Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sudah Anda kenal di sekolah menengah, bahkan sejak sekolah

Transkripsi

1 Modul Himpua Dra Sri Haryati Kartiko, MS PENDHULUN impua sudah da keal di sekolah meegah, bahka sejak sekolah H dasar Himpua merupaka usur yag petig dalam probabilitas, sehigga dipelajari kembali dalam mata kuliah ii, tetu saja dalam modul pertama Dalam Kegiata Belajar, da aka mempelajari himpua da operasiya da aka dapat membadigka operasi himpua dega operasi bilaga Dalam kegiata belajar ii diberika juga hukum-hukum yag aka diguaka dalam operasi himpua Dega hukum-hukum ii perhituga probabilitas dapat dilakuka dega lebih mudah Dalam Kegiata Belajar, da aka mempelajari tekik meghitug Tekik tersebut meliputi prisip perkalia, permutasi, kombiasi, da juga da aka mempelajari bagaimaa megguaka tekik meghitug tersebut Juga aka da jumpai koefisie multiomial Tekik meghitug ii bergua utuk meetuka bayakya eleme dalam ruag sampel da dalam suatu kejadia tertetu Setelah da mempelajari modul ii, da diharapka telah dapat melakuka operasi pada himpua, megguaka hukum-hukum pada operasi himpua, serta megguaka tekik perkalia, permutasi, kombiasi dalam perhituga eleme dalam ruag sampel

2 Pegatar Statistika Matematis S Kegiata Belajar Himpua ebagai ilustrasi diberika beberapa otoh himpua: Himpua semua mahasiswa Uiversitas Terbuka Himpua kepala keluarga di suatu desa 3 Himpua pasie berpeyakit paru-paru di Rumah Sakit Harapa Kita 4 Himpua bilaga bulat kurag dari 0 a Bilaga ¾ da tidak di dalam himpua b Bilaga 3 di dalam himpua Jika suatu objek berada dalam sebuah himpua, objek ii dikataka eleme dari himpua tersebut adalah himpua bilaga riil x, dega 0 x da ¾ adalah eleme dari himpua, fakta bahwa ¾ adalah eleme dari himpua, ditulis dega ¾ a berarti a adalah eleme dari himpua Himpua yag serig diguaka adalah himpua bilaga; meskipu demikia termiologi himpua titik aka lebih sesuai diguaka dibadig dega himpua bilaga Berikut diteragka seara sigkat bagaimaa megguaka termiologi ii Dalam aalitik geometri (di maa titik ol da uit telah ditetuka), setiap titik pada garis berkorespodesi dega haya satu bilaga x da setiap bilaga x berkorespodesi dega haya satu titik pada garis Korespodesi satu-satu atara bilaga da titik pada garis aka tidak meimbulka kesalahpahama bila kita meyebut titik x sebagai peggati bilaga x Lebih jauh lagi pada bidag koordiat tegak lurus da dega bilaga x da y, utuk setiap simbol (x, y) berkorespodesi dega haya satu titik pada bidag da sebalikya Titik (x, y) berarti pasaga berurut x da y Termiologi ii dapat diguaka bila sistem koordiat dalam ruag dari tiga dimesi atau lebih Dega demikia

3 STS440/MODUL 3 "Titik ( x, x, x )" berarti bilaga x, x, x Notasi { x ; 0 x ) dibaa adalah himpua satu dimesi dari titiktitik x di maa 0 x {( x, y) ; 0 x, 0 y dibaa himpua titik-titik dimesi (pada bidag) yag dibatasi oleh bujur sagkar dega titiktitik sudut (0, 0); (0, ); (, 0), (, ) ka diberika beberapa defiisi (dega otoh ilustrasi) yag aka membawa da pada aljabar himpua elemeter yag aka diguaka dalam probabilitas DEFINISI Bila setiap eleme dalam himpua juga merupaka eleme dalam himpua, himpua disebut himpua bagia (subset) dari himpua ditulis Bila da maka ; Cotoh { x; 0 x } da { x; 0 x } Himpua satu dimesi merupaka himpua bagia dari himpua Satu dimesi Cotoh Pada kartu bridge Himpua kartu jatug Himpua kartu merah Cotoh 3 {( x, y) ; 0 x y } {( x, y);0 x,0 y } yaitu

