga asli digit yag dibetuk dari dua bilaga asli berbeda, misal {1,2} 3 Bayakya cara medistribusika bola berlabel dalam dua wadah berlabel. Lihat gambar di bawah. 4 Bayakya himpua bagia dari suatu himpua yag beraggotaka eleme 5 Bayakya uruta mecetak gol dalam suatu pertadiga sepak bola jika total gol yag tercipta selama pertadiga sebayak gol.!!! Bayakya kata karakter yag memuat huruf {B, I} dega komposisi huruf B (), I (), atau B (), I () Bayakya bilaga digit dega komposisi agka: 1 (), 2 (), atau 1 (), 2 () Bayakya cara medistribusika bola berlabel dalam dua wadah berlabel sehigga wadah pertama berisi 1 bola da wadah kedua berisi 2 = ( 1 ) bola, atau sebalikya. Bayakya himpua bagia yag memiliki aggota = (atau = ) yag diambil dari suatu himpua yag beraggotaka eleme. Bayakya uruta mecetak gol jika sampai akhir pertadiga tim A mecetak gol da tim B mecetak = ( ) gol, atau sebalikya. Cotoh medistribusika 3 bola berlabel pada dua wadah berlabel, atau uruta terciptaya gol pada suatu pertadiga sepakbola jika jumlah gol yag tercipta selama pertadiga sebayak 3 gol. I II I II I II I II I II I II I II I II 2. Bayakya suku dalam ekspasi biomial sama dega bayakya variasi otasi koefisie i dega i bergerak dari 0 sampai. Jadi bayakya suku adalah (+1). Tetapi, bilaga itu juga harus sama dega bayakya susua (, ) yag merupaka peyelesaia persamaa + =, 0, dega i = 1, 2. Proposisi ii ekivale dega bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam dua wadah berlabel. Dega demikia, setidakya ada tiga macam feomea yag diwakili oleh bilaga ( + 1), yaitu: Bayakya suku yag berbeda dalam ekspasi biomial orde. Bayakya susua (x, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x =, 0 x. Bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam dua wadah berlabel. Sutopo, Fisika UM 3 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
4 3. Berapa bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam k wadah berlabel? Berdasarka hasil omor 3, persoala ii setara dega (i) bayakya suku yag berbeda dalam ekspasi k-omial orde, da (ii) bayakya susua (x, x,, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x + + x =, 0 x, k A. Jika bola-bola tersebut direpresetasika sebagai huruf O, da wadah-wadahya direpresetasika sebagai suatu kotak yag dibuat dari para yag disekat-sekat dega garis vertical, (seperti pada gambar), maka persoala tadi OOO w OO w OOOO w. O w dapat digati dega mecari bayakya Represetasi wadah da bola beserta salah satu cotoh kata yag pajagya (+k+1) karakter da medistribusika bola ke dalam k wadah. Bayakya dibetuk oleh sejumlah huruf O (sebayak garis vertical utuk membuat k wadah adalah (k+1) buah) da garis vertical (sebayak k+1) dega ketetua bahwa karakter pertama da terakhir pada kata-kata tersebut harus berupa garis vertikal Karea karakter pertama da terakhir harus berupa garis vertical, maka haya (k = k 1) garis vertical yag bebas diubah-ubah posisiya. Dega kata lai, persoala diubah lagi mejadi: mecari bayakya kata yag pajagya ( + k 1) karakter da dibetuk oleh buah huruf O da (k = k 1) garis vertical. Bayakya huruf yag dihasilka sama dega bayakya cara memilih posisi dari ( + k 1) posisi yag tersedia utuk meempatka huruf O, atau setara dega itu, bayakya cara memilih (k 1) posisi dari ( + k 1) posisi yag tersedia + k 1 ()! utuk meempatka garis vertikal, yaitu = k 1.!()! Dapat disimpulka: + k 1 ()! Utuk sebarag C, da 1 k, maka = k 1 meyataka:!()! Bayakya suku dega otasi koefisie yag berbeda pada ekspasi multiomial (x + x + + x ) Bayakya susua (x, x,, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x + + x =, 0 x, k A Bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam k wadah berlabel (boleh ada wadah yag dibiarka kosog). Sutopo, Fisika UM 4 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
