II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

Transkripsi

1 II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber dari Gross dkk (2014): Suatu graf G = (V,E), beraggotaka dua himpua V da E, dega aggota dari V disebut titik dari G da aggota E disebut sisi dari G. Himpua V adalah himpua tak kosog yag berhigga da himpua E adalah himpua dari satu atau dua titik dari V. e 3 e2 Gambar 1. Cotoh graf dega 4 titik da 6 sisi Jika suatu titik v merupaka titik akhir atau ujug dari sisi e, maka titik v dikataka meempel (icidet) pada sisi e, da sisi e juga meempel pada titik v, serta suatu titik u dikataka bertetagga (adjecet) dega titik v, jika kedua titik

2 6 tersebut terhubug oleh sisi yag sama. Bayakya titik atau V G disebut uruta atau orde da bayak m sisi atau E pada graf m pada graf G disebut ukura atau size. Utuk cotoh dari Gambar 1 terlihat bahwa sisi, meempel pada titik serta utuk titik bertetagga dega da. Derajat (degree) dari suatu titik v pada graf G diotasika sebagai deg(v), adalah bayakya sisi yag meempel pada titik v dega loop terhitug dua. Utuk cotoh dapat terlihat pada Gambar 1 bahwa deg( )= 2, deg( )= 4, deg( )= 4 da deg( )= 2. Titik terasig merupaka titik yag memiliki derajat ol, sedagka titik pedat atau titik ujug adalah titik yag memiliki derajat satu. Utuk cotoh pada Gambar 2 terlihat titik merupaka titik pedat da titik merupaka titik terasig. e 3 e2 Gambar 2. Cotoh graf dega 1 titik pedat da 1 titik terasig Suatu subgraf dari graf G adalah graf H dega V(H) V(G) da E(H) E(G) maka H disebut sebagai subgraf dari G atau graf G adalah supergraf dari H. e 2 e 2 G : e 3 H : v5 v 6 Gambar 3. Cotoh subgraf H dari graf G

3 7 Suatu subgraf H dari graf G dikataka spaig subgraf, jika V(H) = V(G) da E(H) E(G) serta subgraf yag terhubug maksimal dari graf G disebut kompoe dari graf G. G H Gambar 4. Cotoh spaig subgraf H dari graf G Dua graf G 1 da G 2 dikataka isomorfis, jika kedua graf tersebut salig berkorespodesi satu-satu atara titik-titik di G 1 dega titi-titk di G 2 serta atara sisi-sisi di G 1 dega sisi-sisi di G 2. G 1 : G 2 : Gambar 5. Cotoh isomorfis graf G 1 da G 2 Suatu walk pada graf G adalah barisa berhigga dari titik da sisi, W v, e, v, e,..., e, v sehigga utuk j 1,2,3,..,, titik v j 1 da titik o v j merupaka titik ujug dari sisi e j, dega v 0 disebut titik awal da v disebut titik akhir da titik laiya disebut titik dalam dari walk W.

4 8 Salah satu walk terlihat pada Gambar 6 yaitu e 2 e 3 e 3 e 7 e 2 e 8 Gambar 6. Cotoh graf dega salah satu walk Path dari suatu graf merupaka walk terbuka dimaa tidak ada titik yag diguaka lebih dari satu kali atau berulag. Salah satu path terlihat pada Gambar 7 yaitu e 2. e 3 e 7 e 2 e 8 Gambar 7.Cotoh graf dega salah satu path Suatu loop dari suatu graf adalah sisi yag meempel pada titik yag sama atau titik awal da titik akhirya sama, sedagka sisi paralel adalah dua atau lebih sisi yag berada pada pasaga titik yag sama. Salah satu loop terlihat pada Gambar 8 yaitu sisi da sisi paralelya adalah himpua {, e 2 }. e 2 e 3 Gambar 8. Cotoh graf dega salah satu loop da sisi paralel

5 9 Suatu graf G dikataka graf sederhaa jika tidak memuat loop atau sisi paralel, sedagka suatu graf G dikataka terhubug jika diatara setiap pasag dari titik di G terdapat path yag meghubugkaya. e 3 Gambar 9. Cotoh graf sederhaa da terhubug Suatu graf berarah (digraf) adalah suatu graf dega setiap sisiya memiliki arah dega sisi berarah memiliki satu titik ujug yag disebut ekor (tail) da satu titik ujugya disebut kepala (head) dega arahya dari ekor meuju kepal. e 2 e 3 Gambar 10. Cotoh digraf dega 4 titik Suatu graf T disebut tree jika graf T merupaka graf terhubug yag tidak memiliki cycle atau sirkuit. Suatu graf T disebut spaig tree dari suatu graf G jika graf T adalah tree da memuat semua titik dari graf G atau dega kata lai graf T adalah spaig subgraf dari graf G yag tidak memuat cycle atau sirkuit da kumpula dari tree disebut dega forest. T 1 : Tree T 2 : Spaig Tree Gambar 11. Cotoh tree da spaig tree