4 4 Pegatar Statistika Matematis Pada gamba: : titik-titik pada diagoal bujur sagkar : titik - titik pada bujur sagkar DEFINISI Gambar Bila himpua tidak mempuyai eleme, disebut himpua ull (himpua kosog), ditulis Cotoh 4 = Himpua aak SD yag berusia 60 tahu maka DEFINISI 3 Himpua semua eleme yag mejadi aggota palig sedikit satu himpua da disebut uio dari da, ditulis Uio dari himpua,,, adalah himpua yag 3 eleme-elemeya mejadi aggota dari palig sedikit satu himpua tersebut Uio ii ditulis atau 3 bila terdapat sejumlah himpua k Cotoh 5 Pada kartu bridge = himpua kartu e atau kartu wara merah = semua kartu wara merah da semua kartu e masuk dalam himpua ii

5 STS440/MODUL 5 Bila diambil eleme dari himpua eleme ii aka, berupa kartu e atau kartu wara merah (bisa merupaka kartu e dega wara merah) Cotoh 6 { x ; x 0, 5} da { x ; x 4, 5 0} { x ; x 0,, 0} Cotoh 7 da seperti ditetuka dalam otoh : Cotoh 8 utuk setiap himpua Cotoh 9 x ; x, k,, 3, k k { x ; 0 x } Nol tidak berada di dalam himpua ii karea ol tidak berada dalam salah satu himpua, 3 DEFINISI 4 Himpua yag eleme-elemeya mejadi aggota setiap himpua da disebut iterseksi (irisa) da ditulis Iterseksi (irisa) beberapa himpua, adalah 3 himpua semua eleme yag mejadi aggota setiap himpua

6 6 Pegatar Statistika Matematis, ditulis dega 3 berhigga (k) himpua ditulis dega Cotoh 0 Dari otoh 5, atau bila terdapat sejumlah = kartu e yag berwara merah Cotoh {( x, y) ; ( x, y) (0, 0), (0, ), (, )} {( x, y) ; ( x, y) (, ), (, ), (, )} {( x, y) ; ( x, y) (, )} k Cotoh {( x, y) ; 0 x y } {( x, y) ; x y} Cotoh 3 {( x ; 0 x / k}, k,, 3, {0} karea titik 0 (ol) mejadi aggota setiap 3 himpua DEFINISI 5,,, 3 Himpua semua eleme yag mejadi baha pembiaraa disebut semesta pembiaraa atau ruag; diberi otasi, B atau C Cotoh 5 Dalam pembiaraa tetag mahasiswa Idoesia maka = {semua orag Idoesia yag berpredikat mahasiswa} = himpua mahasiswa UT

7 STS440/MODUL 7 = himpua mahasiswa Idoesia di US Cotoh 6 Dalam melempar sebuah dadu satu kali maka = {,, 3, 4, 5, 6} = mata dadu geap = {, 4, 6} DEFINISI 6 adalah ruag dari Himpua semua eleme dalam yag buka eleme dari disebut kompleme dari ; ditulis dega otasi Cotoh 7 Dari otoh 5 = himpua kartu bridge yag buka e Cotoh 8 S {,, 0} himpua bilaga dalam S yag habis dibagi 5 {5, 0} {,, 3, 4, 6, 7, 8, 9} Cotoh 9 (lihat Gambar) ( ) S Gambar