5 4. Berapa bayakya cara medistribusika bola tak berlabel dalam k wadah berlabel jika tiap wadah miimal berisi satu bola? Masalah tersebut idetik dega mecari bayakya sekuesi (x, x,, x ) yag merupaka peyelesaia persamaa x + x + + x =, 1 x, k A. Peyelesaia Karea setiap wadah harus berisi miimal satu bola, maka persoala tersebut sama dega mecari bayakya cara medistribusika ( k) bola tidak berlabel ke dalam k wadah berlabel. Ii sama dega medistribusika m = ( k) bola ke dalam k wadah berlabel, yaitu m + k 1 k + k 1 = = 1 k 1 k 1 k 1. Jika k > maka tidak ada cara yag bisa dilakuka, sebab pasti ada wadah yag tidak terisi. Fakta tersebut diperkuat oleh rumus di atas. Berdasarka formula tersebut, jika k > maka (k 1) > ( 1) sehigga 1 = 0. Berarti tidak ada cara yag bisa dilakuka utuk memeuhi k 1 persyarata tiap wadah berisi miimal satu bola. DISKUSI LEBIH SERIUUUSSS DAN MENDALAMMMMM Pembahasa di atas sepeuhya berpijak pada defiisi: Permutasi adalah susua sejumlah objek dega memperhatika urutaya. Permutasi- berarti permutasi yag memuat karakter, atau objek, atau slot, atau posisi, dsb. Cotoh, suku-suku di ruas kaa yag diperoleh dari ekspasi biomial (A + B) = AA + AB + BA + BB adalah permutasi-2, sebab masig-masig susua memuat dua karakter da uruta sagat diperhatika (BA dibedaka dega AB). Berpijak pada defiisi itu, da pembahasa sebelumya, maka ugkapa ekspasi multiomial : (x + x + + x ) =,,, x x x dega,,,!!!! dapat dieksplorasi lebih lajut sebagai berikut. 1. Ruas kiri meyataka semesta pembicaraa terhadap maa aka dibuat berbagai permutasi- dari eleme himpua {x, x,, x }. Pegguaa kata permutasi- di sii sepeuhya kosiste dega defiisi permutasi da fakta bahwa setiap suku di ruas kaa terdiri atas karakter. Utuk meyakika hal ii, ambil cotoh palig sederhaa, yaitu suku pertama di maa = da = 0, i > 2. Suku tersebut adalah x = x. Atau buatlah multiomial yag Sutopo, Fisika UM 5 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
6 lebih sederhaa, misalya (A + B + C) = A + 4 A B + 12 A BC + 6 A B + + C. Jika A dimakai sebagai kepedeka dari AAAA, A B dimakai sebagai AAAB dst, jelaslah bahwa setiap suku memuat 4 karakter. 2. Apa maka setiap suku di ruas kaa? Betuk umum setiap suku di ruas kaa adalah,,, x x x. Suku tersebut, secara keseluruha, meyataka ada,,, susua (permutasi-) yag di dalamya memuat usur-usur x yag masigmasig mucul sebayak kali, i = 1,2,, k. Cotoh, utuk ekspasi (A + B + C), suku (6 A B ) meyataka ada 6 susua (permutasi-4) yag tersusu atas 2 huruf A da 2 huruf B, yaitu: AABB, ABAB, ABBA, BBAA, BABA, BAAB. Jika dibahas secara parsial, maka ilai koefisie,,, meyataka bayakya permutasi-, sedagka (x, x,, x ) meyataka komposisi usur-usur terhadap maa sejumlah permutasi tadi dibuat. 3. Berapa bayakya suku di ruas kaa pada ekspasi tersebut? Jawabya adalah sama dega bayakya sekuesi yag dibuat dari peyelesaia persamaa: = ; + k 1 ()! 0, yaitu =. Sebagai cotoh, bayakya suku pada ekspasi k 1!()! (A + B + C) adalah ()! = 15.!()! 4. Berapa jumlaha koefisie di ruas kaa? Jawabya dapat ditetuka dega megisi setiap x = 1 utuk semua i = 1,2,.. k; maka ruas kiri meghasilka k da diperoleh idetitas:,,, = k 5. Apa yag dapat disimpulka dari pembahasa o 3 & 4? Jawab: bayakya permutasi- yag dihasilka dari {x, x,, x } adalah sebayak k ; da dari jumlah itu dapat dikelompokka ke dalam ()!!()! kelompok berdasarka komposisi usur-usur yag ada di dalamya. Utuk kasus (A + B + C) misalya, bayakya permutasi-4 yag dihasilka adalah 3 = 81 macam, da dapat dikelompokka ke dalam 15 kelompok (masig-masig kelompok memiliki komposisi huruf yag berbeda). Perhatika bahwa adalah ukura permutasi (misalya, bayakya huruf dalam suatu kata) da k adalah bayakya aggota himpua dari maa permutasi dibuat, yaitu {x 1, x 2,, x k }. Berdasarka macam elemeya, ada kelompok yag di dalamya memuat usur yag mucul lebih dari sekali (sehigga terjadi pegulaga), da ada kelompok yag semua usurya berbeda (tidak terjadi pegulaga). Kelompok yag disebutka terakhir haya aka terjadi jika Sutopo, Fisika UM 6 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