6 Kosep Dasar Barisa Barisa adalah suatu fugsi yag domaiya merupaka semua bilaga bulat da diotasika dega a (Rose, 2012). Secara umum barisa direpresetasika dalam baris sebagai berikut: a, a, a,..., a m m 1 m 2 Cotoh : Barisa bilaga 2, 4, 6, 8, 10,... Suatu barisa geometri adalah barisa yag memiliki betuk a ar ar ar 2,,,...,,... dega a da r adalah bilaga riil serta r merupaka rasio (Rose, 2012). Cotoh: Barisa bilaga 1, 2, 4, 8, 16,..., dega a = 1 da r = 2. Suatu barisa geometri adalah barisa yag memiliki betuk a, a d, a 2 d,..., a d,... dega a da d adalah bilaga riil serta d adalah merupaka beda (Rose, 2012). Cotoh: Barisa bilaga 1, 4, 7, 10, 13,..., dega a = 1 da d = 3. Diberika barisa bilaga a sebagai berikut: a0, a1, a2,..., a... (1) Beda pertama dari barisa (1) adalah: D0, D1, D2,..., D, dega D a a 1 1 Secara rekuresi di defiisika beda orde ke k dari barisa (1) dega orde k-1 sebagai beda sebelumya adalah : D, D, D,..., D, dega k k k k D D D... (2) k k 1 k 1 1 Perhatika bahwa (2) valid utuk k =1 jika a D (Aloso, 2000). 0

7 11 Proposisi 1: Diberika barisa a0, a1, a2,..., a. Jika terdapat poliomial p(x) berderajat k dega koefisie c sehigga a p( ) utuk =,1,2,3,., maka barisa a0, a1, a2,..., a adalah barisa aritmatika orde k dega beda adalah k! c (Aloso,2000). Bukti : Misalka p( x) a x a x a x... maka k k 1 k a a a a k k 1 k sehigga a a a a m a k k k 1 k 1 1 1[( 1) ] 2[( 1) ]... k 1 ck Oleh karea itu, utuk beda pertama dapat dibetuk p x 1 ( ) kcx k... yag berderajat k 1 dega koefisie pertama kc sehigga D 1 p ( ) 1 Dega melakuka perulaga proses yag sama sebayak k kali dapat k disimpulka bahwa : D p ( ) utuk suatu poliomial p ( ) berderajat ol k k dega koefisie pertama k!c sehigga D k! c, utuk = 0, 1, 2, 3, Berdasarka Proposisi 1 dari barisa (1) terdapat poliomial p(x) dega derajat k k, p( x) a x a x a x..., dega a p( ) utuk = 0,1,2,3,.. maka k k 1 k k k 1 k 2 barisa (1) yaitu a a1 a2 a3... adalah barisa aritmatika orde k dega beda pada orde k adalah sama. 2.3 Kosep Dasar Pecacaha Dalam proses pecacaha ada dua kaidah yag diguaka yaitu pertama kaidah pejumlaha, jika percobaa 1 mempuyai m 1 hasil percobaa yag mugki

8 12 terjadi da percobaa 2 mempuyai m 2 hasil percobaa yag mugki maka jika haya salah satu dari dua percobaa itu saja yag dilakuka, maka terdapat m 1 + m 2 hasil jawaba (Rose, 2012). Cotoh: Seorag mahasiswa aka memilih satu mata kuliah yag ditawarka pagi da sore. Utuk pagi ada 7 matakuliah da sore ada 5 matakuliah yag ditawarka, maka mahasiswa tersebut memiliki = 12 piliha utuk memilih satu matakuliah. Kedua kaidah perkalia, jika percobaa 1 mempuyai m 1 hasil percobaa yag mugki terjadi da percobaa 2 mempuyai m 2 hasil percobaa yag mugki maka terdapat m 1 x m 2 hasil jawaba (Rose, 2012). Cotoh : Jika harus meyusu jadwal dua ujia ke dalam periode lima hari tapa ada pembatasa megeai berapa kali dibolehka ujia dalam setiap hariya, maka kemugkia jadwal dapat dibuat sebayak 5 x 5 = 25 piliha. Diberika. Nilai! (dibaca faktorial ) didefiisika sebagai hasil kali semua bilaga bulat positif atara 1 sampai :! ( 1)( 2)( 3) Dega ol faktorial, didefiisika 0!=1 (Rose, 2012). Suatu permutasi r dari himpua dega objek adalah pemiliha secara berurut sebayak r objek yag diambil dari objek. Jika da r bilaga bulat dega 0 r maka! P(, r) (Rose, 2012). ( r)!

9 13 Cotoh : Berapa bayak cara utuk memilih 3 mahasiswa dari 5 mahasiwa yag aka meduduki posisi ketua, wakil da sekretaris? Peyelesaia: 5! 5! P(5,3) 60 (5 3)! (2)! cara. Suatu kombiasi r dari himpua objek adalah pemiliha secara acak tapa memperhitugka uruta sebayak r objek yag diambil dari objek. Misalka utuk semua da r adalah bilaga bulat, dega 0 r maka Kombiasi r objek dari objek diotasika dega persamaa :! r r!( r)! (Rose, 2012). Cotoh : Berapa bayak cara utuk memilih 5 pemai teis dari 10 pemai teis yag ada utuk megikuti kejuaraa? Peyelesaia: 4 4! 4! 6 2 2!(4 2)! 2!(2)! cara. Misalka permutasi yag berbeda dari objek, dega 1 bayakya objek yag tidak dapat dibedaka utuk jeis 1, 2 bayakya objek yag tidak dapat dibedaka utuk jeis 2,..., da k bayakya objek yag tidak dapat dibedaka utuk jeis k maka! (Rose, 2012).!!...! 1 2 k

10 14 Cotoh: Berapa bayak cara utuk membagika masig-masig 5 kartu kepada 4 pemai dari setumpuk kartu bridge? Peyelesaia: 52! 5!5!5!5!32! cara