8 8 Pegatar Statistika Matematis HUKUM-HUKUM YNG DIGUNKN DLM OPERSI HIMPUNN Hukum Komulatif B B B B Hukum sosiatif ( B) C ( BC) ( B) C ( BC) Tada kurug pada Hukum sosiatif meujukka operasi maa yag harus didahuluka Karea adaya hukum ii, tada kurug utuk operasi yag sama dapat dihilagka ( B) C ( B C) B C Tada kurug dalam ( B) C tidak dapat dihilagka karea seperti dapat da lihat pada diagram Ve Gambar 3, ( B) C ( B C) ( B C) Gambar 3 ( B) C Hukum Distributif ( B) C ( C) ( B C) ( B) C ( C) ( B C) Utuk hukum distributif ii da perhatika gambar 4

9 STS440/MODUL 9 a b ( B) C ( C) ( B C) ( B) C ( C) ( B C) Gambar 4 ( B) C adalah jumlah yag diarsir pada Gambar 4a ( B) ( B C) adalah jumlah yag diarsir dua kali pada Gambar 4b Perhatika perbedaa/persamaa operasi himpua dega operasi bilaga aa a bila da haya bila a 0 atau a a a bila da haya bila a 0 sedag ( a b) ( a) ( b ) ( ab) ( a ) ( b ) sedag ( B) C ( C) ( B C) ( B) C ( C) ( B C) Hukum De Morga ( B) B ( B) B Dega hukum De Morga didapat ( B ) B ( B ) B

10 0 Pegatar Statistika Matematis Operasi lai pada himpua Beda Defiisi Beda dega B ditulis \ B \ B B { x : x da x B} \ B (daerah yag diarsir) Gambar 5 B \ (daerah yag diarsir) a Dari ilustrasi dalam Gambar 5 terlihat bahwa \ B B \ b pabila B maka \ B ditulis B Karea ( B) maka \ B ( B) d Karea maka Beda Simetri Defiisi Beda simetri da B ditulis dega otasi B B ( B ) ( B) ( \ B) ( B \ )

11 STS440/MODUL Gambar 6 B adalah daerah yag diarsir Perhatika bahwa B B DEFINISI 7 da B mempuyai sifat salig asig (disjoit) bila da haya bila B Dari gambar 7 tampak bahwa B B bila da haya bila B da bila da haya bila B, B C salig asig berarti BC da B, C da B C B Gambar 7

12 Pegatar Statistika Matematis B C B C DEFINISI 8, B, C BC salig asig Partisi dari adalah i tapi, B, C tidak salig asig Gambar 8,, sedemikia sehigga dega utuk i j i j Gambar 9,, adalah Partisi dari DEFINISI 9 I adalah fugsi idikator bila bila x I( x) 0 bila x

13 STS440/MODUL 3 Cotoh 0 Himpua : mahasiswa UT Himpua B : mahasiswa UI Himpua C : Siswa SMP Negeri 9 Jakarta a Bila tidak ada mahasiswa UI yag juga mahasiswa UT, B da B salig asig atau da B tidak salig asig b Bila ada, B B B C d \B = mahasiswa UT yag tidak meragkap mejadi mahasiswa UI e B\ = mahasiswa UI yag tidak meragkap mejadi mahasiswa UT f = B ( \ B) ( B \ ) atau = mahasiswa UT saja atau mahasiswa UI saja (tidak termasuk mahasiswa yag meragkap) g Bila B da C da BC B C atau, B, da C salig asig h Bila B atau C atau BC tidak salig asig Cotoh Misal UI mempuyai fakultas : mahasiswa fakultas : mahasiswa fakultas : mahasiswa fakultas : mahasiswa UI i i j utuk i j sehigga i, i, merupaka partisi dari adalah mahasiswa fakultas I ( ), utuk i i I ( ) 0, utuk j j, berarti maka, B da C