7 k. Sebagai cotoh, semua kelompok yag dihasilka dari (A + B + C) megadug pegulaga, sedagka yag dihasilka dari (A + B + C) ada kelompok yag tidak megadug pegulaga, yaitu kelompok dalam suku!!!! kelompok ii sebayak 3! = 6 macam; yaitu: ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BCA. ABC. Bayakya permutasi dalam Secara umum bisa ditujukka bahwa, jika = k, maka ada satu kelompok permutasi-, yag dihasilka dari (x, x,, x ), yag di dalamya tidak terjadi pegulaga. Kelompok itu mucul pada suku 1,1,,1 x x x (yaitu pada saat semua usur mucul satu kali). Bayakya permutasi pada kelompok ii adalah! = k!, seperti yag diduga!!! Jika < k maka ada suku (kelompok) yag memuat macam usur dari {x!()!, x,, x }, masig-masig mucul satu kali, sehigga dalam masig-masig kelompok itu tidak terjadi permutasi dega pegulaga (pembuktia diuraika pada omor 6 di bagia berikutya). Bayakya permutasi- pada setiap kelompok tersebut adalah!!!!! permutasi- yag tidak megadug pegulaga adalah! =!()! hasilya sebayak k! (seperti diyataka sebelumya) Dapat diragkum: =! Jadi, total bayakya! ()!. Jika = k, Bayakya permutasi- (yag tidak megadug pegulaga) yag dibuat dari suatu himpua yag beraggotaka k eleme, dilambagi P(k, ), adalah (SEPERTI YANG BANYAK DITULIS DALAM BUKU-KUKU TEKS!!!) k! (k)!. Sebagai cotoh, ambil kasus sederhaa misalya dari ekspasi (A + B + C), yaitu = 2 da k = 3. Ekspasi triomial itu adalah: (A + B + C) = 2 2,0,0 A + 2 0,2,0 B + 2 2,0,0 A AB + AC + BC 1,1,0 1,0,1 0,1,1 Ada!!! = 3 kelompok yag tidak megalami pegulaga (yaitu 3 suku terakhir). Total bayakya permutasi dari ketiga kelompok itu = 3!!! =!! 2! = 6. Pembuktia bahwa jika k maka ada!!()! dari {x, x,, x } dega masig-masig usur mucul satu kali.! ()! =! ()!. suku (kelompok) yag memuat macam usur Sebagaimaa telah dijelaska, bahwa bayakya suku pada ekspasi k-omial orde adalah ()!!()!, yag diperoleh dega meyelesaika persamaa =, 0 dega meyataka pagkat dari x dalam suatu suku. Sutopo, Fisika UM 7 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
8 Dega argume serupa, persoala tadi dapat dipecahka dega meyelesaika persamaa: =, 1, k Karea k maka ada macam yag berilai 1 da ada (k ) macam yag berilai 0. Salah satu susua yag memeuhi kodisi tersebut adalah sebagai berikut: sebayak k sebayak Bayakya permutasi dega komposisi seperti itu adalah ()! ()!! =! ()!! [TERBUKTI] 7. Apa yag terjadi jika uruta usur-usur dalam setiap susua tidak diaggap petig? Jika uruta tidak petig, maka semua susua (permutasi) yag dihasilka dalam setiap kelompok (suku) adalah sama, sehigga setiap suku dipadag sebagai satu susua. Jadi, dalam hal ii, bayakya susua yag dihasilka dari ekspasi adalah sama dega bayakya suku dalam ekspasi tersebut, yaitu ()!!()!. Jika suatu susua yag tidak memperhatika urutaya disebut kombiasi, maka bayakya kombiasi- yag dibetuk dari aggota-aggota himpua {x, x,, x }, adalah ()!!()! Bayakya kombiasi itu termasuk kombiasi dega pegulaga, yaitu suatu susua di maa palig sedikit ada satu usur {x, x,, x } yag mucul lebih dari sekali. Misal, ekspasi (A + B) meghasilka kombiasi: AA, BB, da AB. Dua yag disebut pertama adalah kombiasi dega pegulaga. Kombiasi tapa pegulaga haya aka terjadi jika k. Jika = k maka haya ada satu kombiasi, yaitu (x x x ) itu sediri. Utuk k, bayakya suku yag di dalamya tapa terjadi pegulaga adalah!!()! (sudah ditujukka di omor 6). Karea setiap suku meyataka suatu kombiasi- yag khas, maka bayakya kombiasi- yag dihasilka dari {x, x,, x } adalah!!()!. Selajutya ditulis secara k k!!()!. Sutopo, Fisika UM 8 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