14 4 Pegatar Statistika Matematis LTIHN ) S = Peduduk Idoesia = Pekerja bagua B = ak-aak balita C = Laki-laki pakah Utuk memperdalam pemahama da megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut!, B, B, B C, C, \ B, B\ C, B, B C, B ) Tujukka bahwa B bhb B 3) Y adalah ilai aljabar siswa SMP Negeri 9 Jakarta Misal : S = { y ; 0 y 0} = { y ; 7,5 y 0} B = { y ; 6 y 7,5} C = { y ; 5 y 6} D = {0 ; 0 y 5} pakah B, B, C, B C, \ B, B? da apakah, B, C da D partisi dari S? Petujuk Jawaba Latiha ) Guaka defiisi ) Buktika bila B maka da B da bila B maka B 3) Guaka defiisi RNGKUMN Operasi Himpua B { x / x atau x B}

15 STS440/MODUL 5 B { x / x atau x B} { x / x } \ B B { x / x da x B} B { \ B) ( B \ ) Hukum-hukum yag diguaka dalam operasioal himpua Komutatif : E B B E B B sosiatif : ( B) C ( B C) ( B) C ( B C) Distributif : ( B) C ( C) ( B C) ( B) C ( C) ( B C) De Morga : ( B) B ( B) B 3 Fugsi Idikator bila x I ( x) 0 bila x 4 Partisi dari adalah i i i j,, sedemikia sehigga dega utuk i j TES FORMTIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! I Bila diketahui S {0,,, 0} {,, 3, 5, 6, 8} B {4, 6, 7, 9, 0} ) B B {9, 0}

16 6 Pegatar Statistika Matematis C {4, 7, 9, 0} D {0, 4, 7, 9, 0} ) B B {4, 5, 6, 7} C {6} D {6, 8} 3) ( ) B S C D {0} B 4) \ B = {,, 3, 5, 8} B {,, 3, 4, 8} C {,, 3, 6, 8} D {,, 4, 6, 8} 5) B {,, 3, 4, 6, 8, 9, 0} B {,, 3, 4, 5,7, 8, 9, 0} C {,, 3, 4, 7, 9, 0} D {,, 4, 6, 7, 8, 9, 0} II 6) B ( \ B) ( B \ ) B ( B ) ( B ) C ( B ) ( B ) D \ B 7) pabila B maka B B B B B C B D B B

17 STS440/MODUL 7 8) Di atara 4 peryataa di bawah ii yag tidak bear adalah ( B) C ( B C) B ( B) C ( B C) C ( B) C ( B C) D ( B) C ( B C) 9) Dari hal yag diketahui dalam I da C = {4, 7, 9, 0} Maakah di atara peryataa ii yag bear? da B partisi dari S B da B buka partisi dari S C da C partisi dari S D B da C partisi dari S 0) B C bila B C, I B C ( ) 0 B 3 C D Cookkalah jawaba da dega Kui Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii Hituglah jawaba yag bear Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa da terhadap materi Kegiata Belajar Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal rti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = ukup < 70% = kurag pabila meapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, da dapat meeruska dega Kegiata Belajar Bagus! Jika masih di bawah 80%, da harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai

18 8 Pegatar Statistika Matematis M Kegiata Belajar Tekik Meghitug eghitug bayakya ara terjadiya suatu kejadia (yag defiisiya diberika dalam Modul ) kadag ukup kompleks Utuk membatuya aka diberika tekik meghitug PRINSIP PERKLIN Bila suatu operasi dapat dilakuka dega ara operasi da operasi, kedua dapat dilakuka dega ara maka terdapat ara di maa operasi dapat dilakuka Cotoh Misal sebuah mata uag (kita sebut sisiya M = muka da B = belakag) dilempar da kemudia sebuah kelereg diambil dari suatu kotak berisi kelereg hitug (H), kelereg kuig (K) da kelereg putih (P) Hasil pegambila (yag ati disebut out ome) yag mugki adalah: MH, MK, MP, BH, BK da BP Utuk setiap hasil lempara mata uag terdapat tiga kelereg yag mugki terpilih, sehigga semua hasil yag mugki adalah 3 = 6 Keadaa ii dapat digambarka dalam diagram poho dalam gambar 0 M H K P B H K P Gambar 0 Diagram poho otoh