9 KESIMPULAN: Dari ekspasi k-omial orde : Dapat diperoleh: (x + x + + x ) =,,, x x x, Kombiasi-: Sebayak ()!!()! susua, Masig-masig susua berbetuk x ( ) x ( ) x ( ) dega + + = Jika > k, semua susua yag dihasilka megadug pegulaga Jika k, ada!!()! megadug pegulaga susua yag tidak Permutasi-: Sebayak k susua, Yag dapat dikelompokka mejadi ()!!()! kelompok. Betuk umum tiap kelompok:,,, x x x dega + + = Jika > k, semua susua yag dihasilka megadug pegulaga Jika k, ada! ()! megadug pegulaga susua yag tidak Catata: Tulisa tersebut dibuat berdasarka pemikira logis semata, tidak merujuk pada kaedah/teorema matematika tertetu, karea peulis memag tidak tahu teori-teori itu, jika memag ada. Ii adalah pemikira bebas orag fisika yag mecoba memahami hakekat permutasi & kombiasi. Sutopo, Fisika UM 9 Ekspasi multiomial da permutasi/kombiasi
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Lebih terperinciInduksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna
Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciKombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com
Kombiatorial da Peluag Adri Priadaa ilkomadri.com Pedahulua Sebuah kata-sadi (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia kata-sadi yag dapat dibuat?
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciBAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia
Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciMatematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs
Matematika Diskret (Kombiatorial - Permutasi) Istruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Pedahulua Sebuah sadi-lewat (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa
Lebih terperincii adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperinciAturan Pencacahan. Contoh: Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?
Atura Pecacaha A. Atura Perkalia Jika terdapat k usur yag tersedia, dega: = bayak cara utuk meyusu usur pertama 2 = bayak cara utuk meyusu usur kedua setelah usur pertama tersusu 3 = bayak cara utuk meyusu
Lebih terperinci) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Lebih terperinciOleh: Yunissa Rara Fahreza Akuntansi Teknologi Sistem Informasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT
Oleh: Yuissa Rara Fahreza Akutasi Tekologi Sistem Iformasi KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI MATEMATIKA DISKRIT ILUSTRASI 1 Misal ada 3 buah kelereg yag berbeda wara : merah (m), kuig (k) da
Lebih terperinciProjek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,
Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinci4. KOMBINATORIKA ... S 1. S n S 2. Gambar 4.1
4. KOMBINATORIKA 4. Atua Utuk Suatu Peistiwa Evet sesuatu yag tejadi. Jika peistiwa A dapat tejadi dalam m caa da peistiwa B dapat tejadi dalam N caa, maka tedapat (m, ) caa kedua peistiwa tejadi besama-sama.
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciBAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciSolusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 Deret. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
MATEMATIKA EKONOMI 1 Deret DOSEN Fitri Yuliati, SP, MSi. Deret Deret ialah ragkaia bilaga yag tersusu secara teratur da memeuhi kaidah-kaidah tertetu. Bilaga-bilaga yag merupaka usur da pembetuk sebuah
Lebih terperinciPETA KONSEP RETURN dan RISIKO PORTOFOLIO
PETA KONSEP RETURN da RISIKO PORTOFOLIO RETURN PORTOFOLIO RISIKO PORTOFOLIO RISIKO TOTAL DIVERSIFIKASI PORTOFOLIO DENGAN DUA AKTIVA PORTOFOLIO DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI DENGAN BANYAK AKTIVA DEVERSIFIKASI
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciPELUANG KEJADIAN. 3. Permutasi siklis adalah permutasi yang susunannya melingkar.