19 STS440/MODUL 9 Prisip perkalia ii dapat diperluas utuk lebih dari operasi Khususya lebih operasi ke i da r operasi dapat dilakuka dega i ara Khususya utuk sejumlah r operasi di maa tiap-tiap operasi ke-i dapat dilakuka dega i ( i,,, r) maka bayakya ara melakuka r operasi adalah: r i i Masalah meghitug yag serig ditemui diberika dalam teorema berikut Teorema Bila terdapat r operasi yag masig-masig dapat dilakuka dega N ara, maka bayakya ara melakuka r operasi adalah r N r Cotoh 3 Dega berapa ara tes berisi 0 pertayaa, yag jawabya salah-bear dapat dijawab? 0 Jawabya adalah Cotoh 4 Dari himpua beraggota m, ada beberapa himpua bagia (subset) yag mugki? Dalam membetuk himpua bagia harus diputuska setiap eleme berada dalam himpua bagia atau tidak? Jadi utuk setiap m eleme terdapat piliha (ara), sehigga bayakya subset yag mugki m adalah Di sii termasuk himpua kosog, yag berkorespodesi dega kejadia tidak ada satu eleme pu di dalam himpua bagia ii Cotoh 5 5 kartu diambil da dek kartu bridge (terdiri dari 5 kartu) Dalam hal ii terdapat (5) 5 ara, bila pegambila dega pegembalia Bila ke 5 kartu diambil tapa pegembalia bayakya ara adalah

20 0 Pegatar Statistika Matematis Pada ara pertama kartu yag sama dapat diambil lebih dari satu kali, sedag pada ara kedua tidak aka terambil kartu yag sama B PERMUTSI DN KOMBINSI! (baa faktorial) ( )! ( ) ( k ) ( k)!! ( ) ( ) ( )!!!! ( )! 0! Beberapa otoh perhituga faktorial 5! ! ! 5! 6 6 5! 5! 7! 76 5! 6! !5! 3 0! !7! 3 9! !5! 43 8! ! Beberapa rumus bermafaat utuk meghitug bayakya ragkaia yag mugki dalam kasus-kasus tertetu ragkaia berurut dari suatu himpua objek disebut Permutasi Teorema Bayakya permutasi dari objek yag berada adalah!

21 STS440/MODUL Bukti: Diguaka prisip perkalia Utuk ara megisi posisi dega objek yag berbeda, posisi pertama dapat diisi dega ara dega megguaka salah satu di atara objek Posisi kedua diisi dega ara megguaka ( ) objek sisaya, da seterusya sampai objek terakhir ditempatka pada posisi terakhir Dega prisip perkalia operasi ii dapat dilakuka dalam ( ) =! Cara Sebagai otoh, bayakya ara meyusu 5 kartu yag berbeda adalah 5! = 0 Seseorag mugki juga tertarik pada bayakya ara pegambila objek dari objek yag berbeda da megguaka r objek ii Teorema 3 Bayakya permutasi r objek diambil dari objek berbeda adalah! Pr ( r)! Cotoh 6 Dari 4 huruf a, b,, d diambil 4 huruf dega memperhatika uruta 4! Bayakya ara adalah 4, yaitu! ab a ad b bd d ba a da b db d Cotoh 7 Sebuah kotak berisi kartu, masig-masig beromor,, Bila tiga kartu diambil tapa pegembalia maka bayakya ara pegambila adalah P! 3 ( ) ( ) ( 3)!

22 Pegatar Statistika Matematis Perhatika bahwa pada permutasi uruta diperhatika Bila uruta objek tidak diperhatika, dikataka kita haya tertarik pada bayakya kombiasi yag mugki pada pemiliha r objek dari objek yag berada Simbol diguaka utuk meyataka bayakya kombiasi r tersebut Teorema 4 Bayakya kombiasi r objek yag dipilih dari objek yag berbeda adalah! r r!( r )! Cotoh 7 Dari sebuah kotak berisi 0 bola, diambil 3 bola tapa pegembalia Perhatika bahwa uruta tidak diperhatika Bila bola diberi ama b, b, b, terpilih bola b, b, b ! 0 3 3! 7! Cotoh 7 Dari 40 orag dalam suatu kelas dipilih pegurus yag terdiri dari 5 orag Uruta tidak diperhatika, karea,,,, sama dega terpilih,,,,, sehigga diguaka kombiasi Bayakya ara adalah 40 40! ! 35! 5 4 3

23 STS440/MODUL 3 Misal harus mejadi pegurus, maka keempat pegurus laiya dipilih dari 39 orag sehigga bayakya ara adalah dipilih dari 39 Misal karea sakit tidak boleh mejadi pegurus maka bayakya ara adalah 39 5 Perhatika bahwa: Pr r! r r r bila r atau r 0 r 6 r r r r 0 Bukti: adalah bayakya ara pemiliha r objek da objek bila uruta tidak r diperhatika Biasa disebut: kombiasi r objek dari objek atau ditulis dega lambag: ara r a harus ada objek tertetu yag harus terpilih, berarti ada b harus ada objek tertetu tidak boleh terpilih, berarti ada r Jumlah kedua alteratif ii aka memberika r 7 r r r r r r ara

24 4 Pegatar Statistika Matematis Bukti: r r r r r r 3 3 Didapat r r r r r r 3 3 r r r r 3 k k r r r k k 8 r Bukti: r0 Dari Biomium Newto a = b = q didapat r0 r r r ( a b) a b dega megambil 0 r ( ) 9 m k m k r r r0 r0 Bukti: m objek dipadag terbagi mejadi grup terdiri dari k objek da ( m k) objek Utuk memilih objek dapat dipilih r objek dari grup k r ara da ( r) objek dari grup = m k r ara sehigga terdapat

25 STS440/MODUL 5 k m k r r mugki didapat m ara pabila kuatitas ii dijumlah utuk semua harga r yag Objek Sama (Tak Dibedaka) Cotoh 8 5 kelereg : hitam (H) da 3 putih (P) Cara peyusua kelima objek HPHPP PHHPP HPPHP PHPHP HHPPP PPHHP PPHPH PPPHH PHPPH HPPPH Teorema 5 Bayakya ara adalah 5! 0! 3! Bayakya permutasi yag berbeda dari objek dega r di ataraya dari jeis pertama da sisaya ( r) jeis kedua adalah! r r! ( r )! Teorema 6 Bayakya permutasi objek di maa r objek dari jeis pertama r objek dari jeis kedua r objek dari jeis ke k k! adalah yag disebut koefisie multiomial r! r! r! k

26 6 Pegatar Statistika Matematis Cotoh /9 0 kelereg : hitam, 3 putih da 5 merah Bayakya permutasi yag berbeda adalah 0! 50! 3! 5! Cotoh 30 Beberapa ara meyusu bedera terdiri 3 wara merah, 3 wara hijau, 3 wara kuig da 3 wara hitam Dega teorema 6, bayakya! ara adalah 3! 3! 3! 3! LTIHN Utuk memperdalam pemahama da megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Seorag aak aka medapat baju atau elaa utuk hadiah ulag tahuya Tersedia 3 baju da elaa a) Bila si aak haya medapat di ataraya, ada berapa ara pemiliha? b) Bila ia medapat baju da elaa, ada berapa ara pemiliha? ) Berapa bayakya bilaga yag dapat disusu dari agka,, 3 yag kurag dari 00, agka tidak berulag 3) da berapa ara 3 orag pegurus dipilih dari 0 orag da beberapa ara pemiliha orag ketua, wakil da sekretaris? 4) Tujukka bahwa: m b) m m ) m m k m k a) 0 Petujuk Jawaba Latiha ) a) 3 +