PELUANG KEJADIAN A. Atura Perkalia/Pegisia Tempat Jika kejadia pertama dapat terjadi dalam a cara berbeda, kejadia kedua dapat terjadi dalam b cara berbeda, kejadia ketiga dapat terjadi dalam c cara berbeda,
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperincitheresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciKombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik
Kombiatorik: Prisip Dasar da Tekik Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta sahidyk@gmail.com March 27, 2009 1 Atura Pejumlaha (Atura Disjugtif) Jika utuk melakuka
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciPERTEMUAN 3 CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI UKURAN PEMUSATAN DATA
PERTEMUAN 3 CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI UKURAN PEMUSATAN DATA Cara Peyajia Data dega Tabel Distribusi Frekuesi Distribusi Frekuesi adalah data yag disusu dalam betuk kelompok baris berdasarka
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11
SMA IPA Kelas BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- ( ) a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a ) atau S (a ( ) b) Dega S dapat juga
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperinciModul Kuliah statistika
Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB ENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Dalam kehidupa yata, hampir seluruh feomea alam megadug ketidak pastia atau bersifat probabilistik, misalya pergeraka lempega bumi yag meyebabka gempa, aik turuya
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Lebih terperinciHazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand
TEKIK SAMPLIG PCA SEDERHAA Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusa Matematika FMIPA Uad Defiisi : Jika suatu cotoh berukura diambil dari suatu populasi berukura sedemikia rupa sehigga setiap kemugkia cotoh
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciPEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu
Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah
Lebih terperinciBatas Bilangan Ajaib Pada Graph Caterpillar
J. Math. ad Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 3, No., Nov 006, 49 56 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Chairul Imro Jurusa Matematika FMIPA ITS Surabaya imro-its@matematika.its.ac.id Abstrak Jika suatu
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika
Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A.
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT FUNGSI
1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari
Lebih terperinciKompetisi Statistika Tingkat SMA
. Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Lebih terperinciSoal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa
Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai
Lebih terperinciCara Pengisian Pada File Excel
Cara Pegisia Pada ile Excel Pada tabel realisasi da keuaga ias Pekerjaa Umum Bia Marga Propisi Jawa Timur ii terdiri dari beberapa kolom seperti dibawah ii: atker Tahu Bula Adapu cara pegisia dari masig-masig
Lebih terperinciFungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.
Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciUkuran Pemusatan. Pertemuan 3. Median. Quartil. 17-Mar-17. Modus
-Mar- Ukura Pemusata Pertemua STATISTIKA DESKRIPTIF Statistik deskripti adalah pegolaha data utuk tujua medeskripsika atau memberika gambara terhadap obyek yag diteliti dega megguaka sampel atau populasi.
Lebih terperinciPREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27
PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciBAB 12 BARISAN DAN DERET
BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika
Lebih terperinciPELUANG. Kegiatan Belajar 1 : Kaidah Pencacahan, Permutasi dan kombinasi
PELUANG Kegiata Belajar : Kaidah Pecacaha, Permutasi da kombiasi A. Kaidah Pecacaha. Prisip Dasar Membilag Jika suatu operasi terdiri dari tahap, tahap pertama dapat dilakuka dega m cara yag berbeda da
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciDISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL
0 DISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL Kita sudah membahas fugsi peluag atau fugsi desitas, baik defiisiya maupu sifatya. Fugsi peluag atau fugsi desitas ii merupaka ciri dari sebuah distribusi, artiya fugsi
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi
Lebih terperinciFungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.
Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A
Lebih terperinciISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciRUANG BASIS SOLUSI. Ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah. Aljabar Linier DISUSUN OLEH : DONNA SEPTIAN CAHYA RINI (08411.
RUANG BASIS SOLUSI Ii disusu utuk memeuhi tugas mata kuliah Aljabar Liier DISUSUN OLEH : DONNA SEPIAN CAHYA RINI (08411.114) FIRIA ASUI (08411.133) NURUL AISYAH (08411.211) SULIS SEYOWAI (08411.260) SULISIANI
Lebih terperinciRESPONSI 2 STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 2015
RESPONSI STK 511 (ANALISIS STATISTIKA) JUMAT, 11 SEPTEMBER 015 A. PENYAJIAN DAN PERINGKASAN DATA 1. PENYAJIAN DATA a. Sebutka tekik peyajia data utuk data kualitatif! Diagram kueh, diagram batag, distribusi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciPENGARUH VARIASI PELUANG CROSSOVER DAN MUTASI DALAM ALGORITMA GENETIKA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH KNAPSACK. Sutikno
sutiko PENGARUH VARIASI PELUANG CROSSOVER DAN MUTASI DALAM ALGORITMA GENETIKA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH KNAPSACK Sutiko Program Studi Tekik Iformatika Fakultas Sais da Matematika UNDIP tik@udip.ac.id
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy
BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag
Lebih terperinciSMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH
PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal
Lebih terperinci9 Departemen Statistika FMIPA IPB
Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG LKS 1 8. C hanya angka 3 yang memenuhi syarat kurang dari 400 Banyak bilangan yang kurang dari 400 : = = 12 9.
A. Evaluasi egertia atau Igata. B (A x B) (A). (B). 0. B huruf vokal Bayak susua huruf yag dapat dibuat :..... 0. B ( agka dapat berulag ) Bayak bilaga puluha yag dapat disusu dari agka tersebut :. 9.
Lebih terperinci