27 STS440/MODUL 7 b) 3 ) ) Bilaga yag dimaksud harus kurag dari 00, berarti () Berawal : Cara () gka ke- : ara ( atau 3) (3) gka ke-3 : ara (tiggal piliha agka ) Seara keseluruha : = ara 3) Pemiliha 3 orag pegurus dari 0 orag adalah 0! pabila ditetuka jabata masig-masig maka ! Ketua Wakil Sekretaris Ketua Wakil Sekretaris Dega demikia karea uruta diperhatika permutasi, sehigga 0! bayakya ara 0P ! m m! o o! m! o! 4) a) b) m m! m o! ( m)! ) m m! m! m o m k o! ( m )! ( m k)! ( m ( m k)! RNGKUMN Prisip Perkalia: Operasi ke i dari r operasi dapat dilakuka dega i ara maka ara melakuka r operasi adalah Dari objek yag berbeda diambil r objek r a Uruta tak diperhatika, dega pegembalia bayak ara = r

28 8 Pegatar Statistika Matematis b Uruta tak diperhatika, tapa pegembalia bayakya ara! r r! ( r )! Uruta diperhatika tapa pegembalia, bayakya ara =! Pr ( r)! 3 Bayakya permutasi objek, dega r objek dari jeis pertama r objek dari jeis kedua r objek dari jeis ke k k! adalah r! r! r! k ) Bayakya bilaga bulat atara dega tidak ada digit (agka) yag sama adalah 900 B C D TES FORMTIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! P P 0 ) Gambar di bawah meujukka jala yag meghubugka kota-kota, B, C da D Tada meujukka jembata B C D Dega berapa ara seseorag berjala dari ke D kembali ke lewat jala yag belum perah dilewati, yaitu 40 B 30

29 STS440/MODUL 9 C 0 D 7 3) Dari soal, dega berapa ara seseorag berjala dari ke D dega melewati tepat jembata, yaitu 50 B 4 C 37 D 4 4) pertayaa dalam ujia harus dijawab dega B (betul) da S (salah) Seorag mahasiswa aka mejawab seara radom dega 6 jawaba B da 6 jawaba S da berapa ara seperti ii? 000 B 90 C 97 D 900 5) Berapa tada terdiri dari atau 3 huruf yag dapat dibuat dari alphabet - Z bila alphabet tidak boleh diulag? B C 5 6 D ) Sebuah dadu dilempar 3 kali Bayakya pasaga agka yag tampak adalah 6 3 B C 6 3 D 3 6 7) 4 laki-laki da 4 waita merupaka 4 pasaga suami istri da berapa maam dugaa pasaga suami istri? 4 B 4

30 30 Pegatar Statistika Matematis C 8! 4! 4! D 4 4 8) Diketahui m buah kotak da j buah bola da berapa ara meempatka j buah bola tersebut ke dalam m kotak seara uiform (bola bisa terletak di kotak maa pu) m + j B m j m j C D m j 9) Dari soal 8, ada berapa ara bila kotak I harus kosog? m + j B m j m C j D m j Cookkalah jawaba da dega Kui Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii Hituglah jawaba yag bear Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa da terhadap materi Kegiata Belajar Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal rti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = ukup < 70% = kurag

31 STS440/MODUL 3 pabila meapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, da dapat meeruska dega modul selajutya Bagus! Jika masih di bawah 80%, da harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai

32 3 Pegatar Statistika Matematis Kui Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) D ) C 3) D 4) 5) B 6) C 7) D 8) B 9) B 0) C Tes Formatif ) B ) 3) D 4) C 5) B 6) 7) 8) D 9) D

33 STS440/MODUL 33 Daftar Pustaka Blum, Julius R & Roseblat, Judah I, (97) Probability ad statistis, Philadelphia: Sauders Compay Chug, Kai Lai, (974) Elemetary Probability Theory with Stohasti Prosesses, New York: Spriger Verlag Hogg Robert V & Craig lle T, (978) Itrodutio to Mathematial Statistis, Mamilla Publishig Co, I